Адаптивное децентрализованное управление по выходу многосвязными объектами с запаздыванием с неминимальной реализацией эталонной модели Текст научной статьи по специальности «Математика»

£1—

УДК 62-506

АДАПТИВНОЕ ДЕЦЕНТРАЛИЗОВАННОЕ УПРАВЛЕНИЕ ПП ВЫХОДУ МНОГОСВНЗНЫМИ ОБЪЕКТАМИ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ С НЕМИНИМАЛЬНОЙ РЕАЛИЗАЦИЕЙ ЭТАЛОННОЙ МОДЕЛИ

Е. А. Паршева

Астраханский государственный технический университет

Рассмотрена задача построения адаптивной системы управления с эталонными моделями локальных подсистем для многосвязных объектов с запаздыванием по состоянию, когда измерению доступны только регулируемая переменная и скалярное управляющее воздействие. Обоснована работоспособность синтезированных систем управления при действии на объект управления неизмеряемых ограниченных возмущений. Для формирования управляющих воздействий взяты только измеряемые переменные локальных подсистем, т. е. осуществлено полностью децентрализованное управление.

ВВЕДЕНИЕ

Большое теоретическое и прикладное значение задачи децентрализованного управления объясняется стремлением разработчиков систем управления сложными многосвязными объектами построить локальные подсистемы без обмена информации между ними [1—9]. Переход к системам с децентрализованной структурой обусловлен структурной и функциональной сложностью современных объектов автоматизации, включающих в себя набор взаимодействующих подсистем, имеющих большую размерность и рассредоточенных в пространстве. Модели объектов содержат нелинейности, запаздывания, характеризуются неопределенностью в описании и предъявляют жесткие требования к качеству управления. Кроме того, обновление технической базы систем управления, связанное с бурным прогрессом в технологии микропроцессорной техники и распределенной обработкой данных [10], и новые компьютерные технологии, основанные на мультипроцессорной архитектуре и параллельных конвейерных вычислениях, хорошо адаптированы к системам с децентрализо-

ванной структурой. При децентрализованном управлении общая задача управления декомпозируется на подзадачи, каждая из которых имеет меньшую размерность, что позволяет получить более качественные и надежные системы управления и значительно упростить структуру системы [2].

Проблема управления со скалярным входом-выходом стала одной из классических задач современной теории управления. В работе [11] был определен класс динамических моделей, для которых настройка параметров управляющего устройства может быть осуществлена без измерения производных входных и выходных сигналов. Передаточная функция этих моделей должна быть стро го положительно-вещественной. Для систем стабилизации с неявной эталонной моделью аналогичный результат был получен в работе [12]. Дальнейшие работы исследователей были направлены на преодоление этого ограничения [13—22]; при этом для систем с явной эталонной моделью использовалась ее минимальная реализация.

В данной работе предлагается способ построения системы децентрализованного управления многосвязными объектами с запаздыванием по состоянию, позволяющий преодолеть ограничения

[11] и свести задачу синтеза алгоритмов настройки параметров локальных управляющих устройств к хорошо известным и изученным различными авторами. Принцип построения систем очень простой. Применяются два фильтра состояния на каждой локальной подсистеме, которые присутствуют во всех системах [2, 11—22]. Векторы состояния этих фильтров и скалярный выход подсистемы образуют вектор выхода объекта управления, и используется неминимальная реализация локальных эталонных моделей. В результате этих изменений получается обобщенный настраиваемый объект, для которого уже имеется много различных алгоритмов настройки параметров управляющего устройства.

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Рассмотрим взаимосвязную систему, динамические процессы в локальных подсистемах которой описываются дифференциальными уравнениями с запаздывающим аргументом

4(3 )у№ + N1 д.(3)\.(? - тг) = N5(3 )и$ +

+ *(3+ х ЧЩ,1 = ^. (1)

I = 1,1 * ]

Здесь у., и1 — измеряемые скалярные выход и вход 1-й локальной подсистемы; — неизвестное ограниченное возмущающее воздействие; х. — неизвестное время запаздывания; *(3), 6.(3) — диф-

I I]

ференциальные операторы с неизвестными постоянными коэффициентами; 4(3), 5,(3), "(3) — нормированные линейные дифференциальные операторы с неизвестными постоянными коэффициентами, зависящими от вектора неизвестных параметров [ е ;, где ; — известное множество возможных значений вектора [; 3 = — опера-

тор дифференцирования; , ки — неизвестные коэффициенты; deg4, = щ; degЗг. = т.; deg" = и1г.;

^ * = «2,; ^6/ = Пу.

Децентрализованное адаптивное управление для таких систем определяется как решение задачи построения таких к локальных блоков адаптивного управления, каждому из которых доступна только текущая информация о системе. Требуемое качество переходных процессов в подсистемах задается уравнениями локальных эталонных моделей

4т1(Р)Ут(*) = kmг'5mг'(3)Uг•(W), * = ^, (2)

где 4т(3) и ят{(3) — линейные дифференциальные операторы; г.($ — скалярные ограниченные

задающие воздействия; kmi — известный коэффициент.

Необходимо спроектировать систему управления, для которой будет выполнено условие

Dm \e(t)\ = lim \y(t) — ymi(t)\ < 5. (3)

tOf tOf

Здесь 5 — положительная величина, и желательно, чтобы ее можно было сделать достаточно малой. При этом в локальных подсистемах управления не допускается использования информации об измеряемых величинах других подсистем.

Сделаем следующие предположения.

А.1. Полиномы R.(O), Qmi(O) и Rmi(O) — гурви-цевы (O — комплексная переменная преобразования Лапласа), причем операторы Ql(0), Rl(0), Qmi(O) и Rmi(O) нормированы, т. е. коэффициенты при старших производных равны единице.

А.2. Известны порядки полиномов п,, mt и относительная степень nt — mt > 1.

А.3. Ограниченные возмущающие f.(t) и задающие u,.(t) воздействия имеют ограниченные произ-

L ----- 1

водные \fi (t)\ P const, l1 = 1, n2i; \ri (t) P const, O2 = 1, Q.

А.4. Известен знак коэффициента k,, будем считать, что k > 0.

А.5. Известно множество ;.

2. МЕТОД РЕШЕНИЯ

Введем два фильтра состояния на каждой ло-

кальной подсистеме, которые присутствуют во

всех системах [11—22]:

9уі = Рі9уі + Ь0іУр 9 иі = ¥і 9ш + Ь0іиР (4)

П - 1 Пі - 1

где 9уі є 5 ; 9иі є 5 ; ) — гурвицева матрица

в форме Фробениуса; Ь0І = [0, 0, ..., 1]'.

В отличие от традиционных способов выбора порядков полиномов <2ті(0) и 5ті(0)в уравнениях (2), в данном случае они могут быть произвольными, если выполнены условия предположения А.3 и целевое условие задано в виде (3). Кроме того, в данном случае возьмем неминимальную реализацию локальных эталонных моделей, заданных уравнениями

Ут() = ЗГрГ Г(); 91і = )і91і + Ь0і’

ґ ^ иті

ПРОБЛЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ № 2 - 2OO5

Ш.

где ат1 > 0. Третье из уравнений (5) необходимо только для вычислений, а технически оно не реализуется. Составим уравнения ошибок, вычитая из уравнений (1) и (4) выражение (5):

Ф) =

_ кЛ (Р)

“ кГїїіР “ т) +

. і к5 (Р) і і

к5(Р) і кг-5г(Р)(Р + аті)

й(Т\і - тіі) _

&

= Рі(Туі - Є1і> + Е0і(\ - Уті)> (6)

Л1 Ц-, ~ 1 = - в2і) + *оЛ-

г

где е, е 5 ; $., Ь, й, а ^ — соответствующие матрицы перехода от модели “вход — выход” к модели “вход — состояние — выход”; Ь { = [1, 0, ..., 0].

Введем расширенный вектор состояния ошибки НР1 = С°1(еР 0\, “ 01Р 0ш “ 02 ) и выхода НР1 = = со1(ег, 0\. — 01г, 0Ш. — 02 .). Тогда, принимая во внимание выражения (6), получим следующее уравнение:

Єрі АріЄрі ^ Ері

и,Ч) - к^гДО

+ Е1 іМ () +

+ Е2 іГі(і) + - Ті) + У ^ Нрі = /рі£рі’ (8)

І = 1

Зп і - 2 2л і - 1

где є ■ є 5 1 ; е. є 5 1 ; числовые матрицы А

р р ЬрР Ь1р Ь2Р арР 1рР аріі имеют вид

р

ктіОі( Р)

Выделив в выражении ' ті 1

кі5і( Р)(Р + арі)

целую

часть, получим

, кі5і( Р)

е.(і) = і 1 ’

4( Р)

и (А - к1 і"і(Р) (е (/ - т) ^

иД') , р , рч (Є(' V +

. і к5(Р) і 1

+ \т,0 - Ті)) + ^І,«> - ^іМ -

Ар =

Ьрі =

1 іА 0 0 1

Е0 і^і рі 0 , Чі =

1 0 0 рі

/ 0 о

0 Іп і -1 о

0 0 І,

кіьі к^і

0 , ь1і = 0 , Ь2і =

.Ь0і. _ 0

пі-1

0

0

к тіЕ

Т°°

*^^5 гі(') - 'У

+ у 6і/( Р) (е. + \ )

.У к5( Р)У і т>

(7)

где degA4г• = т. Так как 5,(0) — гурвицевы полиномы, то в соответствии с предположениями А.З функ-

N А 4 ( Р\ П, ~ т, ~ 1

ция = — щфза-*** — ,2, +

*і(Р) /уа _ к1 і"і(Р)

1() - 1ЛГТЖ ут( - т і) + у

к5 і( РУ^ к5( Р)

67(Р)

у^1 кі5і( Р)

ті

является ограниченной. Преобразуем уравнение (7) в каноническую векторно-матричную форму

йє

—і = А є. + к.Ь.

йі 11 11

ий - кктг({) + Мі(і)

+ йіеі(і - ті) + у а.-е-, еі = Ьрр

і = 1, і * і

йР. =

'й] аі.

0 , а .. = ’ рі] 0

0 0

Зададим закон управления в виде иі = сі'ері + Р ігі,

(9)

где С и р . — настраиваемые вектор и скаляр. Тогда уравнение (8) преобразуется к виду

Є рі = ($рі + Еріс0'і/рі)єрі + Ьрі(Сі - с0і) 'ері +

+ Ері(Рі - кті/к)Гі + Е1 іФі(і) + Ь2 ІГІ(І) +

к

+ й е (і - т ) + У а .е, е . = / є , (10)

рі Л ^ А.І ру з рі ргрр ' 7

І = 1

где С0і — некоторый вектор, обеспечивающий гур-

вицевость матрицы А0і = Арі + ЬріС^іЬрі. В работе [19] было показано, что такой вектор существует. Таким образом, в результате введения расширенного вектора выхода е. задача синтеза алгоритмов

рі

настройки параметров управляющего устройства

свелась к уже исследованной в ряде работ [11—14] задаче.

Введем блочно-диагональные матрицы

$ = ад$,1, ..., $,*}; Вр = ..., Ьрк}-

В1 = ^{6^ ..., 61к}; С = ^{Ц, ..., Ск};

С0 = ^^аё{С01’ ...’ С0к'; В2 = ^1аё{Е21’ ...’ Е2к';

/ = ..., Ьрк); " = ..., йрк};

р = а!аё{р1, ..., Рк'; Ро = ..., ктк/кк)

и векторы

ер = со1(ер1, ..., ерк); и = со1(м1, ..., ик);

е = со1(н1, ..., нк); нр = со1(нр1, ..., нрк);

м = со1(ф1; ..., фк); г = со1(и1, ..., гк);

е(? - т) = со1(е1(? - т1), ..., ек(? - тк)),

тогда уравнение системы (10) в составной форме примет вид

нр = А0н + Вр(С - С0)Тер + Вр(р - р0)г + ВМ{) +

+ В2г + "е(? - т) + аре, ер = /пеп, (11)

к

Р Р5

где єр є 5Зп 2, ер є 52п - І. п = І і'. і = І

матрица с блоками а ..: Р~Ч

0 арІ2 ... ар їм

а = ар2І 0 ... ар 20

р

а,рШ арМ2 ... 0

В соответствии с работами [12, 13] для системы (9), (11) справедливо

Утверждение. Пусть выполнены условия А.1—А.5. Тогда алгоритмы адаптации

С ■ = —Р2) е Г, е . — уС

Кбі рі*- Іі^рі 1^}

■Р8ЇеріЬігі - УРр

(І2)

где р > 0; у > 0; у2 > 0; Г1;. — положительно определенные симметричные матрицы, обеспечивают выполнение целевых условий (3), если число п > 0

выбрано так, что п > йр1Н1йр1, где положительно

определенные симметричные матрицы Ні удовлетворяют условиям

НІА0І + + + < -0. - п/Тш ^Ь/,,,

Щі = /2, /„і = [ ІПі, О,

, О

(ІЗ)

где — произвольные положительно определенные

симметричные матрицы и выполнены неравенства

Р > , Р2 > 4р 12Іі|||аі||, где 2Іі — первая компо-

2і ] Хз

нента вектора 2; а — оставшиеся компоненты того же вектора; р > 0, р2 > 0 — произвольные числа. При этом справедлива оценка

|е,| < Л Iх . где х = Р (\п„( г;1 )||С„і - р2і||2 +

Ы ^р Р

+ у2; |Рог|2) +

|2 | ,2

+ Ы_.

Х;

Х2

(І4)

Замечание1. В соответствии с теоремой П3.1 в работе [13], для существования положительно определенной симметричной матрицы +, удовлетворяющей матричным условиям (13), необходимо и достаточно, чтобы полином Рг(0) = стг(0)gi Ьр1(О/ -

- Ар1 - 0,5/) 1Ьр1, • = 1, к, был гурвицев с положительными коэффициентами для любых [ е ; и имел порядок на единицу меньше, чем полином ст/О) = ёе1;(О/ - А{ - 0,5/)ёе1;(О/- )).

Замечание2. В случае, когда все компоненты вектора не равны нулю, порядок полинома рг(О) всегда на единицу меньше, чем порядок полинома ст^О). Это связано со структурой матриц Ар-, Ьр,, Ьр,,

которая такова, что ^Ьр(к/ - Ар1 - 0,5/)-16р-. = = р-(О)/а-(О).

5 ГО)

Из уравнений (1) и (4) имеем 0,(О) = —1— и,

41 (О)

0 (О) = (О/ - ))_160 к5° и = 5 (О) к5(О) и, где ' 0 4(О) 41 (О) 4(О)

51(О) = (О/ - ))+Е0, где (О/ - ))+ — присоединенная матрица матрицы (О/ - ));

+

о) = [2 2 @ (т0 ). (5І ( 0 ) N5( О)Л /5 І ( О)Л Т = (2; ,..., 2т)кК(° ) + (§т, + ; , . .. , 2п)5; ( 0 ) Щ 0 )

' ) [2; ... 22пі-1 @ V 4(о) ’ I 4 І ( о) 4(о) ^ ^4; ( о^ 4(о) 4 ; ( о) 4( о)

(2пі + І . . .. > 22 п і- І ) 5 І ( о ) = (2;, . .. , 2ті) к5( о ) 4; ( о ) + (2р, + ; , ..., 2п.) 5; ( о ) к5(о ) + 4( о ) 2, + ; , . . . , Я2 пі- і ) 5; ( о ) ОІСо) = 4;(о)4(о)

Поэтому остается только выбрать вектор ф из условия гурвицевости полинома Р/0), а увеличение коэффициента р в алгоритме позволяет получить достаточно малую величину 8 в целевом условии (3).

Замечание 3. Еще одно достоинство предлагаемого подхода заключается в том, что число настраиваемых параметров можно свести до двух (в каждой подсистеме), если закон управления задать в

виде и1 = тф ер1 + , а параметры т. и р. настраи-

вать по следующему алгоритму т

т

“МФ ер) — УТР

р / = - кп8 е/1 - Ур, где ки > 0, к21 > 0. Работоспособность этих алгоритмов доказывается точно так же, как и утверждение (см. Приложение), поэтому здесь не приводится.

3. ПРИМЕР

Рассмотрим динамическую систему шестого порядка, которую представим в виде двух подсистем

х1(ґ — 2) +

\2(о,

х1(г‘ — 1) + Уі(і)-

0 1 0" ’0 0 0"

X 1(/) = О 0 [1{і) + 0 0 0

0 -1 1_ - 2 - 2 - 2.

о" о" 1

+ 0 и^і) + 0 /1(0 + 1

_3_ _1_ 1

0 1 0 0 0 0

( = 0 0 1 х2(і) + 0 0 0

0 - 4_ 1 1 1_

о" 0 з"

+ 0 и2(і) + 0 /2(0 + 3

_3_ _1_ _3_

Параметры локальных эталонных моделей 4т(Р) = 3 + 1, 5т(Р) = 1. Возмущающее и задающее воздействия, соответственно,

1^) = 8т?1 + 8ш0,5/, г1(?) = 1 + 0,58ш0,8/,

/2(0 = 8^0,5? + 8т0,8г, г2(?) = 1 + 8т0,7/.

Представим рассматриваемый объект в виде (1), где 5.(3) = к, "(Р) = 1, 4(3) = Р3 + ахр + а2р + + а3. Класс неопределенности задан неравенствами —4 Р аи Р 4, I = 1, 2, 3; 2 Р к( Р 10. Выберем

фильтры (4) с матрицей ) = 01

тогда поли-

номы ^.(О)и Р^.(0)примут вид а^.(О) = (О3 + а^О2 + + а2і0 + Яз^.)(О2 + 60 + 8),

РА) = g5i04 + (^4г + ^5г-а1/)03 + (^4г'а1г + 85іа2і +

+ Я^А,2 + (<§4іа2і + 25іа3і + + 8зік)0 +

+ 82іікі + 82ікі + ^4іа3і-

Взяв §т = [10 10 10 2 0,1], получим

Р/(0) = 0,104 + (2 + 0,1а1і)03 + (2ах/ + 0,1 а2г- +

+ 10кі)02 + (2а2і + 0,1 азі + 70^)0 + 90кі + 2а

Нетрудно проверить, что полином гурвицев для )бых параметре определенности.

любых параметров аи и к из заданного класса не-

Траектории ошибок

Моделирование на ЭВМ показало хорошую работоспособность синтезированных систем. На рисунке приведены результаты моделирования алго-

0,3 - : : 1 ! І ! М І 0,2 - ::::::::: 0,1 - 2 ; ї • ! ! а

4 і і 1 1 і 1 1 к 1 —0 2 _ І І І І І І І І і

12 16

20

12

16

20

Траектории ошибок

ритмов (12) при следующих значениях параметров: Г1г- = ^{40}, у2і = 40, у. = 0,1, р. = 10, і = 1, 2.

горитмы настроики локальных регуляторов согласно выражениям (12), получим

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Предложен способ построения адаптивной системы управления многосвязными объектами с запаздыванием по состоянию со скалярными входом и выходом, который позволяет выбирать произвольный порядок многочленов в передаточной функции эталонной модели. Работа алгоритмов осуществляется непосредственно на основании информации об ошибке, а число настраиваемых параметров можно свести в системах с эталонной моделью до двух. При этом структура регулятора полностью децентрализованная.

9 = — 4 О є + 2 + В2г + аре)

I

і = 1

2 р еТі8і8Тері + 2(&. — ^ + а я/ГТ1 уС, +

+ 2 У21 (Рі — Р0і)УРі

(16)

где 4 = diag{41, ..., 40}- Учитывая блочную диаго-нальность всех матриц, за исключением ар, воспользуемся оценками

—Р (&, — &0, + рг,)ТП,‘УС, р Ро^сн! )1С„, —

ПРИЛОЖЕНИЕ

Р 8,

||2 — У

Р (Сі — С0і + РЕ)тГп (С — С0і + р8г),

Доказател ь ство утверж д ения. Выберем функционал Ляпунова—Красовского [23] в виде

9 = Нрт+Нр + £ (^(С — Си + Р8і)тГ1,1 (С — С0і +

+ Р8і) + - У:* — Р0і)2 + п [ е2 Шя

Р /

і - Т;

где Н — положительно определенная симметричная матрица Н = diag{Н1, ..., Нм}. Вычислим полную производную от функционала Ляпунова— Красовского на траекториях системы (11):

V = гтр (Н$ + АрН)Нр + 2нТрНВр(С — С0)7ер +

т

V

+ 2 е;+вР(р — р0)г+2 £рт+(в1Ф(?) + в2г+

+ "е(? — т) + аре) + у р((С, — Сш + РеУГ^С, +

+ У21 (Р — Р0,) Р I + «е2 (0 — «е2 (? — Т,)). (15)

тт Воспользуемся оценкой 2 ер НБе(1 — т) р ер Не +

+ ет(? — т)"ТН"е(? — т). Принимая во внимание, что матрицы Н, А0 и " являются блочно-диагональными, получим, что для каждой подсистемы положительно определенные симметричные матрицы Н. должны удовлетворять условиям (13), а т

число и > йр1НАрГ

Добавим и вычтем в формуле (15) выражение 2Р еТ8фТер1 = 2р Нрр,Ь1р1Н1 ер, и, определив ал-

—-------(Р — Р0г)УРг р — — (Р — Р0г)2 + — |Р0і |2’

РУ2і РУ2і РУ2і 0і

—0,5єр 4Ер р —0,50тіп(4)||вр||2 р

р —0 , 5 0 тіп ( 4) єт+є

Р 0тіп(+) р Р’

2єрі +іЕ1іМі р 2|^іЦЬц||Мі|,

2^і+АіП р 2|^і+Аі||ПІ

2ініарімемр 2|є^P' +іарц||Єм|,

І т и І2

єт 4 є О І Ер і-Ніар гуі

Ері 43іЕрг' > т + 4-1+ ’

аріІ+і 43 і +іарі]

І т тт и І2 І т тт и І2

єт 4 є > І є рі+іЬ 1 і| єт 4 є > І є рі + іЬ2г|

єрі 4цЕрі > т 1 , єрі 42іЕрі > т 1 ,

ЬтиЩ41+Ьи — Р ері8і81і ері р — Р (еі81і)2 + 2 Р181і|||Р і |||еі |||ері|| р

р —

Р (еі81г)2 + 2 Р181і ІР і|||| єрі ||2>

где 0,54г- = 41г- + 42і + 43і + Р21,п., 81г- — первая компонента вектора 8, Р і — оставшиеся компоненты того же вектора. Тогда из выражения (16) получим

9 К "'І19 + £ (РО-жД» )||С0і - Р8,12 +

і = 1 є

рі і 1і|| і

+ У21 |Р0і|2) — | І+Ри |2^1 — | є^P' +іЬ2і |2^2 +

рі

+ І^і+ЬМ + 2|є;+іЬ2і||^| +

+ 4 р | g,i \\\ g і\\\і epW2 - pj ep||2 + I [2| epiHiapij lei

І = 1

і 1 epi Hiapij|2F3 і 2 p (gliei)2]

Q)

где K1 = min1y’ “ОТ ^ *

bTliHiQ,,Hibli

F2

1

bT^iHiQ21iHib2i

F3 :

1

aoiiHi Q2 і Hiapii

. Дополняя

pij 2 i11 i^pij

соответствующие слагаемые правой части до полного квадрата, получим

9 < -ki9 + £ (j (°max(rii )цс0г. - a j.ii2 +

+ У2І iPoi І2) і a (g,ei)2 і (jFlIeTiHbiil і м j +

+ IML і (J^IeTiH^I і JpL

Vf2

F2

Fi

I [ЄіeTiHiapij] і = 1

g 2 1 Pgli -1

-1

F3

ei

т h

epi+iapij

pi"

(17)

Выберем р2 из условия р2 > 4р\фи |||р. ||, обеспечив положительность последнего слагаемого в вы-

ражении (17)" а р — из условия р >

1

g1i'F 3

обеспе-

чив положительную определенность матрицы по критерию Сильвестра. Тогда получим

1i i I

Fi F2

откуда следует ограниченность eft), C.(t) и рг(/), так

_L H

как если |e.| O I—: & , то 9 < — k1 9 Следовательно,

L \si\ va 1

справедлива оценка (14).

ЛИТЕРАТУРА

2. Паршева Е. А, Цыкунов А. М. Адаптивное децентрализованное управление многосвязными объектами // Автоматика и телемеханика. — 2001. — № 2. — С. 135—148.

3. Фрадков А. Л. Адаптивное управление в сложных системах. — М.: Наука, 1990.

4. Ядыкин И. Б., Шумский В. М., Овсепян Ф. А. Адаптивное управление непрерывными техноло гическими процессами. — М.: Энергоатомиздат, 1985.

5. Ioannou P. A., Kokotovich P. Adaptive systems with reduced models. — Berlin: Springer Verlag, 1983.

6. Ioannou P. A. Decentralized adaptive control of interconnected systems // IEEE Trans. on Automat. Control. — 1983. — Vol. 31, No. 4. — P. 362—367.

7. Gavel D. Т., Siljak D. D. Decentralized adaptive control: structural conditions for stability // IEEE Trans. on Automat. Control. — 1989. — Vol. 34, No. 3. — P. 413—426.

8. Ortega P., Herrera A. A solution to the decentralized adaptive control: A new model reference scheme // IEEE Trans. on Automat. Control. — 1993. — Vol. 38, No. 2. — P. 1717—1727.

9. Mirkin В. M. Commentson “Exact Output Trackingin Decentralized Adaptive Control” // IEEE Trans. on Automat. Control. — 2003. — Vol. 48, No. 2. — P. 348—350.

10. Прангишвили И. В., Подлазов В. С., Стецюра Г. Г. Локальные микропроцессорные вычислительные сети. — М.: Наука, 1984.

11. Parks P. C. Liapunov redesign of model reference adaptive control systems // IEEE Trans. on Automat. Control. — 1966. — Vol. 11, No. 3. — P. 363—367.

12. Фрадков А. Л. Синтез адаптивной системы стабилизации линейного динамического объекта // Автоматика и телемеханика. — 1974. — № 12. — С. 96—103.

13. Мирошник И. В., Никифоров В. О., Фрадков А. Л. Нелинейное адаптивное управление сложными динамическими системами. — СПб.: Наука, 2000.

14. Никифоров В. О., Фрадков А. Л. Схемы адаптивного управления с расширенной ошибкой (обзор) // Автоматика и телемеханика. — 1994. — № 9. — С. 3—22.

15. Feuer A., Morse A. S. Adaptive control of single-input, singleoutput linear systems // IEEE Trans. on Automat. Control. — 1978. — Vol. 23, No. 4. — P. 557—569.

16. Monopoli R. V. Model reference adaptive control with an augmented signal // IEEE Trans. on Automat. Control. — 1974. — Vol. 19, No. 5. — P. 474—484.

17. Morse A. S. Global stability of parameter — adaptive control systems // IEEE Trans. on Automat. Control. — 1980. — Vol. 25, No. 3. — P. 433—439.

18. Morse A. S. High-order parameter tuners for adaptive control of nonlinear systems // А. Isidori, T. J. Tarh (eds). Systems, Models ant Feedbach: Theory and Applications. — Birkhausor, 1992. — P. 339—364.

19. Narendra K. S., Valavani L. S. Stable adaptive controller design — direct control // IEEE Trans. on Automat. Control. — 1978. — Vol. 23, No. 4. — P. 570—583.

20. Narendra K. S., Lin Y. H., Valavani L. S. Stable adaptive controller design. Part. 2. Proof of stability // IEEE Trans. оп Automat. Control. — 1980. — Vol. 25, No. 3. — P. 440—448.

21. Narendra K. S., Annaswamy A. M, Singh R. P. A general approach to the stability analysis of adaptive systems // Jnt. J. Control. — 1985. — Vol. 41, No. 1.

22. Nikiforov V. O. A stable gradient algorithm of adaptation using an output signal // Jnt. J. Adaptive Control and Signal Processing. — 1992. — Vol. 6, No. 3. — P. 265—269.

23. Красовский А. А. Некоторые задачи теории устойчивости движения. — М.: Физматгиз, 1959.

1. Миркин Б. М. Адаптивное децентрализованное управление с

модельной координацией // Автоматика и телемеханика. — 1999. — № 1. — С. 90—100.

8 (8512) 55-92-З1 E-mail: [email protected]

□

3G

CONTROL SCIENCES № 2 • 2OO5