CC BY
51
УДК 62-506
Е. А. Паршева Астраханский государственный технический университет
АДАПТИВНОЕ РОБАСТНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ПО ВЫХОДУ НЕЛИНЕЙНЫМ МНОГОСВЯЗНЫ1М ОБЪЕКТОМ
Введение
Задача адаптивного управления со скалярными входом-выходом стала одной из классических задач современной теории управления [1-10]. Наиболее известным способом ее решения является метод расширенной ошибки, предложенный в [1] и обоснованный в [2-5]. Подробный обзор по различным схемам расширения и обширная библиография представлены в [6]. Алгоритмы настройки параметров управляющего устройства работают при этом на основе информации о расширенной ошибке, которая является суммой истинной ошибки и специально сгенерированного сигнала расширения.
В данной статье предлагается модифицированный алгоритм высокого порядка [11] для многосвязной системы с неизвестными параметрами, в котором оцениваются производные регулируемой переменной, что позволяет существенно понизить порядок замкнутой системы за счет исключения вспомогательных фильтров. В [2], в отличие от [11], для оценки производных регулируемой переменной используется наблюдатель с большим коэффициентом усиления. При этом для формирования управляющих воздействий используются только измеряемые переменные локальных подсистем, т. е. осуществляется полностью децентрализованное управление.
Постановка задачи
Имеется взаимосвязная система, состоящая из к подсистем, каждая из которых описывается уравнениями
( к \
а- (Р)у, (і) = к,Я, (Р)
Щг (і) + У г (Уг ) + /г (і) + X У*г] ({)
V ]=1г*]
(1)
вг(Р) У г (і) = Ку(Р) У] (і X г * і . (2)
Здесь Р = - оператор дифференцирования; в, (Р), Я (Р), в, (Р),
Я, (Р) - линейные дифференциальные операторы с постоянными неизвестными коэффициентами; deg в, = п,; deg Я = т,; deg в, = П]; deg Я] = т]; в, (Р), Я, (Р) - линейные дифференциальные операторы, элементы которых зависят от вектора неизвестных параметров Хєх ; х — известное множество возможных значений вектора X; Щ (і) — скалярное управляющее воздействие; у, (і) — скалярная регулируемая переменная
і-й подсистемы, доступная измерению; у, (у,) - неизвестная нелинейная
функция; fi (t) - неизвестное ограниченное возмущающее воздействие. Уравнение (1) описывает динамические процессы в локальных подсистемах, а (2) - в перекрестных связях.
Формулируется классическая задача управления с эталонной моделью, а именно: требуется построить систему управления, обеспечивающую выполнение целевого условия без измерения производных выходно-
го сигнала yi (t)
lim|ег (t)| = lim|y i (t) - ymi (t)| < 5, (3)
t--¥ t-----
где 5 - достаточно малая величина; ymi (t) - скалярный выход локальной эталонной модели, переходные процессы в которой описываются уравнением
Qmi (P)Ут1 (t) = Rmi № (t). (4)
Здесь Qmi (P) и Rmi (P) - линейные дифференциальные операторы порядков nmi и mmi; rt (t) - ограниченное задающее воздействие.
При этом в локальных подсистемах управления не допускается использовать измеряемые величины других подсистем.
Предположения:
А1. Полиномы Ri (l), Rmi (l), Qmi (l) гурвицевы (l - комплексная переменная в преобразованиях Лапласа), причем операторы Qi (l), Ri (l), Qmi (l), Rmi (l) нормированы, т. е. коэффициенты при старших производных равны единице.
А2. Известно множество х .
А3. Известны порядки полиномов ni, mi и относительная степень
Pi = ni - mi > 1.
А4. nmi < ni, mmi < mi .
А5. Выходы эталонных моделей ymi (t) и их производные, а также задающие ri (t) воздействия являются ограниченными величинами
|ymi (t)| < const, l1 = 1,ni - mi -1; |rl (t)| < const.
А6. yi (yi i < ji(yi), ji(yi) > 0, ji(yi) * ^ \ fi(t^ < 51i, 51i > 0.
А7. Коэффициенты полиномов Rsij (P), Qsij (P) неизвестны, но такие, что полиномы Rsi]- (l), Qsi]- (l) - гурвицевы.
А8. Известен знак коэффициента ki. Будем считать ki > 0 .
Метод решения
Сформируем уравнение ошибки ei (t) = yi (t) - ymi (t), вычитая (4) из (1):
Qi (P)ei (t) = kiRi (P)
ui(t)+yi(yi)+fi(t) + E yi(t)
V ]=1,i*]
+ (Qmi (P) - Qi (P) )ymi (t) - Rmr № (t).
+
Рассмотрим выражение, стоящее под знаком суммы в (5): к к к Е У* «) = Е О— (РЖу (Р)У у«) = Е О— (Р)Ки (Р)(Ут (<) + е; (*))•
]=1,г*] ]=1Л* ] ]=1,г*]
Величины ут] (^) ограничены, т к задающие воздействия г] (^) - огк
раниченные функции, тогда уш (I) = Е 0- (Р)К- (Р)Ут] ({) - естЬ веЛи-
]'=и* ]'
чины ограниченные, т к нули и полюса передаточной функции
2— (1) Яу (1) лежат в открытой левой полуплоскости
В силу предположений А5 и А6
величина
А-V) = / ({) + 0т (Р) , 0 (Р) Ут (0 - /т Г ({) + У1« (^ является ограни-
кД (Р) кД' (Р)
ченной^ Введя переменные У2-] ^) = 0- (Р)Я] (Р)в] ^), получим уравнения
•&г] = + Р^уе] , У2^у = г] , г = 1, к,
где АЯ]., 5Я]., Ьу - матрицы минимальной реализации в пространстве состояний передаточной функции О-(1)Я..(1) • Тогда уравнение (5) примет вид
й- (Р)в, (Ґ) = к,Я, (Р)
и
(0 + ^. (І) + Уі (У і) + Е У2ЯЇ ^) ]=1,і* ]
(6)
В соответствии с подходом, представленным в [11], зададим закон управления в виде
иг 0) = -0г Тг (Р)ег (0 + М-гФг (У г ^п(е- ) , (7)
где т - настраиваемый параметр; число 0г > 0 и линейный дифференциальный оператор Т (Р) (deg Т = пг - тг -1) выбираются из соображений
гурвицевости полинома
0ог(1) = 0, (1) + к, 0-Я- (1)Т (1), (8)
а функция ег (^) является оценкой е г (^) •
Для реализации закона управления (7) требуется получить оценку ег (^) и ее пг — тг — 2 производных, для чего воспользуемся наблюдателем [12]
& = р0і Є + Ні(е і — ЄX Є = р0і Є,
(9)
где
Єі-Є Яп—т; Ьо- = [1, 0, к , 0]; И] =
" Ьі Ь " П- -т - • Я = ’ Г0і 0 1п і —ті —1
_ Рі” •• , р п—т_ 0 0
Рі > 0 - малое число; вектор Иі выбирается таким образом, чтобы матри-
что закон управления технически реализуем, т. к. содержит известные или измеряемые величины.
Утверждение. Если выполнены предположения А1-А8, тогда закон управления (7) с наблюдателем (8) и алгоритмами настройки
обеспечивают ограниченность траекторий системы (1).
Следует отметить, что выбирая число 0г- большой величиной, а величину Ь малой, можно добиться выполнения целевого условия (4).
Доказательство. Подставляя ui ^) в уравнение (6), с учетом (8), получим
Теперь представим последнюю модель вход-выход в векторноматричной форме:
где % е Яп‘ т - вектор, компонентами которого являются коэффициенты полинома 0Т (Р); Л^ - гурвицева матрица в форме Фробениуса с характери-
Л^- е Яп,В^ е Яп - неизвестные числовые матрицы; Ц = [1, 0, ... , 0], Ц = [1, 0, к , 0] - матрицы строки соответствующих порядков; е1г- - составная часть вектора состояний, а именно еТ = [е^, е^]:
т =-р К- -ж, т (0) = о,
(10)
б 0- (Р)е- (г) = к 0г Я, (Р)Т (Р)(к (Ґ) - К (0)+
+ к,Я,(Р) тгфг (У і¥8П(К) + ^ () + у(у,) + ЕУ2а'у(і) •
]=1
К = Ц е, Л
А = А э + В е , у*. = Цэ , і = 1, к, (12)
]]’ Мэг] у г] ’ ’ ' '
(12)
стиЧеским полиномом бог (1) ; В = [0, к , 0, Ь0г, к , ЬИг ] ; А] Є ^ ; У2я]' Є Я
( к )
+ В1 іЬ0і тФг (У і )®ІВп(еі ) + У і (У і ) + ^ (0 + Е У2Аі] , К = ^0 іЄ1і>
Є 2i = A2i Є2і + B2i< (Єї,- "Є,- ) + B2i
( к ^ m, ji (Уі )sign(ei ) + y, (y, ) + (t) + E У2 si]
V ]'=U* ] У
где 513^ = [0, к , 0, 1]; є1г- є Я"' т ; є21і - первая компонента вектора є2г-;
^ =[*!,■, к , Ьт, ] .
Следуя [12], введем в рассмотрение вектор невязки ^г-, составляющие которого определяются по формуле
hi
= ^M l = 1, P,
Pi1
или в векторно-матричной форме Dihi = є1г- - Є,, где D, = diag{(3”i щ 1, ... , P,, ї}. Тогда производная от вектора невязки примет вид
ТІi = D,_1(F0i - HiL0i )Dihi + D-lB1ie21i .
Структура матриц F0i, B1i, D,, H, такова, что
D"1 (Foi - HLoi )D, = P- F-, Di-1Bii = B„,
т. е. последнее уравнение примет вид
+ B1ib0i
ТІ, = P- Fhi + B1, (Є21, + b0,< Di hi ) +
Г к Л
m, j,( y, )sign(e,) + y ,■( y,) + J(t ) + E у 2sij
1=и*1 y
(13)
Введем расширенный вектор состояния zi = ео1(£г-, ^) и запишем уравнения (11), (13) в составной векторно-матричной форме:
zt =р- ApiZi + B2 p,
"Dihi + m i ji( y, )sign(ei ) + y i( y,) + J(t) + E У 2
Si]
j=1 y
+
+ B1 piЄ 21i, epi = Lpizi,
(14)
где числовые матрицы Api, B1 pi, B2pi, Lpi имеют вид
Ap, =
Mo, 0 ■ _ 0 F, _ , B1 pi = " 0 " .Bu _ , B2 pi = ' B, ■ _b0iB1i _ , Lpi = "L 0 -.0 V
при этом матрицы Api будут гурвицевы.
Возьмем функцию Ляпунова в виде
v=£ jzT(t)H1z1 (t)+p-(m(t)-me-)2 + £4psjsj}, (15>
где к, > 0; H, Psj]- положительно-определенные симметричные матрицы, которые удовлетворяют матричным соотношениям:
Поскольку матрицы Лр1 и Л^ гурвицевы, то существуют матрицы Н и Р^ , удовлетворяющие матричным соотношениям (16).
Вычислим полную производную от функции (15) на траекториях системы (14), (12) с учетом (16):
Тогда, выбирая алгоритм настройки параметров согласно уравнению (10), получим
Принимая во внимание предположения А5 и А6, воспользуемся известными оценками:
(16)
- (т, -тс,- )тг <-— (т, -тс,- )2 +— то,->
К К К
- 2(т,- тс, )|е , I < 2Іт,- тс, IIе, |> ° = й, + Яо, >
-2]я^ <-1т1П(б1,)|Ы2 її2
1 тах (Н, )
гГ 02,г, —
УгН,В2 р,\
-=Хи№н А
1
2р| ’ %1г БїрДЯ-НАор,
Т II 1|2 || ||2 I |2 у II ||2
Ріг 2і 2і — Ріг К — Ріг Г,' — Ріг \Єі\ , р2г 7,і 7,і — р2г К ,
2 іТНА
і , 2 рі
т,Ф,(у, )®1§п(е,') < 2| ^Н ¡В2 р, ||т, |ф,-(у,) =
= -2 гі НА
Тн,в2 р, |т,Ф,(у, X т к т, <с,
Т
і ± ± 1^2рі І
2гТН,В2р,у, (у,) < 2гТН,В2р, |Ф, (у,),
2 гТ
НіВ2р,Ъ, () < 2|£НіВ2р, || А-1, &,] = 01, + 02зі] ,
2 < 1 тт(0Ы] Хі II2
- Эг, й],, < -1 тіп (ЯШ Я Э Л < -
1 тах (Рзі, )
в1 р о р В
э і] 2э і] эр і]
г
зР В .. С =---------------------------------------------
У Щ зі] І ’ А*'2У вТ р о-1 р В
2 з г] ьру
з,
2^ НгВ2р,У2*г] £ 2*>' Н Врг\\У2
24РЛе1 £ 2|^^гВ^, [
Т II ||2 | |2
Р^уЛ' ^Р*у|Ы| ^Р^у|У2^у| ,
где 1 т1П, 1 тах - минимальное и максимальное собственные числа соответствующих матриц. Учитывая приведенные оценки, из (17) получим
(л , Л
V < Е-і-а^ - -і Р 2, - 21тах(Н, )(і + ||В2, ||||х,
,=1 I V Р,-
I ||2 У, 2 Рі, I |2
г +—т0, -р-е -К, р,
- 2г (т,- т с-)2 + +2 т,- тс, IIе, I- р- Си\гун,В2 р, \
т
Л
- 2| гТН А р, |Ф, (у,)
+ Е ^ 2| гіНіВ2 р,||у2зу|-Рзу|у2зу| -Х 2у\3і]Рзі]Взі]\ + 2|5у Рзі]Взі] ||Є,
Ф, (у, ) у 2
2
2
2
2
2
где a = min <
1 min (Q1i ) g i 1 min(Qlsij )
bi 1 max (H i )’ 2’ 1 max(^y )
Вводя обозначение m0 = 1 +
J
ji( Уі)
и дополняя соответствующие
слагаемые правой части до полного квадрата, получим
к Г ( i / .... Л
,Р
V < ]Г j-aV - |-b- Р 2i - 21 max (H i )(l +|\B2 J |t 1|)||| z\ f + ^ Ц 0, - ' -
J я,. 2Ьг
mi -mо, zfH,B:
2 .pi I
4p; ji(yi) j,(y,)
m, -m оіі
^hb p,\
k (
- I
j=1
Xli\zTHB^ I-
2bi
"і i 2 pi
ІЖ
Ci,
2
J2s
- I
k ґ 2p,
Psj-------“
1 X
\
У 2sij\
k ______ 1
I VC 2ij j Sij Psij Bsij\ 7= I
V%2,]
1=U*1
1=1,i*j V A.1i J
p1i - ^ 1
4p 1=1,i* j X2 ji
Если выбрать число b, из условий
g iPn g i Xn ps1 Хи V P1 iC 2 j.
21 max(H, )( + | B2 pj|| ti|| ) ’16P ’8p j2(y, ), 2 , j-1* j 4
то получим
V<I -j -aV-■p1L\ei12 + ^-m 1=1 l 2pi pi
Если к |2 > —m0;, то имеем V <-aV, откуда следует оценка
Pii Ki
kl < 1 L~m2 . Следовательно, изменяя Р; и к;, можно получить тре-
V Pi- К
буемую величину 8 в целевом условии (3).
Пример
Рассмотрим объект управления, который описывается уравнениями
(р3 + a3P2 + a2 P + О1 )y1 (t) = k («1 (t ) + y ( У1 ) + / (t) + уХ12 (t)), (p3 + a6P2 + a5P + a4 )У2 (t) = k2 («2 (t) + У 2 (У2 ) + f2 (t) + ys21 (t)),
2
2
e
e
2
ys12
1 + 2
5
1 +1 +1
Уі>
где yi (y) = 20y3, y2(y2) = 20y4 .
Класс неопределенности x задан неравенствами: -11 < al < 11, l = 1, ... , 6, 1 < кj < 5 , j = 1,2 . Параметры локальных эталонных моделей
Qmi (P) = P +1, Rmi (P) = 1. Возмущающее и задающее воздействия соответственно равны:
f1(t) = sin2t, r1(t) = 1 + 0,5sin0,8t, f2(t) = sin t, r2(t) = 1 + sin0,7t.
Выберем полином T (P) = P2 + 4P + 3 и число 0г- = 20 , i = 1,2 . Тогда полином Q0i (l) гурвицев для любых al и kj из заданного класса X .
Параметры фильтра оценки (9): Hi = [300 3 • 104 1 • 106 ] , b = 0,01,
тогда матрица
"0 1 0" "- 3" "- 3 1 0"
F - F + ВТ - Л /0i т 0i 0i 0 0 1 + - 3 0 ,0 , - - 3 0 1
0 0 0 -1 -1 0 0
гурвицева.
Траектории ошибок На рисунке приведены результаты моделирования системы стабилиза-
I |3 її і 14
ции, когда ф1(у1) = 1 + 20у^ , ф2(у2) = 1 + у2 + 20у2 , а1 = а3 = а4 = а6 = 6, к = 2, а2 = 1, а5 = -11, к2 = 1 и использован алгоритм настройки (10) с параметрами р = 10, у і = 1.
3
Заключение
В классе алгоритмов робастно-адаптивного управления предложен подход, позволяющий решать задачу управления с эталонной моделью для многосвязных систем только по измерениям выходной переменной, и по сравнению с известными алгоритмами исключены фильтры, через которые пропускаются все компоненты вектора регрессии, за счет чего существенно уменьшается порядок замкнутой системы.
Моделирование синтезированных систем подтвердило теоретические результаты, что проиллюстрировано на примерах.
СПИСОК ЛИТЕРА ТУРЫ
1. Monopoli R. V. Model reference adaptive control with an augmented signal // IEEE Trans. on Automatic Control. - 1974. - Vol. 19, N 5. - P. 474-484.
2. Narendra K. S., Valavani L. S. Stable adaptive controller design - direct control // IEEE Trans. on Automatic Control. - 1978. - Vol. 23. - N 4. - P. 570-582.
3. Narendra K. S., Annaswamy A. M., Singh R. P. A general approach to the stability of adaptive systems // Int. J. Control. - 1985. - Vol. 41. N 1. - P. 193-215.
4. Feuer A., Morse A. S. Adaptive control of single-input, single-output linear systems // IEEE Trans. on Automatic Control. - 1978. - Vol. 23, N 4. - P. 557-569.
5. Morse A. S. Global stability of parameter-adaptive control systems // IEEE Trans. on Automatic Control. - 1980. - Vol. 25, N 3. - P. 433-439.
6. Никифоров В. О., Фрадков А. Л. Схемы адаптивного управления с расширенной ошибкой. Обзор // Автоматика и телемеханика. - 1994. - № 9. - С. 3-22.
7. Morse A. S. High-order parameter tuners for adaptive control of nonlinear systems // Isidori A., Tarn T. J. (eds) Systems, Models ant Feedbach: Theory and Applications. Birkhausor. - 1992. - P. 339-364.
8. Nikiforov V. O. Robust high-order tuner of simplified structure // Automatica. -1999. - Vol. 35, N 8. - P. 1409-1415.
9. Khalil H. K. Adaptive output feedtach control of nonlinear systems represented by input - output models // IEEE Trans. on Automatic Control. - 1996. - Vol. 41, N 2. -P. 177-188.
10. Мирошник И. В., Никифоров В. О., Фрадков А. Л. Нелинейное адаптивное управление сложными динамическими системами. - С.-Пб.: Наука, 2000. -548 с.
11. Бобцов А. А. Робастное управление по выходу линейной системой с неопределенными коэффициентами // Автоматика и телемеханика. - 2002. - № 11.
12. Khalil H. K., Atassi A. N. A separation principle for the stabilization of a class of nonlinear systems // IEEE Trans. on Automatic Control. - 1999. - Vol. 44. - N 9. -Р. 1672-1687.
Получено 19.09.05
ADAPTIVE ROBUST GOVERNING YIELDING NON-LINEAR MULTILINKED OBJECT
E. A. Parsheva
The article has described the problem of creating adaptive governing system with master models of local subsystems when scalar input and yield can be measured. The solution is made with the help of modified algorithm for adaptation of high order which facilitated reducing the number of auxiliary filters and tuned parameters. At the same time to form governing influence and in algorithms of superstructure there are used only measurable variables of local subsystems, i. e. totally decentralized governing is obtained. The method is substantiated by efficiency of the presented algorithm, the results of modeling being brought.
