Синтез h 2-оптимального регулятора пониженной размерности для дескрипторной системы Текст научной статьи по специальности «Математика»

АВТОМАТИЗАЦИЯ И УПРАВЛЕНИЕ

УДК 681.51

О.Ю. Торгашова, О.Е. Шворнева СИНТЕЗ Н2-ОПТИМАЛЬНОГО РЕГУЛЯТОРА ПОНИЖЕННОЙ РАЗМЕРНОСТИ ДЛЯ ДЕСКРИПТОРНОЙ СИСТЕМЫ

Для дескрипторной системы решена задача синтеза Н2-оптимального управления. Регулятор строится на основе наблюдателя минимальной размерности. Полученный регулятор представляется в классе обыкновенных систем, что упрощает его реализацию.

Дескрипторная система, наблюдатель, Н2-оптимизация, вариационная задача

O.Yu. Torgashova, O.E. Shvorneva

THE NORMAL REDUCED-ORDER H2 CONTROLLER FOR DESCRIPTOR SYSTEM

The solution of H2 optimal problem for the descriptor system is found. The optimal normal regulator is constructed on the basis of the reduced-order observer.

Descriptor system, observer, H2-optimization, variational problem

1. Введение. Предметом изучения теории дескрипторных систем являются системы, содержащие кроме дифференциальных уравнений алгебраические. Дескрипторные системы представляют не только теоретический, но и практический интерес, т.к. описывают широкий класс объектов управления. Например, модели химических процессов могут содержать алгебраические уравнения, учитывающие соотношения термодинамического равновесия, условия стационарности, эмпирические взаимосвязи. При описании механических систем алгебраические уравнения возникают при наличии голономных ограничений. Модели электрических схем также часто являются дескрипторными.

Дескрипторные системы отличаются от систем, описываемых только дифференциальными уравнениями. В частности, переходная функция состояния дескрипторной системы может содержать так называемые импульсные составляющие [1, 2]. Эта отличительная особенность должна учитываться при синтезе регулятора.

В настоящее время решение задачи синтеза H2- и Н^- оптимальных регуляторов найдено в классе дескрипторных систем. Для технической реализации такого регулятора необходимо исключить алгебраическую часть, т.е. получить описание в классе обыкновенных динамических систем, что не всегда возможно. Таким образом, решение задачи синтеза

закона управления для дескрипторной системы в классе регуляторов, описываемых дифференциальными уравнениями, представляется актуальным.

В данной работе на основе вариационного подхода предлагается строить регулятор в классе обыкновенных систем, размерность которого является пониженной по сравнению с размерностью объекта. В качестве критерия оптимизации используется Н2-критерий.

2. Постановка задачи. Рассмотрим описание линейного непрерывного стационарного дескрипторного объекта автоматического управления

Ex(t) = Ax(t) + Bu(t) + Gw(t), y(t) = Cx(t), z(t) = Dx(t) + Su(t), (1)

где векторы xe Rn - состояний объекта; ue Rm - управлений; ye Rr - измеряемых переменных; we Rv - внешних возмущений; ze R^ - физических переменных, представляющих регулируемый выход системы; A, B, G, C, D, S, E - числовые матрицы соответствующих размеров, причем B, C, D и G имеют полные ранги, пары (A, B) и (A, G) являются полностью управляемыми, а пары (C, A) и (D, A) - полностью наблюдаемыми. Относительно матрицы E будем полагать, что rank(E) = n1 < n.

Пусть система (1) удовлетворяет свойству регулярности det(Es - A) Ф 0 .

В качестве обратной связи будем использовать динамический регулятор, образованный объединением регулятора по полному состоянию

u(t) = Kx(t), (2)

где вместо вектора состояния x используется вектор его оценок X, и наблюдающего устройства, размерность которого меньше размерности объекта. Структура такого наблюдателя описана в [2, 3] и будет приведена ниже.

Обозначим Fw (s) передаточную матрицу замкнутой системы (1), (2) от возмущения

w(t) к регулируемому выходу z(t). Выражение для Н2 -нормы матрицы F (s) будет иметь вид

|FzJ 2

1 ~

— ftrace {FW(- ja>) Fw(ja>)}da 2n J

.1/2

(З)

где trace здесь и далее обозначает операцию следа матрицы.

Задача состоит в определении параметров регулятора таким образом, чтобы замкнутая система была устойчивой, и обеспечивался минимум нормы (З).

Пусть существуют такие числовые неособенные матрицы P, Q, что умножая первое уравнение системы (1) на матрицу Q слева и производя замену переменных n = P-l x, получим два независимых уравнения

n(t) = Anl(t) + Blu(t) + Glw(t), Nn2(t) = n2(t) + B2u(t) + G2w(t), где nl, П2 соответствуют разбиению вектора состояний n на две составляющие П = colon{nl, n2} размерностей nl, n2 соответственно; N - верхнетреугольная нильпотент-

ная матрица Nh = О, минимальное значение h - индекс системы.

Таким образом, получаем систему

I

О

N

n(t):

A

О

0

1

n(t) +

Bl

B

u(t) +

Gl

G

w(t),

(4)

у(г) = [с С2 П(г), г (г) = [д Б2 П(г) + Би(г), матрицы которой которые связаны с матрицами исходной системы (1) соотношениями ^{/И1, = йЕР, а1аё{ Д, 1П2} = йЕР, ео1сп|В1, В2} = ОБ, со^п^ ,62) = йО, С С2 ] = СР.

Представление системы в виде (4) называется нормальной формой. С использованием нормальной формы можно получить выражение для переходной функции состояния [1]:

2

x(t) = P

,A1t

[/ о]р -■ x(0) + P

j еА( -т) B1u(t)dt

0

- P

L

fjSI-1(t)N [о In2 ]P-1 x(0) -P

i=1

L

h-1 f i—1 ^

^NiB2 u(i)(t) + Y,8k(t)u(i—k—1)(0)

(5)

i=0

V

k=0

J

Исходя из вида решения первую подсистему системы (4) часто называют «медленной», а вторую - «быстрой».

Из выражения (5) видно, что переходная функция состояния дескрипторной системы может содержать импульсные составляющие, связанные с влиянием алгебраических уравнений. Таким образом, задача синтеза Н2-оптимального регулятора в стандартной постановке в случае де-скрипторного объекта должна быть дополнена условием устранения импульсных составляющих.

В соответствии с теоремой Парсеваля

Fzw||2 = 2П jtrace{FZw(—ja>)Fw(ja>)}da= jtrace{KZw(t)Kw(t)}dt HIK

2

zwll 2

где К^ (г) - весовая (импульсная переходная) матрица системы. Для системы, представленной в нормальной форме (4) справедливо [4] К(г) = diag{D1eAltВ1, 0}, т.е. весовая матрица Кг№ (г) полностью определяется «медленной» подсистемой. Следовательно, для минимизации Н2-нормы передаточной матрицы ¥гк (я) достаточно минимизировать Н2-норму передаточной матрицы «медленной» подсистемы.

3. Решение задачи синтеза Н2-оптимального регулятора. Решение задачи синтеза Н2-оптимального регулятора для объекта (1) условно можно разбить на три этапа. Сначала следует ввести обратную связь, устраняющую импульсные составляющие. Это возможно, если система является импульсно управляемой и импульсно наблюдаемой [1, 2]. Далее, задаваясь структурой закона управления, следует представить замкнутую систему таким образом, чтобы выделить «быструю» и «медленную» подсистемы. Завершающий этап заключает-

II || 2 || ц 2

ся в минимизации нормы ||—г№||2 = ||Кг№||2 с использованием вариационного подхода.

Представим систему (1) в виде

Г/ 0] " A11 A12 " B1" G ■

n1 x(t) = x(t) + u(t) +

0 0 _ A21 A22 _ _B2 _ _G2 _

w(t),

(6)

у(г) = [С1 С2 ]х(г), г(г) = [д В2 ]х(г) + 5и(г), что может быть достигнуто применением сингулярного разложения [1, 2].

Для объекта (6) введем вспомогательный регулятор, понижающий индекс системы до единицы и устраняющий импульсные составляющие:

и(г) = [0 К2]Х(г) + ^(г). (7)

По предположению исходная система является полностью управляемой, поэтому она является также импульсно управляемой, т.е. det(А22 + В2 К2) Ф 0 . Следовательно, существуют матрицы

Q

0

(A12 + B1K2 )(A22 + B2K2 )

—1

P

L

0

- (А22 + В2 К2 ) 1 А21 (А22 + В2 К2) с помощью которых система (6) может быть приведена к нормальной форме

-1

Г1n 0] " An1 0 '

n1 _ 0 0_ xN (t) = _ 0 ^ _ xN (t) -

B

N1

B

N 2

[0 K2 ]PNeVe1(t) +

B

N1

B

N2

G

N1

G

N2

w(t),

у(г) = [СШ С N 2 ] х„ (г), г(г) = [яш ^ ] х„ (г) - 5 [0 К2 ]РшУе(г) + Щг),

где используются следующие обозначения

I

I

n

n

0

0

0

0

2

2

Ат - А11 - (А12 + В1К2)(А22 + В2К2) 1А21’ ^ 1 - В1 - (А12 + В1К2)(А22 + В2К2) В

-1

С

N1

^2 - В2 , «N1 - 01 - (А12 + В1К2 )(А22 + В2К2 ) 02 , °У2 - 02 ,

С1 - С2(А22 + В2К2)-1 Л21, - С2(А22 + В2К2)-1, DN1 - ^1 - ^ + В2К2)-1 А^,

DN 2 - (D2 + Ж 2 )(А22 + В2 К 2)-1.

Матрица , входящая в (8), является матрицей преобразования и выражает связь между исходным представлением системы и представлением системы, для которого ниже будет определена ошибка е1. Матрица V из (8) является одной из, определяющих наблюдатель.

Замкнем систему (8) регулятором г9(?) = [к 0] Хм (?). Можно показать, что

Гіп 01

п1 X&N (г) -

0 0

АШ + ВМ1К1

ВЯ 2 К1

0

хм (г) +

N1

N 2

[К К 2 ]Р,еУех(г) +

N1

N 2

п(і),

(9)

у(0 = [СШ С^ ] (О, 1«) = [^ш + БК, ^ К (?) + Я*1

Запишем теперь уравнение для ошибки наблюдения е1(?). Для этого сначала устраним импульсные составляющие. Представим систему (6) в виде

Г іп 01

п1 -

0 0

Ап

А

12

х(г) +

Ву

В,

и (г)

У(і) +

«1

о,

w(t),

_ А21 + ^2С1 А22 + ^2С2_ у(г) = [С1 С2]х(?), г(?) = [Д В2]х(г) + Би(г).

По предположению исходная система является полностью наблюдаемой, поэтому она является также импульсно наблюдаемой, т.е. ёе1;(А22 + Ь2С2) Ф 0. Следовательно, существуют матрицы

Р

I..

щ

-1

0

а

Іп1 А12 (А22 + ^2С2 )

о (А22 + Ь2С2)-1

- (А22 + ^С2) (А21 + ^2С1) 1п

с помощью которых система может быть приведена к нормальной форме с новым вектором

состояний х№ (г) - Рт 1х(г):

_1П1 0_ - ( •5^ АШ1 01 хт(г) + BNe1 1 и( ^№1 у(г) + "ОлЄ1 "

0 0 0 1П2 _ _ BNe 2 _ _ ^є 2 _ _0^2 _

у(0 [С№1 v''Ne2J■/''NeW>^W L-^^Ne1

Матричные блоки из выражения (9) имеют вид А В

п(*),

CNe2 ] хт (О, г(г)

[DNe1 DNe2

] хш (г) + Бши(*).

(10)

А11 - А12 (А22 + ^2С2 ) 1 (А21 + L2Cl), SNe - ^ , ВШ1 - В1 - А12 (А22 + ^2С2) ' В2 ,

-1

-^1

Ne2 - (А22 + ^2С2) В2 , 0Ne1 - 01 - А12 (А22 + ^2С2) 02 , 0Ш2 - (А22 + ^2С2 ) 02 ,

CNel - С - С2 (А22+Ь2С2 )-1 (А21+Ь2СХ), с

22

DNe2 - D2 , ^№1

-^1М v''Ne2 -42 ( А22

С D

С2 , DNe1 \-1

D1 - D2 (А22 + ^2С2 ) 1 (А21 + ^2С1)

А12( А22 + ^2С2 ) ^2> ^№2 (А22 + ^2С2) ^2‘

Используя результаты [2, 3], синтезируем наблюдатель пониженного порядка гаик(£) - гапкСд^) - щ - d из класса обыкновенных систем. Введем новую измеряемую переменную у№ (г) - С№1 х^1(г). Далее из (10) получим у№ (г) - у (г) - СШ2 хш 2(1). Полагая

CNe20Ne2 - 0 , будем иметЬ УNe (і) - (І - CNe22)У(і) + CNe2В№2и(г) .

Если матрица С№1 имеет полный ранг, то существует неособенная матрица

Р'ш - colon{CNe1, ХШ1}, ёе1 XNe1 Ф 0, такая, что преобразование х^^г) - РхШ1(г) позволяет добиться выполнения условия Сд^Рдё! - [^ 0]. Далее будем считать, что это условие выполняется.

В соответствии с [2] для системы, в которой выполняется условие (14) и введена новая измеряемая переменная у^ (г) - Сд^х^^ї), можно записать

I

п

2

% (t) = An xn(t) + A12 Xi2 (t) + Bnu(t) - Ln y(t) + Gnw(t),

X12 (t) = A21X11 (t) + A22 X12 (t) + Bi2u(t) — L12 y (t) + G12 w(t), yNe (t) = X11 (t),

где x11, X12 соответствуют разбиению вектора xNe1 на две составляющие xNe1 = colon{x11, X12} размерностей d, n1 — d соответственно.

Отметим, что система (11) не содержит алгебраических уравнений. Обозначим X12(t) оценку переменной X12(t) из (11) и построим наблюдатель Люенбергера:

X12(t) = ( A22 + L1A12) X12(t) + ( B12 + L1Bn)u(t) — (L12 + L1L11) y(t) — Ly Ne (t) + (A21 + L1A11) yNe (t). (12)

Введем переменную £(t) = X12(t) + L1 yNe (t), имеющую смысл вектора состояний наблюдателя, и запишем уравнение динамики для £(t) с учетом (12)

i&(t) = (.А22 + L1A12)^(t) + {B12 + LB11 + [(A21 + L1A11) — (A22 + L1A12 )L1 CNe2BNe2 Iй (t) +

+ 1( A21 + L1 A11) — (A22 + L1 A12) L1 ](1n2 — CNe2 LNe 2) — ( L12 + L1L11 )}y(t).

Аналогично [5] введем в рассмотрение матрицы W1, T1, U1, V1, R1 U1 = colon {/d, — L1}, V = colon{0, 1,,—d }, T =[L l,t_d ]

W1 = T1 ANe1V1 = A22 + L1A12 , R1 = T1 ANe1U1 = (A21 + L1 A11) — (A22 + L1A12 ) ^1’

удовлетворяющие соотношениям TANe1 — W1T = K1CNe1, U1CNe1 + V1T1 = 1.

Используя введенные в (13) обозначения, получим

<f(t) = W^(t) + {T1 Bve1 + T1 Ave1U1Cve2Bvve2 }u(t) + T1A

Ne1U1 (1n2 CNe2 LNe 2 ) — T1 Lve1 ]-(<). (14)

Введем выражение для ошибки восстановления вектора состояний системы: XNe (t) — xNe (t) = Ve1 (t), где V = colon{ V1, 0}. Можно показать, что справедливо соотношение

e1 (t) = #(t) — T1 Xve1(t). (15)

Учитывая (13)-(15), получим уравнение динамики ошибки системы

<&1 (t) = We (t) — TfiveMt). (16)

Получим уравнения замкнутой системы, объединив (9) и (16) и учитывая [K1 K2]PNeVe1 (t) = (K1 — F1 )Ve(t), где F = K2(A22 + L2C2)(A21 + L2C1)

(13)

-1

Г/п о]

n1 Xn (t) и

о о

Ат + Bn 1K1 о

Bn2 K1 /щ

XN (t) +

B

N1

B

N2

(K1 - Fl)Vlel(t) +

G

N1

G

N2

w(t),

(17)

<&і(*) = ),

у(ґ) = [СШ єм2]хм(ґ), ^) = Кі + 5^1 ^]Хм(ґ) + ^(^1 -^і)^іЄі(ґ).

Введем вектор состояний х5(ґ) = ео1оп{хмі(ґ), єі(ґ), хм2(ґ)}, где хмі(ґ), хм2(ґ) - соответственно, «медленная» и «быстрая» составляющие вектора состояний системы (9). Представим замкнутую систему (і7) следующим образом:

Е8 5с5 (ґ) = х8 (ґ) + О8 ),

у(ґ) = С8х8 (ґ), і(г) = 08хм(г),

Матрицы системы (і8) имеют вид

(18)

"/n1 о о" АN1 + BN1K1 Bn1( K1 - F1V1 о" " Gn1 "

Es и о /n1 - d о , Ах и о W1 о , Gs и - T1GNe1

о о о НІ N2 B і Bn 2 (K1 - F1W1 /n2 _ _ Gn 2 _

Cs =[Cn1 Cn2], Ds =[Dn1 + SK1 S(K1 - F1)V1 D„2 ].

Выполним преобразование замкнутой системы (18) x = P lxS с помощью матрицы

Р =

2щ —d

0

Ах1 =

От

ТО

Те1

(19)

[— В„ 2 К1 — Б„ 2 (К — ад ] 1,

Получим нормальную форму системы (18) с матрицами «медленной» подсистемы

АТ1 + ВЫ1К1 ВЫ1 (К1 — )Ж1

0 ^ о51 =[ош + «1К. зд — ад].

Далее, руководствуясь теоремой Парсеваля, для минимизации нормы весовой матрицы системы К (£) будем рассматривать только «медленную» подсистему с вектором состояний х1 = со1оп{хТ1, е^е1| и матрицами (19).

Если система с матрицами (19) устойчива, то Н2-норма ее передаточной матрицы может быть определена из выражения

|^»||2 = 1гасе{ОХ1ОХ1 Х5 }= Ъасе{в31^1^ }, (20)

где Х5, Ух - положительно определенные решения уравнений Ляпунова:

Х5А51 + АХ1XS + ^51^X1 = 0, УХАХ1 + АХ1УХ + О51О51 = °. (21)

Таким образом, рассматриваемая задача ^-оптимизации представляет вариационную задачу на условный экстремум, в которой в качестве функционала выступает (20), а уравнением связи является одно из условий (21). Если для определенности выбрать первый критерий (20) и соответствующее уравнение из (21), то получим вариационную задачу на без-

условный экстремум, в которой в качестве функционала выступает

] = 1хасе{оХ1Ох1 Х8}+ 1хасе{[ххАх1 + Х8 + ^Х1^Х1] Л.5 _ , (22)

где Л5 - матричный множитель Лагранжа размерности (2п1 — d) х (2п1 — d).

Следуя [5], представим неизвестные пока матрицы Х5 и Л5 в блочной форме, причем Х5 выберем блочно-диагональной:

Хх =

х ! 0 0 ] ¥

Л х =

" Р ! м "

МТ ! у

(23)

где Х, ^, Р, М, У - матрицы, подлежащие определению. Матрицы Х, Р имеют размерность п1 х п1, ^, У - размерность (п1 — d) х (п1 — d); М - размерность п1 х (п1 — d). Матрицы Х, ^, Р, У должны быть симметрическими.

В результате преобразования функционала (22) с учетом блочной структуры входящих в него матриц (19), получим

1 = 1гасе{0Л10Т1 Х + Т1ОМе1(Т1ОМе1)Т^}+ 1гасе{Х (Ам + ВтКх)Р + ХВт( К — Е1)У1МТ +

+ шу + (А1! + КТ ВТ,) ХР + ^Т (К, — ^)Т Втм! ХМ + ^Тчу + ^

+ (Вт + Б1К1)Т фт + ЭДР + фт + ЗДТад — Е1)У1МТ +

+УТ (К1 — ^)Т бТ фт + ЗДМ+УТ (К1 — ^)Т бТ ад — Е^уу }

В функционале (24) помимо матричных блоков (23) неизвестными являются блоки К1, Ц_. Необходимыми условиями минимума данного функционала будут

д1 _ д1

д1 = 0 д1 дР ~ ’ дМ

:0, 1 = 0, 1 = 0, 1 = 0, 1 = 0, 1 = 0.

дУ дХ д^ дК1 д^

(25)

Учтем, что в выражении функционала (24) присутствуют составляющие, зависящие от матриц, которые, в свою очередь, подлежат определению W1 = А22 + ЦА12; W1T = А22 + А^2Ц,

Li

I

^ _ (L1G11 + G12)(G1^L + G1t2)x¥ , вычислим соответствующие частные

производные и решим систему уравнений (25).

Из второго уравнения (25) получим выражение для матрицы регулятора К1

K, _-(st S,r (bniх+S, Dnt),

в котором матрица X является решением матричного уравнения

\-1 с T -

-in T

N1

X [Ant - B„i(STSi)sTDn 1 ]+[aN 1 - DNiSi(SiTSi)-1 b - XBni (SiTSi)-1 BN 1 + DntT [i, - Si (SiTSi)-1 SiT Dm _ о.

X

(2б)

(27)

полученного из первого условия (25).

Из последнего уравнения (25) получим выражение для матрицы регулятора Ц :

Т\ -1

А=-(ГД2 + GnG^l)(GnGl\) где матрица У - решение матричного уравнения, вытекающего из пятого условия (25)

Л22 - Gi2_GiT(GiiGiT)-1 Лі2

Y + Y[Л2Т2 - A?(GnGiT)-1 GllGlT]-

YAiT(GiiGiT)-1A2Y + G,

12

11

In,-г -GiT(GliGlT)-1G11 ]g1T _ о

r1T

T

(28)

(29)

Остальные три условия из (25) носят вспомогательный характер. Объединяя уравнения (6), (7), (14), а также, учитывая соотношение [К 0]Р- = К 0], получим уравнения динамического регулятора:

{(!) = П>Дг) + {га,1 + т л„ли

1С№ 2 2

}и (£) + {т1 АЛГе1и1(/ СМе2ЬМе2 ) Т1 £№1}у(^),

x(t) :

#(t)+

Vi LiC

- в

Ne2 BNe2

Ne 2

u (t) +

I

L1(In2 CNe2 LNe2 )

L

'Ne 2

y(t),

(зо)

и (ґ) = К К2 ).

5. Заключение. В работе проведено исследование задачи Н2-оптимизации дескрип-торной системы для случая представления регулятора в классе обыкновенных систем. Построение регулятора проводится на основе процедуры синтеза наблюдателя минимальной размерности. Показано, что решение задачи сводится к решению двух уравнений Риккати (27), (29), первое из которых имеет порядок, равный размерности «медленной» подсистемы исходной дескрипторной системы, а второе - пониженный порядок.

ЛИТЕРАТУРА

1. Duan G.R. Analysis and design of descriptor linear systems. Berlin: Springer, 2010.

2. Dai L. Singular control systems: Lecture notes in control and information sciences. Berlin, Heidelberg, N.Y.: Springer-Verlag, 1989.

3. Fahmy M.M., O'Reilly J. Observers for descriptor systems // International Journal of Control. 1989. V.49. N.6. P.2013-2028.

4. Чистяков В.Ф., Щеглова А.А. Избранные главы теории алгебро-дифференциальных систем. Новосибирск: Наука, 2003.

5. Луценко И.В. Синтез астатических регуляторов пониженной размерности на основе теорий Н2- и ^-оптимизации: автореф. дис. ... канд. техн. наук. Саратов: Изд-во Сарат. гос. техн. ун-та, 2009.

Торгашова Ольга Юрьевна -

кандидат технических наук, доцент кафедры «Техническая кибернетика и информатика» Саратовского государственного технического университета имени Г агарина Ю. А.

Шворнева Ольга Евгеньевна -

аспирант кафедры «Техническая кибернетика и информатика» Саратовского государственного технического университета имени Г агарина Ю. А.

Статья поступила в редакцию 10.02.12, принята к опубликованию 12.03.12