CC BY
32
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ
УДК 62-504.14:681.511.4
ОБ ОСОБЕННОСТЯХ МЕТОДИКИ ИССЛЕДОВАНИЯ ДИНАМИКИ СИСТЕМ С ШИРОТНО-ИМПУЛЬСНОЙ МОДУЛЯЦИЕЙ И ЗАПОМИНАНИЕМ СИГНАЛА УПРАВЛЕНИЯ
© 2008 г. О.Г. Антоновская, В.И. Горюнов
НИИ прикладной математики и кибернетики Нижегородского госуниверситета им. Н.И. Лобачевского
pmk@unn.ac.ru
П4втбпила вреОакцию 05.09.2008
Предлагается новый способ математического моделирования динамики цифровых синтезаторов частот, использующих кусочно-постоянную форму сигнала управления, позволяющий единообразно исследовать как локальные, так и глобальные свойства фазовых траекторий.
Ключевые вл4ва: математическое моделирование, динамика систем, точечное отображение, устой-
чивость, функция Ляпунова.
Введение
Настоящая статья связана с практически важной прикладной задачей реализации надежной радиосвязи [1], в основе которой лежит использование управляемых синтезаторов частот (СЧ) [2], построенных на базе импульсных систем фазовой синхронизации. В таких системах используется широтно-импульсная модуляция (ШИМ) управляющего сигнала, и поэтому их математические модели (ММ) являются частным случаем систем с переменной структурой (СПС), порядок смены дифференциальных уравнений в которых определяется динамическими свойствами фазовых траекторий движения и реализуется в моменты переключения управляющих импульсов. Именно в силу этого обстоятельства изучение динамики ММ таких СЧ осуществляется на основе применения метода точечных отображений [3].
Известно, что в использовании систем управления с широтно-импульсной модуляцией управляющего сигнала немалую роль играет и простота их технической реализации [4], и близость их к системам со стратегией оптимального управления, позволяющим иметь разрывный характер управляющих воздействий с переходом от одних крайних значений к другим. Однако такие системы принципиально нелинейны и поэтому допускают появление в них сложных движений, и в том числе хаотических [2].
В [2] показано, что при использовании в системе с широтно-импульсной модуляцией управляющего сигнала подстраиваемого генератора и широкополосного фильтра нижних частот при любых значениях управляющего параметра, т.е. показателя счетчика, всегда устанавливается единственное управляющее воздействие, которое в общем случае имеет многопозиционный характер. Средняя составляющая частоты генератора при таком управлении соответствует значению управляющего параметра. Очевидно, что необходимость подавления величины модуляции сигнала управления диктует использование узкополосных фильтров, что может привести к замедлению переходных процессов. Преодоление последней трудности возможно на путях использования астатизирующих фильтров, которые в своем предельном понимании соответствуют запоминанию управляющего сигнала.
Исследование сложной модели СЧ стало возможным благодаря разработанным ранее и апробированным на примере изучения базовой модели СЧ методикам, учитывающим особенности математических моделей систем указанного класса. Прежде всего, широко обсуждалась проблема качественно-численного анализа динамики базовой модели СЧ [4], и в том числе при многопозиционной ШИМ управляющего сигнала [5-7]. Основным результатом этих работ явилось создание методики построения функций последования (ФП) точечных отобра-
жений, допускающих использование элементов качественного анализа и инициирующих соответствующую алгоритмизацию исследования нелокальных вопросов динамики СЧ. В частности, удалось сформулировать и решить задачу быстродействия синтезатора при его переключении в целом по диапазону [8, 9] на основе применения соответствующего минимаксного критерия [10, 11] и тем самым не только связать проблему поиска оптимальных параметров СЧ с общей проблемой выбора оптимальных корректирующих устройств в условиях робастной устойчивости [12], но и установить связь проблемы с общей теорией управляемости нелинейных систем с дискретным временем [13], т.е. сформулировать и частично решить прикладную задачу - задачу синтеза комбинированного управления, технически реализуемого как автоматическая реконфигурация структуры СЧ [1416]. Проведенный анализ динамики базовой модели СЧ позволил поднять проблемный вопрос о возможностях генерирования широкополосных колебаний в целях их использования при адаптивной авиационной радиосвязи [1719]. Результаты проведенного анализа динамики СЧ были бы невозможны без развития методик исследования сложных ФП точечных отображений. В частности, наличие малых параметров в ФП точечных отображений, описывающих динамику СЧ, вынудило вновь вернуться к вопросу об изучении свойств точечных отображений по их приближенному представлению, если последние являются квазитождест-венными [19, 20]. Сформулированные при решении этой проблемы теоремы позволили на примере рассмотрения принудительной синхронизации осциллятора не только выйти на проблему достоверности результатов исследования с помощью приближенного точечного отображения [21-23], но и по-новому взглянуть как на проблему построения границ достоверности исследования [23], так и на проблему хао-тизации динамических режимов [24]. Последнее, в свою очередь, стимулировало создание методики исследования поведения траекторий точечных отображений в удаленных частях фазового пространства [25]. Проведенные исследования, связанные с оценкой достоверности результатов изучения неподвижных точек ква-зитождественного точечного отображения, позволили провести исследование динамики СЧ на основе использования асимптотических методов [26, 27].
Особое значение для алгоритмизации изучения быстродействия СЧ имеет разработанная методика построения и применения квадратич-
ных функций Ляпунова [28]. Эта методика предлагает воспользоваться приемами изучения интервально-неопределенных дифференциальных систем, единообразно учитывающими не только неточности в задании ФП точечных отображений, но и ошибки численного счета [29, 30]. С точки зрения численно-аналитических исследований динамики СЧ это позволило не только ускорить процесс определения длительности переходного процесса при всевозможных переключениях СЧ по диапазону, но и гарантировать достоверность такого исследования [31-34].
Успехи исследования базовой модели СЧ позволили перейти к более сложной модели синтезатора.
Особенности математической модели
Одной из типовых является схема цифрового СЧ с импульсным частотно-фазовым детектором (ИЧФД), использующим Д-триггеры и позволяющим реализовать не только разнополярную широтно-импульсную модуляцию, но и процедуру запоминания величины управляющего сигнала [2]. В этом случае при использовании типового уравнения для набега фазы квазигармонического сигнала подстраиваемого генератора (ПГ) в виде
= 2П/0 Я М ))■ (1)
где /0 - значение частоты ПГ в опорной точке, когда с детектора нет сигнала управления, я(-) -нормированная в опорной точке (на единицу) монотонно возрастающая характеристика управления ПГ, -(?) - текущее значение выходного сигнала фильтра нижних частот (ФНЧ), целесообразно перейти к дифференциальному уравнению тракта ПГ - счетчик с координатой 9 = ф/2лЖ так, что
§ = N Я М)) (0 <9< 1), (2)
М N
где 9 - нормированная на единицу степень заполненности счетчика (С), N - его показатель.
При использовании в ИЧФД генераторов тока величина выходного сигнала астатизи-рующей емкости ФНЧ у(?) определяется уравнением
С М- = ио, (3)
м
где С0 - величина емкости, iй (/) - выходной ток ИЧФД, принимающий при принятой идеализации в зависимости от динамики процесса одно из трех постоянных значений: +10 , 0, — 1о .
Переходя в (2), (3) к безразмерному времени т = (/Т0 , где Т0 - период сигнала эталонного генератора (ЭГ), показателю счетчика а = = N / /0Т0 , безразмерным напряжению х = - /-^ , где нормирующее напряжение = Т0!й / С0, и
управлению и= ia(?) /1д, получаем безразмерные уравнения ММ СЧ в произвольном периоде сигнала ЭГ
х = м(х),
. (0 < 9 < 1,0 < т < 1) (4)
а9 = я (х(т)),
где точкой обозначено дифференцирование по т .
Прежде чем перейти к изучению свойств ММ СЧ, необходимо отметить, что в (4) управление и(т) является кусочно-постоянной функцией времени и поэтому, аналогично системам с переменной структурой, исследование динамики ММ СЧ можно проводить с привлечением трех подпространств П1, П2 и П3, характеризующихся тем, что в каждом из них управление и(т) принимает соответственно постоянное значение +1, 0, -1 [35]. Полное представление о фазовых траекториях ММ СЧ в этом случае получается после исследования свойств траекторий в каждом из подпространств и характера перехода траекторий из одного подпространства в другое [36].
Согласно логике работы ИЧФД приход в П1 траектории на сечение т =1 означает появление импульса ЭГ, т. е. соответствует удержанию ИЧФД в режиме и=+1. Поскольку в этом случае координаты х и 9 не изменяют своих величин, то это означает перенос изображающей точки на сечение т =0 этого же подпространства при неизменных значениях х и 9 . Если в П1 фазовая траектория движения приходит с течением времени на сечение 9 =1, то осуществляется появление на выходе счетчика управляющего импульса, и поэтому изображающая точка движения в этот момент при сохранении величины х ФНЧ скачком переводится в П2, что соответствует переходу ИЧФД в режим запоминания напряжения. Аналогично переходам в П1 осуществляются переходы из П 2 и П 3. Таким образом, реализация фактических переходов из подпространства в подпространство зависит от свойств фазовых траекторий в каждом из подпространств.
В подпространстве П1 система (4) принимает вид
х = +1,
Поскольку система (5) в П1 автономна, т. е. не зависит явно от времени, ее фазовые траектории лежат в пространстве х, 9 , т на цилиндрических поверхностях с образующей, параллельной оси т , и, следовательно, проектируются на одну и ту же траекторию в плоскости х, 9 . Такие траектории в пространстве х, 9 , т отличаются друг от друга лишь началом отсчета времени и на плоскости х, 9 имеют наклон
М9 1 м п
— = - Я(х )> °. ах а
(6)
Согласно (5), регулярные траектории, осуществляющие в П1 переход изображающих точек с поверхности т =0 бруска состояний на поверхность 9 =1, реализуют это за время т1, удовлетворяющее соотношению
1
| Я (х0 +т)Мт = (1 — 90 )а.
(7)
а9 = Я (х(т))
(х, 9 е П1).
(5)
Если в (7) т1 =1, то достигается граница Г! определения этого соотношения, причем в случае использования я(х) вида
Я(х)=1+5х (8)
имеем для Г1
90 (Г1 ) = 1 — (1 + 5х +(£/2))а—1, (9)
т.е. в сечении Й12 (т = 0) (9) определяет линию.
Таким образом, сечение С12 подпространства П1 оказалось разделенным на две части. Траектории движения, начинающиеся в каждой из указанных частей, ведут себя однотипным образом: либо остаются в П1, либо переходят в П 2. Для указанных точечных отображений начальных состояний ЦСЧ в последующие будем использовать здесь и далее обозначения вида Тф^ы, в которых индексы означают соответственно: г - номер отображаемого подпространства; ] = 1 соответствует отображению сечения 9 = 0, ] = 2 - отображению сечения т = 0; k = 1 и 2 характеризуют разделение области определения на части, и в частности для С12 k = 1 соответствует случаю 90 < 90 (Г1) и k = 2 - случаю
90 >90 (Г1); I - номер подпространства, в которое попадает отображаемая точка; п = 1 соответствует сечению 9 = 0 и п = 2 - сечению т = 0 подпространства, в которое осуществляется отображение, т.е. с номером индекса I.
Согласно принятому принципу обозначения точечных отображений, выше определены отображения:
т
0
X = X0 + 1,
T121,12 : 0 = 0O + f1 + ~ + Sx0
а ^ 2
(хо > x2; 0о < 0о (г1 )є Cl2;x-0 Є Cl2);
(10)
T121,12 : x = x0 + ~ I (l + Sx0 ) +
x = xo
T121,12 : 0= g (x0 X1 т0 )
(
(г2 )є с2і; x-тє Cl2) (12)
x0 > x2; т0 >т0 (г 2 )Є- 21 где при условии использования (В)
т = т0 (г2 )= 1 -а/g (x0 ) (x0 > x2 = -(1 / S));
(13)
x = xn
= то +а/g (x0 )
(x0 > x2; то <то (г2 )є C2i;xтє сзі); (14)
x = xo
0
221,12
0 =0о + — g (x0 ) а
(x0 > x2; 0O < 0O (г4 ) Є C22 ; x’ 0Є C12 ) (15)
0O =0O (г4 )= 1 --1 g(x0 );
а
(16)
x = x0,
T222,31 : _ = а(і -0O )
Я (х0 )
(х0 > х2; 90 >90 (Г4 )е С22; х те С31) (17)
В подпространстве П 3 при условии использования соотношения (8) определяются точечные отображения
x = xn + тп - т,
T 312,31 : _ 1
т = т0 + —
(l + Sx0 ) + д/(і + Sx0 )
Sx0) - 2Sa
(x0 > xd-x0 (гз )є C3i; x-тє C31 )
(1В)
где
= x0 (гз) = s
1 - т0
-1
+ — (l -то ) (0 <то < l); (19)
x = x0 + т 0 -1,
T
311,22 : — 1
0 = —
(l -т 0 )(l + Sx0 )- — (l -т о )2
(20)
— |^— (1 + &0 )^д/(1^^х0)2+25(1^9)0а ^ (11)
т = ^ |^—(1 + ^0 )+^/(1 + 5х0У+"25(1-00)а' ^
(х0 > х2; 90 > 90 (Г1 ) е С12; х, 9 е С21).
Проводя аналогичные исследования свойств фазовых траекторий в подпространстве П2, убеждаемся, что они определяют точечные отображения вида
(х0 < х<5 < х0 (Г3 )е С31; х-9е С22 )-
причем условие на хв, используемое в (18), (19), где
хй =(— 1 + ^[2Sа)/S, (21)
обеспечивает невырожденность модели ЦСЧ (сохранение условия я(х)>0).
Таким образом, введение в уравнениях ММ СЧ координаты счетчика позволяет свести изучение свойств фазовых траекторий к изучению соответствующих точечных отображений, каждое из которых характеризует определенное состояние сигнала управления.
Исследование системы с учетом особенностей математической модели
При предложенном подходе моделирования динамики СЧ основное синхронное движение, когда на выходе ФНЧ х(т) = х * и реализуется режим я(х(т)) = а, т.е. постоянное значение частоты ПГ, определяемое показателем счетчика а , соответствует неподвижной точке, лежащей на стыке сечений С21 и С22, а именно в сечении С21 это точка х0 = х*, т0 = 0 и в сечении С22 - точка х0 = х*,90 = 0 .
Исследование устойчивости в малом с помощью линеаризованных точечных отображений, определенных в окрестности указанной неподвижной точки, приводит к характеристическому уравнению
P2 (z )= z 2 -| 2------------------------Iz + 1
а
(22)
у которого при S < 4а имеется пара комплексно-сопряженных корней, по модулю равных единице, отображающих тот факт, что в линейном приближении в сечении C21 траектории отображения лежат на эллипсе V1 = const, где
V— = S(x - x*)2 - S (x - x*)т0 +т2 (то > о), (23) аа
а в сечении С22 - на эллипсе V2 = const, где
S (x - x ) + —(x - x )0O +02 а
V2 = — (x - x
(x - x ) + S (x - x )0O +02 (0O > 0). (24) а
Наличие в линейном приближении центрального движения существенно отличает рассматриваемый случай ММ СЧ от случая использования фазового детектора с выборкой и запоминанием, когда устойчивость синхронного режима в малом зависит от коэффициента уси-
а
а
ления в кольце регулирования [1]. Вопрос об устойчивости синхронного движения в СЧ с ИЧФД определяется нелинейными свойствами точечных отображений при использовании (23) и (24) в качестве соответствующих функций Ляпунова.
Используя известную методику учета нелинейностей точечных отображений [36], удалось показать, что при S < 2а/3 неподвижная точка, соответствующая основному синхронному режиму, устойчива и при S > 1.2а неустойчива. В случае слабой неустойчивости траектории движения в дискретном времени t в сечении С21 располагаются близко к эллипсу V1 = const и в линейном приближении задаются уравнениями
чественно-численного исследования динамики синтезатора частоты с импульсным частотнофазовым детектором, использующим для формирования выходного сигнала генераторы тока, астатизирующую емкость и интервалы прерывания, реализуемого на основе построения вспомогательных точечных отображений состояния системы (включая управляемый счетчик) за интервал времени, равный периоду синхронизирующего сигнала в каждом из подпространств, соответствующих постоянству значения выходного сигнала детектора, с последующим использованием геометризованных представлений, идентифицирующих как суперпозицию, так и произведение отображений.
dx[t ] =
cos
(<К )-
S sin^t) 2а sin ф
dx0 + !!!!&) d^
dr[t ] = -
S sin^t) a sin ф
dx0 +
cos
(<K )
+
sin ф S sin^t)
(25)
dr0.
2а sin ф
где dx0 ,dx0 - отклонения от неподвижной точки, а
cosф = 1 , sinф = S(1- — 1. (26)
2а V а V 4а)
Аналогично в сечении С22 траектории движения располагаются близко к эллипсу V2 = const и в линейном приближении задаются соотношениями
S sin(фt)
dx[t ] =
cosi
2а sin ф
cos(фt) +
sin ф S sin^t)
(27)
d0O.
]=Sdxo -........... ^
а sin ф _ 2а sin ф
Необходимо отметить, что увеличение размаха колебательного движения по координате приводит к скачкообразному колебательному изменению частоты выходных колебаний ПГ во все расширяющемся диапазоне; при этом свойство гиперболичности траектории вполне аналогично соответствующему свойству хаотических колебаний [37].
Заключение
Основным результатом работы является разработка методики построения математической модели импульсной системы управления типа синтезатора частоты, учитывающей наличие в ее составе синхронизирующего сигнала, кусочно-постоянной формы выходного сигнала элемента сравнения и факт перестройки управляющего параметра в широком диапазоне. Впервые рассмотрен вопрос о возможности ка-
Спивок литературы
1. Горюнов В.И., Палочкин Ю.П. // Труды LVI научной сессии, посвященной Дню радио, М., 16-17 мая 2001 г. Т. 2. С. 392-393.
2. Левин В.А., Малиновский В.Н., Романов С.К. Синтезаторы частот с системой импульсно-фазовой автоподстройки. М.: Радио и связь, 1989. 232 с.
3. Неймарк Ю.И. Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1972. 472 с.
4. Горюнов В.И. // Тез. докл. Третьей Междунар. конф. «Средства математического моделирования», С.-Петербург, октябрь 2001 г. С. 84.
5. Горюнов В.И. // Тез. докл. VI науч. конф. «Нелинейные колебания механических систем», Н. Новгород, 16-19 сентября 2002 г. С. 57-58.
6. Горюнов В.И. // Вестник ННГУ. Математическое моделирование и оптимальное управление. Н. Новгород: Изд-во ННГУ, 2003. Вып. 1 (26). С. 207-215.
7. Антоновская О.Г., Горюнов В.И., Палочкин Ю.П. // Труды РНТОРЭС им. А.С. Попова. Сер. Научная сессия, посвященная Дню радио, Москва, 1113 мая 2005 г. Вып. LX - 2. С. 360-364.
8. Антоновская О.Г. Автореферат дис... канд. физ.-мат. наук. Н. Новгород: НГТУ, 2003. 18 с.
9. Горюнов В.И. // Вестник ННГУ. Математическое моделирование и оптимальное управление. Н. Новгород: Изд-во ННГУ, 2001. Вып. 2 (24). С. 293-299.
10. Антоновская О.Г., Горюнов В.И. // Сборник материалов науч.-тех. семинара «Устройства синхронизации и формирования сигналов», Н. Новгород, 3-6 июня 2002 г. С. 31-33.
11. Антоновская О.Г., Горюнов В.И. // Вестник ННГУ. Математическое моделирование и оптимальное управление. Н. Новгород: Изд-во ННГУ, 2004. Вып. 1 (27). С. 213-224.
12. Горюнов В.И., Метрикин В.С. // Тез. докл. VII Междунар. семинара «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления», Москва, 22-24 мая 2002 г. С. 157-158.
13. Антоновская О.Г., Горюнов В.И. // Вестник ННГУ. Математическое моделирование и оптимальное управление. Н. Новгород: Изд-во ННГУ, 2004. Вып. 1 (27). С. 203-212.
14. Антоновская О.Г., Горюнов В.И., Палочкин Ю.П. // Труды LVI научной сессии, посвященной Дню радио, Москва, 16-17 мая 2001 г. С. 374-376.
15. Антоновская О.Г., Горюнов В.И. // Сборник материалов науч.-тех. семинара «Устройства синхронизации и формирования сигналов», Н. Новгород, 3-6 июня 2002 г. С. 34-36.
16. Goryunov V.I. // Proceedings of the International Conference, dedicated to the 100-th Anniversary of A.A. Andronov «Progress of nonlinear science», N. Novgorod, July 1-6 2002. V. 3. P. 236-237.
17. Антоновская О.Г., Горюнов В.И., Палоч-кин Ю.П. // Тез. докл. Всерос. науч. конф. «Сверх-широкополосные сигналы в радиолокации, связи и акустике», Муром, 1-3 июля 2003 г. С. 114-116.
18. Антоновская О.Г., Горюнов В.И. // Материалы VII Междунар. школы «Хаотические колебания и образование структур», Ярославль, 1-6 октября 2004 г. С. 56-57.
19. Антоновская О.Г., Горюнов В.И. // Вестник ННГУ. Математическое моделирование и оптимальное управление. Н. Новгород: Изд-во ННГУ, 2006. Вып. 2 (31). С. 9-16.
20. Антоновская О.Г. // Вестник ННГУ. Математическое моделирование и оптимальное управление. Н. Новгород: Изд-во ННГУ, 2004. Вып. 1 (27). С. 65-71.
21. Антоновская О.Г. // Вестник ННГУ. Математическое моделирование и оптимальное управление. Н. Новгород: Изд-во ННГУ, 2001. Вып. 1 (23). С. 243-254.
22. Антоновская О.Г. // Вестник ННГУ. Математическое моделирование и оптимальное управление. Н. Новгород: Изд-во ННГУ, 2001. Вып. 2 (24). С. 229-238.
23. Антоновская О.Г., Горюнов В.И. // Тез. докл.
VII Международного семинара «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления», Москва, 22-24 мая 2002 г. С. 61-62.
24. Антоновская О.Г., Горюнов В.И. // Труды Междунар. конф. «Математическое моделирование», Самара, 13-16 июня 2001 г. С. 7-9.
25. Антоновская О.Г., Горюнов В.И. // Вестник ННГУ. Математическое моделирование и оптимальное управление. Н. Новгород: Изд-во ННГУ, 2002. Вып. 1 (25). С. 68-76.
26. Антоновская О.Г., Горюнов В.И. // Труды LVШ научной сессии, посвященная Дню радио, Москва, 14-15 мая 2003 г. С. 89-91.
27. Антоновская О.Г., Горюнов В.И. // Математика и кибернетика 2003: Сб. статей ф-та ВМК и НИИ ПМК. Н. Новгород, 2003. С. 19-22.
28. Антоновская О.Г. // Тез. докл. III Междунар. конф. «Средства математического моделирования», С.-Петербург, октябрь 2001 г. Изд-во СПбГТУ, 2001. С. 66.
29. Антоновская О.Г. // Тез. докл. VI науч. конф. «Нелинейные колебания механических систем», Н. Новгород, 16-19 сентября 2002 г. С. 12.
30. Антоновская О.Г., Горюнов В.И. // Тез. докл.
VIII Междунар. семинара «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления», Москва, 2-4 июня 2004 г. С. 12-13.
31. Антоновская О.Г. // Дифференциальные уравнения. 2003. Т. 39. № 11. С. 1562-1563.
32. Антоновская О.Г. // Изв. вузов. Математика. 2004. № 2 (501). С. 19-23.
33. Антоновская О.Г., Горюнов В.И. // Вестник ННГУ. Математическое моделирование и оптимальное управление. Н. Новгород: Изд-во ННГУ, 2001. Вып. 1 (23). С. 56-64.
34. Горюнов В.И., Дубровина Н.Н. // Дифференциальные и интегральные уравнения: Межвуз. сб. Н. Новгород: Изд-во ННГУ, 1987. С. 77-80.
35. Неймарк Ю.И. Динамические и управляемые процессы. М.: Наука, 1978. 336 с.
36. Неймарк Ю.И. // Известия вузов. Радиофизика. 1958. Т. 1. № 2. С. 95-117.
37. Неймарк Ю.И., Ланда П.С. Стохастические и хаотические колебания. М.: Наука, 1987. 424 с.
ON SOME PECULIARITIES OF THE METHOD FOR STUDYING THE DYNAMICS OF SYSTEMS WITH PULSE-WIDTH MODULATION AND CONTROL SIGNAL STORAGE
O.G. Antonovskaya, V.I. Goryunov
A new method simulating the dynamics of digital frequency synthesizers using a piece-wise constant control signal is proposed. The method allows a uniform approach to the study of local and global features of phase trajecto-
ries.
