CC BY
22
Математическое моделирование. Оптимальное управление Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2009, № 4, с. 141-145
УДК-504.14:681.511.4
О ВЛИЯНИИ ДИССИПАЦИИ ЭНЕРГИИ НА ДИНАМИКУ АСТАТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ С ШИРОТНО-ИМПУЛЬСНОЙ МОДУЛЯЦИЕЙ УПРАВЛЯЮЩЕГО СИГНАЛА
© 2009 г. О.Г. Антоновская, В.И. Горюнов
НИИ прикладной математики и кибернетики ННГУ им. Н.И. Лобачевского
pmk@unn.ac.ru
Поступила в редакцию 15.04.2009
Решается задача анализа влияния диссипации энергии на динамику синтезатора частоты с неидеальной записью и хранением информации об управляющем сигнале.
Ключевые слова: математическое моделирование, динамика систем, точечное отображение, устойчивость, функция Ляпунова.
Введение
Известно, что в технике связи и управления, в радиоавтоматике, в радиоизмерительных комплексах и других системах авторегулирования все шире применяются системы автоподстройки частоты с элементами дискретизации [1]. В связи с постоянным ужесточением требований, предъявляемых к системам синхронизации, и вынужденным переходом в уже существующих системах на новую элементную базу постоянно появляются многочисленные технические решения, основанные на интуитивных соображениях, направленные на повышение эффективности их работы за счет усложнения структуры и применения более совершенных алгоритмов управления [2]. Однако доказательство преимуществ предполагаемых технических решений невозможно без всестороннего численноаналитического, а по возможности, и качественного исследования динамики соответствующих им математических моделей (ММ).
Типичными представителями систем фазовой синхронизации с элементами дискретизации являются синтезаторы частоты (СЧ) [3]. В контуре автоподстройки таких систем осуществляется широтно-импульсная модуляция управляющего сигнала, причем момент срабатывания импульсного элемента определяется интегральными свойствами функции сравнения, определенной на произвольной траектории системы. В силу этого СЧ являются принципиально нелинейными динамическими системами [4], допускающими даже в простейшем случае движения хаотического типа [5]. Использование в СЧ фазовых детекторов, выполненных на основе Д-триггеров с запоминанием информации на
астатизирующей емкости [3], обусловливает тот факт, что ММ таких систем являются частным случаем систем с переменной структурой (СПС). А это делает целесообразным сведение исследования динамики таких систем к изучению свойств точечных отображений, соответствующих различным переходам фазовых траекторий из подпространства в подпространство, каждое из которых отвечает постоянству выходного сигнала фазового детектора (ФД).
Одним из необходимых требований адекватности реального процесса и его ММ является требование ограниченности движений. Однако, если ограниченность движений в непрерывных и дискретных системах синхронизации с ограниченной характеристикой ФД при наличии в контуре регулирования диссипативных потерь, возрастающих линейно с ростом величины фазовых координат, почти очевидна [1, 2], то в случае формирования выходного сигнала ФД с использованием генераторов тока на основе логического анализа относительного расположения импульсов сигнала эталонного генератора (ЭГ) и выходных импульсов счетчика механизм ограниченности движений становится неочевидным и требует дополнительного рассмотрения.
Реализация принципа исследования «от простого к сложному» показала, что использование в ММ СЧ идеального запоминающего устройства приводит к необходимости анализа склеенных неподвижных точек точечного отображения, в окрестности которых в линейном приближении реализуются движения центрального типа. И поэтому, несмотря на то, что после учета нелинейных свойств точечных отображений во втором приближении удалось по методу
функций Ляпунова показать, что основной режим может быть устойчивым, в технических приложениях такие ММ являются структурно слабо устойчивыми с неудовлетворительным качеством переходных процессов [6].
В настоящей работе решается задача анализа влияния диссипации энергии на динамику СЧ с неидеальной записью и хранением информации об управляющем сигнале и, в том числе, задача анализа влияния параметра потерь ц на характер поведения фазовых траекторий ММ СЧ в каждом из подпространств, соответствующих интервалам постоянства во времени сигнала управления, на условия перехода фазовых траекторий из одного подпространства в другое и, как следствие, на методику и результаты построения функций последования соответствующих точечных отображений, обеспечивающих новые возможности для построения условно-экстремальных функций Ляпунова [7] и изучения условий устойчивости процесса управления и качества переходных процессов.
Математическая модель системы
При учете неидеальности записи и хранения информации в интервалах постоянства выходного сигнала ФД напряжение (V) на выходе фильтра определяется уравнением [3]
с—і——(У) ■
Л я д
= 2л/о g (V)
аі
в котором N - показатель делителя с перестраиваемым коэффициентом деления (ДПКД).
Уравнения (1), (3) являются уравнениями ММ СЧ. С целью минимизации количества параметров в ММ СЧ перейдем в (1), (3) к безразмерному времени т = ?/Г0, где То - период сигнала эталонного генератора (ЭГ), показателю счетчика а = N / /0Г0, безразмерным: напряжению
х = V / V,
где нормирующее напряжение
(1)
в котором Я - включенное параллельно запоминающей емкости С эквивалентное сопротивление диссипативных потерь, їд (ґ) - выходной ток импульсного частотно-фазового детектора (ИЧФД), выполненного с использованием двух триггеров и схемы И-ИЛИ, принимающий в зависимости от динамики процесса одно из трех постоянных значений +1д, 0, -1д. При использовании уравнения для набега фазы ф перестраиваемого генератора (ПГ) в общепринятой форме [9]
(2)
где /0 - частота управляемого генератора, g(V) - нормированная на единицу монотонно возрастающая характеристика ПГ, и при использовании в качестве фазовой координаты тракта ПГ-ДПКД степени заполненности счетчика 0 от (2) переходим к уравнению
(3)
Ун = Т01д / С, параметру диссипации ц = Т0 /ЯС и управлению и = 1д (?)/1д.
Тогда безразмерные уравнения ММ СЧ в произвольном периоде ЭГ принимают вид х + их = м(х),
(0 < 0 < 1,0 < т < 1), (4)
0.0 = g (х(т)), где точкой обозначено дифференцирование по т .
Как и в случае идеального хранения информации (при ц = 0) [8], за счет кусочнопостоянного характера изменения во времени управления и( т) исследование динамики ММ СЧ можно проводить с привлечением трех подпространств П , П 2 и П 3 , характеризующихся тем, что в каждом из них и( т) принимает соответственно значение +1, 0, -1. Тогда полное представление о динамических свойствах ММ СЧ получается при изучении поведения изображающих точек в каждом из подпространств и характера перехода траекторий из одного подпространства в другое.
В случае линейной характеристики
g (х) = 1 + 5х (х > -(1 / S)) (5)
и использования для реализуемых фазовыми траекториями переходов между различными сечениями подпространств П, П 2 и П 3 задача исследования динамики СЧ сводится к необходимости изучения свойств последовательностей соответствующих точечных отображений. Для определенности примем для сечений Су-
подпространств ПI точечных отображений Тук,ы и областей Оук их определения следующие значения индексов: г - номер отображаемого подпространства; 7=1 соответствует отображению сечения 0 = 0,7 = 2 - отображению сечения т = 0; к = 1 и 2 характеризуют разделение отображаемого сечения на части; 1 - номер подпространства, в которое попадает отображаемая точка; п = 1 соответствует сечению 0 = = 0. Тогда анализ поведения фазовых траекторий ММ СЧ в каждом из подпространств пока-
зывает, что точки сечения т = 0 (С12) подпространства П, являющиеся начальными при изучении регулярных движений, либо остаются в П и их поведение описывается отображением
X = х0е— + (1 - е-ц )и-1,
Т (и)’ (^° ( ^ (^)) 6 ^121; Х’06 С12), (6)
121,12 ' 0=0° + а-1[1 + 5(1 - е-ц )и-1 х° +
+ -1 (1 - (1 - е-ц )^)],
либо уходят в подпространство П 2 и их поведение определяется отображением
X = х0е-^? + (1 - е-цТ )ц-1,
Т (Ц)’ (^° ( ^1 (Ц)) £ ^122 ’ Х’ С21): (7)
121,12 т + 5 (1 - е-цт )ц-1х° +
+ 5ц-1 (т - (1 - е-^т )ц-1) = а(1 - 0°).
В (6), (7) используется обозначение границы Г (ц) вида
Г (ц): 00 =00 ( Ц) =
= 1 -а -1[1 + 5 (1 - е)ц-1х0 + (8) + 5ц-1 (1 - (1 - е)ц-1)].
Остальные случаи преобразования сечений подпространств определяются точечными отображениями: сечения С2\ -
X = х0е
-ц(1-т0 )
Т211,12(М') ■ (х0 < х0 ( ^2 (и)) е ^211; х 0 е С12)>
0 = а-1 [1 -т0 + 5 (1 - е-^(1-Т0) )|д-1х0 ];
X = хЛе
-ц(т-т0 )
X = хАе
Т221,12 (М1) * (х0 < х0 ( Ш^У) є @22Ъ х, 0Є С12 )? (13)
0 = 0О +а-1 [1 + 5 (1 - е-Ц )ц-1х0 ],
где граница
Г4 (ц): 0о =0о (Г4 (ц)) =
= 1 -а -1[1 + 5 (1 - е)ц-1х0 ];
(14)
сечения С
31
Т
х = х0е-ц(1-т°} + (1 - е-ц(1-т°} )|Д-1,
(м): (х0 < х0 (Г3 (м)) є ^311; х, 9е С22 ), 311’22 - 9 = а-1[1 -т0 + 5(1 -е-ц(1-т°})м-1х0 +
+ 5м-1 (1 -Т0 - (1 - е^(1-т°} )м-1)],
(15)
х0е
-ц(т-то)
+ (1 - е
-КТ-т0 ) )ц-1
т (м). (х0 > хо(гз(м^є ^312; X0Є Сзі): Т3,23,(Ц)-Т-то + і (1 - е-"’-'о' )ц-1хо +
-Кт-то))м-1) _
(16)
+ (Т-т0 - (1 - е
где граница
Гз(М): хо = хо(Г2(^)) = м£ 1 (а-1 + то)х
х (1 - е-^(1-то))-1 + (1 - е-^(1-то) )-1 х (17)
х (1 -то - (1 - е
-ц(1-то) )м -1
)м -1)-
(9)
Исследование динамики системы
Анализ приведенных точечных отображений показал, что в зависимости от величины синтезируемой частоты, т. е. от величины параметра а, и значений остальных параметров устанавливаются различные последовательности то-
Т 212,31 (м) : (х0 > х0 (Г2 (м)) є ^212; х, Тє С31), (10)
Т — То + $ (1 — Є
-м(т-то))м-1Хо = а,
чечных отображений. Так при 1 <а< 1 + 5ц"1
(18)
основной синхронный режим соответствует
где граница
произведению точечных отображений Т22112 и Г2(ц). хо = хо(Г2 (ц)) = Т122 21 и внутри области 02ц имеет неподвиж-
= ц5 1 (а-1 + т0)(1 -е ц(1 Т0^) 1 (11) ную точку (х*,т*) с координатами (х0, т0 є С21) ;
сечения С
22
X* = (1 - е-^Т* )(ц(1 - е))-1, т* = ц(а-1)5-1.
(19)
X = х0е
-цт
Т222,31 (И): (х0 > х0 ( ^4 (И)) є &222; х, те С31 ), (12)
т + 5(1 - е-иТ )и-1х0 = (1 -0О )а ,
Неподвижная точка (х*, т*) устойчива в линейном приближении в области своего существования (18) на плоскости параметров а , $ при
значениях Б, лежащих под границей Ы_ устойчивости [10]
N.: а = а (N. )=
= 1 - 5ц'21п[ц(1 - в-]Х )Б-1 + £ (ц)]
(а >1), (20)
где
8(И) = (1 + 4е- е-2^ )(2(1 + е))-1. (21)
При
1 - 8|д-1 <а< 1 (22)
основной синхронный режим соответствует произведению точечных отображений Т 22231 и
Т311, 12 и внутри области 0222 имеет неподвижную точку (х*, 0*) с координатами
X* = -(1 - е-^(1-Т*) )(ц(1 - е))-1,
е* = 1 -а -1 (т * -5 (1 - е-^(1-т*)) X (23)
X (1 - е-^т* ))(ц2 (1 - е-^ ))-1,
где
т* = 1 + ц(а -1)5-1. (24)
Неподвижная точка (х*, 0*) устойчива в линейном приближении в области своего существования, определяемой неравенством (22) при значениях Б, лежащих под границей N. устойчивости, где
Ы- : а = а(Ы-) =
= 1 - 8ц'21п[ц(ец -1)5-1 + (25)
+ (4 + е-* - е*)(2(1 + е-*))-1].
При а =1 граница устойчивости (20) непрерывно переходит в границу (24), претерпевая положительный скачок наклона в сторону увеличения а.
Учет механизма диссипации (ц > 0) приводит к тому, что при малых переключениях по диапазону переходные процессы являются апериодическими: при а <1 только при циклическом включении и( т) = -1, а при а > 1 - только при включении и( т )=+1. При значительных, определяемых величиной параметра ц, переключениях а по диапазону в пределах области устойчивости переходные процессы являются на первых этапах колебательными, а окончание процесса по-прежнему является апериодическим.
Необходимо отметить, что поскольку при а >(<)1 свободный член характеристического уравнения, определяющего устойчивость неподвижных точек (19), (22), равен ехр(-ц) и при ц = +0 обращается в единицу, система по
линейному приближению приходит в пространстве параметров на границу устойчивости N
[10], так что ее устойчивость обеспечивается только нелинейными свойствами второго приближения [8]. Но это, в свою очередь, означает, что при использовании в модели СЧ астатизи-рующей емкости использование идеальных моделей генераторов тока приводит к вырождению соответствующей ММ СЧ.
Качественная сторона методики анализа динамики ММ связана в первую очередь с анализом условий выхода фазовых траекторий движения на сечения Су (г - номер подпространства, j - номер
сечения), соответствующих выполнению условий 0(т< 1 )=1 или 0(т = т0)< 1, т0 =1. В зависимости от Су фазовая траектория либо остается
в г-м подпространстве, либо переходит в другое подпространство. При изучении регулярных движений, связанных с переходом от одного стационарного движения на другое за счет скачкообразного изменения параметра а со значения а = а0 (начальное) на значение а = а н (новое), определяются преимущественно начальные сечения С0. Последнее обстоя-
У
тельство позволяет свести исследование динамики ММ к изучению свойств произведения точечных отображений плоскости в плоскость со степенями отображений, определяемых, в конечном счете, параметрами а и ц. При ц = = 0 (идеальное хранение информации) точечные отображения Тук к-х частей г-х подпространств определяются точными аналитическими формулами, при 0< ц <<1 - приближенными для функции g(x) общего вида и аналитическими для g(х) = 1 + Бх (х > -(1 / 5)).
Сведение исследования динамики ММ с уравнениями (4) к изучению точечных отображений позволило сформулировать условия существования и устойчивости в «малом» основного режима управления в параметрическом виде, представив соответствующие границы на плоскости основных параметров и связав их с условиями ограниченности и управляемости системы в «большом». Показано, что при ц ^ 0 режим управления соответствует склеенной неподвижной точке, расположенной на стыке сечений С21 и С22, при этом в линейном приближении существует центральное движения, соответствующее определенным сечениям квадратичной функции Ляпунова. При ц Ф 0 для исследования устойчивости в «большом»
возможно использование процедуры условноэкстремальной функции Ляпунова [7]. В силу существенной нелинейности функций последования отображения Тук целесообразно перенесение из [8] процедуры их исследования с представлением результатов либо в виде построения таблиц на плоскости (а0, ан), либо в виде соответствующих поверхностей. Последнее позволяет связать вопросы устойчивости в «большом» с проблемами оптимизации быстродействия системы управления.
Заключение
Исследование показало, что границы, разделяющие фазовые траектории с различным качественным поведением в каждом из подпространств ММ СЧ, непрерывно зависят от параметра ц , обеспечивая тем самым преемственность свойств функций последования точечных отображений. Однако при этом, при увеличении ц от нуля и при значении величины параметра управления а >(<) 1 неподвижные точки циклов соответствующих произведений точечных отображений сходят с границ областей своего определения. В зависимости от величины параметра управления уход неподвижных точек возможен в различные сечения подпространств ММ. При значении параметра а = 1 неподвижные точки циклов отображений, как и в случае ц = 0, лежат на линии склейки различных сечений подпространств состояний. Показано, что при ц > 0 неподвижные точки становятся устойчивыми в линейном приближении. Несмотря на то, что удалось получить аналитические уравнения границ существования и устойчивости [11], фактическое исследование взаимодействия линейных (при ц ^ +0, а ^ 1) и нелинейных механизмов устойчивости и качества переходных процессов удалось провести с помощью построения условно-экстремальных функций Ляпунова [7], сечения которых касаются различных границ областей определения точечных отображений, в том числе и при ц ^ +0.
Следует отметить, что не только результаты фактического исследования динамики СЧ, но и предложенные и апробированные в настоящей работе методики обладают определенной новизной не только с точки зрения приложения методики построения условно-экстремальных функций Ляпунова, но и с точки зрения развития фактических возможностей получения достоверной информации о взаимодействии линейных и нелинейных механизмов устойчивости в системах управления с широтно-импульсной модуляцией и запоминанием сигнала.
Список литературы
1. Шахгильдян В.В., Ляховкин А.А., Карякин В.Л. и др. Системы фазовой синхронизации с элементами дискретизации / Под ред. В.В. Шахгиль-дяна. 2-е изд. М.: Радио и связь, 1989. 320 с.
2. Шахгильдян В.В., Пестряков А.В. // Электросвязь. 1993. № 11. С. 38-42.
3. Левин В.А., Малиновский В.Н., Романов С.К. Синтезаторы частот с системой импульсно-фазовой автоподстройки. М.: Радио и связь, 1989. 232 с.
4. Цыпкин Я.З. Основы теории автоматических систем. М.: Наука, 1977. 560 с.
5. Антоновская О.Г., Горюнов В.И. // Материалы VII Международной школы «Хаотические автоколебания и образование структур», Саратов, 1-6 октября 2004 г. С. 56-57.
6. Антоновская О.Г., Горюнов В.И. // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. Н. Новгород: Изд-во ННГУ, 2008. № 6. С. 135-140.
7. Антоновская О.Г., Горюнов В.И. // Труды VIII Международной конференции «Идентификация систем и задачи управления». Москва, 26-30 января 2009 г. С. 968-975.
8. Антоновская О.Г., Горюнов В.И., Палоч-кин Ю.П. // Труды 61-й научной сессии, посвященная Дню радио. Москва, 16-17 мая 2006 г. С. 260262.
9. Шахгильдян В.В., Ляховкин А.А. Фазовая автоподстройка частоты. М.: Связь, 1966. 334 с.
10. Неймарк Ю.И. Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1972. 472 с.
11. Неймарк Ю.И. Динамические системы и управляемые процессы. М.: Наука, 1978. 336 с.
12. Антоновская О.Г., Горюнов В.И., Лоба-шов Н.И. // В сб.: Динамика систем: Управление и оптимизация. Горький: Изд-во ГГУ, 1989. С. 59-72.
ON ENERGY DISSIPATION INFLUENCE ON DYNAMICS OF AN ASTATIC SYSTEM WITH A PULSE WIDTH MODULATED CONTROL SIGNAL
O.G. Antonovskaya, V.I. Goryunov
An analysis is given of the energy dissipation influence on dynamics of a frequency synthesizer with nonideal record and storage of control signal data.
Keywords: mathematical modeling, system dynamics, point mapping, stability, Lyapunov function.
