Синтез Н2-оптимального регулятора для распределенного объекта управления, описываемого интегродифференциальным уравнением Текст научной статьи по специальности «Математика»

Разработанная методика позволяет рассчитывать запас устойчивости по показателю колебательности систем с распределёнными параметрами. Полученные с помощью представленной методики расширенные частотные характеристики и

М^ -окружности позволят рассчитывать настройки распределённых регуляторов,

реализующих различные законы управления. При этом обеспечивается расположение всех корней характеристического полинома замкнутой системы внутри сектора, определяемого требуемой степенью колебательности т, а, следовательно, и требуемой степенью затухания переходного процесса.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Дудников Е.Г. Основы автоматического регулирования тепловых процессов: Учебное пособие для вузов. - M.-J1.: Госэнергоиздат, 1956. - 264 с

2. Ляшенко АЛ. Частотный анализ объектов с распределёнными параметрами с помощью расширенных частотных характеристик // Материалы 6-й научной конференции «Управление и информационные технологии» ^ИТ-2010). - СПб.: ОАО «Концерн «ЦНИИ Электроприбор», 2010. - C. 65-70.

3. Першин И.М. Анализ и синтез систем с распределенными параметрами. - Пятигорск: РИА-КМВ, 2007. - 244 с.

Статью рекомендовал к опубликованию д.т.н., профессор Н.Н. Ефимов.

Ляшенко Александр Леонидович

Северо-западный государственный заочный технический университет.

E-mail: [email protected].

191186, г. Санкт-Петербург, ул. Миллионная, д. 5.

Тел.: 89111878180.

Кафедра процессов управления и информационных систем; доцент.

Золотов Олег Иванович

Кафедра процессов управления и информационных систем; профессор.

Lyashenko Alexander Leonidovich

North-West State Technical University.

E-mail: [email protected].

5, Millionnaya Street, Saint-Petersburg, 191186, Russia.

Phone: +79111878180.

The Department of Management Processes and Information Systems; Associate Professor. Zolotov Oleg Ivanovich

The Department of Management Processes and Information Systems; Professor.

УДК 681.5.01

В А. Коваль, 0^. Торгашова

СИНТЕЗ Н2-ОПТИМАЛЬНОГО РЕГУЛЯТОРА ДЛЯ РАСПРЕДЕЛЕННОГО ОБЪЕКТА УПРАВЛЕНИЯ, ОПИСЫВАЕМОГО ИНТЕГРОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЕМ

На основе доказанного свойства о представлении интеграла с переменным верхним пределом в спектральной форме [1] осуществлен переход от интегродифференциального уравнения с частными производными к бесконечномерной системе дифференциальных уравнений в форме пространства состояний. Исследована сходимость полученного решения по ограниченному числу дифференциальных уравнений. Проведен синтез регулятора для объекта управления, описываемого интегродифференциальным уравнением, на основе метода И2-оптимизации.

Распределенная система; интегродифференциальное уравнение с частными производными; анализ; синтез; И2-оптимизация; сингулярная задача фильтрации.

V.A. Koval', O.Yu. Torgashova

H2-OPTIMAL CONTROL SYNTHESIS FOR THE DISTRIBUTED SYSTEM

DESCRIBED BY INTEGRO-PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS

The transition from the integro-partial differential equations to an infinite system in the state-space form is realized on the basis of the proved property on the representation of the integral with variable upper limit in the spectral form [1]. The convergence of the solution on a limited number of differential equations is investigated. The control low is constructed using the method of H2-optimization.

Distributed system, integro-partial differential equation, analysis, synthesis, H2-optimization, singular problem of filtration.

Введение. Распределенные объекты управления, в которых происходят теп, , , многих случаях описываются интегродифференциальными уравнениями с част, -лом по пространству. Коэффициенты интегродифференциального уравнения, как , .

Известные аналитические и численные методы дают возможность синтезировать регулятор для рассматриваемого объекта управления, в основном, путем подбора параметров регулятора и его структуры. В данной работе предлагается спектральный метод решения задачи [1]. При этом с использованием процедуры разложения регулируемой переменной в ряд Фурье по ортонормированной системе функций в области пространственных переменных осуществляется переход от интегродифференциального уравнения в частных производных к бесконечномерной системе дифференциальных уравнений в форме Коши. Полученная система записывается относительно вектора спектральной характеристики, составляющими которого являются коэффициенты разложения регулируемой переменной в ряд Фурье по пространственной координате. Данная математическая модель открывает возможность применения методов пространства состояний, используемых в

, .

1. Постановка задачи и предварительные результаты. Доказать новое свойство спектральных характеристик о представлении интеграла с переменным верхним пределом в спектральной форме.

На основе доказанного положения и полученных ранее свойств [1] осуществить переход от интегродифференциального уравнения с частными производными к бесконечномерной системе дифференциальных уравнений в форме Коши.

Обосновать сходимость полученного решения по усеченной модели, которая необходима для выполнения вычислительных процедур.

Синтезировать регулятор для рассматриваемого распределенного объекта управления на основе метода И2-оптимизации.

Свойство о представлении интеграла с переменным верхним пределом в . ,

x

J(x, t) = Ik(x, ^)p(^, t)d£, (1)

a

где k(x, ^) - весовая функция, вещественная, однозначная, непрерывная и регулярная на интервале [a, b], x е [a, b]; <p(£, t) - -

ряемая переменная объекта управления, вещественная, однозначная, непрерывная, дифференцируемая на интервале ^ е [a, b], t е [0, <*>), которая может быть разложена в ряд Фурье по ортонормированной системе функций {P(h, £)}, т.е.

Р(£ t) = £^(к, t) Р(к,£ъ

h=1

ф(к, t) = {р(£ t)Р(к,%^%, к = 1, -

(2)

(3)

Найдем спектральную характеристику от интеграла (1) по переменной х. Согласно [1]

Ь х

Зх[і(х,t)]= |Р(к,х) |к(х, £)р(£,t

dx, к = 1, —. (4)

Подставим (2) в (4), интегралы и сумму поменяем местами, функцию ф(к, г) вынесем за знаки интегрирования. Получим

'ъ

к=1

I к (х,а Р(к,^

dx\ф(к, г),

(5)

к = 1, —, к = 1, —.

Введем обозначение

и л

рх (к, к) = |Р(к, х) |к(х, £)Р(к, ^

dx, к = 1, —, к = 1, —. (6)

Внутренний интеграл в (6) представляет собой спектральную характеристику от весовой функции к (X, В) по ортонормированной системе {Р(к, £)} И может быть обозначен как

X

фк(к,х) = |к(х, В)Р(к,£)й£, к = 1,то. (7)

а

С учетом (7) выражение (6) для Р* (к, к) может быть представлено в виде

ъ ____ ____

Р* (к, к) = |Р(к, х)фк (к, х) йх, к = 1, то, к = 1, то. (8)

а

Выражение (1.5) с учетом (1.6), (1.8) может быть записано следующим образом:

то

5х[/(х,г)] = ^Р'*(к,к)ф(к,г), к = 1,то, к = 1,то. (9)

к=1

(9) ,

к = 1, то, к = 1, то, к = к . При этом 5х[У (х,г)] можно обозначить как матрицу-столбец фх размерности к х 1 Рнх (к, к) представить квадратной матрицей размерности к X к, Ф^(к, г) представить матрицей-столбцом размерности к X1.

(9) -

ведливо

С = Рхф.

(10)

Ь

а

а

а

а

а

а

а

Анализ распределенного объекта управления, описываемого интегро-дифференциальными уравнениями с частными производными. Рассмотрим объект

,

Эр(х,г) . ЧЭ2р(х,г) . . Эр(х,г)

' = ^(х) ^ 2 +01(х)^-- +

эг Эх Эх (11)

х

+ а0(х)|к(х,В)р(В,г)й£ + /(х,г), хе [а, Ъ], ге [0, то),

а

где СХо(х), 0^(х), <Х>(х) - безразмерные коэффициенты уравнения, зависящие от пространственной переменной х; к (х, В) - ЯДР0 интегрального преобразования; У (х, г) - внешнее воздействие.

Функции У (х, г), (р(х, г) - однозначные, непрерывные, ограниченные с интегрируемым квадратом, всюду дифференцируемые на интервале х е [а, Ъ],

г е [0, то).

Управление объектом (1.11) осуществляется с границ

(р(а,г) = фа(г), ге [0, то), (12)

(р(Ъ,г) = фъ(г), ге [0,то). аз)

:

(р(х, 0) = (х), хе [а, Ъ]. (14)

Разложим функцию (р(х, г) в ряд Фурье по ортонормированной системе

функций {Р(к, х)И в соответствии с (2), (3).

[1] -

лученного нового свойства спектральных характеристик о представлении интеграла с переменным верхним пределом уравнение (11) может быть представлено в виде бесконечномерной системы дифференциальных уравнений в форме Коши относительно спектральной характеристики регулируемой переменной ф(к, г)

(3). ф(к, г) - вектор, составленный из коэффициентов ряда Фурье для регулируемой переменной (р(х, г) по пространственной переменной х на основе ортонормированной системы функций {(к, х)И.

йф=Ф,2(Р,ф+Г“а+г”ъ)+Ф„(Рф+г”а+гг)+фшрхф+фг, (15)

ф(0) = ф0

где ф - вектор спектральной характеристики размерности к X1; ф ф ф

- матрицы первого сомножителя, определяемые по [1], размерности к X к , к = к ; Р Р2 - операционные матрицы дифференцирования функции (р(х, г) по пространственной переменной первого и второго порядка соответственно, определяемые по [1], размерности к X к, к = к ; Р* - операционная матрица интегрального преобразования, определяемого по (7), (8), размерности к X к,

т-'Оа т—'ОЬ т-'Оа y-'Ob ...

h — h ; Г , Г , I2 ,12 - матрицы граничных условии, определяемые по

[1], размерности h X1; (j)f - вектор спектральной характеристики внешнего воздействия f (х, t) по пространственной переменной х, определяемый в соответствии с выражением (1.3), размерности h X1; фо - вектор начальных условий, определяемый с учетом выбранной системы разложения и (1.14). Для всех векторов и матриц из (15) справедливо h — 1, то, h — 1, то .

Дополняя систему (15) уравнениями для измеряемых и регулируемых выхо-

,

ф) — Аф() + Bu (t) + Gw(t), (16)

y(t) — С ф(), 0(t) — Dф(t), где A—Ф,2P2 +Ф..Р +Фюрх; B=[фиг,0а+Ф.2Г20" i фигО‘+ф,2г2,‘J;

U(t) — colon [фа (t), (pb(t)}; матрица G и внешнее воздействие w(t) определяются исходя из удобства представления ф^ произведением ф• — Gw(t);

у - вектор измеряемых выходов размерности гх1; в - вектор регулируемых выходов размерности 2x1; матрицы С и D составлены из элементов ортонормирован-

(2), (3), -

странственных координат из открытого интервала х G (0,1), размерностей rxh и

2xh соответственно.

Решая систему (16), находим ф . Решение исходной задачи определяется как сумма ряда Фурье по пространственной переменной на основе ортонормирован-ной системы функций {P(h, х)}% т.е.

то

(р( х, t) — ^ ф(h, t) P(h, х).

h—1

2. Синтез Щ-оптимального закона управления. Рассмотрим уравнения объекта управления в отклонениях, представленные в форме Коши

<p(t) — Аф^ ) + Bu (t) + Gw(t), (17)

у(t) — Сх(t), e(t) — Dx(t) + Su(t),

где фе Rn (n ^ то) - бесконечномерный вектор состояний; u £ Rm (m — 2) -вектор управляющих воздействий, которые представляют собой изменение граничных условий; у £ Rr (r < n, r > m) - вектор измеряемых выходов;

в£ Rq (q — m — 2) - вектор регулируемых выходов; w £ Rl (l > r) - возму-

, -

лом с ограниченной L2 ^^^мой; A, B, G, C, S - числовые матрицы соответствую, B, G С D , ( , ) ( , G) -

ляются полностью управляемыми, а пара (С, А) - полностью наблюдаемой. Также будем полагать, что матрица С имеет структуру С — [ Ir : 0].

Такая постановка задачи соответствует описанию объектов управления для вырожденной задачи И2-оптимизации, или сингулярной задаче фильтрации, когда отсутствуют помехи в канале измерения.

В качестве обратной связи будем рассматривать динамический компенсатор, состоящий из наблюдателя Люенбергера и регулятора полного состояния:

£(г) = ъ£(х) + Ку(г) + ТБи(г), и(г) = ¥ф(г) = Г {у£ (г) + иу(г)),

где £е Rп-' - вектор состояний наблюдателя; ф е Кп - -

менных состояния объекта; Г - матрица передаточных коэффициентов регулятора полного состояния; матрицы Ш, К, Т, V, и удовлетворяют соотношениям [2]

Г Ir 1 Г О "

= U r - n I r _- L_ , V = _ In - r _

(19)

W = TAV = A22 + LA12 , K = TAU = -(A22 + LA12)L + A21 + LA11,

где L - некоторая матрица размерности (n — r) X r ; Ia - здесь и далее единичная матрица размерности а, А~ (i, j = 1, 2) - блоки матрицы А, соответствующие разбиению вектора ф на составляющие фу = y £ Rr и 02 ^ RП Г •

В [3] показано, что при выполнении условий

5T D = 0, 5T 5 = Im (20)

решение задачи синтеза регулятора (18) для объекта (17), при условии минимума Н2-нормы передаточной матрицы замкнутой системы, сводится к решению двух уравнений Риккати

ХА+AT X — XBBT X + DT D = 0, (21)

A22F + YAT2 - (FAT2 + G2G1t )(G1G1t )—1(A12Y + G1G2t ) + G2G2t = 0, (22)

из которых определяются матрицы X, Y, а затем матрицы F, L в соответствии с выражениями:

F = -B T X , (23)

L = -(YAT2 + G2GT )(G1G1t )—1 • (24)

В (22) и (24) G1, G2 - блоки матрицы G, соответствующие разбиению век: 1, 2 •

Кроме того, в [3] отмечено, что при выполнении условия HG = 0, где T T 1 T т

G2( 1г — G1T(G1G/rG1)G2T = HGHT (22)

Y = 0 • При этом синтезируемый регулятор будет устойчивым лишь в случае устойчивости матрицы AG = A22 G2G1 (G1G1 ) A12 •

Выполним синтез регулятора для распределенного объекта (16). Для матрицы C распределенного объекта в общем случае не выполняется условие

C = [Ir \ 0], поэтому выполним преобразование координат ф= N0, где N = colon {C, R}, матрица R размерности (n — r) X n выбирается таким образом, чтобы выполнялось условие det N Ф 0 • Выберем матрицу R в виде

R = [0: I,—r]• С учетом введенного преобразования координат уравнения объекта преобразуются к виду

ф (t) = NAN ~хф(г) + NBu(t) + NGw(t),

Г— 1^S + \ тллт—1'.

(25)

у (г) = СМ ~ф(г), в(г) = ЭМ ~ф(г).

Для распределенного объекта управления, представленного в форме (25), регулируемый выход в(г) = СМ ~Хф(г) не содержит составляющую по управлению,

которая должна присутствовать в формальном описании объекта в задаче Н2-оптимизации (17). Для погружения исходной задачи в рамки сингулярной задачи фильтрации расширим вектор регулируемых выходов, добавив в него вектор :

" DN _1" ' 0"

0(t) = colon{0(t), u(t)} = ф() + A _

_ 0 _

(2б)

Учитывая (25) и (26), получим описание объекта управления, погруженного в сингулярную задачу фильтрации:

Ф (t) = A0(t) + Bu(t) + Gw(t), (27)

y(t) = C0(t), 0(t) = Ъф(г) + 5u(t)•

где A = NAN'1, B = NB, G = NG, C = CN'1, D = colon{DN_1, 0}, 5 = colon{0, Ir }• Отметим, что матрицы D, 5 удовлетворяют условиям (20)

Н2- , w

должен иметь размерность l > r , поэтому в описании распределенного объекта (11)

I

выберем внешнее возмущение f (t) В виде суммы l функций f (t) =X f «>• Для

i=1

функций fi (t), i = 1, l определим спектральные характеристики 0f ^, ..., 0fl соответственно и составим матрицу G, исходя из выражения

f 1

Ф

fl

Gw .

Если выбрать I = г = 2, то блок О1 будет иметь размерность 2x2, а блок О2 - размерность (п — 2) X 2. Это означает выполнение условия НО = 0. Поэтому матрица О должна выбираться таким образом, чтобы обеспечивалась устойчивость матрицы АО = А22 — О2ОхТ (О1О1Т )—1А12.

В заключение раздела приведем выражения для стандартного представления регулятора (18) как динамической системы:

<Т (г) = АГС(() + Вгу(г), и(г) = Сг((г) + Д.у(г)

,

Аг = ^ + тВгу, вг = к + твги,

Сг = ГУ, Бг = Ги.

3. Аппроксимации бесконечномерных систем. Одной из основных проблем, связанных с использованием для анализа бесконечномерных систем, являет-

(28)

(29)

ся проблема аппроксимации - замены бесконечномерной системы адекватной ко, , -, . Анализ и синтез с использованием спектрального метода проводится по ограниченному, конечному числу уравнений системы.

На основании работ О.А. Жаутыкова [4], К.П. Персидского [5] были сформулированы достаточные условия, чтобы решение системы

dZok

8к (t,Xoi,Z02,Z03, —;и), (k = 1,то), (30)

dt

где ц - параметр системы, при достаточно большом значении 5 (порядок усечения), было близко на заданном временном интервале [0, 7] к решению «укороченной» системы дифференциальных уравнений, которая получается из первых s (30), , -

s- •

Итак, полагаем, что правые части системы (30) заданы в замкнутой области D и при

t£ [0,Tl supjХок\<R (к = 1,(31) М£ [ybДL

Достаточные условия возможности усечения системы (30), согласно [4], могут быть сформулированы следующим образом:

L Функции gk непрерывны ПО переменным t, ^01, %02, %03, •••, №•

2. Функции удовлетворяют относительно переменных ^01, ^02, Zoз,••• усиленному условию Коши-Липшица:

|gk (t, *01, X02 , X03 ,•••, X 0m—1, X От , X 0т+1 ,•••; М) —

—gk (t, Xoi, X02 , X03 ,•••, Хот—1, XОт , X0т+1 ,•••; М)| < £т||АтхЛ , (32)

(к =1,2,З,^;т = 1,2,З,^); ет ^0 при т ^ = M,

- •

Аргументы функции находятся в области D

||А тХ0\\ = SUP к {0 к — ^0к| }, (к = ^ т + 1•••), (33)

где ^к и %0)к - значения спектральных характеристик, разделенных интервалом

At ^ 0^

3- При любом t£ [0,T], [^0,^1] и при ^01 =^02 =^03 = ••• = 0

выполняется неравенство

g (t,0,0•••;^)| < v(t), (к = 1, то), (34)

где v(t) - ограниченная непрерывная функция на отрезке [0,T]

, [4] ,

(30) - (32), -

ние %0к (t,M) укороченной системы

dZok

= gk (t, Zoi, Z02, Z03,...., Zos ,0,0,...;u), (k =1,s), (35)

dt

при t £ [t0, t0 + S] удовлетворяет условию

(37)

Ит Хо к Ъи) = Хо к (X, И), (к = 1,2,3,...), (36)

5 ^то

где Х0к (X,И) - Решение исходной системы (3.1); 8- бесконечно малая величина. При этом предельный переход является равномерным по параметру и ПРИ и е [^0,^1] .

(35) (3о)

искомых функции, начиная с (5+1)-й.

Приведенные достаточные условия и теорема дают возможность вынести суждение о правомочности рассмотрения ограниченного числа уравнений в беско-(25), ,

, ,

числа пространственных мод для описания процессов в распределенной системе .

4. Пример синтеза И2-оптимального регулятора для управления распределенным объектом. Зададимся следующими знач ениями параметров и функций, входящих в уравнение (11):

х, Ве [0,1], а0(х) = -2.71, а1(х) = -0,78, а2(х) = 0.37х, к(х, В) = х-В, /(х, X) = /1(х,X) + /2(х,X) = -в~г 8ш(ях/2)-1.

Перепишем (11) с учетом (37):

ЭР(х, х) = 0 37 д2р(х х) - 078 Эр(х, х) -Ъх . Эх2 . Эх

х

- 2.711х - В - р(В, X)ёВ - е~х $ш(ях12) -1,

о

хе [0,1], Xе [0, то).

Управление осуществляется с границ (р(0,X) = ^0(х), (р(1,X) = <Р\(ХК х е [0, то). Будем считать, что до момента приложения внешнего воздействия / (X) система находится в покое, поэтому р(х, 0) = 0 и вектор спектральных характеристик начальных условий будет нулевым: 00 = 0.

В качестве системы разложения в ряд Фурье выберем ортонормированную на интервале х е [0,1] систему функций

Р(к,х) = {л/2втях, л/2зт2ях, л/2зт3ях,...}. (39)

Операционные матрицы дифференцирования первого и второго порядка вы-

[1]:

(38)

Р1 = Р1(к, к) = | Р(Н, х)

Л

— Р(к, х) ах

ёх,

Р2 = Р2(к,к) = р2(к,к), к = 1,то, к = 1,то

(39)

а

Р =

0 - 2.67 0 -2.07 0 -0.69 0

2.67 0 -4.8 0 -1.9 0 -1.24

0 4.8 0 -6.86 0 - 2.67 0

1.07 0 6.86 0 -8.89 0 -3.39

0 1.9 0 8.89 0 -10.91 0

0.69 0 2.67 0 10.91 0 -12.92

0 1.24 0 3.39 0 12.92 0

Р2 =

"- 9.71 0 0.47 0 0.79 0 1.11

0 - 38.84 0 1.28 0 1.93 0

0.47 0 -87.41 0 2.36 0 3.32

0 1.28 0 -155.34 0 3.87 0

0.79 0 2.36 0 - 242.79 0 5.54

0 1.93 0 3.87 0 -329.49 0

1.11 0 3.32 0 5.54 0 - 475.83

тлХ

Матрица р , найденная в соответствии с (8) и с учетом вида ядра интегрального преобразования к(X, В) = х • В, представляется выражением

Р,Х = 10_

10.13 0.94 - 0.84 0.30 - 0.17 0.09 - 0.06

-11.08 2.53 1.13 - 0.84 0.35 - 0.21 0.12

7.60 - 4.50 1.13 1.02 - 0.76 0.35 - 0.22

- 5.36 3.38 - 2.71 0.63 0.90 - 0.68 0.33

4.22 - 2.38 2.11 -1.91 0.41 0.79 - 0.60

- 3.47 1.90 -1.47 1.52 -1.47 0.28 0.71

2.96 -1.57 1.18 -1.05 1.18 -1.19 0.21

Матрица первого сомножителя в произведении а(х)

д 2ф( х, ґ) дх 2

вычисляется в

соответствии с выражением, приведенным в [1]:

_ Ь _ ___ _

Ф11(й, к, г) = |Р(к, х)Р(к, х)а2(х, X)йх, к = 1, ^, к = 1,

И для а2 (х) = 0,37х - 0,03, имеет вид

0

2

оо

а

Ф12 = 10

35.29 0.50 0 0.04 0 0.01 0

0.50 35.29 0.54 0 0.05 0 0.02

0 0.54 35.29 0.55 0 0.06 0

0.04 0 0.55 35.29 0.55 0 0.06

0 0.05 0 0.55 35.29 0.56 0

0.01 0 0.06 0 0.56 35.29 0.56

0 0.02 0 0.06 0 0.56 35.29

Матрицы первого сомножителя ДЛЯ произведений а0 (х)| х -£'ф(Л X )^В и

0

а1(х) д^(x, х) , где а0(х) = -2.71, а1(х) = -0,78 определяются выражениями

Эх

Ф10 = -2,71 • I, Фп = -0,78 • I соответственно, где I обозначает бесконечномерную единичную матрицу.

В соответствии с формулой а = Ф12Р2 + ФцРх + Ф10Рх вычислим матрицу А:

A =

-3.79 1.86 0.19 0.77 0.28 0.51 0.39

-1.83 -13.77 3.24 0.47 1.37 0.69 0.92

- 0.04 -3.82 - 30.88 4.47 0.85 1.91 1.18

- 0.68 0.36 -5.74 -54.83 5.57 1.38 2.41

0.16 -1.42 0.78 -7.72 -85.68 6.56 1.97

- 0.43 0.63 - 2.06 1.32 -9.79 -123.33 7.43

0.31 - 0.92 1.14 - 2.69 1.92 -12.00 -167.91

Матрицы граничных условий Г^, , вычисленные для выбранной систе-

мы функций (4.3) в точках а = 0 и Ь = 1, будут нулевыми [1]:

Г!0й = р(к х)| х=афа (х) = р(k, х)| х=0 (Р0(г) = 0,

Г0Ь = Р(к, х) х=Ь^Ь (г) = Р(к, х) х=^а) = 0.

Матрицы Г2а, Г2 для а = 0 И Ь = 1 определяются выражениями

-i0a dP(h, x)

dx

,0b dP(h, x)

■p0b _ 1 2 =

dx

2 ’ 2

(pa(t) = colon {4.44, 8.89, 13.33, 17.77, 22.21, 26.66, 31.10, ...}p0(0,

<pb(t) = colon {4.44, -8.89, 13.33, -17.77, 22.21, - 26.66, 31.10, ...}pj(t).

Матрица В, определяемая из выражения

в = Кг°а +Ф12Г0а :ФПГ°Ь + Ф!2Г?

:

1.62 3.25 4.86 6.49 8.09 9.71 11.14

1.51 - 3.02 4.54 - 6.05 7.59 - 9.10 10.81

B =

x

x=1

T

G =

T

C=D=

Представим в спектральном виде функции /г(x,t) = — e t sin( ях/2) и /2( X, t) = —1:

ф{1 = colon{0.60, — 0.24, 0.15, — 0.11, 0.09, — 0.08, 0.06, ...}• e~t,

ф/2 = colon{0.90, 0, 0.30, 0, 0.18, 0, 0.13, ,..}.

Определим вектор внешних воздействий следующим образом:

w(t) = colon{e~*, 1(t)}. Матрица G будет и меть вид:

^0.60 — 0.24 0.15 — 0.11 0.09 — 0.08 0.06

0.90 0 0.30 0 0.18 0 0.13

,

p(xx), р(X2), X1 = 0.2, X2 = 0.9, то матрицы C и D будут иметь вид:

"0.83 1.35 1.35 0.83 0 — 0.83 —1.35

0.44 — 0.83 1.14 —1.35 1.41 —1.35 1.14

Полученная система обыкновенных дифференциальных уравнений в форме Коши является бесконечномерной. Для выполнения вычислительных процедур ограничимся рассмотрением первых семи спектральных мод.

Вычисления показали, что пары (А, В) и (A, G) являются полностью управляемыми, а пара (С, А) - полностью наблюдаемой. Для выполнения условия

C = [ Ir \ 0] . (26)

осуществлено погружение исходной задачи в рамки сингулярной задачи фильтрации. Для выбранной матрицы G проверка подтвердила выполнение тождества

HG = 0 и условия устойчивости матрицы Ag . Следовательно, можно принять

L = 0, 2 - ,

решение которой дается выражениями (21), (23).

Матрица F регулятора полного состояния, входящего в состав регулятора

(18):

Г— 0.33 — 0.31 0.07 — 0.16 0.29 — 0.60 — 0.06

F =

—0.56 —1.05 —0.04 —0.86 0.81 —1.03 0.67

(28):

Ar =

"- 22.08 4.4З 10.00 - 40.42 - 24.З6"" "-10.98 - 1.З9

- 2.02 - 48.10 - 5.2З -5.42 -58.19 -17.27 - З.05

6.08 - 1З.57 - 74.З8 - 27.2З -10.29 , вг = -19.26 - 7.80

1.04 8.86 - 19.1З -126.01 - 55.90 -18.24 6.70

4.69 - 12.З1 15.69 - 44.62 - 17З.5З _ - 27.70 -12.58

0.07 - 0.16 0.29 - 0.60 - 0.06" '- 0.З8 - 0.21"

Cr = , Dr =

r - 0.04 - 0.86 0.81 - 1.0З 0.67 r - 0.67 - 0.76

Результаты анализа замкнутой системы (37), (28), выполненного методом конечных разностей, представлены на рис. 1.

^(*2)

04*0

t

:

\ t

Рис. 1. Результаты анализа замкнутой системы: а - ошибки стабилизации в точках х1 = 0.2, х2 = 0.9; б - управляющие воздействия - границы объекта, распределенного в пространстве

Заключение. Переход от интегродифференциального уравнения к бесконечномерной системе в форме Коши дает возможность существенно формализовать процесс синтеза регулятора.

Усечение бесконечномерной системы является необходимой операцией для проведения вычислительных процедур.

С ростом числа уравнений полученный результат стремится к определенному , -ловиям сходимости решения бесконечномерной системы.

Синтез регулятора выполнен на основе метода И2-оптимизации. Результаты анализа замкнутой системы указывают на эффективность применения спектраль-.

БИБЛИОГРЛФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Коваль В А. Спектральный метод анализа и синтеза распределенных систем. - Саратов: Изд-во Сарат. гос. техн. ун-та, 2010.

2. Blanvillain P.J., Johnson T.L. Specific-optimal control with a dual minimal-order observer-based compensator // Int. J. Control. - 1978. - Vol. 28. - № 2. - P. 277-294.

3. Луценко ИВ. Синтез астатических регуляторов пониженной размерности на основе теорий Н2- и Н^-оптимизации: Автореф. дис. ... канд. техн. наук. - Саратов: Изд-во Сарат. гос. техн. ун-та, 2009.

4. . . / . . ,

. . . - - : , 1974.

5. Персидский КП. Об устойчивости решений счетной системы дифференциальных уравнений // Известия АН Каз. ССР. Серия матем. и механ. - 1948. - Вып. 2.

Статью рекомендовал к опубликованию д.т.н., профессор Н.Н. Ефимов.

Торгашова Ольга Юрьевна Коваль Владимир Александрович

Саратовский государственный технический университет.

E-mail: [email protected].

410054, г. Саратов, ул. Политехническая, 77.

.: 88452794433.

Кафедра технической кибернетики и информатики.

Torgashova Ol'ga Yuryevna Koval' Vladimir Aleksandrovich

Saratov State Technical University.

E-mail: [email protected].

77, Polytekhnicheskaya Street, 410054, Saratov, Russia.

Phone: +78452794433.

The Department of Engineering Cybernetics and Informatics.