К вопросу об исследовании точечного отображения произвольной размерности по его приближенному представлению линейным отображением Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ

УДК 517.9+518.61

К ВОПРОСУ ОБ ИССЛЕДОВАНИИ ТОЧЕЧНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ ПРОИЗВОЛЬНОЙ РАЗМЕРНОСТИ ПО ЕГО ПРИБЛИЖЕННОМУ ПРЕДСТАВЛЕНИЮ ЛИНЕЙНЫМ ОТОБРАЖЕНИЕМ

© 2012 г. О.Г. Антоновская, В.И. Горюнов

НИИ прикладной математики и кибернетики Нижегородского госуниверситета

им. Н.И. Лобачевского

pmk@unn.ac.ru

Поступила в редакцию 16.05.2012

Предложена методика исследования точечных отображений произвольной размерности по их приближенному представлению линейными отображениями.

Ключевые слова: математическое моделирование,

движная точка, устойчивость.

Введение

При численно-аналитическом изучении динамических систем методом точечных отображений одним из центральных является вопрос о нахождении координат неподвижной точки отображения [1]. В зависимости от свойств изучаемого объекта и целей исследования возможен различный подход к установлению факта существования неподвижной точки точечного отображения [2-6]. В настоящей работе предлагается один из возможных способов локализации координат неподвижной точки отображения посредством изучения линейного точечного отображения, приближающего заданное отображение с определенной точностью. Указанная задача дает обоснование методики приближенного нахождения стационарных режимов диссипативных систем с помощью упрощенных математических моделей.

Рассмотрим следующий вариант ускоренного расчета характеристик периодических движений, основанный на интегрировании системы уравнений на конечном интервале времени, определяемом размерностью задачи, с последующим использованием приближенного аналитического описания решения. В основе алгоритма лежит предположение о возможности установления с помощью динамического оператора системы соответствия начальных координат их последующим значениям через интервал времени, равный периоду внешней силы, или, что то

динамика систем, точечное отображение, непо-

же самое, точечного отображения Т с функцией последования

X = F (X), (1)

где X = (х1, х2,..., хп) - вектор-столбец начальных значений координат, X = (х1, х2,..., хп) - вектор-столбец последующих значений координат, Г -нелинейная вектор-функция [1].

Рассмотрим возможность аппроксимации нелинейного отображения приближенным линейным отображением Т [7] с функцией последования вида

X = AX + В, (2)

где неизвестные А = (а^) - квадратная матрица п х п , В = (Ь і) - вектор-столбец размерности п.

Одним из простейших подходов к идентификации [8] параметров А, В является использование схемы интерполяции [9], при которой условие X = X выполняется на минимально необходимом последовательном числе итераций отображения. Для определения такого минимально необходимого числа итераций достаточно отметить, что необходимое условие X = X интерполяции в скалярном виде относительно идентифицируемых параметров а^ и Ь і может быть представлено в виде системы линейных уравнений

ап х1 + а12 х2 + ••• + а1пхп + Ь1 = ^

а21 х1 + а22 х2 +... + а2пхп + Ь2 = х2,

а ,х + а х + ••• + а х + Ь = х.

«11 П2 2 пп п п п

Из вида (3) непосредственно следует, что эта система п уравнений содержит п х (п +1) неизвестных и Ь . Поэтому минимальное число последовательных итераций отображения Т, при которых возможна идентификация ау и Ь1,

равно п+1. В этом случае выборка /-х уравнений из всей группы п+1 последовательных итераций отображения Т приводит к системе (п+1) уравнения вида

Д0) I I ^ ^0)

С

Д!)

а.,х,() + а.2х2) +... + а. х ) + Ь. = хи,

/11 /2 2 ш п / / ?

a.lxl(1) + а.,х21) +... + а. х(1) + Ь. = х

1 1 2 2 п п

(1) /'

(2)

(4)

аах\п) + а2 х\п) +... + а,_х_п) + Ь = х.

. „<п) + Ь . = х (п+1),

п п

допускающих вычисление ап,а.2,...,ап и Ь.. В (4) верхние индексы в скобках у переменных х (/ = 1,2,...,п) соответствуют номеру итерации отображения Т.

С целью увеличения точности вычислений а у и

Ь введем в рассмотрение покоординатные разности итераций. Вычитая в (4) из каждой строчки предыдущую, приходим к системе (п+1) уравнения

а 1х1(0) + а.2х20) +... + а. х(0) + Ь. = х (1),

1 1 2 2 п п

ал (х1(1) - х10)) + а/2 (х21) - х20)) +... + + а,„(х!11) -хп0)) = х(2) -х,(1),

а1 (х1п) - х1п-1)) + ап (х2п) - х2п-1)) +... +

(5)

22

(я+1)

,(п)

+ а. (х(п) -х(п-1)) = х (п+1) - х 1

/ п V п п ' / 1

из вида п последних уравнений которой непосредственно следует, что достоверность вычислений может быть сохранена при условии, что значения всех покоординатных разностей превышают точность их задания.

Полная система уравнений, определяющих величины а-, Ь (/, у = 1,2,...,п) и получающаяся с помощью задания в (5) / = 1,2,...,п, может быть представлена в форме матричного уравнения НC=D, (6)

где в матрице Н размерности п х (п +1) первые п строк и п столбцов соответствуют матрице А, а последний столбец суть вектор-столбец В. В матрице С размерности (п +1) х (п +1) первые п строк являются элементами транспонированной матрицы, составленной из коэффициентов, стоящих перед величинами ая,ап,...,а п в системе (5). Первый элемент последней строки матрицы С равен единице, а остальные элементы этой строки

равны нулю. Матрица D имеет размерность п х (п +1), причем произвольная /-я строка соответствует транспонированию столбца правой части системы (5). Вся матрица D получается при изменении от 1 до п.

При условии невырожденности матрицы Н из уравнения (6) находим, что

Н = D • С Л (7)

где С - - обратная к С матрица. А т.к. матрица Н однозначно определяет матрицу А и вектор В, функция последования (2) приближенного точечного отображения Т определена.

Согласно способу построения, периодический режим с периодом внешней силы исходной системы дифференциальных уравнений соответствует простой неподвижной точке отображения Т [1]. Предполагая, что отображение правильно описывает нелокальные свойства отображения Т [7], для координат приближенной неподвижной точки, согласно (7), получим соотношение

X * = А~* + В. (8)

Для решения вопроса о возможности исследования существования и устойчивости неподвижных точек точечного отображения по его приближению линейным отображением воспользуемся изложенной далее процедурой.

О приближенном исследовании неподвижных точек точечных отображений

Пусть Т - гладкое точечное отображение области G с Rn в себя, определяемое равенствами

х, = Р, ^ х2 ^.^ хп) (/= 1,2,...,п) (9)

и пусть для любых точек М(х1,х2,...,хп) и

М'(х1,х2,...,хп) в области G функции р и их частные производные удовлетворяют условиям

| Р (х„ х2,..., хп) - Р (х[, х2>..., хп) |< Кр(М, М') (10) (/ = 1,2,...,п),

I (xl, x2,..., хп) - (х1, x2,..., х'п) < хр(М, М;)

(/ = 1,2,...,п), (11)

где К, N - положительные константы, а расстояние между точками М и М' определяется

п

формулой р(М,М') = ^| х. - х' |. Допустим

1=1

также, что в процессе итераций точечного преобразования расстояние между двумя последовательными точками Мк-1 и Мк, находимыми численно с заданной точностью, стало меньше величины е. Тогда ответ на вопрос, существует ли в е -окрестности точки Мк неподвижная точка отображения Т, может

быть получен на основе следующих простых рассуждений.

Введем в рассмотрение функции

ф .(М) = ф. ^x2,...,хп) = р. (xl,x2,...,хп) - х (12)

(/ = 1,2,...,п).

Если исходить из предположения, что устойчивая неподвижная точка М точечного отображения Т в е -окрестности точки Мк существует, то характеристический полином, определяющий ее устойчивость, не имеет корней, лежащих на единичной окружности. И пусть, кроме того, элементы главной диагонали определителя D * = det || Фх (М*) 11 не обращаются в нуль. Тогда [10] в некоторой окрестности точки М выполняются условия теоремы о существовании и свойствах неявной функции, так что уравнения Ф. (хр х2,...,хп) = 0 определяют однозначные гладкие поверхности, пересекающиеся в точке М . Следовательно, проверка фактического существования и местоположения точки М относительно точки Мк может быть сформулирована как задача определения достаточных условий пересечения поверхностей Ф. (хрх2,...,хп) = 0 в е -окрестности точки Мк.

Рассмотрим линейное отображение

п

х =Х аУ (хУ - хУк ) + Ь (/ = 1,2,...,n), (13)

у=1

где Мк (х1к , х2к ,..., хпк ),

| а у - Р ^ (Мк) |< 5 (8), | Ь , - Р , (Мк) |< е (8) (14)

(/ = 1,2,...,п).

Будем предполагать, что неподвижная точка

М** (х*л , х2л ,. . -хтл ) отображения ~ , координат^1 которой определяются из системы линейных уравнений

^Гсух*л =-Ь + ^аухук (/= 1,2,...,п) (15)

у=1 у=1

где С у = ау при У , Су = ау - 1 0' =1,2,...,n),

отстоит от точки Мк на расстояние, не большее е. Наряду с функциями Ф. (х1;х2,...,хп) введем в рассмотрение функции

Ф л (М) = Ф л (xl, х2 ^.^ хп ) =

= Е'аУ(хУ - хук) + Ь - х (16)

У=1

(/ = 1,2,...,п).

Пусть характеристический полином, определяющий устойчивость точки Мл, не имеет корней, лежащих на окружности единичного круга, и, кроме того, элементы главной диагонали определителя D* = det | ^ау 11 не обращаются в

нуль. Выясним, при каких условиях в окрестности D = (х1л - Ь, х1л + Ь,..., х1 - Ь, хпл + Ь) неподвижной точки Мл преобразования Тл лежит единственная неподвижная точка точечного преобразования Т.

Рассмотрим множество параллелепипедов

Д = (х*л - Ь х*л + Ь,...> х,*-1л - Ь х,*-1л + Ь х*л -

- Ь, хП, + Ь, х*+1л - Ь, х*+1л + Ь,..., х! - Ь, х1 + Ь) (17)

содержащих точку Мл. На множестве Д 1

| Ф. (М) - Ф л (М) |=| Р (М) - []Гау (ху - хук) + Ь1 ] |<

У=1

<1 Р (М) - Ь/ | +Х |ау - Р!ху (Мк ) 11 ху -хук | + (18)

У=1

+ N| (3/2)па2 + (п(п-1) + п/2)Ь2 |=

= е(8) + 5(8)(а + (п - 1)Ь + Ш((3/ 2)а2 + (п -1 / 2)Ь2),

| Ф 'х (М)-(а,-1) |=|Р; (М) - а .. |< (19)

< 5(8) + N(а(п - 1)Ь) (/ = 1,2,...,п), при этом, поскольку

| Ф'лщ (М )1=|Ф ^ (М*) |=|1 - а „ |, на множестве Д

1 Ф л (х1л ^ х*-1л , хПл ± a, х*+1л ,..., х1 ) |=|1 - а„ ^ (20) 1 Ф л (X1,..., х1л ± a, X,+1,..., хп ) >

- а^а - b^|aiу| , (21)

у

причем правая часть (21) положительна, если

Ь < а |1 - а^/(^|ау|) при ^|ау| * 0 (при

у /*у

ау | = 0 правая часть (21) положительна все-

у

гда). Из неравенства

| Фл (М) | -1 Ф/ (М) |<| Фл (М) - Ф. (М) |< (22) < е(8) + 5(8)(а + (п - 1)Ь) + №п((3 /2)а2 +

+ (п -1 /2)Ь2) и соотношения (19) следует, что при

| ху - х* |< Ь (у= 1,2,...,п , \Ф у ) х = х* ± а

| Ф/(М) |>| 1 - а ^а - | а.. | -(е(8) + (23)

/■* у

+ 5(8)(а + (п - 1)Ь) + Ш((3 / 2)а2 + (п -1 / 2)Ь2)). Кроме того, из неравенства

| Ф 1 х. (М) | -1Фх (М) |<| Ф /л (М) - Фх (М) |< (24) < 5(8) + N((п - 1)Ь + а) и соотношения | Ф'л (х1, х2,..., хп) | =| 1 - а. | получаем, что в области Д

| Ф х (М) |>| 1 - аи | -(5(8) + N((п - 1)Ь + а)). (25)

Допустим, что величин^1 а и Ь таковы, что правые части неравенств (23), (25) положительны. Тогда уравнения Ф. (хр х2,...,х п) = 0 в окрест-

ности Dt точки M, определяют однозначные гладкие поверхности xt = Ф "(x^..., xt ч, xt+1,..., xn) [10]. Заметим, что в качестве a, b можно выбрать величины

b = amin{a; a min{| 1 _ att | (V | aj |) _j },min{| 1 _ ait | _

i ■* i j*i

_ (Na + 5(8)) / (N (n _ 1) + SOj}

j*i j**

+s(8)(n _1) + ([£l aj| +s(8)(n _Г)]2 + (26)

j

+ 4n(n _ 1)[| 1 _ a it | a _ e(8) + as(8)])172] /

/ (2n(n _ 1) N)}},

a = min{min{[|1 _ a it | _s(8)]/N;[s(8) _ (27)

i

_ 11 _ a,. | ^,l\\1_a:\_S(8)\r_eNne(8) ] / (3Nn)}}, где 0<a<1,

s(8) <| 1 _ a.. |, e(8) < (| 1 _ a.. | _s(8))2 /(6Nn) (28)

при условии

b > max{ x* _ xk|}. (29)

i

Определим условия существования и единственности точки пересечения поверхностей

xi =Ф0(X1,..., Xi-J, xn) при . = 1,2,...,n в

n

области D = n D .

i=1

Поскольку имеет место соотношение

| Ф,.(M) |=| Ф,.(М*) _ф1л(М,) |< e(8) + (30)

+ s(8)(a + (n _ 1)b + Nn((3 / 2)a2 + (n _ 1 / 2)b2)), для того, чтобы в области D существовала точка пересечения поверхности xi = Ф0 (x1v.., x,_ 1, Xi+1,...,xn) с прямой Xj = xj, (j Ф i), X, - любое,

которая лежит от точки Мл на расстоянии, меньшем b, а значит, всякая точка поверхности xt =Ф0(х1,...,xt_1,xt+1,...,xn) в области D принадлежала хотя бы одной из гиперплоскостей

£ф;,(М)(Xj _xj, + <Ч8,) = 0, (31)

j=1

где Mt - любая точка, лежащая в области D на поверхности xt =Ф0(x1,...,х,_1,x,.+1,...,xn), 8jj- символ Кронекера, а величина | Axj. |< b , достаточно выполнения неравенства

| Axj |< [e(8) + s(8)(a + (n _ 1)b) + Nn((3/ 2)a2 + (32) + (n _ 1 / 2)b2)](| 1 _ a,, | _(s(8) + N((n _ 1)b + o)))_1 . Используя неравенства (30), (32), можно убедиться, что величина max{| xt _ x* |}, определяемая из системы уравнений (21) при i = 1,2,...,и,

меньше b. В силу непрерывности поверхностей это означает, что в области D имеется хотя бы одна точка их пересечения.

Убедимся теперь, что эта точка будет единственной. Принимая во внимание неравенства (18), (19), получаем соотношение

ID _ А ид _ d* |< {(s(8) +

+ N (a + b(n _ 1)) + emax)n _ О!, (33)

где D* = D1 = det | | aj | I D2 = det | |Фixj (Mi) | |-определители n-го порядка [3], а величина

emax = max{| ajj |} . Из (33) следует, что если

i,j j

n![(s(8) + N (a + (n _ 1)b + emax )” _ em ax] <| D* |, (34)

то величина | D21 в области D отлична от нуля. Это означает, что нормали к поверхностям x. =Ф0(х1,...,х,_1,х,+1,...,xn) взаимно не параллельны, и, следовательно, точка пересечения указанных поверхностей в области D может быть только одна. Таким образом, в области D существует единственная неподвижная точка исходного точечного преобразования T.

Рассмотрим вопрос об устойчивости неподвижной точки преобразования T. Пусть

Qn (z) = b^z" + bV-1 +... + biz + b°n (35)

- характеристический полином, определяющий устойчивость неподвижной точки точечного преобразования T, и пусть задан характеристический полином

Pn (z) = a0 zn + a1Jzn-J +... + an0-JZ + a0, (36)

определяющий устойчивость неподвижной точки M, точечного преобразования Тл.

Выражая коэффициенты (35), (36) через элементы соответствующих вековых определителей [11] и используя неравенство (34), можно убедиться [3], что

max | a0k _ b°k ^ s0 = max{k!Ckn (s(8) +

k k

+ N (a + (n _ 1)b) + M )k _ Mk}, (37)

где M = max | a.I Ckn = n!/(k!(n _k)!).

i,j

Допустим, что величины a, b, s(5) таковы, что удовлетворяются соотношения

sj <Pj _aj (i = 1,2,...,n), (38)

где s0 задается формулой (37), а для остальных s (j= 1,2,...,и-1) имеют место рекуррентные формулы

Sj+1 = (1 + ((a j +р j )Mj +

+ Pj (a j + sj )(Pj (Pj _ sj ))_1)sj, (39)

где

M = max{| aj |}, a = min{ o0 |,| aJn_ |},

J k J J

p j = max{| o0 y ai_j|},

а величины a]k (k = 0,1,2,..., n-j) определяются рекуррентными соотношениями

aj = оЦ _ (aoj_7aj_^+lK:^_k, | 00J_1 |<| oj |, ak = ak_1 _ (j+1/a0j_1)ai__1 _k+1.

| oj_11<| oj1

j_1 |<| aj_1

n_j+1 H ^0

|. (40)

Тогда при выполнении неравенства (38) полином (36) имеет столько же корней внутри и вне единичного круга, сколько и полином (35) [12]. Это означает, что характер устойчивости неподвижной точки точечного преобразования Т совпадает с характером устойчивости неподвижной точки

М* точечного преобразования Т.

Следствием всего вышеизложенного является следующая теорема.

Теорема. Пусть в процессе итераций точечного преобразования Т расстояние между двумя последовательными точками Мк-1 и Мк стало меньше е. И пусть устойчивая неподвижная точка линейного точечного преобразования Тл , с некоторой погрешностью аппроксимирующего Т в точке Мк, лежит в е-окрестности точки Мк, и удовлетворяются соотношения (29), (34), (38). Тогда если п-мерный параллелепипед Д = (х*л -Ь,х*и + Ь,...,хппл -Ь,хппл + Ь) целиком лежит в е -окрестности точки Мк , то в этой окрестности существует единственная устойчивая неподвижная точка преобразования Т, отстоящая от Мк на расстояние, не превышающее Ь.

Заметим, что в случае равенства единице хотя бы одного из а. можно воспользоваться тем фактом, что Д* * 0, а значит, хотя бы одно из слагаемых, входящих в Д*, вида с1а ,с2 ,...,спотлич-

но от нуля. Сохраняя неизменной логику рассуждений, можно получить оценки, подобные приведенным выше, где вместо 11 - а. |=| с. | будем

иметь | сщ |, а вместо ^ | ау | - сумму СКт | .

K Ф, тФа,

Практическое применение теоремы сводится к выполнению следующей последовательности действий:

1) в процессе итераций от начальной точки М0 остановиться на такой точке Мк, что

р(Мк-1, Мк) < е,где е задано;

2) построить точечное отображение Тл и определить координаты неподвижной точки Мл, проверив условие р(Мк-1,М*) < е ;

3) в соответствии с (26)-(29) построить параллелепипед Д и проверить выполнение условия р(Мк-1,М*) < Ь ;

4) если область Д удовлетворяет условиям теоремы, то считаем установленным факт суще-

ствования устойчивой неподвижной точки M* е D отображения T;

5) если область D не удовлетворяет условиям теоремы, то следует повторить алгоритм поиска M для больших значений k.

Заключение

С целью апробации предложенного алгоритма локализации неподвижной точки точечного отображения и-мерного пространства в себя была рассмотрена задача оценки быстродействия синтезатора с неидеальным импульсно-фазовым детектором и пропорционально интегрирующим фильтром произвольного порядка. В этом случае функции последования точечного отображения задаются неявными существенно нелинейными соотношениями [13], хотя и допускают некоторое аналитическое исследование.

Анализ результатов работы алгоритма показал, что при различных значениях параметров системы размер окрестности D, содержащей неподвижную точку, не превышал bmax = 10_ 5, а сравнение таблиц длительности переходных процессов в синтезаторе при различных значениях параметров показало, что числа итераций в таблицах длительности в случае нахождения координат неподвижных точек по формулам и с использованием алгоритма локализации отличались незначительно (как правило, на 1-2 итерации).

Список литературы

1. Неймарк Ю.И. Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1972. 472 с.

2. Баталова З.С. // Изв. вузов: Радиофизика. 1965. Т. 8. № 5.

3. Горюнов В.И. // Изв. вузов: Радиофизика. 1969. Т. 12. № 3. С. 426-431.

4. Горюнов В.И., Кириллов Ю.П. // Динамика систем. Межвуз. сборник. Горький: Изд-во ГГУ, 1976. С. 156-163.

5. Дубровина Н.Н. / НИИ ПМК ГГУ, 1989. Деп. в ВИНИТИ 27.07.89. № 5047.

6. Дубровина Н.Н. // Динамика систем. Меж-вуз. сборник. Горький: Изд-во ГГУ, 1989. С. 121-131.

7. Антоновская О.Г., Горюнов В.И. / НИИ ПМК ННГУ, 1995. Деп. в ВИНИТИ 25.07.95 № 2279-В95.

8. Справочник по теории автоматического управления / Под ред. А.А. Красовского М.: Наука, 1987. 712 с.

9. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике. М.: Физматгиз, 1962. 608 с.

10. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. Т. II . М.: Гостехиздат, 1970. 800 с.

11. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. М.: Физматгиз, 1960. 402 с.

12. Горюнов В.И. // Динамика систем. Межвуз. сборник. Горький: Изд-во ГгУ, 1976. С. 169-173.

13. Горюнов В.И., Лобашов Н.И. // Динамика систем. Межвуз. сборник. Горький: Изд-во ГГУ, 1987. С. 137-151.

ON POINT MAPPING OF AN ARBITRARY DIMENSION USING ITS APPROXIMATE REPRESENTATION BY LINEAR MAPPING

O. G. Antonovskaya, V.I. Goryunov

A technique is proposed to study point mapping of an arbitrary dimension using its approximate representation by linear mapping.

Keywords: mathematical simulation, system dynamics, point mapping, fixed point, stability.