К вопросу об исследовании близкого к треугольному точечного отображения плоскости в плоскость Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математическое моделирование. Оптимальное управление Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 5 (1), с. 164-168

УДК 517.9+518.61

К ВОПРОСУ ОБ ИССЛЕДОВАНИИ БЛИЗКОГО К ТРЕУГОЛЬНОМУ ТОЧЕЧНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ ПЛОСКОСТИ В ПЛОСКОСТЬ

© 2011 г. О.Г. Антоновская, В.И. Горюнов

НИИ прикладной математики и кибернетики Нижегородского госуниверситета им. Н.И. Лобачевского

pmk@unn.ac.ru

Поступила в редакцию 01.08.2011

Предложена методика исследования близких к треугольным точечных отображений плоскости в плоскость.

Ключевые слова: математическое моделирование, динамика систем, точечное отображение, непод-

вижная точка, устойчивость.

Введение

В настоящее время широкое применение в задачах исследования поведения траекторий систем дифференциальных уравнений получил метод точечных отображений [1], позволяющий единообразно подходить к исследованию различных систем. В частности, при помощи метода точечных отображений можно обосновать известные асимптотические методы в случае систем с малой нелинейностью [1, 2], поскольку лежащая в основе каждого метода замена одного уравнения другим состоит в сведении дифференциального уравнения к рассмотрению точечного отображения, близкого к тождественному, и некоторого его приближения. В связи с этим в работе [3] изучались возможности исследования вопросов существования и устойчивости неподвижных точек близкого к тождественному точечного отображения по его приближению.

Однако при исследовании систем, содержащих малые параметры, возникают и точечные отображения более сложного вида. Так, математическую модель синтезатора частоты с делителем частоты и пропорционально-интегрирую-щим фильтром [4] можно рассматривать как точечное отображение, близкое к треугольному

[5] или квазитреугольное.

В работе [6] сформулированы условия, при выполнении которых возможно исследование гладкого точечного преобразования плоскости в плоскость по его приближенному представлению. В настоящей работе при использовании результатов [6] доказана теорема о существовании и устойчивости неподвижной точки близкого к треугольному точечного отображения плоскости в плоскость.

Близкое к треугольному точечное отображение и его неподвижные точки

Будем называть треугольным [5] точечное отображение вида

х = /о(x, y), У = у. С1)

Пусть Т - гладкое точечное отображение области D0 с R2 в себя, близкое к треугольному

х = / (- y,ц), у = у + № (- y, цХ (2)

где 0< ц <<1, причем

/(- У,0) = /о(- У), gУ,0) = gо(- У), т.е. при ц = 0 точечное отображение становится треугольным. Пусть для любых точек области D0 удовлетворяются условия

1 /(- У,ц) - /0(- У) 1 +18(- У,ц) - 80(- У) < ЦЬ,(3)

1 Л (- У, Ц) - Л-(- У) 1 +1 / (- У, Ц) - Лу (- У) 1 + (4)

+18-(-У,Ц) - 80*(-У) 1 +1 8'у (-У,Ц) - 80у(-У) < ,

где цЬ, - ошибки нахождения функций и их

частных производных.

Будем предполагать, что для любых точек (-,у) и (-, У) области D0 функции /0(-, у) и 8 0(-, у) и их частные производные удовлетворяют условиям

1 /0 У) - /0(-, У ')| + 1 80 ^ У) - 80(-, У) N (5)

< К(|---| + |у - У' I), ()

I Л, (-, у) - /'- (-, у) I+1 &у (-, у) - Гоу (-, у) I +

+180- О, У) - 80-(-, у)| +180 у(x, У) - 80у(-, у)|< (6)

< Щ---1 +1 у - У |).

Рассмотрим вспомогательное точечное отображение Т

~ = /о(- y), ~ = у + ^оС^ у). (7)

Допустим, что точечное отображение (7) имеет неподвижную точку с определенным характером устойчивости. Требуется установить существование и характер устойчивости соответствующей неподвижной точки точечного отображения Т и оценить расстояние между этими точками.

Вводя необходимые для дальнейшего рассмотрения функции

ф(-, у, ц) = -(-, у, ц)- -,

У( - У, ц) = у( - У, ц)- У,

~(-, у) = ~(-, у) - -, у(-, У, Ц) = ~(-, У, Ц) - У и определители

Д(x, у;-, у'; ц) = ф -(- y, ц) V У(-, у ', ц) --ф У(- y, ц)^ -(-, у', ц),

Д(x, у;-, у'; ц) = ~-(- уУ~У О', у ', ц) -

- ф У (- у)м> -(-, у', ц),

легко видеть, что

ф( - y, ц) = / (- y, ц)- -

у( - У, Ц) = Ц8 (- y, ц),

~(- У) = /о(- У) - - ~(- У) = Ц8о(- У),

Д(-, у; -, У; ц) = цД (-, у; -, у; ц) = = ц[( Л (- y, ц) - 1)8У(-, у', ц) -- /У ^ y, ц)8-(-, у', ц)],

Д(-, у; -, У; ц) = цДх (-, у; -, у') =

= ц[( /0-(- у) -1) 80 у(-, у') -

- /0у(- у) 80-(-, у')].

Обозначим Д(-, у; -, у'; ц) = Д(-, у, ц), Д(-, у; -, у; ц) = Д(-, у, ц) при - = -, у = у'. В случае

- = -' = - , у = у' = у над знаком функции и определителя будем ставить звездочку.

Пусть (- , у ) - неподвижная точка преобразования Т и характеристический полином, определяющий ее устойчивость, не имеет корней, лежащих на единичной окружности [7]. Это означает, что ~ = V = 0, Д ф 0. Заметим, что система условий ~ = у = 0, Д ф 0 при ц ф 0 соответствует /о(х,У*) = -*, 8о(х*,У*) = 0, А* ф 0. Допустим при этом, что произведение ф у у - не обращается в нуль, а значит, имеет место /0*80- ф 0 . Тогда, согласно теореме о существовании и свойствах неявной функции [8], в некоторой окрестности точки (- , у ) уравнение ~(-, у) = 0 или, что то же самое, /0 (-, у) = - определяет однозначную гладкую функцию у/ (-), а уравнение ~(-, у) = 0 (или 8 0 (-, у) = 0) - однозначную гладкую функцию ~8(у). В силу гладкости этих кривых и условия

Д* Ф 0 (или Д1 Ф 0) найдется такой квадрат с центром в точке (x , у ), в котором касательные к кривым у = yf (x), x = y§ (у) не параллельны [9]. Обозначим эту окрестность через D = (x* - b, x* + b, у * - b, у * + b). При этом, согласно [6], в качестве величины b можно взять значение b = amin{1,a(K +1)-1 [min(| f * |,| f |) - 2Na]>,(8) где

a = a(4N)-Jmin{-a + (ct2 + 4| A* |)1/2, 2min(if;ug;*xi)>,

CT=|f'x* -11 + I f;* I +1 ,0*x I +1 ,0*у I (1 < a < 1) .(9) Действительно, в окрестности D1 = (x - b, x* + b, у * - a, у * + a) точки в силу (8), (9) имеют место неравенства

i лУ (x, у) i>i лу* i -1 пУ (x, у) - л; i>i г:У i - (10)

- 2Na > 0,

1 f,(x*, у * ± a) - x* > a(| fy 1 -2Na),

1 fo(x,у* ± a) - x >

>| fo (x*, у* ± a) - x* 1 - 1 fo( x, у * ± a) - (И)

- f,(x*,у* ± a)-1 x - x* |>

> a(\fly * | -2Na) - (K + 1)b > 0, из которых следует [8], что в окрестности D1 существует функция yf (x).

Аналогичн^1м образом можно показать, что в окрестности D2 = (x * - a, x * + a, у * - b, у * + b) точки (x , у ) существует функция y g (у).

Для любых точек (x, у), (x, у') области

D = D1 n D2, согласно [6], имеет место неравенство

| A1 (x, у; x', у') - A* |< 2Na(CT + 2Na) <| A* |, из которого следует, что | A1 (x, у; x', у') |ф 0 . Это означает, что касательные к кривым у = yf (x), x' = yg (у') в окрестности D не параллельны. Острый угол в , образованный касательными к кривым у = yf (x), x ' = y g (у'), удовлетворяет соотношению

tgP >1 A1(x, у;x', У)[(fL(у) -1)gоу(x',у') +

+ fly (x, у), x (x', у ' )П Оценим правую часть этого неравенства. Очевидно, что знаменатель этого выражения

1 (f0x(у) - 1)g0 у(x, у') + f0y (x, у) §0 x(x, у') |^ ^

где

у = 2[max(| f£ -11, | fy* |, | g0*x I, I §0*y I) + 2Nb], числитель

У

у*+а

у*+Ь

У* у*-Ь

у*-а

х*-а х*~Ь х* х*+Ь х*+а х

Рис.

| Д1( - у;;', у ') |> у о,

где

у0 =| Д* | -2ШЬ (ст + 2ШЬ) > 0, поэтому Р > Р* = аг^(у0 / у). В связи с этим кривые у = у/ (-), -' = ~8 (у') в области D можно заключить в секторы так, как это показано на рис. Угол между любыми двумя лучами, ограничивающими соседние секторы, больше в , и, следовательно, точки, лежащие на пересечении окружности (х - -*)2 + (у - у*)2 = {Ь[1 + sin(P*/2)]-1}2 с кривыми у = у/ (-), -' = ~ 8 (у'), находятся друг от друга и от границы окрестности D на расстоянии, не меньшем

г = ^т(Р* / 2)[1 + sin(Р* / 2)]-1. Выясним, при каких условиях в окрестности D точки (- , у ) лежит единственная неподвижная точка точного точечного преобразования Т.

Из неравенства

| /0 (- У) - -1 -1 /(- У,ц) - -1<

<| /^ У,ц) - /0(- У) |< цЬ и соотношения (11) следует

| / (- у> ц) - -> а(| /0'у*| -2Ша) - (К +1)Ь -цЬ (12)

* * (12)

(| - - - |< Ь, у = у ± а).

Кроме того, из неравенства

| /о'у(-у) | -1 /У(-у,ц) |<| /о'у(-у) - /У(-у,ц) |< цБ

и соотношения (10) получаем

|/у'(-,у, ц) |>| /0'У | -2Ша-цБ (13)

(| - - - |,| У - У* |< а).

Допустим, что правые части неравенств (12), (13) положительны. Тогда уравнение / (-, у,ц) - - = 0 в

окрестности D1 точки (- , у ) определяет однозначную гладкую функцию у = у/ (-, ц) [8].

Аналогично можно показать, что при условии положительности правых частей соотношений, получающихся из неравенств (12), (13) заменой /y'(x, У, ц) и Уо'у* на 8-(- У,ц) и 80*- соответственно, уравнение 8 (-, у,ц) = 0 в окрестности D2 точки (- , у ) определяет однозначную гладкую функцию - = -8 (у,ц).

Для того чтобы кривые, описываемые функциями у/ (-, ц), -8 (у, ц), в окрестности D пересекались хотя бы в одной точке, достаточно, чтобы

цЬ[шт(|/о';|,|80;|) - 2Ша -цБ ]- < г.

Тогда в силу неравенства

| /(-,~/(-),ц) |< ЦL,| 8(~8 (УХу,ц) |< ц£

и неравенств для | /у (-, у, ц) |, | 8- (-, у,ц) |, аналогичных (13), имеем

|~/ (х) - у/(;, ц) |< ^ | ~8 (у) - ^ (y, ц) |< г

(| -- |,| У- У* |< Ь).

Отсюда следует, что кривые у = у/(-, ц),

- = -8 (у,ц) в окрестности D пересекаются не менее одного раза.

Убедимся, что точка пересечения этих кривых в случае выполнения условия

(ст + 2тЬ)2ШЬ + (ст + 4ШЬ + цБ)цБ <| Д* | (14) будет единственной.

Действительно, поскольку, согласно [6], справедливы соотношения

| Д1(;, у;-, у) - Д1(;, у;-, у’) |<

< [ст + 4 ШЬ + цБ]цБ,

| Д1 (-, у; -, у') - Д* |< (ст + 2ШЬ)2ШЬ,

| | - у;- ', у ')|<| А1(- у;- ', у') -

- А1(;, у;- ', у')| +| А1 (.х^ у;- ', у ') - Д* | и имеет место неравенство (14), величина |А1(-, у; -', у';ц)| в окрестности D отлична от нуля. Это означает, что касательные к кривым у = у/ (-, ц),

- = (у, ц) в окрестности D не параллельн^1 [9]. Следовательно, точка пересечения указанных кривых в окрестности D может быть только одна.

Координаты этой точки удовлетворяют системе уравнений /(-, у,ц) - - = 0, 8 (-, у,ц) = 0 и, следовательно, являются координатами неподвижной точки точечного преобразования Т. Поэтому условия, при выполнении которых в окрестности D существуют пересекающиеся в одной точке кривые у = у/ (-,ц), - = -8 (у, ц), являются достаточными для существования в окрестности D неподвижной точки точечного преобразования Т.

При решении вопроса об устойчивости можно воспользоваться следующими простыми соображениями.

Если точка (- , у ) устойчивая, то для того чтобы гарантировать устойчивость соответствующей неподвижной точки точечного отображения Т, достаточно [7] потребовать выполнения условий

1 - р + q > 0, 1 + р + q > 0, 1 - q > 0, (15) характеризующих положение точки (р^) по отношению к границам Ш-, Ш+, Шф для всего семейства характеристических полиномов

Р( г) = г2 + pz + q, (16)

где

р = -(1 + /- (- ^ ц) + ц8У(;, У, ц^ q = Л (- y, ц)(1 + ц8У(;, y, ц)) --ц/У(;, У, ц) 8-(;, У, ц),

а функции / и 8 удовлетворяют условиям (3)-

(6), при выполнении (15) для

р = ~ = -(1 +ц8 0У + /о-*), q = ~ = /оУ*(1 + ц80У) -ц /о'у* 8 0*-.

(Аналогично могут быть рассмотрены другие случаи расположения точки (~, ~) по отношению к Ш-, Ш+, Шф.)

Следует отметить, что неравенство 1 - р + q > > 0 для всего семейства полиномов (14) имеет место при выполнении условия

2 + 2/о- + цС/о- + 80У) + цД* > 2[цБ + ШЬ] х (17) х (1 + ц(1 + ШЬ + цБ + ст / 2)), т.е. при малых ц и Ь это неравенство всегда имеет место. Неравенство 1 + р + q > 0 выполняется при выполнении (14), а неравенство 1 - q > 0 при

(цБ + ШЬ)(1 + 2ц(ст + 2ШЬ + цБ)) <

* * ~* (18)

<-[1 - /о'- - ц8 0у-цД1],

поскольку при 1 - ~ > 0 всегда имеет место условие

/оС + ц80*у +цД*1 < 1. (19)

Приведенные выше рассуждения доказывают следующую теорему.

Теорема. Пусть (-*,у*) - устойчивая неподвижная точка приближенного точечного преобразования Т, причем удовлетворяются соотношения

цЬ < а(шт(| * |, | ~-* |) - 2Ша) - (К + 1)Ь,

цБ < шт(|/;* |,|~: |) - 2Ша,

ц(Б + Ьг-1) < шт(|/;* |,|~-* |) - 2Ша и, кроме того, имеют место неравенства (14), (17)-(19). Тогда в квадрате | - - -* |< Ь,

| у - у * |< Ь существует единственная устойчивая неподвижная точка точечного преобразования Т.

Соответствующие теоремы для других случаев расположения точки (~, ~) по отношению к границам Ш-, Ш+, Шф могут быть получены аналогично.

Заключение

В заключение отметим, что изложенные выше результаты позволят, подобно [10], решать задачу о применимости результатов приближенного исследования математической модели синтезатора частоты с пропорционально-интегрирующим фильтром на предмет существования периодических решений посредством изучения точечного отображения достаточно простого вида.

Список литературы

1. Неймарк Ю.И. Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1972. 472 с.

2. Бутенин Н.В., Неймарк Ю.И., Фуфаев Н.А. Введение в теорию нелинейных колебаний. М.: Наука, 1987. 384 с.

3. Антоновская О.Г. // Математическое моделирование и оптимальное управление. Вестник ННГУ. Н. Новгород: Изд-во ННГУ, 2004. Вып. 1(27). С. 63-69.

4. Антоновская О.Г., Горюнов В.И., Лобашов Н.И. // Динамика систем. Управление и оптимизация. Меж-вуз. сборник. Горький: Изд-во ГГУ, 1989. С. 59-72.

5. Шарковский А.Н., Майстренко Ю.Л., Романенко Е.Ю. Разностные уравнения и их приложения. Киев: Наукова думка, 1986. 280 с.

6. Горюнов В.И. // Изв. вузов. Радиофизика. 1969. Т.12. № 3. С. 426-431.

7. Неймарк Ю.И. // Изв. вузов. Радиофизика. 1958. Т.1. № 2. С. 95-117.

8. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. II . М.: Гостехиздат, 1970. 800 с.

9. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике. М.: Физматгиз, 1962. 608 с.

10. Антоновская О.Г. // Математическое моделирование и оптимальное управление. Вестник ННГУ. Н. Новгород: Изд-во ННГУ, 1999. Вып. 2(21). С. 198-208.

ON THE STUDY OF NEAR-TRIANGULAR PLANE-TO-PLANE POINT MAPPING O. G. Antonovskaya, V.I. Goryunov

A method to study near-triangular plane-to-plane point mappings is proposed.

Keywords: mathematical modeling, system dynamics, point mapping, fixed point, stability.