К вопросу об исследовании точечного отображенияплоскости в плоскость по его приближениюлинейным отображением Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ

УДК 517.9+518.61

К ВОПРОСУ ОБ ИССЛЕДОВАНИИ ТОЧЕЧНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ ПЛОСКОСТИ В ПЛОСКОСТЬ ПО ЕГО ПРИБЛИЖЕНИЮ ЛИНЕЙНЫМ ОТОБРАЖЕНИЕМ

© 2012 г. О.Г. Антоновская, В.И. Горюнов

НИИ прикладной математики и кибернетики Нижегородского госуниверситета им. Н.И. Лобачевского

pmk@unn.ac.ru

Поступила в редакцию 11.10.2012

Предложена методика исследования точечных отображений плоскости в плоскость по приближенно построенным линейным отображениям.

Ключевые слова: математическое моделирование, динамика систем, точечное отображение, неподвижная точка, устойчивость.

Введение

Известно, что ориентированные на ЭВМ удобные инженерные методы расчета предусматривают тщательный учет и сохранение нелинейных свойств исследуемого объекта [1—3]. Один из наиболее универсальных подходов, способствующих решению этой задачи, заключается в интегрировании системы численными методами. Однако непосредственное использование такого подхода при расчете статических характеристик радиосистем, имеющих на выходе высокочастотный гармонический сигнал и инерционные цепи управления, уже при скромных ограничениях на точность исследования требует очень большого количества машинного времени. Потребность в резком сокращении времени вычислений в этом случае обусловливает необходимость разработки эффективных проблемно-ориентированных методов расчета, включая численно-аналитические варианты [4].

В настоящей работе предлагается вариант ускоренного расчета характеристик периодических движений, основанный на интегрировании системы уравнений на конечном интервале времени, определяемом размерностью п = 2 задачи, с последующим использованием приближенного аналитического описания решения. В основе алгоритма лежит предположение о возможности установления с помощью динамиче-

ского оператора системы соответствия начальных координат их последующим значениям через интервал времени, равный периоду внешней силы, или, что то же самое, точечного отображения Т с функцией последования

*=Р(Х\ (1)

где X = (х1, х2) - вектор-столбец начальных значений координат, Х = (х1,х2) ~ вектор-

столбец последующих значений координат, Е -нелинейная вектор-функция [5].

Рассмотрим возможность аппроксимации нелинейного отображения приближенным линейным отображением Тл [6, 7] с функцией последования вида

X = АХ + В, (2)

где неизвестные А = (агу) - квадратная матрица 2x2, И = (Ь1) - вектор-столбец размерности 2.

Одним из простейших подходов к идентификации [8] параметров А, В является использование схемы интерполяции [9], при которой условие X = X выполняется на минимально необходимом последовательном числе итераций отображения. Для определения такого минимально необходимого числа итераций достаточно отметить, что необходимое условие

X = X интерполяции в скалярном виде относительно идентифицируемых параметров а- и Ь,

(3)

может быть представлено в виде системы линейных уравнений

а11Х1 + а12 х2 + Ь1 = Х1,

а21х1 + а22 Х2 + Ь2 = Х2.

Из вида (3) непосредственно следует, что эта система двух уравнений содержит 2*3 неизвестных агу и Ьг. Поэтому минимальное число последовательных итераций отображения Т, при которых возможна идентификация агу и Ьг, равно 3.

В этом случае выборка г-х уравнений (г = 1, 2) из всей группы трех последовательных итераций отображения Т приводит к системе уравнений вида

а/1х1(0) + аг 2 Х20) + Ьг = Xг(1),

Д1) + а х(1) + Ь = х(2)

а/1Х1 ) + аг 2 Х2) + Ьг = Х( ,

(4)

аг1Х1(2) + аг2 Х22) + Ьг =

в которых аг1, аг2 и Ь1 являются идентифицируемыми переменными, причем их верхние индексы соответствуют номеру итерации отображения Т.

С целью увеличения точности вычислений агу и Ьг введем в рассмотрение покоординатные разности итераций. Вычитая в (4) из каждой строчки предыдущую, приходим к системе уравнений

аг1Х1(0) + аг 2 Х20) + Ьг = Xг(1), аг1(Х1(1) - Х10)) + аг2(Х21) - Х20)) = - Xг(1), (5)

аг1 (Х1(2) - Х1(1)) + аг 2(Х22) - Х21)) = Хг(3) - Xг(2),

из вида которых следует, что достоверность вычислений может быть сохранена при условии, если значения всех покоординатных разностей превышают точность их задания.

Полная система уравнений, определяющих величины агу, Ьг (г,у = 1, 2), получающаяся с помощью задания в (5), может быть представлена в форме матричного уравнения

ОС = О, (6)

где в матрице О размерности 2*3 первые 2 строки и 2 столбца соответствуют матрице А, а последний столбец суть вектор-столбец В. В матрице С размерности 3*3 первые 2 строки являются элементами транспонированной матрицы, составленной из коэффициентов, стоящих перед величинами аг1, аг2 в системе (5). Первый элемент последней строки матрицы С равен единице, а остальные элементы этой строки равны нулю. Матрица О размерности 2*3, причем произвольная г-я строка матрицы соответствует транспонированию столбца правой части системы (5). Вся матрица О получается при изменении г от 1 до 2.

При условии невырожденности матрицы О из уравнения (6) находим, что

О = О ■ С-1, (7)

где С - обратная к С матрица.

Так как матрица О однозначно определяет матрицу А и вектор В, функция последования (2) приближенного точечного отображения Тл определена.

Согласно способу построения, периодический режим с периодом внешней силы исходной системы дифференциальных уравнений соответствует простой неподвижной точке отображения Т [5], и поэтому для координат приближенной неподвижной точки, согласно (2), получим соотношение

X* = А~* + В. (8)

Для исследования вопроса о существовании и устойчивости неподвижных точек точного точечного отображения Т по его приближению линейным отображением Тл воспользуемся следующей процедурой.

О приближенном исследовании неподвижных точек точечных отображений плоскости в плоскость

Пусть Т - гладкое точечное преобразование односвязной плоской области О0, определяемое равенствами

Х1 = ^1 (^ Х2X Х2 = ¥2 (Х1, Х2^ (9)

где Е1, Е2 е С2(О0) и для любых точек (Х1, Х2) области О0 известны константы Липшица для функций Е1, Е2 и их частных производных

1^!( xl, Х2) - ^( ^ Х2 )| +

+ \^2 (Х1, Х2 ) — -^2(Х1, Х2 )| —

< К[\Х1 - Х1\ + \Х2 - x2|], (10)

|^1,Х1(X1, Х2 ) - ^ Х2)\ +

+ |^1х2 (Х1, Х2) - ^1х2 (Х1, Х2 )| +

+ №х1 (Х1, Х2 ) - Х1 (Х1, Х2)| +

+ \^2 Х2 (Х1, Х2) - ^2 Х2 (Х1, Х2)| <

< N[|Х1 - Х1| + |Х2 - Х2)|. (11)

Допустим также, что в процессе итераций точечного преобразования расстояние между двумя последовательными точками Мк-1 и Мк

стало меньше величины е. Тогда ответ на вопрос, существует ли в е-окрестности точки Мк

неподвижная точка отображения Т, может быть получен на основе следующих простых рассуждений.

Введем в рассмотрение функции

(12)

Ф1(х^ Х2) = ^1(X1, Х2) - X1,

Ф 2 (X1, Х2) = ^2( X1, Х2) - Х2 и определитель

Д(Х1, Х2, Х1, Х2 ) = Ф1х1 (Х1, Х2 )Ф2Х2 (Х1, Х2 ) —

-Ф1x2(xl, Х2 )Ф 2 х1 ( Х1, Х2). (13)

Если исходить из предположения, что устойчивая неподвижная точка М*(х*, х*) точечного отображения Т в е-окрестности Ве(Мк) точки Мк существует, то характеристический полином, определяющий ее устойчивость, не имеет корней, лежащих на единичной окружности, и

хотя бы одно из произведений Ф1*Х2 Ф 2*Х1 или Ф1* Ф2 не обращается в нуль. В случае Ф1*Х2 Ф2*Х1 , как показано в [10], в некоторой е-

*

окрестности точки М выполняются условия теоремы о существовании и свойствах неявной функции [11], так что уравнения Ф1( хь х2) = 0 и

Ф2( х1; х2) = 0 определяют соответственно однозначные гладкие кривые Х1Ф 2( Х2) и Х2Ч X1), пересекающиеся в точке М . Следовательно, проверка фактического существования и место-

*

положения точки М относительно точки Мк может быть сформулирована как задача определения условий расположения области пересечения полос, содержащих кривые Х1Ф2( Х2) и хФ1(х1) в е-окрестности точки Мк.

Пусть линейное точечное отображение Тл

~1 = Ь1 + а11(х1 - X1k ) + al2(x2 - x2k X ~2 = b2 + a21(X1 - X1k ) + a22 (X2 - X2k )

(14)

с некоторой погрешностью задает значения хи х2 в точке Мк (х1к, х2к), т.е.

\ЬІ - ¥г (х1к > Х2к )1 ^ е(5Х1 = 1,2 (15)

I а,] - Р,х] (х1к, х2к )\ ^ 5(8), ^ І = 1,2 (16)

где е(5), 5(5) - ошибки нахождения функций и их частных производных. Пусть неподвижная точка М* отображения Тл с координатами

X1n = X1k +

X2n = X2k +

(a22 - 1)(X1k - b1) - al2 (X2k - b2) (al1 - 1)(a22 - 1) - a12a21 (a11 - 1)(X2k - b2) - a21(X1k - b1) (a11 - 1)(a22 - 1) - a12a21

(17)

лежит в е-окрестности точки Мк. Требуется установить существование соответствующей неподвижной точки преобразования Т и оценить расстояние между этими точками.

Наряду с функциями Ф1(x1, x2), Ф2(x1, x2) и определителем Д(x1, x2; xj, x2) будем рассматривать функции

ф1л (X1, x2) = a11( xl - xlk ) + a12( x2 - x2k ) + b1 - X1, (j8) ф2л (X1, x2) = a21(xl -xlk) + a22(x2 -x2k) + b2 -x2

и определитель

Д л(xi, x2; xí, x2) = фи(xl, x2 )ф2лс2 (x1, x2) -

-ф1лx2(X1, x2 )ф24(xí, x2) =

= (ajj - 1)(^22 - 1) - a12a21- (19)

Будем предполагать, что неподвижная точка MЛ отображения Тл такова, что ее характеристический полином не имеет корней, лежащих на единичной окружности, т.е.

ф1л = ф1л (Хл, x2л ) = ф2л = ф1л (Хл, x2л ) = 0,

Дл = Д л(xl, x2; Хí, x2) Ф 0,

что означает непараллельность прямых

ф1л(x1, x2) = 0 ф2л(x1, x2) = 0

И пусть, без потери общности рассуждений [12], a12«21 Ф 0.

Построим окрестность D точки M*2, такую, что уравнения Ф1(x1; x2) = 0 и Ф2(x1; x2)=0 определяют в ней однозначные гладкие функции

x24 xl), x1°2( x2).

Рассмотрим некоторый прямоугольник

D1 = (Хл - b, Хл + b, x2л - a, Ал. + a)

где

0 < тах{| x1k - -х* U x2k - x2л 1} < b < a < s <<1 На множестве D1

1 x2 ) - [a11(x1 - x1k ) + a12(x2 - x2k ) + b1]|<

< |F1 (x1k , x2k ) - b1| + 1 F1x1 (x1k, x2k ) -

- a11 | • |x1 - x1k | + |F/x2 (x1k, x2k) + a12| • |x2 - x2k | +

+ (3/2)N[(x1 - x1k )2 + (x2 - x2k )] <

< e(S) + 2s(S)(a + b) + 6N(a2 + b2), (20)

|a12 - F1 x2 (x1, x2) | < | a12 - F1 x2 (x1k, x2k )| +

+ № x2 (x1k, x2k ) - F1 'x2( ^ x2)| < s(5) + 2 N (a +b). (21)

Поскольку |ф1ЛХ2 (x1, x2)| = №12x2 | = | a12 L

|ф1л (Хл, x1L ± a)|= a |a12 L (22)

|ф1 л (x1, x2л ± a)| ^ |ф1л (x2л, x2л ±a)| - |ф1 л (Х1, xL ±a) -

-ф1л (x2, xL ± a)| ^ a M-^1 - a11|. (23)

Правая часть (23) положительна, если b < a |a121/|1 - a„|, a„ Ф1 (при a11 = 1 выражение в правой части (23) всегда положительно).

Выясним, при каких условиях уравнение Ф1(х1, x2) = 0 определяет однозначную функцию хф1 (x1) в области D1.

Из неравенства

|ф1л (X1, Х2)1 - 1Ф1( X1, Х2)1 < 1Ф1( X1, Х2) - ф1л (X1, Х2) <

< e(S) + 2s(S)(a + b) + 6 N (a2 + b2) (24)

и соотношения (19) следует, что |Ф1(Х1, Х2>| > a|a12| -b |1 - an|- (e(S) + s(S)(a + b) +

+ 6N(a2 + b2)) (Х -Х*л|<b,Х2 = Х*л ±a). (25)

Кроме того из неравенства

|ф1лх2( X1, Х2)|- |Ф1х2( X1, Х2)|< |ф1лх2( X1, Х2)-Ф1х2( X1, Х2)|<

< s(S) + 2 N (a + b) (26)

получаем

|Ф1х2( Х1> Х2)| < |a12| - (s(S) + 2N (a + b))

(|X1 - Х1л | < b, |X2 - Х2л | < a). (27)

Если правые части неравенств (25), (27) положительны, то уравнение Ф1( х1; х2) = 0 в окрест-

2

ности D1 точки Мл определяет однозначную гладкую функцию хф1( х1) [11].

Подобно D1 рассмотрим прямоугольник D2 =

= (х*л - a, х^ + a, х*л - b, х*л + b). На множестве

D2

|F2 (X1, Х2) - [a21(X1 - X1k ) + a22 (Х2 - X2k ) + b2]| <

< e(S) + 2s(S)(a + b) + 6 N (a2 + b2), (28)

|a12 - F\X2 (X1,X2) |< s(S) + 2N(a + b) (29)

и, поскольку |ф 2лх2(х1, х2)| = |a21|> то

|ф2л(х*л ± a, Х2л )| = a |a21|, (30)

|ф2л (х1л ± a, Х2)|> a |a21| - 1 - a22| b, (31)

причем правая часть (31) положительна, если b<|a211a/|1 -a22|,a22 Ф1 (при a22 = 1 она положительна всегда).

Выясним, при каких условиях уравнение Ф2(х1, х2) = 0 определяет однозначную функцию хф2(х2) в области D2. Заметим, что подобно (25), (27) можно получить неравенства |Ф 2 (X1, Х2)|> a |a21| b|1-a22| -- (e(S) + 2s(S)(a + b) + 6N (a2 + b2)), (32)

(|х2 - Х2л | < b, X1 = Х1*л ± a),

|Ф 2 х1 (X1, X2)|< |a21| - (s(8) + 2 N (a + b)), (33)

(|X1 - Х*л | < a, | X2 - Х2л | < b.

Если правые части (32), (33) положительны, то уравнение Ф2(х1, х2) = 0 в окрестности D2 точки Мл2 определяет однозначную гладкую функцию хф2 (х2) [11], а квадрат

D = D n D2 = (х2л - b, х2л + b, х2л - b, х2л + b)

2

дает оценку окрестности точки Мл, в которой определены х2Ф1(х1) и х1Ф2(х2) (рис. 1).

— D b J Мл2 a Mk \

D1

Х2

■G(Mk)

Х\

Рис. 1

Из приведенных выше рассуждений следует, что в качестве а, Ь можно выбрать величины а = а тт{[тт{ |а12|,|а21|} - 5(8)] /(2#),

[тт{|а12|,а211} - 25(8)] /(6#)}, (34)

Ь = а тт{а,[тт{|а12|,|а21|} - 5(8) + 2#а]/(2#), [|1- ап| +25(8) + [(|1- ап| +25(8))2 +

+ 24 N (а |а12| - 25(8) - 6N) - е(8))]]1/2 /(6 N), [|1 - а22| + 25(8) + [(|1 - а22 | +25(8))2 +

+ 24#((а |а121 -25(8) - 6Ы) - е(8))]1/2]} (35) при условии

ь > таХ{|Х1^ - Х*л М Х2к - Х2л|}, (36)

где 0 < а < 1, а 5(5), е(5) таковы, что

5(8) < т1п{|а12|,|а21|}/2, (37)

е(8) < а[тт{|а12|,|а21|} - 25(8) - 6#а]. (38)

Для того чтобы кривые, описываемые функциями х2 1(х1), х1 2(х2), в окрестности Б пересекались хотя бы в одной точке, достаточно, чтобы

[е(8) + 25(8)(а + Ь) + 6# (а2 + Ь2)] х х [тт{|а12|,|а21|} - 5(8) + 2# (а + Ь)]-1 < г, (39)

где г = 0^т (Р*/2), 0 < 0 < 1, в* - острый угол между прямыми ф1л = 0, ф2л = 0, а в - угол между прямой ф1л = 0 и осью х1 (рис. 2). Тогда в силу неравенств

|Ф1( х1, хф1л ( х1))|< е(8)+25(8)(а + Ь)+6N (а 2 + Ь2), (40)

|Ф 2 (хф2 л (х2 ), х2 )|< е(8)+25(8)(а+Ь)+6N (а2 + Ь2), (41)

(27), (33) имеем

|х2Ф1л (Х1) - хф1(Х1)| <r, |х1Ф2л (Х2) - хФ2(Х2)|< Г (42) при |х1 - х*л |<Ь, |х2 - х*л|<Ь (см. рис. 2). Отсюда следует, что кривые х2Ф1(х1), хф2(х2) в окрестности Б пересекаются не менее одного раза. Достаточное условие единственности точки пересе-

т = 0

Рис. 2

чения этих кривых также может быть легко получено. В самом деле, справедливо соотношение

|Д( х1, х2; х', Х2) -Д*Л | =

= | Д (Х', Х2; х' , х2) - Дл (Х', Х2; х' , х2)| <

< [ст + 2(5(8) + 2N (а + Ь))](5(8) + 2 N (а + Ь)), (43)

где ст = |1 - ап| + |ап| +11 - a22І + |а22|.

Так как при этом имеет место неравенство

|Дл| -|Д(^х2;xí,Х2)|<|Д(^х2;xí,Х2) -2*л|, (44)

то в случае выполнения условия

[ст+2(5(8)+2N (а +Ь))]( 5(8)+2 N (а+Ь)) < |Д*л |, (45)

где | Д л | = | (' - а11)(' - а22) - а12а21|.

Величина Д(Х', Х2; х', х2) в области Б отлична от нуля, что означает непараллельность касательных к кривым Х2 = Хф'( Х'), Х' = Хф2( Х2) в области Б [9], а следовательно, и единственность точки пересечения этих кривых. Заметим, что поскольку (45) есть квадратное неравенство относительно суммы а + Ь,

0 < а + Ь < [-ст- 2^(5) + ^/ст2 + 4 |Дл | ]/4Ы, (46)

где

5(5) < [-ст + д/ст2 + 4 |Д*л|]/2. (47)

Координаты точки пересечения кривых хф2(Х2) и Хфі(Хі) удовлетворяют системе уравнений Фі (Хі, Х2) = Ф 2 (Хі, Х2) = 0 и, следовательно, являются координатами неподвижной точки точечного отображения Т. Поэтому условия, при выполнении которых в окрестности существуют пересекающиеся в одной точке кривые

Х2 = Хфі (Хі), Хі = Хф2(Х2), являются достаточными для существования в окрестности В неподвижной точки точечного отображения Т.

*

Вопрос о характере устойчивости М также

легко решается. Поскольку предполагается, что

*

неподвижная точка Мл устойчива, для доказа-

*

тельства факта устойчивости точки М достаточно потребовать выполнения условий [13]

' -Р + д > 0, ' + р + д > 0, ' - д > 0 (48)

для коэффициентов р, д полинома

Р(2) = г2 + р1 + д, (49)

*

характеризующего устойчивость точки М , считая, что (48) имеет место для

Р = ~л = -(а11 + а22), д = ~л = а11а22 - а12а21.

Учитывая (19),(38) и (4), получаем (5(8) + 2 N (а + Ь) + М) х

х (4 + а + 2(5(8) + 2 N (а + Ь) + Ш)) < Г, (50)

где

г=т1п{'-~лд-~л+~лд+~л + ~л}. (51)

Так как (50) есть квадратное неравенство относительно суммы 2(а + Ь) + Ь > 0, то 0 < 2(а + Ь) + Ь <

< [-(4 + ст + 25(8)) + д/ (4 + ст)2 +Г ]/(2 N), (52)

причем

5(8) <[-(4 + ст) + 4(4 + ст)2 +Г]/2. (53)

Неравенство (50) (или (52)) при учете (53) дает достаточное условие устойчивости неподвижной точки точечного отображения Т.

Приведенные выше рассуждения доказывают следующую теорему.

Теорема. Пусть в процессе итераций точечного преобразования Т расстояние между двумя последовательными точками Мк-' и Мк стало меньше в. И пусть устойчивая неподвижная точка Мл линейного точечного преобразования Тл (аиа21 ф 0), с некоторой погрешностью задающего Т в точке Мк, лежит в в-окрестности точки Мк и удовлетворяются соотношения (34)-(39), (46), (47), (52), (53). Тогда если квадрат Б :| Х' - х*л | < Ь, |х2 - х*л | < Ь целиком лежит в в-окрестности точки Мк, то в этой окрестности существует единственная устойчивая неподвижная точка преобразования Т, отстоящая от Мл на расстояние, не превышающее Ь.

Заметим, что случай (ап - ')(а22 -') ф 0 может быть рассмотрен аналогично случаю а^а2' ф 0. При этом в оценках а^^а^ и |1 -ап|, |1 -а22| поменяются местами.

Практическое применение теоремы, предложенной в работе, сводится к выполнению следующей последовательности действий:

') в процессе итераций от начальной точки М0 остановиться в точке Мк, в которой

*

р(Мк-1, Мл ) < в, где в задано;

2) построить точечное отображение Тл и по формуле (17) определить координаты не*

подвижной точки Мл , проверив условие р(Мк-', Мл*) < в;

3) в соответствии с (34), (35) построить прямоугольники Б', Б2;

4) проверить выполнение условия

Мке Б = Б1п б2 ;

5) проверить выполнение условия (39) и сде-

*

лать вывод о существовании точки М ;

6) проверить выполнение условия (46) и сде-

*

лать вывод о единственности точки М ;

7) проверить выполнение условия (52) и сделать вывод об устойчивости точки М ;

8) если Б й Вв(Мк), то алгоритм поиска М следует повторить для большего к.

Заключение

В заключение отметим, что с целью апробации предложенного алгоритма локализации неподвижной точки точечного отображения плоскости в плоскость была рассмотрена задача оценки быстродействия синтезатора с неидеальным импульсно-фазовым детектором и пропорционально интегрирующим фильтром первого порядка. В этом случае функции последования точечного отображения задаются неявными существенно нелинейными соотношениями [14], хотя и допускают некоторое аналитическое исследование.

Анализ результатов работы алгоритма показал, что при различных значениях параметров системы размер окрестности Б, содержащей неподвижную точку, не превышал ЬтаХ = 10-5, а сравнение таблиц длительности переходных процессов в синтезаторе при различных значениях параметров показал, что числа итераций в таблицах длительности в случае нахождения координат неподвижных точек по формулам и с использованием алгоритма локализации отли-

чались незначительно (как правило на 1-2 итерации), причем для значений параметров, близких к оптимальным [15], когда число итераций при переключениях по диапазону невелико, эти таблицы практически совпадали.

Список литературы

1. Борисов Ю.П., Цветков В.В. Математическое моделирование радиотехнических систем. М.: Радио и связь, 1985. 177 с.

2. Окунев Ю.Б., Плотников В.Г. Принципы системного подхода к проектированию в технике связи. М.: Связь, 1976. 183 с.

3. Ризкин И.Х. Машинный анализ и проектирование технических систем. М.: Наука, 1985. 160 с.

4. Бычков Ю.А., Васильев Ю.В. Расчет периодических режимов в нелинейных системах управления: Машинно-ориентированные методы. Л.: Энергоиз-дат, 1988. 112 с.

5. Неймарк Ю.И. Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1972. 472 с.

6. Антоновская О.Г., Горюнов В.И. / НИИ ПМК ННГУ, Н. Новгород, 1995. 20 с. Деп. в ВИНИТИ

10.08.95 № 2429-В95.

7. Антоновская О.Г., Горюнов В.И. / НИИ ПМК ННГУ, Н. Новгород, 1995. 22 с. Деп. в ВИНИТИ

25.07.95 № 2279-В95.

8. Справочник по теории автоматического управления / Под ред. А.А. Красовского. М.: Наука, 1987. 712 с.

9. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике. М.: Физматгиз, 1962. 608 с.

10. Баталова З.С. // Изв. вузов. Радиофизика. 1966. Т. 9. №4.

11. Фихтенгольц Г. М. Основы математического анализа. II. М.: Гостехиздат, 1970. 800 с.

12. Дубровина Н.Н. // Динамика систем: Межвуз. сборник. Горький: Изд-во ГГУ, 1989. С. 121-131.

13. Неймарк Ю.И. // Изв. вузов. Радиофизика. 1958. Т. 1. №2. С. 95-117.

14. Антоновская О.Г., Горюнов В.И., Лоба-шов Н.И. // Динамика систем. Управление и оптимизация. Межвуз. сборник. Горький: Изд-во ГГУ, 1989. С. 59-72.

15. Антоновская О. Г., Горюнов В.И. // Вестник ННГУ. Математическое моделирование и оптимальное управление. 2004. Вып. 1 (27). С. 203-212.

ON POINT MAPPING OF THE PLANE INTO THE PLANE USING ITS APPROXIMATE REPRESENTATION BY LINEAR MAPPING

O.G. Antonovskaya, V.I. Goryunov

A technique is proposed to study point mapping of the plane into the plane using its approximate representation by linear mapping.

Keywords: mathematical simulation, system dynamics, point mapping, fixed point, stability.