Анализ формы установившихся процессов в системе синхронизации с импульсным частотно-фазовым управлением при идеальном астатизме фильтра Текст научной статьи по специальности «Физика»

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ

УДК 62-504.14:681.511.4

АНАЛИЗ ФОРМЫ УСТАНОВИВШИХСЯ ПРОЦЕССОВ В СИСТЕМЕ СИНХРОНИЗАЦИИ С ИМПУЛЬСНЫМ ЧАСТОТНО-ФАЗОВЫМ УПРАВЛЕНИЕМ ПРИ ИДЕАЛЬНОМ АСТАТИЗМЕ ФИЛЬТРА

© 2013 г. О.Г. Антоновская, В.И. Горюнов

НИИ прикладной математики и кибернетики Нижегородского госуниверситета им. Н.И. Лобачевского

olga.antonovsckaja@yandex.ru

Поступила в редащию 31.05.2013

Приводятся результаты качественного и численного анализа формы установившихся процессов в системе синхронизации с импульсным частотно-фазовым управлением.

Ключевые слова: синтезатор частоты, математическая модель, динамика системы, точечное отображение, неподвижная точка, устойчивость, кратный цикл.

Введение

В работах [1,2] было установлено, что исследование условий существования и устойчивости движений в математической модели (ММ) системы синхронизации с частотнофазовым управлением при идеальном астатизме фильтра [3] сводится к изучению точечного отображения Т, равного произведению периодических разрывных отображений Т+ и Т_, одномерный характер которых позволяет установить, что плоскость основных параметров системы разбивается на счетное число подобластей существования простых и кратных неподвижных точек отображения Т, переходящих на границах существования циклов всевозможной сложности в движения, устойчивые по Пуассону [4]. Наличие кратных циклов обусловливает сложную форму глобально устойчивого процесса управления, что является определяющим при выборе параметров фильтра, гарантирующего заданную спектральную чистоту сигнала управления, и поэтому требует более детального рассмотрения.

В настоящей работе приводятся результаты качественного и численного анализа формы установившихся процессов в системе управления из работы [2]. Качественный анализ затрагивает вопросы определения свойств границ областей существования простых неподвижных точек и циклов первой сложности отображения

Т как наиболее крупных по размерам и локализующих в пространстве основных параметров расположение границ областей существования циклов более высокой сложности. Качественночисленная методика использована для определения характеристик движений, соответствующих циклам высокой сложности.

Простые неподвижные точки отображения Т и соответствующая им динамика процессов

Согласно [2] особенностью процесса управления в рассматриваемой ММ является возможность осуществления изображающей точкой движения (ИТД) при определенных значениях параметров возвратных петлеобразных движений, описываемых по методу точечных отображений как преобразование сечений С21 ^ ^ С12 ^ С21 и С22 ^ С31 ^ С22. Указанные виды петлеобразных движений связаны с особенностями алгоритма работы импульсного частотно-фазового детектора (ИЧФД), соответствуют досчету фазы приходящих на входы ИЧФД импульсов от опорного генератора (ОГ) и счетчика (С) числа колебаний управляемого генератора (УГ).

В [2] показано, что при а> 1 петлеобразные движения могут совершаться только между сечениями С12 и С21, в то время как при прохождении через сечения С31 и С22 их нет. Поэтому

(1)

при а > 1 функцию последования (ФП) отображения Т целесообразно определить как Т = Т(т2 = 0)Т+ (т1), т.е. представить в виде

0= (g (-1)/g (+1))0о + g (-1)((1/а) + +(1/g (+1)))(2 + т1)

(0 <0, 0О < 1, а > 1), где 0 и 00 суть предыдущее и последующее за ней значение координаты С при попадании ИТД в С,2,

m1 = сеі1[(а / g (+1)Х(2-0о) -1) x

(l)

X (1 - (а /g(+1)))-1], а операция «ceil» округления до целого в сторону большего числа определяет количество возвратно-петлеобразных движений между С12 и С21.

Область определения по 0О участка непрерывности ФП (1) с номером m1 удовлетворяет

неравенству

1 - (g (+1)/а- 1)(1 + m1) <0О <

< 1 - (g (+1) / а - 1)m1,

(З)

при этом

g(-1)/ а < 0 < g(-1)(2/ а -1/ g(+1)). (4) Левая часть неравенств (3), (4) определяет положение левой (нижней) точки графика ФП (1), а правая часть - правой (верхней) точки графика. В интерпретации, эффективно используемой при изучении точечных отображений с помощью диаграммы Кёнигса-Ламерея [4], условием существования неподвижной точки (НТ) отображения Т является пересечение участком непрерывности графика ФП (1) с номером т1 биссектрисы 0 = 00. Попадания НТ отображения Т на границы (3) определения ФП (1) задают границы существования НТ в пространстве параметров. Приравнивая левые и, соответственно, правые части неравенств (3),

(4), находим, что при а > 1 НТ отображения Т существует, если а н (т1) < а < ан (т1) («н» -непрерывный), где

ан(т1) = ((т1 + % (+1) + g (-1))/(т1 + 2)

(т =1,2,...), (5)

а н (т1) = (mlg (+1) + 2 g (-1))g (+1) х х ((т1 + 1)g(+1) + g(-1))-1.

В формулах (5) т1 начинается с единицы, потому что при т1 =0 базовый участок непрерывности с т1 =0 при линейной функции g(x) и а > 1 лежит правее биссектрисы и только при а = 1 на биссектрису попадает его нижний край, как это показано на верхнем графике рис. 1. При

а = 1 + 0 биссектриса 0 = 0О попадает в место разрыва графика ФП (1) и при дальнейшем увеличении а остается в нем вплоть до достижения величины а н (т1 = 1), после чего начинается пересечение биссектрисы с графиком участка непрерывности с номером т1 = 1.

Поскольку частная производная по а от левой и правой частей неравенства (3) положительна, а от левой и правой частей неравенства (4) отрицательна, постольку при увеличении а график ФП

(1) на плоскости (00, 0 ) не только спускается вниз, но и порождает со стороны 0О = 0 новые интервалы непрерывности, сжимая, как гармошку, вправо остальные части графика, т.е. так, как это показано на нижнем графике ФП рис. 1, на

котором биссектриса 0 = 0О пересекает участок непрерывности с номером т1 =2.

Полагая в (1) 0 = 0О =0 *, находим величину координаты 0 в НТ:

0* = (я(+1)/а -1)§(-1)(2 + т,)/(g(+1) - g(-1)) (6)

(анЮ < а < ат),тх =1,2,...). Нетрудно проверить, что на нижней границе диапазона существования НТ, т.е. при а = а н (т1)

0* = 0 * (ан (т1)) =

= g(-1)(l + m1)(l g(-1) + m1g (+1))_\

(7)

и на верхней границе диапазона при а = ан (т1)

0* = 0 * (ан (т1)) =

, (8)

= g (-1)(2 + ml)(g (+1)(1 + т1) + g (-1))-1.

Из (6) следует, что с увеличением а величина 0 * монотонно уменьшается от значения (7) до значения (8).

Подставляя в формулу ФП отображения Т+

[2] величину 00 =0 *, находим момент (по модулю единица)

(9)

X* = х *(С21 ^ С31) =

= (т + 2)а - т1 я (+1) - 2g (-1)) /(я (+1) - я (-1))

(а н(т1) <а<ан(т1), т1 =1,2,.) перехода ИТД из сечения С21 в сечение С31.

При произвольном значении т1, т.е. при а н (т1) < а < ан (т1), осциллограмма х(т) * установившегося процесса с периодом 2 + т1 определяется выражением

Г +1, 0 < х < т. + х *(т,),

х(х)* = <1 ’ 1 V ^ (10)

[-1, т1 + х *(т1) <х< 2 + т1 (а > 1, т1 =1,2,.).

Согласно (9) и (10) среднее во времени значение частоты выходного сигнала УГ равно

роЬй тарртд С12 т С12

(11)

(12)

(13)

х (2я(-1) + т2я(+1))-

(т2 =1,2,.),

(16)

ан(т2) = (Я(-1)я(+1)(2 + т2)) х х ((т2 + 1)Я (+1) + Я(-1))-1.

Согласно (12) координата х = х0 =х * неподвижной точки определяется соотношением х* = (а - я(-1))(2 + тх)Кя(+1) - я(-1)) (17)

(ан(т2) < а < ан(т2), т2 =1,2,.). Нетрудно проверить, что при а = а н(т2)

х* = х * (ан(т2)) = я (-1)(2 + т1) х х (я(-1) + (1 + т2)я(+1))-1,

(18)

и на верхней границе диапазона при а = ан (т1)

(19)

х* = х * (ан(т2)) = я (-1)(2 + т1) х

я (х(х)*) = (я (+1)(т1 + х *(т1)) +

+ я (-1)(2 -х *(т1)))(2 + т1)-1 =а и означает, что существование простой неподвижной точки отображения Т при а > 1 гарантирует установление величины средней частоты сигнала УГ, равной показателю счетчика.

При а < 1 петлеобразные движения могут совершаться только между сечениями С31 и С22 , в то время как при прохождении через сечения С12 и С21 их нет. В этом случае ФП отображения Т целесообразно определить как Т = Т+ (т1 = 0) х хТ- (т2), т.е. представить в виде соотношения

х = (я (-1)/ я (+1)К + (1/я (+1)) х х (а-я(-1))(2 + т2)

(0 < х, х0 < 1, а < 1), где х и х0 суть начальное и последующее значение фазы появления ИТД в С31, а т2 = сеЩ(( я (-1)/а)(2-х,) -1) х х (1 - я(-1)/а)-1], соответствует количеству возвратно-петлеобразных движений ИТД между С31 и С22.

Область определения по х0 участка непрерывности ФП (12) с номером т2 удовлетворяет неравенству

1 - (а /я(-1) -1)(1 + т2) <х0 < (14)

< 1 - (а / я(-1) - 1)т2,

и при этом

а / я(+1) < х < (1/я(+1))(2а - я(-1)). (15)

Приравнивая левые части и, соответственно, правые части неравенств (14), (15), находим, что НТ отображения Т при а <1 существует, если а н (т2) < а < ан (т2), где

ан(т2) = (я (-1) + я (+1)(т2 + 1))я (-1) х

х (2я(-1) + т2я (+1))-1.

Поскольку, как и в случае а >1 , при преобразовании сечений С21 ^ Сп , С31 ^ С22, С22 ^ ^ С12 имеет место импульс ОГ и вследствие этого осциллограммы движений привязаны к целочисленным значениям времени, постольку период движения, соответствующего существованию при а < 1 неподвижной точки отображения Т, равен 2 + т2 .

Минимальный период движения при т2 =0 и линейной характеристике я (х) вида

я(х) = 1 + Sx ^ > 0) (20)

реализуется в диапазоне

1 - S2 = ан (т2 = 0) < а < ан (т2 = 0) = 1. (21) Для участков непрерывности ФП (12) при а < 1 и произвольном значении т2 осциллограмма установившегося процесса определяется соотношением

Г +1, 0 < х < х *(т9),

х(х)* = ^ 2 (22)

[-1, х * (т2) < х < 2 + т2

(а< 1, т2 =1,2,.).

С учетом (22) находим, что

я (х(х)*) = ((я (+1)х * (т2) + я (-1) х х (2 + т2 - х * (т2 )))(2 + т2 ))-1 = а,

(23)

т.е. параметр а , как и в случае а > 1 , выступает в роли управляющего параметра.

Необходимо отметить, что в диапазоне изменения а , определяемом неравенствами (21), период установившегося движения равен двум периодам сигнала ОГ, а значит, минимален и в целом при любых значениях а > 1, поэтому минимальная частота составляющего ряда Фурье сигнала х(х)* максимальна и равна половине частоты сигнала ОГ. Но это означает, что диапазон изменения а , в котором требование к подавлению нежелательных спектральных составляющих минимально, при я(х) вида (20)

0

0

определяется неравенством (21), т.е. располагается в области частот ниже частоты неуправляемого УГ.

Кратные циклы и их влияние на качество управления

Из проведенного исследования свойств ФП (1) вытекает, что при 1 < ан(т1) < а < а н(т1 +1)

(т1 =0,1,2,.) биссектриса плоскости (00, 0 ) проходит через место разрыва между участками непрерывности с номерами т1 (справа от биссектрисы) и т1+1 (слева от биссектрисы), так что нижняя точка графика участка непрерывности с номером т1 оказывается под биссектрисой, а верхняя точка графика ФП (1) участка непрерывности с номером т1+1 оказывается над биссектрисой. Таким образом, при 1 <ан(т1) <а<а н(т1 +1) (т1 =0,1,2,.) возникает необходимость исследовать разрывное кусочно-линейное преобразование

0 =

я(-1)

(

я(+1)

1

1

а я(+1)

Л

я(-1)(3+

00 р (т1 +1) <00 <00 р (т1>

я(-1)

я(+1)

1

1

, п Я(-1)(2 + ml), а я(+1))

00р (т1) <00 <00р (т1 -1)

где

X =

я(-1)„ , а- я(-1)

-------Х0 +-------------

я (+1) 0 я (+1)

(3 + т1),

Х0 р (т2 +1) <Х0 <Х0 р (т2>

я (-1)„ , а- я(-1)

(26)

я (+1)

я (+1)

(2 + т1),

Х0р (т2) <Х0 <Х0р (т2 - 1)

где

х = Тх =

Т1х = а + Х1х (х < 0),

Т2х = -Ь + X2х (х > 0),

(28)

(24)

00р (т1) =1 - (я(+1)/а-1)(1 + т1) (25)

(0 <00р (т1) < 1).

При ан(т2 +1)<а<ан(т2) < 1 (т2 =0,1,

2,.), согласно свойствам ФП (12), имеем разрывное преобразование

Х0р (т2) = 1 - (а 1 я(-1) - 1)(1 + т2) (27)

(0 <Х0р (т2) < 1).

Для того чтобы воспользоваться результатами работы [5] по анализу зависимости кратных циклов разрывного кусочно-линейного преобразования прямой в прямую от параметров, необходимо представить отображения (24) и (26) в виде зависимости

где а,Ъ>0 и х=0 - точка разрывности.

Переходя в (24) к переменной х = 0 - 00 (т1), находим, что (24) в форме записи (28) имеет

А,1 = Х 2 = Х = я(-1)/ я (+1), а = [2я (-1) + я (+1)(1 + т1)][1/ а -1/ а н^ +1)],

Ъ = [я (+1)(1 + т1) + я(-1)][1/ан(т1) -1/а], а диапазоны определения Т1 и Т2 принимают вид: для Т - 1 - я(+1)/а< х < 0, для Т2 -0 < х < я (+1)/ а -1. Из вида приведенных соотношений непосредственно следует, что: X от а не зависит; условие а=0 соответствует границе а = а н (т1 +1) существования разрыва отображения Т, а условие Ъ=0 - границе а = ан (т1). Поскольку да / да < 0 , дЪ / да > 0 , постольку при увеличении а (а > 1) графики отображений Т и Т2 на плоскости (х, х) спускаются вниз, и при этом диапазон определения Т и Т2 на оси х, оставаясь симметричным относительно х = 0 , уменьшается в размере.

Переходя в (26) к переменной х = х - х0 (т1), находим, что (26) в форме записи (28) имеет

Х1 =х 2 = х = я(-1)/ я а = [2я(-1) + я(+1)(1 + т2 )] [а - ан (т2 + 1)] х

х (я (+1)я(-1))-1,

Ъ = [я (+1)(1 + т2> + я (-1)] х

х [“н(т2) - а] /(я (+ % (-1)), а диапазоны определения Т1 и Т2 принимают вид: для Т - -(а / я (-1) +1) < х < 0, и для Т2 -0 <х <а/я(-1)-1. Из вида приведенных соотношений непосредственно следует, что: X от а не зависит; условие а=0 соответствует границе а = ан(т2 +1), а условие Ъ=0 - границе

а = ан (т2). Поскольку да / да > 0, дЪ / да < 0 , постольку при уменьшении а (а < 1) графики отображений Т и Т2 на плоскости (х, х) спускаются вниз, и при этом диапазон определения Т и Т2 на оси х, оставаясь симметричным относительно х = 0 , уменьшается в размере.

Сравнивая приведенные выше результаты перехода к форме записи (28), нетрудно отметить, что качественное поведение графика ФП (28) инвариантно к величинам т1, т2 и является однотипным при увеличении а в пределах интервалов ан(т1) <а<а н(т1 +1) (т1 =0,1,2,.) и при уменьшении а в пределах интервалов

ан(т2 +1) <а<ан(т2) (т2 =0,1,2,.). Если

при этом также учесть, что в [5] условия существования кратных циклов сформулированы для параметров X^ X2 и Д = a / Ъ , а использование при переходе от ФП (24), (26) к ФП (28) дополнительного условия X1 = X2 = X, представляющего при X = const в пространстве параметров (Xj, X2, Д) прямую, которая пересекает все без исключения области существования кратных циклов, то становится очевидным, что без потери общности рассмотрений можно ограничиться рассмотрением свойств ФП (28) при 1 < ан(т1) < а < ан(т1 +1) (m1 =0,1,2,.). В этом случае

Д = Д(а) = (1 + g (-1))(ан К +1) - а) х

1 V /

х ((2 + m1 )g(+1)(а - ан (m1 )))- ,

и при увеличении а в пределах диапазона ан(т1) <а<а н(т1 +1) (m1 =0,1,2,.) изменяется от бесконечности до нуля.

Согласно [5] циклы первой сложности типа

T2nT (п = 1,2,.) существуют, если параметр Д удовлетворяет неравенству

(1 -X^MX^a -X)) + X =

= Д(п) < Д < Д(п) = (1 - Xй )/(Xn (1 - X))

(п >1).

Подставляя (30) в (29) и разрешая получающиеся уравнения относительно а , находим диапазоны а(Д(п)) <а< а(Д(п)) существования циклов указанного типа. Величина а = а(Д) определяется выражением

2X +1 + m1 + (X +1 + m1) Д(п)

(3О)

а = а(Д) = ——-—1-------- ----- ‘ g(+1). (31)

X + 2 + т1 + (2 + т1) Д (п)

Поскольку

signЭа(Д)/ ЭД = sign(ан(m1) -ан(т1 +1)) < 0, а величина интервала Да(п) = а(Д(п)) -

-а(Д(п)) согласно (31) определяется соотношением

Да(п) = Х(1 - X) g (+1) х ([Х + (2 + т1)(1 + Д(п))] х (32)

х [X + (2 + т1 )(1 + Д(п))])-1, постольку при разных п не пересекаются не только интервалы (30) [5], но и соответствующие им на оси а интервалы а(Д(п)) < а < а(Д(п)). Согласно (3), при п ^ да Д(п), Д(п) ^ да , т.е. с учетом (32) интервалы с Да(п) стягиваются к нулю и в соответствии с (29) сходятся справа к левой границе а = ан (т1) диапазона ан (т1) < а <

< ан (т1 +1) разрывности отображения с ФП (1).

Для определения областей существования циклов первой сложности типа T"T2, согласно

[5], достаточно в формуле (3О) заменить A на 1/ A. Аналогично предыдущему можно показать, что для циклов T"T2 при n ^ да интервалы существования на оси a сужаются до нуля не пересекаясь и при этом сходятся слева к правой границе a = a н (m1 +1) диапазона a (m1) <

< a < a н (m1 +1).

Поскольку для циклов Г2ИТ выполняется условие A(n = да) < A(n) < A(n = 1), а для циклов T"T2 - условие A(n = 1) < A(n) < A(n = да), постольку область существования цикла T2 T1 с минимально возможным n находится в глубине диапазона ^н (m1) < a < aн (m1 +1), и, следовательно, при переходе на оси a от левой границы a = aB (m1) к правой границе a = a н (m1 +1)

диапазона кратность циклов типа Г2ИТ уменьшается до минимальной n=1, а затем увеличивается, но уже в форме циклов T"T2. Интервал существования T2 T1 не только занимает среднее положение в диапазоне a (m1) < a < a н (m1 +1), но и является максимально возможным по величине по отношению к циклам с n> 1.

На рис. 2 приведены совместные осциллограммы x(x) * и c(x) *, соответствующие циклу

T2 T , для случая минимально возможного m1 =1. Непосредственно из осциллограммы c(x) * рис. 2 следует, что в интервале О < x < 3, когда действует оператор T1 с параметром m1+1=2, возвратных движений с уровня С=21 на уровень С=12 два, а в интервале 4 < x < 7 , когда действует оператор Т2 с параметром m1 =1, - одно.

X(t) 5

oscillogram

С(<)

Л

/у

Т

3 4

Рис. 2

При произвольных значениях параметра т1 период цикла Т2 Т равен сумме двух временных интервалов: интервал, равный 3+ т1, действия оператора Т и интервал действия оператора Т2, равный 2+ т1, - итого 5+2 т1. При т1 =1

период цикла Т2 Т минимален и равен 7 (как на рис. 2), а минимальная частота ряда Фурье сигнала х(т) соответственно равна 1/7, т.е. в семь раз меньше частоты сигнала ОГ.

Необходимо отметить, что, используя выражения операторов Т+ и Т работы [2] и их связь

с циклом Т2 Т , можно представить выражения для координат т ,0[, т1,0 цикла в цепочке Т2 Тх = Т (т2 = 0)Т+ (т1 )Т (т2 = 0)Т+ (т1 +1) в явном виде:

Т+ (т1 +1) : т* = (а/g(+1))(т1 + 3 -0*) - т1 -1,

Т- (т2 = 0): 0* = (я (-1) / а)(2 -т*), (33)

Т+ (т1): т1 = (а / Я (+1))(т1 + 2 -01) - ml,

Т- (т2 = 0): 0* = (я (-1) / а)(2 -<).

Используя приведенные соотношения и выражение для осциллограммы х(т) * цикла Т2 Т1

+1, 0 <т< т1 +1 + т*,

-1,

+1,

х(т)* =

т, +1 + т <т< 3 + т,, , ч

ч ^ о * (34)

3 + т1 <т< 3 + 2т1 + т1,

-1, 3 + 2т1 +т1 <т< 5 + 2т1,

находим, что среднее на периоде

Я(х(т)*) =(Я (+1)(т1 +1 + т*) +

+ я (-1)(2 -т*) + я (+1)(т1 +т*) + (35)

+ Я (-1)(2 -т1))(5 + 2т1)-1 = а, т.е. ИЧФД обеспечивает и в случае существования цикла равенство средней частоты выходного сигнала СЧ показателю счетчика.

Нетрудно проверить, что при произвольных значениях т1 период цикла ТуТ2 во времени равен (2 + т1)(п +1) + п, а цикла Т2ПТ - (2 + т1) х х(п +1) +1 периодов сигнала ОГ. Используя вышеприведенную процедуру определения среднего значения я( х(т) ), можно убедиться, что и

для циклов Т1”Т2, Т2пТ1 я(х(т) ) = а , т.е. и в этих случаях модуляции выходного сигнала СЧ в среднем сохраняется его работоспособность.

Согласно [5] интервалы существования циклов первой сложности Т2пТ1, Т2п+1Т1 граничат с интервалами существования циклов второй

_ _ __ _ /'т<п+\'т’\т т’пт' /т'пф\т т’п+Хт' _

сложности типа (12 Т1) Т Т1, (12 Т1) Т Т1, а

интервалы существования циклов первой сложности типа Т"Т2, Т"+1Т2 - с циклами второй

_ _ __ _ /'т’п+Х'т’ \т 'Т’п'Т’ /''Т’К'Т’ \т т'п+Хт’

сложности типа Т Т2) Т1 12, Т 12) Т1 12. На оси параметра а интервалы существования циклов второй сложности располагаются между интервалами существования циклов первой сложности. При этом в остающихся «пустых» интервалах по тем же правилам располагаются циклы третьей сложности и т.д. За вычетом всего множества интервалов существования циклов всевозможной сложности на оси а остается множество, соответствующее непериодическим движениям по координате х (движение по Пуассону).

Заключение

Для оценки спектра х(т)* установившегося движения, соответствующего определенному типу цикла, достаточно напомнить, что однократное применение оператора Т1 означает

затрату времени, равную 3 + т1 периодов сигнала ОГ, а для Т2 - 2+т; периодов сигнала ОГ

(здесь = 1 при а >1 и =2 при а <1). Поэтому увеличение кратности цикла приводит к увеличению длительности его временной реализации. И поскольку, согласно [5], при определенных значениях а из интервалов разрывности ФП отображения Т существуют циклы со сколь угодно большой кратностью, постольку минимальная частота ряда Фурье соответствующей осциллограммы х(т) * снизу не ограничена. Для таких значений параметра а спектр х(т)* приближается к сплошному. В этом случае применение узкополосного фильтра нижних частот может не обеспечить подавления детерминированных помех до заданного уровня.

Список литературы

1. Горюнов В.И. // Математическое моделирование и оптимальное управление. Вестник Нижегор. ун-та им. Н.И. Лобачевского. 2003. Вып. 1(26). С. 207-215.

2. Антоновская О.Г., Горюнов В.И. // Вестник Нижегор. ун-та им. Н.И. Лобачевского. 2013. № 1. С. 184-190.

3. Левин В.А., Малиновский В.Н., Романов С.К. Синтезаторы частот с системой импульсно-фазовой автоподстройки. М.: Радио и связь, 1989. 232 с.

4. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. М.: Физматгиз, 1959. 915 с.

5. Леонов Н.Н. // Изв. вузов. Радиофизика. 1959. Т. 2. № 6. С. 943-956.

ANALYSIS OF THE FORM OF STEADY-STATE PROCESSES IN A SYNCHRONIZATION SYSTEM WITH PULSED PHASE-FREQUENCY CONTROL AND IDEAL FILTER ASTATISM

O. G. Antonovskaya, V.I. Goryunov

The article presents the results of qualitative and quantitative analysis of the form of steady-state processes in a system with pulsed phase-frequency control and ideal filter astatism.

Keywords: frequency synthesizer, mathematical model, system dynamics, point mapping, fixed point, stability, multiple cycle.