CC BY
26
Общая и прикладная механика Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 4 (2), с. 42-43
УДК 681.5
КОЛЕБАНИЯ В ДИССИПАТИВНОЙ СИСТЕМЕ С ШИРОТНО-ИМПУЛЬСНОЙ МОДУЛЯЦИЕЙ И ЗАПОМИНАНИЕМ СИГНАЛА УПРАВЛЕНИЯ
© 2011 г. О.Г. Антоновская, В.И. Горюнов
НИИ прикладной математики и кибернетики Нижегородского госуниверситета
им. Н.И. Лобачевского
olga.antonovsckaja@yandex.ru
Поступила в редакцию 15.05.2011
Разрабатываются принципы создания систем управления автовращательными и автоколебательными процессами, обладающих не только простотой технической реализации, но и близостью к стратегии оптимального управления с разрывным характером управляющих воздействий при переходе от одних крайних значений к другим.
Ключевые слова: математическое моделирование, динамика систем, точечное отображение, неподвижная точка, устойчивость.
Известно, что одной из фундаментальных проблем прикладной механики является разработка систем управления автовращательными и автоколебательными процессами, обладающих не только простотой технической реализации, но и близостью к стратегии оптимального управления с разрывным характером управляющих воздействий при переходе от одних крайних значений к другим [1].
При использовании в качестве перестраиваемого параметра счетчика числа колебаний координаты управляемого объекта для создания динамически изменяющейся во времени последовательности импульсов и сравнения ее с периодической последовательностью эталонных импульсов возникает необходимость использования в цепи обратной связи системы управления астатизирующего звена, поскольку с его помощью можно закончить движение на многообразии, являющемся аналогом пластинки скользящих движений, реализуемой в автономных системах [2]. Наличие диссипации в системе с широтно-импульсной модуляцией, в отличие от автономного случая, приводит к появлению колебательных явлений в объекте регулирования. Последнее диктует необходимость детального анализа этого явления.
Рассмотрим с этой целью математическую модель (ММ) системы с широтно-импульсной модуляцией, предложенную в [3].
Безразмерные уравнения ММ с управляемой координатой х в произвольном периоде эталонных импульсов имеют вид
X + цх = и (т),
а9 = *(х(т)), (0 ^ !,0 ^ ^ (1)
где точкой обозначено дифференцирование по безразмерному времени т, координата х - линейная, координаты т и 0 — циклические; а > 0 - перестраиваемый параметр; 0 < ц << 1 — параметр диссипативных потерь; *(х) — неубывающая положительная функция с условием нормировки *(0) = 1.
Кусочно-постоянная управляющая функция и (т) может принимать одно из трех значений: + 1, 0, —1. Нулевое значение и(т) соответствует этапу хранения информации.
Поскольку управление и(т) является кусочно-постоянной функцией времени, исследование динамики ММ сводится к анализу свойств траекторий в каждом из трех подпространств П1 , П2 , П3 : в каждом из которых управление и(т) принимает соответственно постоянное значение +1, 0, —1. Тогда условия перехода фазовой траектории из одного подпространства в другое соответствуют закону управления системой. Так, если в П1 фазовая траектория движения приходит с течением времени на сечение 0 = 1 , то осуществляется при сохранении величины х переброс изображающей точки движения в П2 , что соответствует переходу системы управления в режим запоминания информации. Из П2 переходы осуществляются либо в П1 (при т = 1), либо в П3 (при 0 = 1). Из П3 переход может осуществляться только в П2 (при т = 1). Таким образом, исследование условий существования
и устойчивости регулярных движений сводится к анализу условий существования и устойчивости неподвижных точек соответствующих циклов точечных отображений различных сечений подпространств Ц. (. = 1, 2, 3).
Без потери общности рассуждений отметим, что при
1 < а < 1 + 5ц-1 (2)
и выполнении известных условий устойчивости [3] имеется двукратный цикл неподвижных то -чек с координатами в П
х* = (е-ц(1-т*) - в~ц)(ц(1 - е~ц))-1,
0* = а-1(1 -т* +5(1 -е-ц(1-т*)) X
х (1 - е-цт*))(ц2(1 - е-ц))-1, (3)
и в П2
х* = (1 - е_цт*)(ц(1 - е~ц ))-1,
-1 (4)
т* = ц(а-1)5_1.
Используя (3) и (4) в качестве начальных условий для траекторий системы (1) в каждом из подпространств П1 и П2 , нетрудно удостовериться, что разница между величиной х* в (3), (4) характеризует полный размах Ах* колебаний режима управления. При ц ^ 0, Ах*^ 0, но при этом в линейном приближении двукратный цикл приходит в пространстве параметров на колеба-
тельную границу устойчивости, так что приходится учитывать нелинейные свойства соответствующих точечных отображений [4].
При а > 1 указанная ситуация с размахом колебаний и характером устойчивости сохраняется.
Таким образом, появление диссипации в системе управления, с одной стороны, обеспечивает устойчивость управления в линейном приближении, а с другой стороны, приводит к увеличению амплитуды колебаний регулируемой координаты. Но последнее означает, что в системах с широтно-импульсной модуляцией управляющего сигнала с переключениями в соответствии с числом и характером расположения импульсов необходимо на этапе запоминания использовать дополнительные механизмы регулирования величины фазового рассогласования импульсов.
Список литературы
1. Понтрягин Л.С. и др. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Физматгиз, 1961. 391 с.
2. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. М.: Физматгиз, 1959. 915 с.
3. Антоновская О.Г., Горюнов В.И. // Вестник ННГУ 2009. № 4. С. 141—145.
4. Антоновская О.Г., Горюнов В.И. // Вестник ННГУ 2008. № 6. С. 135—140.
OSCILLATIONS IN DISSIPATIVE SYSTEM WITH WIDTH-PULSE MODULATION AND CONTROL SIGNAL STORAGE
O.G. Antonovskaya, VI. Goryunov
This paper is devoted to working out the principles of the creation for auto-rotation and auto-oscillation processes control systems, which are not only simple for technical realization, but close to optimal control strategy with interrupted control force character when transiting from one set of extreme values to another.
Keywords: mathematical modeling, system dynamics, point mapping, fixed point, stability.
