Робастное децентрализованное управление с компенсацией возмущений нелинейными многосвязными объектами с запаздыванием по состоянию Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК [681.511.4:517.58] :004.8 ББК 32.816:[32.965.7:22.181]

Ю. А. Лежнина, Г. Н. Терновая

РОБАСТНОЕ ДЕЦЕНТРАЛИЗОВАННОЕ УПРАВЛЕНИЕ С КОМПЕНСАЦИЕЙ ВОЗМУЩЕНИЙ НЕЛИНЕЙНЫМИ МНОГОСВЯЗНЫМИ ОБЪЕКТАМИ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ ПО СОСТОЯНИЮ

Yu. A. Lezhnina, G. N. Ternovaya

ROBUST DECENTRALIZED CONTROL WITH DISTURBANCE COMPENSATION OF NONLINEAR MULTICOHERENT PLANTS WITH STATE LAG

Решается задача компенсации сигнальной и параметрической неопределенности для нелинейных многосвязных объектов при наличии запаздывания по состоянию. Синтезированы и обоснованы робастные децентрализованные алгоритмы стабилизации и управления с эталонной моделью, когда измерению недоступны производные входных и выходных переменных.

Ключевые слова: робастные системы, многосвязные объекты, локальные подсистемы, эталонная модель, децентрализованное управление, вспомогательный контур, компенсация возмущений.

The problem of compensation for signal and parameter uncertainty for the nonlinear multicoherent objects with state lag is solved. Robust decentralized algorithms of stabilization and control with reference model are synthesized and substantiated when input and output variables are inaccessible for measurement.

Key words: robust systems, multicoherent objects, local subsystems, reference model, decentralized control, auxiliary block, compensation for disturbances.

Введение

Исследование нелинейных объектов, функционирующих в условиях сигнальной и параметрической неопределенности, является актуальной проблемой современной теории управления. При этом синтез и обоснование работоспособности систем управления существенно усложняет наличие запаздывания. Один из подходов, дающих возможность компенсировать априорную неопределенность односвязных объектов, основан на использовании вспомогательного контура [1], который позволяет сформировать сигнал, содержащий информацию о возмущениях. Применение данного подхода для управления многосвязными системами дает возможность компенсировать с заданной точностью за конечное время действие взаимосвязей и неизвестного запаздывания [2, 3]. Обоснована работоспособность робастного децентрализованного алгоритма управления по выходу многосвязными нелинейными объектами [4].

В данной статье предлагается обобщение оригинального подхода [1] к нелинейным многосвязным системам при действии ограниченных внешних возмущений и неизвестного запаздывания.

Постановка задачи

Рассмотрим взаимосвязанную систему, динамические процессы в k локальных подсистемах которой описываются уравнениями

X (t) = Aixi(t) + КЛ(t -ti) + Yi (y)ct + Bisi (y)ui (t) + fi (t) + £ Sj-yj,

j=i,i*j (!)

yi (t) = LiXi i = 1, k,

где xt (t) e ^n - вектор состояния объекта управления; yi (t), ui (t) - измеряемые скалярные выход и вход i-й локальной подсистемы; f (t) e ^n - вектор неизвестных ограниченных возму-

щающих воздействий; матричная функция (у) и нелинейность а, (у) удовлетворяют ограни-

чениям предположений; с, - вектор неизвестных параметров; А, =

0,

х)1 7 кТ 1 1(п,-1)хСп -1)

_ -ащ -1 • • - а0

Я =

-1)хиг

ВТ = [0, ...,0, Ь0, ...,Ьт ], Ц = [1, 0,0] - матрицы, элементы которых

ёп[ -1 ё\

зависят от вектора неизвестных параметров X е х, такие, что выполняется

Ц (11 - А, )-1 В, = к,Я' (1) (1 - комплексная переменная в преобразовании Лапласа); X -

2,(1)

известное множество возможных значений коэффициентов полиномов ^ (1), Я, (1) и чисел к1

go,■ ■■, gn,-1; 1, - неизвестное время запаздывания, границы изменения которого известны.

Формулируются две традиционные задачи: задача стабилизации и задача слежения за эталонным сигналом.

1. Требуется синтезировать децентрализованную систему стабилизации, обеспечивающую выполнение целевого условия

|у, (*)| < 5, при * > Т . (2)

Децентрализованное управление для рассматриваемых систем определяется как задача нахождения к локальных блоков управления, каждому из которых доступна только текущая информация о системе.

2. Требуется синтезировать систему управления, обеспечивающую выполнение целевого условия

\е, (*)| = |у, (*) - Ут, (*)| <5, при * > Т . (3)

При этом желаемое качество переходных процессов в подсистемах задается уравнениями локальных эталонных моделей

2т, (Р)Ут, (*) = кт,г, (*), 1 = 1, к, ^ 2т, = п, - т,. (4)

Здесь (Р) - линейные дифференциальные операторы, такие, что полиномы 2т, (1) гурвицевы; Р = &— оператор дифференцирования; г, (*) - скалярные ограниченные задающие &

воздействия.

Предположения. А.1. Полиномы Я, (1) гурвицевы. А.2. Известны порядки полиномов 2, (1) = п,, deg Я, (1) = т,, относительная степень подсистем у, = п, - т, > 1. А.3. Возмущающие воздействия и п, - т, -1 их производных, выходные переменные эталонных моделей и п, - т, их производных являются ограниченными функциями. А.4. Не допускается использовать производные сигналов у, (*), и, (*). А.5. Элементы матрицы (у) удовлетворяют

глобальному условию Липшица. А.6. Нелинейность а,- известна, и а,- * 0 для любых у е ^ .

Система стабилизации

Преобразуем уравнение объекта управления (1) к виду

п п п к

а, (Р)у, (0 + О, (Р)у, (*-1,) = к,Я, (Р)а,и, (0 + XРп-1 I+ XРп-1/а + I (Р)уу (*). (5)

1=1 !=1 1=1 1=1,1*!

Здесь О, (^) имеет коэффициенты gn -1, ..., g0, deg О, = п1г-. Уравнение (5) позволяет применить известную параметризацию [5]. Для этого выберем гурвицевы полиномы Я, (1), М1 (1)

(б)

так, чтобы выполнялось М, (Р)2ш (Р) = 2, (Р) Я, (Р) + Л<2 (Р), где deg Я, (1) = п, - т, -1, degМ1 (1) = п -1 и deg ЛЦ- (1) = п, -1. Используя данное соотношение, приведем уравнение объекта управления (5) к виду

2ш (Р) у, (*) = к, а,и, (*) + Г ^№1 а,и,. (*) + ^,(Р) у, (*) + у, (* -1,) +

ш 1 111 {Мг (Р) 11 М, (Р) Л Мг (Р) 1 1

+ ^Р)^(*) + I у

М,(Р) Л 7 ^]М,(Р)

где N(1) - остаток от деления к, Я, (1) Я, (1) на М, (1), N^(1) = Л0, N^(1) = О1,-(1)Я,- (1), N4,- (1) = Я, (1), (1) = ^ (1)Я, (1) - полиномы степеней п, - 2, п, -1, пь- -1, п, - т, -1, п, -1

п п п

соответственно; (*) = IР"-‘ I ^,,,с, +1Р"-' /и - ограниченные сигналы в силу сделанных

'=1 у=1 '=1

предположений.

Для компенсации возмущающих воздействий используем оригинальную схему управления [1]. Выберем локальный закон управления в виде

и, () = а, /ктгаг п, (*). (7)

Здесь а, > 0; V,- (*) - дополнительное управляющее воздействие. Тогда из (6) получим уравнение замкнутой системы (Р) у, (*) = V, (*) + ф, (*), где

— 1

k

V mi J

v

■ Nu(P) .. N2,(P) ,ч N3,(P) , 4 N4,(P) ,4 k S, (P)

f, = ----SU, (t) + —----y, (t) + —-----y, (t-t ) + —-Z, (t) + V —---------y.. +

Mi (P) гг W Mi (P) f Mt (P) lJ Mt (P) 1 J=^JMl (P)

В сигнале f, (t) сконцентрированы все составляющие, действие которых желательно скомпенсировать. Для этого сигнал нужно выделить. Введем вспомогательный контур

Qm, (P)y, (t) = V;(t)

и составим уравнение относительно сигнала рассогласования J, (t) = y, (t) - y , (t). Тогда

Qmi (P) J, (t) = f, (t) . Если измерению доступны g, производных выходного сигнала y , (t), то,

задав закон изменения вспомогательного управляющего воздействия в виде

V, (t) = —Qm, (P)J, (t) = -f, (t), (8)

получим уравнение замкнутой системы

Qm, (P)y, (t) = 0. (9)

Из (8) видно, что если к,а, fkmi — 1 < 0, то замкнутая система будет содержать положительную обратную связь, т. е. будет структурно неустойчивой, и поэтому коэффициент a,

выбирается из условия inf k, a, — kmi > 0 .

к eS

Покажем, что все сигналы в замкнутой системе ограничены. Из (9) имеем, что сигнал y, (t) и g, его производных ограничены. Тогда из условий предположений и гурвицевости

1 N2,(P) ,ч N3l(P) , . N4,(P) .. k S,] (P)

M, (l) получаем, что f ----------y , (t) +—3--y , (t — t,) +—---z , (t) + V —-y. есть

1 Т1г Mt (P) m ., (P) Mt (P) г m, (P) ]

величина ограниченная. Далее необходимо показать ограниченность выбранного управляющего воздействия. Для этого подставим выражение f, (t) в (8) и разрешим полученное уравнение относительно V, (t) :

V, (Г) = ■

Фи (0 +

^,(Р) М , (Р)

о,и, (0

(10)

Подставим значение (10) в уравнение (7), а затем относительно и, (г) получим N (Р) Я (Р)О (Р)

к,ъ,и,(г) + М(Р) °,и, (г) = к, М (Р) °,и,(г) = -ф1,(г)- ТогДа из гурвицевости М ,(1), Я,(1),

О, (1) и ограниченности ф^ (г1) следует ограниченность локального управляющего воздействия и , (г). Так как по условию сформулированной задачи измерение производных недопустимо, сформируем локальный закон дополнительного управляющего воздействия V, (г) в виде

V, (г) = -еш (Р)Ф, (г),

(11)

где Ф, (г) является оценкой функции Ф, (г). Из выражения (11) видно, что для реализации закона управления (7) требуется получить оценку сигнала рассогласования и у, его производных. Для этого воспользуемся наблюдателем [6]:

С, (0 = Со, С, (0 + Н, (Ф,-Ф,),

ф,= А» С,, ,= 1, м .

Здесь Яу; Ао, = [1,0, .„,0]; Н, =

"-Нк. - " = 1 7 0 1 ; вектор Н выби

_ - ’ " -у _ 0 0

рается так, чтобы матрица С, = О0,- + НА была гурвицевой, где НТ = \^НЬ,..., Ну ^; -> 0 -

малое число. Очевидно, что теперь закон управления технически реализуем, т. к. содержит известные или измеряемые величины.

Утверждение 1. Если выполнены предположения, то существуют числа ^-0 > 0, Т > 0 такие, что при — <—0, Т > Т алгоритм управления (7), (11), (12) обеспечивает выполнение целевого условия (2).

Следует отметить, что, выбирая величину — малой, можно добиться наперед заданного значения величины 5 из целевого условия (2).

~ (У-1) '

Ф, (г),Ф, (г),..., Ф, (г)

Доказательство. Введем вектор 0г- (г) =

и вектор отклонений

производных от их оценок л, (г) = Г1 (С, (г) - 0,- (г)), где блочно-диагональная матрица г, = ^{т^-1, -у-2,..., -, 1] , и из уравнения (12) получим

1 (у)

л,(г) =-О,Л,(г) + Ь0, Ф, (г),

т

А(г) =Ф, (г)-Ф, (г) = -у'-1А,,л, (г),

где Ь, = [0, ..., 0, -1]. Тогда, принимая во внимание, что дополнительное управляющее воздействие формируется в виде (11), преобразуем уравнение замкнутой системы (6) к виду

Х, (0 = Ат,Х, (г) + -У 1ь, ЧТт,А, (гX У, (г) = А,Х, (гX

-111, (г) = О Л, (0 + -2Ь0, Ф,(г X А, (г) = -у А0,Л, (г), ,= 1, к,

к

где Л, (ґ) = сої(цю(ґ), цп(ґ), ..., цІУі (ґ)); цік(ґ) = Ркл,(ґ); Ц = Мз = т; АШ, - гурвицева числовая

матрица, заданная в форме Фробениуса, сопровождающая полином Qmi (1); Ь, = [0,..., 0, 1]; цті - вектор, элементы которого являются коэффициентами полинома Qmi (1). Получили сингулярно возмущенную систему, т. к. т - достаточно малое число. Воспользуемся леммой [7].

Лемма [7]. Если система описывается уравнением х = /(х, т1, т2), х є Ящ , где /(0 -непрерывная функция, липшицева по х, и при т2 = 0 имеет ограниченную замкнутую область диссипативности Оі ={х | Р(х) < С}, где Р(х) - положительно-определенная, непрерывная кусочно-гладкая функция, то существует т0 > 0 такое, что при т2 < т0 исходная система имеет ту же область диссипативности П1, если для некоторых чисел (21 и Ц1 при т2 = 0 выполнено условие

8Ир

Ц1 |<Й

<-(С1, при Р(х) = С. (14)

В данном случае при т2 = 0 в (13) имеем асимптотически устойчивую систему по переменным х, (г) и л, (г), поскольку матрицы Ат,, О, - гурвицевы. Получили ситуацию, которая имела место при измерении производных, т. е. Нш у, (г) = 0. Было показано, что при этом условии все сигналы в системе ограничены. Следовательно, существует некоторая область О={х, (г), л, (г): Р(х,,л, ) < С1 ], где сигналы х, (г), л, (г), Ф, (г) не выходят за ее пределы при некоторых начальных условиях из области О. Очевидно, что условие (14) выполнено, если в качестве р взять функцию Ляпунова

к / \

V(х, (гХл,(г)) = X (хТ(г)н1,х,(г)+лТ(г)н2,л,(г)), (15)

,=1

где положительно-определенные симметричные матрицы Н^, Н2, определяются из решения

ТТ уравнений Н1,Ат, + Ат,Н1, =-р1,1 - &,, Н2,С, + С, Н2, =-Р2,7 - &,, где 1 - единичная матри-

ТТ

ца соответствующего порядка; рь- > 0, р2, > 0 , 01,- = 01,- > 0 , й2, = й2, > 0 . Таким образом,

в соответствии с леммой, существует —0 > 0 такое, что при — < —0 областью диссипативности

системы (13) остается область О. Тогда, принимая во внимание гурвицевость матриц О,, Ат,,

(У,) ,

Ф, (г) < к3,, 8ИР |А,| < к4,.

г

Однако необходимо отметить, что сохранение области диссипативности не гарантирует, что множество притяжения О останется в сингулярно возмущенной системе тем же. Вычислим полную производную от функции (15) на траекториях системы (13), положив —1 = —2 = —0 .

к I 2 —

^х,(гХл,(г)) = X (-Р1,11х,(0|| -хТ(гШ,х,(г)+2хТ(г)Н1,—ъ~%чтшА,(г) -,=1

р2 - II ||2 1 Т Т (У) ^

-— л,(г)2------лТ(г)02,л,(0 +2лТ(г)Н21Ъш Ф (0

—0 —0

Воспользуемся оценками

2—0'-1хТН1,Ь,ЯТшА, < —0'-1 IIН1,Ь, 112 |\Ят, 112 |Iх, 112 + —0'-1 |А, |2 к4, < —0'-1 IIН1гЬ, 112 |Iх, 112 + —0'-1к4, ,

получаем зир

Ґ

Т {Ъ) 1 и ||2„ „2

2Л/ Я2/Ь0/ А (г) < — \\Н2,К\\ Л/ + Ц0 т0

(У)

А (г)

1 II ТТ 7 1|2 И ||2 , 2

< — Н2/Ь0^ Л/ + ^*3/ то

-X, (^)еих1- (^) < -1 т;„ (бц ) X/ (О <

2^ 1т1л (б1/) Т

^тах (Я1/ )

хг (Г)Яц-Х (г),

-Л/ (г)б2/Л/ (г) < -1тт б ПЛ/(0 <

^тах (Я2/ )

Л/ (г)Я2/Л/(г).

Тогда

* ^ 1|2 '

Л/II

V V

/=1

Р 5/ 1 I \я и II2

- IIя 2/и0/

2т0 т0

+|Х/1121Р4--т0--^|Я1Д.||2|Ы|2 ]-т0-14 -т0*з2.

Всегда существует число т0 > 0, обеспечивающее положительность чисел в скобках.

^тт (б1/) ^тт (б2/ )

_ ^тах (Я1/ ) ^тах (Я2/ ),

. Решим полученное

т0

Тогда К<-о1К + X (т0 1*4г +т0*32 ), где 01 = тт

/=1

и * I \

неравенство V(х/(г), Л/(О)<V(0,0)е_01? + —0X(т0/- *4/ + *3/), откуда видно, что, выбирая

00 /=1

достаточно малым числом, получим область притяжения

Ц = I X/(г),Л/(г): V(X/(г),л,(г))<-^°X(т0"24 + 4)1

I 00 /=1

Следовательно, целевое условие (2) выполнено. Отметим, что изменяя т<т0, можно получить требуемую величину 5 в целевом условии.

Система управления с эталонной моделью

Принимая во внимание уравнение эталонной модели (4) и параметризованное уравнение объекта (6), составим уравнение для ошибки е/ (г) = у/ (г) - ут/ (г):

б™(р)е,(г) = *,0,и,(г) +

,ч Н2, (Р) ,ч НЪ, (Р) ,

о/и/ (г) + ——у. (г) + —-------------------у. (г -г) +

11 Мг (Р) 1 Мг (Р) 1 1

+МР * (') - ^ (') +х * (Р)

, =тг< ,м/ (р)

у,

где N1. (1), Ы2/ (1), N3^ (1), 3, (1) - полиномы степеней п/ - 2, п/ -1, п/ - т. -1, п. -1 соответственно. Выберем локальный закон управления в виде (7). Тогда получим уравнение замкнутой системы бт/ (Р)е. (г) = V/ (г) + ф/ (г), где сигнал ф/ (г) содержит все компоненты, действие которых на ошибку желательно скомпенсировать:

V,.

ф щ (Р) о и + н21 (Р) у + N3/ (Р) у. + N3/ (Р) _ * „ + ^(Р) у Л

ф-- =-----o1u1 +-------у/ +--------у/ (г-г) +-*■ - km1r1 + X ---------------------у, +-1

^ Мг (Р) 11 Мг (Р) Мг (РУЛ Мг (Р) / ml1 , ^ ,М/ (РУ] V ^ J

Выделим сигнал с помощью вспомогательного контура

бт/ (Р’)е/ (г) =П /(г)

и составим уравнение относительно сигнала рассогласования А/ (г) = е/ (г) - ё- (г), тогда (Р)А/ (г) =ф/ (г) .

2

Л

Если измерению доступны у, производных сигнала рассогласования, то, задав закон изменения вспомогательного управляющего воздействия в виде (8), получим уравнение замкнутой системы

еш (Р)е, (0 = о. (16)

Все сигналы, включая управляющее воздействие, в замкнутой системе (16) ограничены. Это следует из сделанных предположений и рассуждений, проведенных при доказательстве ограниченности сигналов в системе стабилизации.

В связи с тем, что по условию сформулированной задачи измерение производных недопустимо, сформулируем локальный закон дополнительного управляющего воздействия V, (г) в виде (11), где оценка сигнала рассогласования получена с наблюдателя (12). Очевидно, что теперь закон управления технически реализуем, т. к. содержит известные или измеряемые величины.

Принимая во внимание то, что дополнительное управляющее воздействие формируется в виде (4), преобразуем уравнение замкнутой системы в векторно-матричную форму. В результате получим следующую систему уравнений замкнутой системы:

е,(г) = Ат, е,(г)+-адА, е(г)=це,.(гх

(у)

< ^1Л/(г) = РЛ,(г) + Мо, Ф(г), (17)

а, (0 = тъЦ),Л, (г), , = 1, к,

где А,(г) = со1 (л,о(г),Ля(0, • •■,ЛгУг(г)); Л,к(0 = РкЛ,(г).

Для уравнений (17) справедливо утверждение 1 с заменой целевого условия (2) на (3) и доказывается оно аналогично. Таким образом, система сохраняет свойство диссипативности, несмотря на то, что структура управления осталась неизменной.

Пример

Рассмотрим динамическую систему, состоящую из двух подсистем:

к

х,() = А,х,(г) + К ,х,(г - х,) + (у)с , + В,0,(у)и ,(г) + / ,(г) + X Уу(г),

У=М* У

у, (г) = ц,х, (г), /■ = 1,2,

ln(2 y 2) sin y i 'О 1 О" 'О 1 О" 'О О О"

Y ( y ) = ln(2 y 2) sin y , Al = 0 О 1 , A2 = 0 О 1 , Kl = K2 = 0 О 0

ln(2 y 2) sin y З З —20 10 1З —16 1 1 1

а,(y) = 2y2, S'j = З, fl(t) = З + sin0,lt + sinlOt, f2(t) = 2 + sinO^t + sinlOt,

'О" 'О"

'1" 'З"

В = 0 , В2 = 0 , с1 = 2 , с2 = 2

9 11 L J L

Задан класс неопределенности

a, < a, < a,, bt < bt < bt, t, < t, < t,, a, = —З0, a, = З0, bt = 2, b, = 10, t, = 1, t, = З .

2

Уравнения эталонных моделей имеют вид (P + 2P +1)ymi (t) = rt (t), rt (t) = 1 + sin 0,6t. Уравнение вспомогательного контура (P2 + 2P +1) y, =v7 .

Взят наблюдатель С =

"0 1" С/ + " 3 3 "

0 0 _ т т2 _

(ф (;) -ф), ф =[1 о] С/

Закон управления формируется в виде и/ (0 = -аг/2у/2 (СДО + 2^(0 + С2(0) •

Начальные условия аг- = 1, т = 0,01, у1 (0) = у1 (0) = у1 (0) = 2, у2 (0) = у2 (0) = у2(0) = -1.

На рис. 1 приведены результаты моделирования системы стабилизации, на рис. 2 - переходный процесс по ошибке в случае слежения за эталонным сигналом.

Рис. 1. Траектории выходов

0,15

0,1

0,05

0

-0,05

-0,1

е2

с 1 1 1

10

20

30

40

Рис. 2. Траектории ошибок

Рассмотренные примеры подтверждают теоретические выводы.

Заключение

Таким образом, в классе алгоритмов робастного управления предложен подход, позволяющий решать задачу стабилизации с компенсацией возмущающих воздействий для многосвязных систем, когда измерению недоступны производные входных и выходных сигналов локальных подсистем. При этом исключено формирование вектора регрессии, что значительно понижает порядок замкнутой системы. К недостаткам предлагаемого алгоритма следует отнести отсутствие аналитически обоснованного выбора параметров т и аг-. Однако они легко подбираются на этапе проектирования при моделировании таким образом, чтобы обеспечить заданную динамическую ошибку.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Цыкунов А. М. Алгоритмы робастного управления с компенсацией ограниченных возмущений // Автоматика и телемеханника. - 2007. - № 7. - С. 103-115.

2. Паршева Е. А., Лежнина Ю. А. Робастное децентрализованное управление с эталонной моделью многосвязными объектами с запаздыванием по состоянию с компенсацией возмущений // Вестн. Астрахан. гос. техн. ун-та. Сер.: Управление, вычислительная техника и информатика. - 2011. - № 1. - С. 69-76.

3. Лежнина Ю. А. Робастное управление многосвязными объектами с запаздывающим аргументом // Приборы и системы. Управление, контроль, диагностика. - 2011. - № 5. - С. 12-16.

4. Паршева Е. А., Лежнина Ю. А. Робастное децентрализованное управление с компенсацией возмущений нелинейными многосвязными объектами // Мехатроника, автоматизация, управление. - 2011. -№ 6. - С. 2-7.

т

5. Мирошник И. В., Никифоров В. О., Фрадков А. Л. Нелинейное и адаптивное управление сложными динамическими системами. - СПб.: Наука, 2GGG. - 55G с.

6. Atassi A. N., Khalil H. H. A separation principle for the stabilization of a class of nonlinear systems // IEEE Trans. on Automatic Control. - 1999. - Vol. 44, N 9. - P. 1672-1687.

7. Брусин В. А. Об одном классе сингулярно возмущенных адаптивных систем // Автоматика и телемеханика. - 1995. - № 4. - С. 119-127.

Статья поступила в редакцию 11 .G3.2G12

ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРАХ

Лежнина Юлия Аркадьевна — Астраханский государственный технический университет; канд. техн. наук; старший преподаватель кафедры «Информационная безопасность»; [email protected].

Lezhnina Yulia Arkadievna — Astrakhan Stаte Techn^l University; Candidate of Techn^l Sciences; Senior Lecturer of the Department "Information Security"; [email protected].

Терновая Галина Николаевна — Астраханский государственный технический университет; канд. техн. наук; доцент кафедры «Математика в инженерном образовании»; [email protected].

Ternovaya Galina Nickolaevna — Astrakhan Stаte Techn^l University; Candidate of Techn^l Sciences; Assistant Professor of the Department "Mathematics in Engineering Education"; [email protected].