CC BY
25
298
Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2014, № 4 (1), с. 298-305
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ
УДК 62-504.14:681.511.4
РАЗРЫВНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ ПЛОСКОСТИ В ПЛОСКОСТЬ В ДИНАМИКЕ СИСТЕМ С ИМПУЛЬСНЫМ ЧАСТОТНО-ФАЗОВЫМ УПРАВЛЕНИЕМ
© 2014 г. О.Г. Антоновская, В.И. Горюнов
НИИ прикладной математики и кибернетики Нижегородского госуниверситета им. Н.И. Лобачевского
о^а.ап11опоУ8ска] a@yandex.ru
Поступила в редакцию 03.06.2014
Приводится методика качественно-численного анализа динамики математической модели синтезатора частоты при учете инерционности процесса формирования управляющего сигнала.
Ключевые слова: синтезатор частоты, математическая модель, динамика системы, точечное отображение, неподвижная точка, устойчивость, кратный цикл.
Введение
В работах [1, 2] показано, что качественный анализ динамики математической модели (ММ) синтезатора частоты (СЧ) с импульсным частотно-фазовым детектором типа ИЧФД3Н [3] и идеальным астатизирующим фильтром сводится к исследованию разрывного точечного отображения прямой в прямую, что, в свою очередь, позволяет не только доказать единственность и глобальную устойчивость режима управления, но и обнаружить скачкообразный характер зависимости его спектра от параметра перестройки частоты СЧ.
В настоящей работе приводится методика качественно-численного анализа динамики ММ указанного типа СЧ при учете инерционности процесса формирования управляющего сигнала. Показывается, что исследование динамики ММ сводится к исследованию свойств разрывного точечного отображения плоскости в плоскость.
Математическая модель системы
Уравнения рассматриваемой ММ СЧ имеют вид:
при подключенном выходе детектора
= ё (х), ЦТ = и - х
(ё (х) > 0,0 <е< 1, о <х< 1), (1)
при отключенном выходе детектора на этапе хранения информации
«е=ё (х),
х = 0
(0 < е < 1, 0 < х < 1). (2)
В (1), (2) точкой обозначено дифференцирование по безразмерному времени х, изменяющемуся в пределах периода [0,1] сигнала опорного генератора (ОГ); 0< ц - параметр инерционности процесса формирования управляющего сигнала; 0 < а «1 - безразмерный показатель счетчика (С); и - выходной нормированный на ±1 сигнал детектора; х - выходная координата фильтра; 0 - обобщенная координата С, пустого при 0 =0 и заполненного при 0 =1; ё(х)=1+5х - линеаризованная характеристика управляемого генератора (УГ) с крутизной £">0.
Следуя [1], учет скачкообразного изменения характера уравнений ММ СЧ можно осуществить с помощью привлечения к рассмотрению трех фазовых подпространств. Без потери общности рассмотрений будем считать, что в подпространстве П система (1) определена с и=+1; в П3 - с и=-1, а в П2 определена система (2). Будем также считать, что начальное положение изображающих точек движения (ИТД) в подпространствах соответствует логике работы детектора.
Рис. 1
В подпространстве П1 ИТД оказываются после прихода импульса ОГ и начинают движение из начальных точек х(т = 0) = х0, 9(т = 0) = 90. И поскольку, согласно (1) при
и=+1,
ОЭ ц 1 + 5х й 2е ц 1 + 5
йх а 1 - х ' йх2 а (1 - х)2
■> 0,
(3)
указанные фазовые траектории лежат на цилиндрических поверхностях так, как это показано на рис. 1.
Непосредственно из рис. 1 видно, что ИТД с е„, близкими к единице, всегда приходят на
грань е = 1 подпространства П. При меньших значениях д0 возможен приход на грань т = 0 . Пограничный режим удовлетворяет условию е(т = 1) = 1.
Поскольку в соответствии с уравнением (1) при и=+1 фазовые траектории задаются соот-
ношениями вида
х(т) = 1 + (х0 - 1)е
-т / ц
(4)
е(т) = ей + (1/а)[(1 + 5)т + (х0 -1)(1 - е-х'")], пограничный режим в полуполосе х0 >-(1/ 5), 0 < д0 < 1, определяющей сечение С12 (единица соответствует П, двойка - грани т = 0 ) задает границу Г1:
д0 = ^(Г,) = 1 - (1/а)[1 + 5 + 5(х0 -1)/(ц)], (5) где функция
/ (ц) = ц(1 - е-1/ц) (6)
обладает очевидными свойствами: / (ц = 0) = 0, / (ц = <») = 1, й/ / йц> 0.
При увеличении ц от нуля граница Г появляется в С12 со стороны точки (-(1/5),0) при ц = ц1. Полагая в (5) х = -(1/5), д0(Г1) = 0, находим соотношение
определяющее неявным образом величину ц1 . При ц > ц граница Г1 делит сечение С12 на области От и 0122 (рис. 2).
Граница Г1 пересекается с осью х при
х^Г,) = 0) = 1 - ((1 + 5 - а)/5/(ц)) (8) и с осью е при
е(Г1(х0 = -(1/5)) = 1 - ((1 + 5)(1 - /(ц))/а).
Поскольку производная Эе0(Г1)/ Эц при х0 < 1 положительна, постольку с ростом ц граница Г1 перемещается в сторону больших значений е . При ц ^ да она занимает крайнее положение, соединяя точку (-(1/ 5),1) с точкой ((а-1)/5,0), как это показано штриховой линией на рис. 2. При а ^ 1 + 5 последняя подходит к точке (1,0), определяющей местоположение устойчивого инвариантного многообразия (рис. 1).
Потоки фазовых траекторий с начальными точками, лежащими в областях От и 0122 (рис. 2), порождают два типа точечных отображений плоскости в плоскость:
х = 1 + (х0 - 1)ехр(-1/ц),
е=е0 + (1/а)[1 + 5 + 5(х0 -1)/(ц)]
((х0,е0) е Ош, (х,е) е С12), (9) возвращающее точки области От в исходное
Т
-М
сечение С12, и
Т
п
х = 1 + (х0 -1) ехр(-т / ц),
/ (ц.) = 1 -а /(1 + 5),
(7)
' (1 + 5)Т + ц5(1 - ехр(-т / ц))(х0 -1) = (1 - е0 )а
((x0,е0) е Gl22, (x, т) е С21Х (10)
переводящее точки (х0, е0) области 0122 в точки (х, т) сечения С21 подпространства П2.
Отметим основные свойства приведенных отображений.
Отображение Тт 12 задано явными линейными функциями последования (ФП) с якобианом д(х,0)/д(х0,е0) > 0 и поэтому гарантирует для области G121 = Т121 12 0121 то же количество линейных границ и тот же порядок обхода, что и у области От . Поскольку отображение Т^21 12 тождественно по координате 0, постольку левая вертикальная граница области От при х0 =-(1/ £) (рис. 2) в результате отображения остается вертикальной и имеет ту же длину, что и исходная. При ц = , когда область 0121 в сечении С12
представлена точкой (-(1/ £),0), область G121 представлена точкой (1 - (1 + (1/ £) ехр(-1/ ц ),1). При ц = ц + 0 область G121 накладывается на область 0121 так, как это показано на рис. 3. Подставляя координаты нижней вершины области G121 (рис. 3) в уравнение границы Г1, находим уравнение
ц(1 - ехр(-2 / ц)) = 2 - а /(1 + £),
определяющее значение ц = ц2 > ц, при котором у областей G121 и 0121 имеется одна общая точка.
При ц ^ да левые границы областей G121 и 0121 совпадают с отрезком [0,1] оси 0 , граница Г1 занимает положение, представленное штриховой линией на рис. 2, а правая граница G121 соединяет на плоскости (х, 0) точку (-(1/ £), 0) с точкой ((а -1) / £,1). Из отмеченного следует, что при ц < ц < ц2 область 0122 за одну итерацию переходит внутрь области 0122. При ц > ц2 возможно большее количество итераций.
Переходя к рассмотрению свойств отображения Т122 21 , необходимо отметить, что оно задано с помощью трансцендентного уравнения, определяющего величину х . Для качественного рассмотрения свойств последнего представим
его в виде уравнения Е(х, х0) = = (1 -00)а, в котором х0,00 - параметры, а
Е(х,х0) = (1 + £)х + ц£(1 -ехр(-х/ц))(х0 -1). (11) С целью изучения свойств графика функции Е (х, х0) от х отметим, что
FX' = 1 + £ + £(х0 -1) exp(-X / ц),
К = -(£ / ц)(x-1) exp(-x/ ц).
(12)
При х0 > -(1/ £) Е > 0, и поэтому, независимо от характера выпуклости, график Е(х, х0) при любых значениях х0 > (<)1 пересекается с уровнем (1 -00)а в единственной точке, обеспечивая тем самым существование единственного корня х уравнения Е(х, х0) = (1 - 00)а .
Согласно (11) дЕ(х, х0)/ дх0 > 0, и поэтому
min F (X, x0) = F (X ,-(1 / £)) =
x0
= (1 + £ )[X - ц(1 - exp(-X / ц))].
(13)
Графики функции F (x, x0) при значениях
x0 > -(1/£) приведены на рис. 4.
Интервал [0, а] возможного расположения
уровня (1 -90)а при различных значениях 90
на рис. 4 заштрихован. На рис. 4 положение верхней части заштрихованной зоны приведено
для случая а< min F (X = 1, x0), который имеет
x0
место при ц < ц1. Согласно рис. 4 корень X < 1 при любых значениях 0 < 90 < 1 монотонно уменьшается с увеличением x0. При этом максимально допустимое значение корня X = Xmax(x0) достигается при 90 = 0, т.е. на верхнем уровне заштрихованной полосы (рис. 4). При ц > ц1 верхний край полосы (рис. 4) при X = 1 поднимается над уровнем min F, и поэтому корень X существует только для 1 + (1 + £ / а)(1 - f (ц)) < 90 < 1. Это соответствует значениям 90, лежащим при x0 = -(1/ £) над границей Ц (рис. 2). При -(1/ £) < x0 <
< х(90(Г1) = 0), где правая часть неравенства определяется соотношением (8), корень х существует только для значений 90, лежащих над границей Г1 (рис. 2), а при х0 > х(90(Г1) = 0) -для любых значений 0 < 90 < 1.
При ц > ц граница Г1 области G122 отображается в сечение С21 на линию х = 1 в пределах min х(Г1) < х < max х(Г1), где
min х(Г) = 1 - ((1 + S)/ S)exp(-1/ ц), (14) max х(Г1) = 1 - ((1 + S - a)/ Sf (ц)) exp(-1/ ц). Участок границы области G122, расположенный при х = -(1/S) над границей Г1 (рис. 2), задается уравнением
х = 1 - ((1 + S)/S )exp(-x / ц) (0 <х< 1). (15)
Граница 9 = 1 (х0 > -(1 / S)) области G122 (рис. 3) отображением T122 21 переводится в полуось х = 0 (х > -(1/S), а участок границы 9 = 0 (х > х(90(Г1) = 0)), лежащий справа от границы Г1 (рис. 2), после отображения задается уравнением
х = 1 - ((1 + S)х - a)/S^exp(x/ц) -1)
(0 <х< 1). (16)
Характер расположения области G122 в сечении С21 изображен на рис. 5 сплошной линией.
При ц —<» , согласно (14), min х(Г1) — —-(1/S), maxх(Г1) = ((a-1)/S) < 1.
Правая граница области G122 (рис. 5) пересекает линию х = 1 на уровне х = a /(1 + S), величина которого не зависит от параметра ц .
При ц = ц граница Г на рис. 5 стягивается в точку, которая при дальнейшем уменьшении ц смещается на рис. 5 вниз и вправо. При
ц —> +0 область G122 имеет предельно низкий пьедестал и предельно узкую вершину около значения х = 1. На рис. 5 положение области G122 в этом случае представлено штриховой линией.
В подпространство П2 ИТД из С12 приходят на сечение С21 (е0 = 0), и поэтому уравнения фазовых траекторий имеют вид
е(т) = (1 + 5х0)(т-т0)/а, х(т) = х0, (17) и поскольку в фазовом подпространстве П2 траектории лежат в плоскостях х(т) = х0, они могут приходить как на грань т = 1, так и на грань е = 1. Пограничный режим удовлетворяет условию е(т = 1) = 1. Траектории с большим
значением т0, чем пограничный режим, приходят на сечение т = 1 и далее уходят в подпространство П на грань т = 0 , а с меньшим - на грань е = 1 и далее уходят в подпространство П3 на грань е = 0. Граница
Г2: т0 =т0(Г2) = 1 -а /(1 + 5х0)
(0 <т < 1) (18)
делит сечение С21 на две области: 0211
(т0 > т0 (Г2 )) и °212 (т0 < т0 (Г2 )) .
Потоки фазовых траекторий с начальными точками, лежащими в областях 0211 и 02п, порождают два типа точечных отображений плоскости в плоскость:
Т211,12: х = X0, е= (1 + 5х0)(1 -т0)/а ((х0,т0) е вгп, (х,е) е Си), (19)
возвращающее точки (х0, т0) е 0211 в точки (х, е) сечения С12 подпространства П , и
Т212,31: х = х^ т=т0 + (а /(1 + 8X0))
((x0, т0) е G2l2, (X, т) е Сз^ (20)
переводящее точки (х0, т0) е 0212 в точки (х, т) сечения С31 подпространства П3.
Необходимо отметить, что ИТД, вернувшиеся в П1 , в свою очередь, через некоторый интервал времени возвращаются в П2, но, согласно (10), (19), уже с большим значением координаты х , так что через некоторое количество возвратных движений указанные ИТД пересекают границу Г2 и далее уходят в подпространство П3. Поскольку, согласно (18), граница Г2
в сечении С21 (рис. 5) пересекает ось х при х0 = (а —1)/£ , и при этом ^х0(Г2)/йхй > 0, а х0(Г2, х0 ^ 1 - 0) ^да , постольку граница Г2 делит область 0122 на две части. Но это означает, что отображение точек сечения С12 в точки сечения С31 при любых значениях параметра ц является разрывным отображением плоскости в плоскость и не является взаимнооднозначным.
В подпространстве П3 движения начинаются с грани 90 = 0 (сечение С31), и поэтому, хотя расположение цилиндрических поверхностей, в которых располагаются фазовые траектории, аналогичны П1 (рис. 1), траектории с большими значениями х0 приходят на грань х = 1, а с меньшими могут приходить на грань 9 = 1. Следует также отметить, что устойчивая инвариантная плоскость, представленная на рис. 1 при х = 1, в случае подпространства П3 располагается при х = —1, и поэтому из условия -(1/ £) <—1 расположения в области управляемости —1 < х < 1 в области невырожденности ММ СЧ вытекает необходимость выполнения условия £ < 1. Поскольку в соответствии с уравнением (1) при и = —1 фазовые траектории в П 3 задаются соотношениями вида
х(х) = —1 + (х0 + 1)ехр(—(х — х0)/ц), (21) 9(х) = [(1 — £ )(х — х0) +
+ Ц(х0 +1)(1 — ехР(—(х — х0)/ Ц))] / а, пограничный режим в сечении С31 определяет
границу
Г3 : х0 = х0(Г3) = ([а — (1 — £)(1 — х0)] х
хц£ (1 — ехр(—(1 — х0)/ ц)))—1 — 1,
(22)
которая делит сечение С31 на две части: 0311
(х0 < х0(Г3)) и С312 (х0 > х0(Г3)) .
Потоки фазовых траекторий с начальными точками, лежащими в областях Ош и С312, порождают два типа точечных отображений плоскости в плоскость: отображение
Т312,31 : х =—1 + (х0 + 1)еХР(—(х —х0)/ЦХ
(1 — £ )(х — х0) + ц£ (х0 +1) х (23) х (1 — ехр(—(х — х0)/ ц)) = а, возвращающее точки области С312 в точки (х, х) сечения С31 еП3, и отображение
Т311,22 : х = —1 + (х0 + 1)еХР(—(1 — х0)/ Ц),
9 = [(1 — £ )(х — х0) + ц£ (х0 +1) х (24) х (1 — ехр(—(1 — х0) / ц))] / а,
переводящее точки (х0, х0) области С311 в точки (х, 9) сечения С22 (х0 = 0) подпространства П2.
Поток фазовых траекторий, начинающихся в П2 с сечения С22 (х0 = 0), распадается на две части. Та часть потока, которая начинается при х0 < х0(Г4) (область С221), где граница
Г4: х0 = х0(Г4) = [(1 — 90)а — 1]/£
(0 <90 < 1), (25)
порождает отображение
Т22112: х = х0, 9 = 90 + (1 + £х0)/а
((xo,90) е (x,9) е С^Х (26) переводящее точки (х0,90) е С221 в точки (х, 9) е С12 подпространства П, а поток траекторий с х0 >х0(Г4) (область 0222) порождает отображение
Т222 31: х = х0, х = а(1 — 90)/(1 + £х0)
((xo,90) е (x,х) е С31Х (27)
возвращающее точки области 0222 в сечение С31 подпространства П3.
Необходимо отметить, что ИТД, вернувшиеся с П3 , в свою очередь через некоторый интервал времени возвращаются в П2, но, согласно (24), (27), уже с меньшим значением координаты х , так что через некоторое количество возвратных движений указанные ИТД пересекают границу Г4 и далее уходят в подпространство П. Отсюда следует, что регулярные движения в рассматриваемой ММ СЧ являются движениями кольцевого типа, и их исследование сводится к изучению отображения сечений С12, С21, С31, С22, каждое из которых для такого типа движений представляет собой секущую область [4, с. 153].
Исследование математической модели системы
В силу трансцендентного характера функции последования (ФП) отображения Ти2 21 и явной
нелинейности ФП отображений Т31122 и Т222 31
качественное исследование условий существования и устойчивости неподвижных точек кольцевого отображения, опирающееся на аналитические соотношения, представляется весьма затруднительным. В этой ситуации для обобщения и визуализации результатов численных экспериментов целесообразно воспользоваться графическими и интерактивными возможностями программы МЛТЬЛБ [5]. Для ис-
Рис. 6
Рис. 7
пользования результатов работы [1] в качестве порождающих при ц = +0 будем считать, что кольцевое отображение T соответствует первому возвращению ИТД в сечение С12. Тогда в пределах области ограниченности движений в большом, имеющей в сечении С12 форму прямоугольника -1 < х < 1, 0 <9< 1, ФП отображения T могут быть представлены двумерными поверхностями так, как это показано для достаточно малых значений ц (ц< 10-5) и а = 0.98, S = 0.2 на рис. 6 и 7. На рис. 6 приведен график ФП отображения T для координаты х и на рис. 7 - для координаты 9 .
Необходимо отметить, что процедура построения графиков функций двух переменных по команде mesh [6, c. 105] системы MATLAB предполагает, что используемая функция является непрерывной, и поэтому разрывы ФП отображения по координате 9 представлены на рис. 7 как вертикальные участки поверхности. Разрывность отображения T по координате х командой воспринимается критически. Так, при ц< 10-5 места разрывов поверхности не отмечаются; при ц = 10-4 два участка разрывности ФП отмечаются вертикальными выбросами, а два остальных - светлыми полосками; при ц = 10-3 разрывы отмечаются всеми четырьмя выбросами (рис. 8); при ц = 10-2 места разрывов отмечаются вертикальными участками и круто подходящими к ним со стороны меньших 9 значений участками поверхностей; при ц> 0.1 разрывность ФП становится незаметной.
Для уточнения формы графиков можно воспользоваться процедурой управления входными
данными команды mesh через используемую ею подготовительную команду meshgrid задания прямоугольной сетки, в узлах которой осуществляется вычисление значений ФП. Так, увеличение количества узлов сетки в районе указанных при ц = 10-4 полос приводит не только к появлению вертикальных участков, но и формированию в их окрестности участков непрерывной поверхности ФП. Отмеченное обстоятельство означает, что при той достаточно высокой точности, которая заложена по умолчанию в системе MATLAB в задании встроенных постоянных и алгоритмах вычисления встроенных функций, основным фактором, способствующим получению достоверных данных качественного характера, получаемых в процессе визуального графического представления ФП отображения T , является обоснованный выбор масштаба сетки, в узлах которой производится вычисление ФП.
Визуальная оценка глобальных свойств ФП существенно упрощает изучение условий существования неподвижных точек отображения T.
Действительно, если ФП отображения T m (m = 1,2,...) суть х = х(х0,90), 9 = 9(х0,90), то его неподвижные точки удовлетворяют уравнениям ф(х0,90) = х - х0 = 0, у(х0,90) = 9 -90 = 0 , и, следовательно, визуально их расположение на плоскости определяется как пересечение нулевых линий уровня функций ф(х0,90) и х0,90). В системе MATLAB нулевые уровни графиков двумерных функций визуализируются командой Contour. В качестве примера рассмотрим ситуацию при а= 1.027, ц = 10-3, S = 0.2 . Согласно [1], при ц = +0 и указанных а и S имеет место двукратный цикл отобра-
о.э
point mapping CI 2 In C12
0.89 0.80
и 1
| 0.84
Ф
В
| 0.82 0.8 0 78
0.76
1
I- — grpma -12-12
0.8 0.81 0.82 0.83 0 84 0.85 0.88 0-87 0.88 coordinate ttieta
Рис. 8
Рис. 9
lines of an equal level fix differential (unction thela
gnd compression with accuracy ecom
■0.01 -0.01 -0.01
0 0 0 0
o.o ........0. 11 ta i.OT
* T n (TrWTf шт. -0 01 mm tftfl? ШШ -o.c №№ i -0.01 w e
0 0 0 0
0.01 00 0. 11
'-1,1 -1,06 -1,06 -1.04 -1.02 -1 -0.98 -0.96 -0.94 -0.92 -0,9 coordinate x
Рис. 10
жения T (рис. 9). При ц = 10-3 расположение нулевых уровней функции х0,90) при m = 2 приведено на рис. 10. Разрыв ФП на этом рисунке представлен как сгущение линий уровня. Непосредственно из знаков и величин уровней вне границ разрыва следует, что итерациями T2 ИТД отталкиваются от разрыва ФП. Лежащие выше разрыва точки уходят к верхнему нулевому уровню, а лежащие ниже разрыва - к нижнему нулевому уровню. Поскольку, как нетрудно проверить, нулевой уровень функции ф( х0,90) лежит на линии x «-1 и также приближает к себе ИТД, можно заключить, что двукратный цикл неподвижных точек устойчив, причем с точки зрения отображения T 2 каждая из этих неподвижных точек является точкой типа устойчивого узла [4, c. 40].
Необходимо отметить, что процедура визуализации нулевых уровней функций ф и у с помощью команды Contour, так же как и графиков ФП отображения T , критична к выбору сетки значений x0,90. Достоверность исследований увеличивается при использовании результатов работы [2] в качестве порождающих и
0.67 006 085
о as 0.82 0.81
.......... .......... ....... ......... ......... .......... ..........
и.оооа-! oooe-1.oocw-1.ooc2 -1 ■о.доы.мве-о.эам-о.юа лига
смгйпэЕе х
Рис. 11
одновременном выборе такого масштаба сетки, при котором дальнейшее уменьшение масштаба только подтверждает достигнутый качественный эффект.
Независимую информацию о существовании и кратности цикла неподвижных точек можно получить на основе анализа сжимающих свойств отображения Т, используемых в разработанном авторами т-файле compressio п(хт1п,
Xmax, ^ ^ Nx, ,М* 8, ^ С). Четыре первых
входных параметра файла задают прямоугольник
Хшп ^ Х ^ Xmax, 9тт ^ 9 ^ ^ в котором создаеТСя
сетка за счет деления стороны прямоугольника по координате х на Nx частей и стороны по координате 9 на N9 частей. К узлам сетки применяется отображение и в получающемся после этого множестве точек определяются новые значения
^ Xmax, 9ш1n, 9тах , т е. определяются рЗЗмерЫ нового прямоугольника. Затем выиисляется текущее значение величины близости исходного и полученного прямоугольников по формуле
-9 . I,|9 -9 I)
min Р max max у
При s > s, т.е. если точность не достигнута, процедура отображения узлов, но уже новой сетки, продолжается.
Входной параметр C файла используется для задания способа визуализации результатов расчета после того, когда в процессе вычислений условие s < s точности процесса сжимаемости достигнуто. В зависимости от величины задания параметра C результаты расчета можно представить либо в исходном, либо в сжатом прямоугольнике. Результаты применения m-файла compressio n(-1.01,1.01,0,1,10,10,1.027,0.01,0.2,
10-7,2) приведены на рис. 11. Точность s= 10-7,
соответствующая рис. 11, достигается за 33 итерации сжатия сетки с количеством узлов 11x11. Сравнение рис. 11 с рис. 10, как порождающим, подтверждает целесообразность использования принципа сжатия сетки.
Заключение
Следует отметить, что для получения достоверной информации о величине кратности и глобальной устойчивости цикла неподвижных точек как в случае команды Contour, так и при использовании принципа сжимаемости сетки
необходим выбор гарантирующего устойчивое сохранение качественных результатов масштаба сетки. Но это означает, что для получения достоверных результатов качественно-численного исследования условий существования и устойчивости неподвижных точек разрывного отображения плоскости в плоскость необходим учет не только точности вычислений [6], но и дискретного характера множества начальных точек.
Список литературы
1. Антоновская О.Г., Горюнов В.И. // Вестник Нижегор. ун-та им. Н.И. Лобачевского. 2013. № 1(1). С. 184-190.
2. Антоновская О. Г., Горюнов В. И. // Вестник Нижегор. ун-та им. Н.И. Лобачевского. 2013. № 6(1). С. 173-179.
3. Левин В.А., Малиновский В.Н., Романов С.К. Синтезаторы частот с системой импульсно-фазовой автоподстройки. М.: Радио и связь, 1989. 232 с.
4. Косякин А.А., Шамриков Б.М. Колебания в цифровых автоматических системах. М.: Наука, 1983. 336 с.
5. Ануфриев И.Е., Смирнова Е.Н. MATLAB 7. СПб.: БХВ-Петербург, 2006. 1104 с.
6. Горюнов В.И. // Изв. вузов. Радиофизика. 1969. Т. 12. № 3. С. 425-431.
DISCONTINUOUS PLANE-TO-PLANE MAPPING IN DYNAMICS OF SYSTEMS WITH PULSE FREQUENCY-PHASE CONTROL
O.G. Antonovskaya, V.I. Goryunov
The article presents a technique of qualitative-numerical analysis of a frequency synthesizer mathematical model taking into account the lag effect of the control signal formation process.
Keywords: frequency synthesizer, mathematical model, system dynamics, point mapping, fixed point, stability, multiple cycle.
References
1. Antonovskaya O.G., Goryunov V.I. // Vestnik Nizhegor. un-ta im. N.I. Lobachevskogo. 2013. № 1(1). S. 184-190.
2. Antonovskaya O.G., Goryunov V.I. // Vestnik Nizhegor. un-ta im. N.I. Lobachevskogo. 2013. № 6(1). S. 173-179.
3. Levin V.A., Malinovskij V.N., Romanov S.K. Sin-
tezatory chastot s sistemoj impul'sno-fazovoj avto-podstrojki. M.: Radio i svyaz', 1989. 232 s.
4. Kosyakin A.A., Shamrikov B.M. Kolebaniya v cifrovyh avtomaticheskih sistemah. M.: Nauka, 1983. 336 s.
5. Anufriev I.E., Smirnova E.N. MATLAB 7. SPb.: BHV-Peterburg, 2006. 1104 s.
6. Goryunov V.I. // Izv. vuzov. Radiofizika. 1969. T. 12. № 3. S. 425-431.
