Качественный анализ динамики системы синхронизации с импульсным частотно-фазовым управлением Текст научной статьи по специальности «Физика»

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ

УДК 62-504.14:681.511.4

КАЧЕСТВЕННЫЙ АНАЛИЗ ДИНАМИКИ СИСТЕМЫ СИНХРОНИЗАЦИИ С ИМПУЛЬСНЫМ ЧАСТОТНО-ФАЗОВЫМ УПРАВЛЕНИЕМ

© 2013 г. О.Г. Антоновская, В.И. Горюнов

НИИ прикладной математики и кибернетики Нижегородского госуниверситета

им. Н.И. Лобачевского

pmk@unn.ac.ru

Поступила в редакцию 21.09.2012

Показано, что разработка математических моделей синтезаторов частоты на основе метода точечных отображений может быть использована как для построения, так и для исследования квазистатиче-ских моделей синтезаторов произвольной размерности.

Ключевые слова: синтезатор частоты, математическая модель, динамика системы, точечное отображение, неподвижная точка, устойчивость, кратный цикл.

Введение

В работе [1] была сделана попытка получения качественных сведений нелокального характера об особенностях динамических процессов в системах синхронизации, использующих принцип широтно-импульсной модуляции управляющего сигнала. В качестве конкретного примера была взята схема синтезатора частоты (СЧ) с импульсным частотно-фазовым детектором типа ИЧФД3Н [2] и идеальным астатическим фильтром. Однако несмотря на использование общеметодологического подхода к описанию процессов на основе метода точечных отображений построение соответствующих функций точечных отображений с помощью инженерного подхода, основанного на описании характерных осциллограмм процессов, не позволило в связи с быстрым нарастанием трудностей при анализе осуществить разбиение пространства параметров на области существования движений различной сложности.

В настоящей работе приводятся результаты общего качественного анализа процессов в системе управления работы [1]. Получение общих результатов оказалось возможным за счет распространения подхода к анализу систем с широтно-импульсной модуляцией систем управления, апробированного в [3,4], на системы с разрывным предельным циклом.

Математическая модель системы

Уравнения рассматриваемой математической модели (ММ) СЧ с управляемой координатой х в произвольном периоде следования импульсов опорного генератора (ОГ) имеют вид при подключенном выходе детектора а0 = § (х(т)),

Цх = и - х,

(0<0< 1, 0<х< 1, и = ±1), (1)

а при отключенном выходе детектора на этапе хранения информации а0 = § (х(т)), х(х) = .х^

(0 < 0 < 1, 0 < х < 1), (2)

где точкой обозначено дифференцирование по времени х, изменяющемуся в пределах периода сигнала ОГ; 0< ц <<1 - астатизирующий параметр; а - показатель счетчика (С); и - выходной сигнал детектора; х - выходная координата фильтра; 0 - координата С, пустого при 0 =0 и заполненного при 0 =1; х0 - начальное условие; §(х)>0 - нормированная на единицу (§(0) = 1) характеристика управляемого генератора (УГ).

Согласно методике работ [3,4], учитывающей скачкообразно изменяющийся характер структуры уравнений, для изучения поведения

фазовых траекторий 9(т), х(т) ММ СЧ следует использовать три фазовых подпространства: П1, в котором определена система (1) с и=+1; П 3, в котором система (1) определена при и= = -1, и подпространство П 2, в котором определена система (2).

Поскольку при таком подходе к моделированию динамики СЧ режимы работы детектора обусловлены свойствами фазовых траекторий в каждом из подпространств, а при переходе к случаю идеального астатизма (ц = +0) в силу устойчивости (1) по быстрым движениям при ц = +0 участков поверхности x=u=const фазовая траектория возмущенного при ц ф 0 циклического движения располагается в оЦЦ )-

окрестности невозмущенного движения [5], и при этом направление и величина мгновенного скачка по координате х при переходе траектории движения из одного подпространства в другое определены однозначно, - постольку переход к изучению ММ СЧ пониженной размерности является обоснованным, что, в свою очередь, предоставляет возможность проведения полного качественного анализа динамики.

Действительно, согласно логике работы детектора, в регулярном случае изображающая точка движения (ИТД) появляется в подпространстве П1 после прихода импульса ОГ, т.е. только на границе т =0. Идентифицируя эту границу как сечение С12 (единица в обозначении соответствует номеру подпространства, а двойка - границе т =0), из (1) при и=+1 находим, что перемещение ИТД в П1 осуществляется по траектории

х(т) = +1, 9(т) = 90 + ^(1) / а)т

(0 <т< 1) (3)

при условии, что в интервале времени т = [0,+0) возможен мгновенный скачок по координате х из начальной точки (х0,90) в точку (+1,90). При х0 = +1 такой скачок отсутствует.

При выполнении условия а < g(1) управляемости СЧ из (3) следует, что 9(т = 1) > 1 при любых 0 <90 < 1 . Но это означает, что движение по траектории (3) всегда заканчивается при некотором значении т = т < 1, тем самым порождается точечное отображение

^2 21 : х = +1, х = (а /g(1))(1 -90)

(90 е С,2, (х,т) е С21). (4)

В подпространстве П2 , согласно (2), движение совершается по траектории

x(x) = +1, 0(x) = (g(1) / a)(x-xo)

(G <x< 1). (5)

Из (5) следует, что в зависимости от величины xG ИТД может перейти по траектории (5)

либо на границу 0 = 1 (импульс С) с последующим переносом конечной точки движения в подпространство П 3, либо на границу x = 1 (импульс ОГ) с последующим переносом (возвратом) в П1. Указанные движения порождают в П 2 точечные отображения

T212,31 • X = +1, Х = Х0 + (a/g (1))

(G <XG <XG(Г2), (X, Х) є C3J), (б)

T211,12 • X = +1, 0= (g(1) / a)(1 X0 )

(x0 (Г2 ) < XG < 1, (X, X) є C12) (7)

и границу Г2 их определения

Г2 • Хо(Ц) = 1 - (a/g(1)). (8)

Поскольку ИТД, выходящие из подпространства П 2 в подпространство П1, вновь возвращаются в П 2, целесообразно ввести в рассмотрение отображение T =T1221 T2U12. Согласно (4), (7)

T • X =+1, Х = (a /g (1)) -1 + xG

(Х0 (Г2 ) <Х0 < 1, (X, Х) є C21). (9) График функции соответствия отображения (б) и график функции последования (9) могут быть представлены на одной диаграмме Ламерея ([5], с. 505) (рис. 1). В общем случае отображение сечения C21 в сечение C31 разрывно, что обусловливает наличие возвратных движений из П 2 в П1.

Нетрудно проверить, что T •

21 ,31

X = +1, Х = Хо + (a /g(1)) - (1 - (a / g(1))m1

(0<Хо < 1), (10)

где

m1 = m1(XG) = cell(x0 /(1 - (a /g(1))) - 1), (11)

и использует операцию «cell» округления числа до целого в большую сторону. Поэтому когда при xG < xG (Г2) величина, стоящая за знаком «cell» в (11) отрицательна, cell(...)=0 и формула (10) совпадает с формулой (б), а при Х0 > Х0 (Г2 ) m1 (xG) обозначает число разрывов графика функции соответствия (10), проходимых лесенкой Ламерея, выходящей из точки xG = х3 до

попадания в интервал G <Хо <Хо(Г2) (рис. 1).

Поскольку в П1 u=+1, а в процессе возвратных движений из П 2 в П1 и обратно, связан-

Рис. 1

ных с чередованием импульсов ОГ и С, детектор подключает и отключает один и тот же генератор напряжений (ГН), сохраняя при этом величину и = +1, имеет смысл ввести в рассмотрение отображение Т+ = Т212 31 Т12 21 точек (х0,00) сечения С12 еП, в точки (х,х) сечения С31 е П3. Подставляя величину х из (4) на место величины х0 в (10), находим, что

Т+ : х =+1, х = (а /§ (1))(т1 + 2 -00) - т1

(0 <00 < 1, (х х) Є С31Х (12)

где

т1 = т1(00) = сеі1(((а/§(1)) ^ (13) х (2 -00) -1)/(1 - (а/§(1)))). ( )

Из (13) следует, что величина

М1 = тах т1(00) достигается при 00 =0 и опре-

00

деляет граничное значение

а(М.) = (М. +1)§ (+1) / (М. + 2)

М = 1,2,...). (14)

Разрывы функции (12) располагаются при

00 = 00Р (Р - разрыв), где

00Р = 1 - (§(1) / а) -1)(1 + т1)

(а > §(1)/2, т1 = 0,1,...,М1). (15)

Вид графиков функции соответствия (12) отображения Т+ для случаев М1 =0 и М1 =2 приведен на рис. 2.

Движение в П 3 начинается из точки (х0, х0), лежащей на границе 0 = 0 (т.е. в сечении С31) и осуществляется, согласно (2), по траектории

х(х) = -1, 0(х) = (§(-1)/а)(х-х0)

Т

Рис. 2

(0 <т< 1) (16)

при условии мгновенного скачка по координате х из точки х0 = 1 в точку х(т = +0) = -1.

При выполнении условия а > g(-1) управляемости СЧ движение по траектории (16) в силу того, что 9(т = 1) при всех 0 < т0 < 1 меньше единицы, оказывается на границе т = 1 подпространства П3 при некотором значении

9 = 9 , порождая тем самым точечное отображение

Т31,22: х = -1, 9 = (g(-1) / а)(т-т0 )

(0 <т0 < 1, (х 9) е С22). (17)

Поскольку в П 3 импульс ОГ всегда появляется раньше, чем импульс С, ИТД переносится из П 3 в П 2 на границу т = 0 (сечение С22) с начальными значениями х и 9 , определяемыми соотношениями (17). Дальнейшее движение в подпространстве П2 , согласно (2), осуществляется по траектории

х(т) = -1, 9(т) = 90 + (g(-1) / а)т

(0 <т< 1). (18)

В зависимости от величины 90 ИТД может перейти по траектории (18) либо на границу т = 1 (импульс ОГ) с последующим переносом в подпространство П1 , либо на границу 9 = 1 (импульс С) с последующим переносом (возвратом) в П 3. Указанные движения порождают в П 2 точечные отображения

Т221, 12 : х = -1, 9 = 90 + (g(-1) / а)

(0 <90 <90^4), (х,9) е С12), (19)

^222,31 : X = “1, Х = (а /g (-1))(1 -0о)

(0О(Г4) <00 < 1, (Х,т) е С31), (20)

и границу их определения

Г4: 0о(Г4) = 1 -(g(-1)/а). (21)

Поскольку ИТД, выходящие из подпространства П 2 в подпространство П 3, вновь возвращаются в П 2, целесообразно ввести в рассмотрение отображение T2 = T3122 T222 31. Согласно (17), (20)

T2: X = -1, 0 = (g(-1)/а) -1+ 0О

(0о (Г4) <00 < 1, (X, 0) е С22). (22)

График функции соответствия (19) и график функции последования (22) могут быть представлены на одной диаграмме Ламерея. Эту диаграмму можно получить, произведя на рис. 1 следующие преобразования: т0 — 00, т —0 , —— 01, Х2 —— 02, хз —— 03, а/ g(+1) —— g(—1)/а,

П3 — П! .

Повторяя рассуждения, сделанные при анализе диаграммы Ламерея, приведенной на рис. 1, для графиков функции соответствия T222 ,31 и функции последования T1 можно отметить, что любая фазовая траектория, уходящая с сечения С31 подпространства П 3 и попадающая затем в П 2 , оказывается либо сразу, либо после некоторого количества возвратных движений в интервале-ловушке 0 <00 <00(Г4), из которого отображением T221,12 переводится в подпространство П1 на сечение С12. Поскольку в П 3 и= -1, а в процессе возвратных движений из П 2 в П 3 и обратно, связанных с чередованием импульсов ОГ и С, детектор подключает и отключает один и тот же ГН, сохраняя при этом величину и = -1, имеет смысл ввести в рассмотрение отображение Т- точек (x0, т0) сечения С31 еП3 в точки (X, 0) сечения С12 е П1. Нетрудно проверить, что

Т- : X =-1, 0= (g(-1) / a)(m2 + 2 -т0) - m2

(0 <Х0 <1, (x,0) е ^12 ), (23)

где

m2 = m2(x0) = ceil(((g(-1) / а) х (24)

х (2 -Т0) -1)/(1 - (g(-1)/а))). ( )

Из (24) следует, что величина

М2 = max т2^) достигается при Т0 =0 и оп-

^0

ределяет граничное значение

а(М 2) = (M 2 + 2)g (-1) / (M 2 +1)

(М 2 = 0,1,...). (25)

Разрывы функции соответствия (23) располагаются при т0 = т0 , где

т0р = 1 - (а /g(-1)) - 1)(1 + Ш2)

(а < 2g(-1), шг = 0,1,...,М2) (26)

Вид графиков функции соответствия (23) отображения Т_ для случаев М2 =0 и М2 =2 с точностью до переименования осей совпадает с видом графиков, приведенных для отображения Т+ на рис. 2.

Качественное исследование математической модели системы

Из приведенных формул для отображений Т+ и Т_ следует, что стационарные движения в рассматриваемой ММ СЧ описываются свойствами циклического отображения Т, равного произведению отображений Т+ и Т_, и поэтому для построения диаграммы Ламерея для отображения Т достаточно воспользоваться построением графиков функций соответствия отображений Т+ и Т_ на одной диаграмме ([5], с. 505).

Для простейшего случая, когда 2g(-1) <а < g(+1)/ 2, т.е. М1 =М2 =0, и, следовательно, графики функций соответствия отображений Т+ и Т_ не имеют разрывов, совместная диаграмма приведена на рис. 3. Для установления системной связи между количеством разрывов у отображений Т+ и Т_ и характером пересечения их графиков необходимо конкретизировать вид функции g(x). В случае линейной функции g(x)=1 +Sx таким системообразующим параметром является крутизна характеристики &

Считая в соотношениях (14) и (25) М1 и М 2 заданными числами, находим, что на плоскости (а, £ > 0) уравнения границ областей существования определенного количества разрывов принимают вид: у отображения Т+

£ = £ (М1) = -1 + ((М1 + 2) / (М1 + 1))а

(М1 = 0,1,...), (27)

у отображения Т_

£ = £ (М 2) = 1 - ((М 2 +1) / (М 2 + 2))а

(М 2 = 0,1,...). (28)

На плоскости (а, £ > 0) в пределах границ управляемости £ > а -1 (а > 1), £ > 1 - а

(а < 1) и условия £< 1, эквивалентного физическому условию g(-1)>0 положительности часто-

;(i)

V гч . J

г \ \ т

—rV-- + a

і її—^ 1 і і \ S(l)

і і \ f і V ' 1

і . А

s(-1) л . 2 S(-1)

а

■ в *

Рис. 3

ты УГ, области с границами (27), (28) образуют два пересекающихся веера (рис. 4). При установленной классификации областей рис. 3 соответствует параметрам а, 5, принадлежащим области № 00. При переходе на плоскости (а, 5) из области № 00 в область № 11 совместная диаграмма для отображений Т+ и Т- принимает вид, приведенный на рис. 5.

Переходя к общему анализу относительного расположения графиков функций соответствия отображений Т+ и Т-, необходимо отметить, что на плоскости (а, 5) имеется геометрическое место точек

а = V1 - 52 (0 < 5 < 1), (29)

на котором выполняется условие М1 =М 2 =М. На кривой (29) в интервале 0.8 < а < 1 величина а появления разрыва графиков для Т+ и Т-одинакова и определяется соотношением

а = i -

i-S

Vi + S

(ЗО)

причем max а = а(О.6) = О.5 .

Согласно рис. 5 ближайшие точки разрывных частей графиков функций соответствия отображений T+ и T- имеют координаты для T+

0 = 0Ор(m, = О) = 1 -(g(i)/а), х = а/g(i) и для

T- 0 = g(-,)/а , Х = ХОр (m2 = О) = 1 - (а /g (-i)).

Рассмотрим разности координат указанных точек

Ai =0Ор (mi = О) - (g(-i) / а) =

=1 - (g(i) + g(-i)) / а,

A1 =ХОp (m2 = О) - (а / g(i)) =

= 1 - (а( g (i) + g (-i)) /g (i) g (-i)).

(Зі)

(З1)

Рис. 4

Для случая линейной характеристики §(х) из (31), (32) находим, что

Д1 = 2(1 - (1 / а)),

Д2 = 2(1 - (а /(1 - 52))). (33)

Из (33) следует, что Д1 = 0 при а = 1 и Д 2 = 0 при а = 1 - 52.

На плоскости (а, 5) границы Д1 = 0 и Д2 = 0 не пересекаются, но имеют одну общую точку а = 1, 5=0, лежащую на стыке границ области управляемости СЧ (рис. 4). За счет этого, как нетрудно удостовериться, случай Д1 , Д2 > 0 не реализуется. Но это, в свою очередь, означает, что пересечение графиков отображений Т+ и Т- возможно только трех типов. В первом случае пересекаются графики только в базовых интервалах непрерывности, т.е. так, как это показано на рис. 5. Во втором случае при т1 > 1 базовый участок непрерывности отображения Т- пересекается с графиком отображения Т+ в произвольном месте. И в третьем случае при т2 > 1 график в базовом участке непрерывности отображения Т+ пересекается с графиком отображения Т- в произвольном месте. При всех трех указанных типах пересечения графиков возможно попадание графика базового участка непрерывности в разрыв графика сопредельного отображения, например так, как это показано на рис. 6, получающемся непрерывной трансформацией рис. 5. В этом случае простая неподвижная точка произведения отображений отсутствует, но существуют кратные циклы, переходящие на границах существования циклов всевозможной сложности в движения, устойчивые по Пуассону [6]. Для определения условий существования кратных циклов ото-

Рис. 7

бражения Т отметим, что на плоскости параметров (а, 5) уравнения границ таких областей могут быть получены с помощью следующих простых рассуждений. Для отображения Т+ участок разрывности, лежащий между участками непрерывности с номерами т1 и т1 +1, располагается на плоскости (0, т) между точками

(00р (т1),1) и (00р (т1),(а/g(1))), и поэтому

границы существования кратных циклов соответствуют условию прохождения графика базового участка непрерывности отображения Т-через указанные точки. Отсюда находим, что кратные циклы отображения Т = Т Т+, соответствующие вышеуказанному типу пересечения графиков отображений Т+ и Т- , существуют в интервале а (т1) < а < а (т1), где

номерами т2 и т2 +1, располагается на плоскости (0, т) между точками ((я(-1) / а), т0 (т1)) и (1, т0 (т1)). Подставляя координаты этих точек в уравнение (12) при т1 =0, т.е. в уравнение базового участка непрерывности, находим, что соответствующий этому случаю интервал существования кратных циклов задается неравенством а (т2) < а < ар (т2), где

(2 + т2) §(-1) ё (+1)

а р (т2) =

ё(-1)(1 + т2)§(+1) ’

(36)

а р (т.) =2 §(-1) + (1. + щ)§ (1) § (1)

а р (т) =

(2 + т1) я(1) + ё(-1)

(1 + т1) ё(1) + ё(-1)

2 + т,

(34)

(35)

а ( ) = Я(-1) +(2 + т,)Я(+1) ё(-1). (37)

г) 2я(-1) + (1 + т,М+1)^ ' 1 ' Отметим ряд общих свойств поведения границ (34)-(37) на плоскости (а,5). При 5=0

ар (т1) = ар (т1)= ар (т2) = ар (т2) =1, и, следовательно, на плоскости (а, 5) при 5 ^ 0 все интервалы существования кратных циклов сжимаются и сходятся в точку (0,1). При 5=1

а р (т2) = а р (т2) =0,

а (т1) = а р (т1) =

Для отображения Т_ участок разрывности, =2(1 + т1)/(2 + т1), т.е. при т1 =0,1,... образу-лежащий между участками непрерывности с ют ряд 1; 4/3; 1.5;..., сходящийся к значению

а

а = 2. Далее, поскольку sign(а (т1) -1) = = sign(5т1), а sign(1 - ар (т2)) = sign5, области существования кратных циклов с индексом т1 располагаются на плоскости (а, 5) при а > 1 (исключение составляет случай т1 =0, когда левая граница области с т1 =0 совпадает с линией а = 1, 0 < 5 < 1), а области существования кратных циклов с индексом т2 располагаются при а < 1. Более того, поскольку дар (т1) / дт1 > 0 , да (т1) / дт1 > 0, а

дар (т2) / дт2 > 0 , да (т2) / дт2 < 0, то при

любом 5 с увеличением т1 области существования циклов на плоскости (а, 5) смещаются вправо, а с увеличением т2 - влево, т.е. так, как это показано на рис. 7.

Заключение

Наличие в динамике СЧ счетного множества поддиапазонов, в которых фаза появления

управляющих импульсов модулирована циклами низкочастотной повторяемости, означает, что принцип импульсного частотно-фазового детектирования, обеспечивая единственность и устойчивость предельной траектории в широком частотном диапазоне, в определенных поддиапазонах интервала управляемости предъявляет чрезвычайно жесткие условия к фильтрации низкочастотных составляющих спектра выходного сигнала УГ.

Список литературы

1. Горюнов В.И. // Математическое моделирование и оптимальное управление. Вестник Нижегор. ун-та. 2003. Вып. 1(26). С. 207-215.

2. Левин В.А., Малиновский В.Н., Романов С.К. Синтезаторы частот с системой импульсно-фазовой автоподстройки. М.: Радио и связь, 1989. 232 с.

3. Антоновская О.Г., Горюнов В.И. // Вестник Нижегор. ун-та. 2008. № 6. С. 135-140.

4. Антоновская О.Г., Горюнов В.И. // Вестник Нижегор. ун-та. 2009. № 4. С. 141-145.

5. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. М.: Физматгиз, 1959. 915 с.

6. Леонов Н.Н. // Изв. вузов. Радиофизика. 1959. № 6. Т. 2. С. 943-956.

QUALITATIVE ANALYSIS OF THE DYNAMICS OF A SYNCHRONIZATION SYSTEM WITH PULSE

PHASE/FREQUENCY CONTROL

O. G. Antonovskaya, V.I. Goryunov

We show that mathematical simulation of frequency synthesizers by the point mapping method can be used to build and study quasi-static models for arbitrarily dimensional synthesizers.

Keywords: frequency synthesizer, mathematical model, system dynamics, point mapping, fixed point, stability, multiple cycle.