Об учете дискретизации процессов в квазистатических моделях синтезаторов частот на основе использования принципа разделения движений в методе точечных отображений Текст научной статьи по специальности «Физика»

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ. ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ

УДК 62-504.14:681.511.4

ОБ УЧЕТЕ ДИСКРЕТИЗАЦИИ ПРОЦЕССОВ В КВАЗИСТАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЯХ СИНТЕЗАТОРОВ ЧАСТОТ НА ОСНОВЕ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ПРИНЦИПА РАЗДЕЛЕНИЯ ДВИЖЕНИЙ В МЕТОДЕ ТОЧЕЧНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ

© 2011 г. О.Г. Антоновская, В.И. Горюнов

НИИ прикладной математики и кибернетики Нижегородского госуниверситета

им. Н.И. Лобачевского

olga.antonovskaja@jandex.ru

Поступила в редакцию 24.03.2011

Показано, что методика построения математических моделей синтезаторов частоты на основе метода точечных отображений может быть использована как для построения, так и исследования ква-зистатических моделей синтезаторов произвольной размерности.

Ключевые слова: математическое моделирование, квазистатическая модель, динамика систем, точечное отображение, устойчивость.

Введение

Совершенно очевидно, что при современном уровне развития вычислительной техники не представляет особого труда проведение необходимого количества вычислений, характеризующих основные динамические параметры радиоэлектронных систем управления [1]. Однако процесс создания математических моделей (ММ), на основе которых проводятся такие вычисления, в общем случае не формализуем и до сих пор остается прерогативой исследователя [2]. Так, например, известно, что при выводе операторного уравнения непрерывных систем фазовой автоподстройки частоты (ФАПЧ) в качестве базового используется принцип разделения движений на быстрые и медленные. К быстрым движениям, как правило, относят процессы установления вынужденного сигнала на выходе фазового детектора (ФД), а к медленным движениям, по отношению к быстрым, -собственные переходные процессы в фильтре нижних частот (ФНЧ). Именно в силу этого обстоятельства изучение медленных движений в замкнутой системе ФАПЧ опирается на знание статической характеристики ФД [3].

При рассмотрении систем ФАПЧ с элементами дискретизации [4], таких, например, как синтезаторы частоты (СЧ), по аналогии с непрерывными системами ФАПЧ также используется понятие статической фазовой характеристики импульсного фазового детектора (ИФД) [5]. Однако при определении характеристики ИФД в СЧ фаза управляющих импульсов, формируемых на выходе декадного счетчика (С), играющего в установившемся режиме роль делителя частоты, отождествляется с непрерывно изменяющейся фазой гармонических колебаний эквивалентного генератора, частота которого в N раз (где N - число счетных декад С) меньше частоты подстраиваемого генератора (ПГ), используемого в схеме СЧ. При таком подходе к определению свойств тракта ПГ-С ММ СЧ сводится к ММ непрерывной системы ФАПЧ с линейной связью между непрерывно изменяющейся фазой управляющих импульсов и частотой ПГ [5].

Однако в [6] показано, что в случае широкополосного ФНЧ учет свойств С по отношению к колебаниям ПГ позволяет на основе метода точечных отображений [7] без использования понятия эквивалентного генератора учесть не

только дискретность, но и принципиально нелинейный характер связи между фазой управляющих импульсов и частотой ПГ.

В настоящей работе показывается, что подход к построению ММ тракта ПГ-С, приведенный в [6], может быть также эффективно использован как для построения, так и исследования квазистатических моделей СЧ произвольной размерности.

Построение квазистатической модели СЧ

Рассмотрим ММ СЧ с простым узкополосным интегрирующим фильтром, описываемым уравнением

<іх

— = ц(и - х) ,

(1)

в котором безразмерные: т - время, х - выходная координата ФНЧ, и - выходной сигнал ИФД, 0 < ц << 1 - малый параметр.

Уравнение, описывающее накопительное свойство С и являющееся неявным разностным уравнением относительно момента появления на выходе С управляющего импульса

"1

| g(х(т))Л = а ■

Т = Т! - Е[хх]:

СЧ, задаваемого начальной точкой М0 (т0, х0 ) цилиндрического по т пространства состояний 0 < т0 < 1, — да < х0 < +да, в последующее состояние, определяемое точкой М (т, х ).

Непосредственно из структуры соотношения (3) следует, что для получения величины X с

точностью до ц2 величину верхнего предела т интеграла в правой части формулы (3), а также характеристику ИФД и решение х( т) уравнения (1), входящие в (3) под знаком интеграла, достаточно знать при ц = 0. Но это, в свою очередь, означает, что для того, чтобы знать х в первом приближении по ц, в (2) и (3) следует считать х( т) = х0 и пользоваться статической

характеристикой и = и ИФД. Функции последования получающегося при этом приближенного точечного отображения Т принимают вид

Т :

т = т - Е[т ], (0 <То < 1),

а

ё (Х0 )

х =

1 -

(2)

ца

ё(хо))

Т1

| и (т)(!т.

(5)

(6)

где 0 <а~ 1 - обобщенный показатель С, g(x) -нормированная на единицу ^(0) = 1 характеристика ПГ, т0 и т1 - два последовательно расположенных во времени момента появления на выходе С управляющих импульсов, причем 0 < т0 < 1, т. е. принимает любое положение в

пределах равного единице безразмерного периода сигнала опорного генератора (ОГ) [8].

Из уравнения (1) следует, что в момент т = т1 появления управляющего импульса

ті

х(т = т1) = X = х0 +ц|(ы(т)-х(т))(1т , (3)

Т0

где Х0 — х( т То ).

Определяя для момента т = т1 его фазовое положения в соответствующем периоде колебаний ОГ как

Соотношение (5) характеризует фазочастотные свойства тракта ПГ-С и имеет простой физический смысл, поскольку означает, что если С начинает заполняться в момент т = т0, то следующий импульс на его выходе появляется спустя период колебаний генератора, частота которого в а раз меньше частоты колебаний ПГ, которые он имеет в статике при х = х0.

Необходимо отметить, что функции последования (ФП) (5), (6) отображения Т заданы явными соотношениями и не только имеют более простой вид, нежели формальное разложение ФП точного отображения Т в ряд по ц [8], но и допускают проведение определенных качественных исследований. Действительно, поскольку у ФП (5) х0 играет роль параметра, она

является одномерной и допускает простое графическое представление на развертке окружности единичной длины.

При

(4)

п — 1 < -

а

где Е - знак взятия целой части, на основании соотношений (1)-(4) вводим в рассмотрение точечное отображение Т начального состояния

ё (хо )

< п (п = 1, 2,...)

(7)

график ФП (5) состоит из двух отрезков прямых, каждый из которых параллелен биссек-

Т

Т

трисе координатного угла, причем левый отрезок лежит выше биссектрисы, и для него т > т0, а правый - ниже биссектрисы, и для

него т < т0 , как это показано на рис. 1.

Левая часть графика ФП (5), приведенного на рис. 1, соответствует Е[г1 ] = п -1, а правая -Е[’т1 ] = п, т.е. значение ~ = 1, достигаемое при

сектрисой координатного угла, демонстрируя тем самым неизменяемость движений по фазе.

При условии ~ Ф х0 границы Г2 (п) являются на цилиндре состояний аналогом изоклин вертикальных касательных к траекториям двумерной непрерывно динамической системы [9].

Переход через границы Г2 (п) на цилиндре состояний достигается только за счет изменения

т0 = т

01

(рис. 1), является границей раздела величины х„ , т.е. частотных свойств ПГ, и озна-

оборотности движения на цилиндре состояний.

Рис. 1

Подставляя в (5) 15 = п, находим уравнение

границ Г (п):

х0 = Х0 (гі) = ё

-1

а

П — То

(п = 1, 2,...; 0<т0 < 1),

(8)

где индекс степени «-1» означает операцию взятия обратной функции от £(х).

При пересечении на развертке цилиндра состояний 0 < т0 < 1, — да < х0 < +да границы

Г1(п) слева направо в сторону больших значений т0 и меньших значений х0 оборотность

движения увеличивается на единицу за счет того, что координата т итерируемой точки М(т, х) переходит с левого участка графика

ФП (5) на правый. При этом момент т = 'т1 появления импульса С попадает в п-й период колебаний ОГ.

Далее, при 'т1 - т0 = п достигается граница

Г2 (п) смены кратности отношения частот сигнала ОГ и импульса С. Подставляя в уравнение (5) соотношение 'т1 - т0 = п, находим уравнение границы

чает бифуркацию участков графика ФП (5), соответствующих определенным значениям Е['г1 ].

Так при подходе к границе Г2 (п) со стороны х0 > х0 (Г2) величина т01 ^+0 и левый

участок графика ФП (5) (рис. 1), соответствующий оборотности п - 1, поднимается вверх к точке т0 = 0, ~ = 1 и исчезает, в то время как

правый участок графика ФП, соответствующий оборотности п, поднимается вверх и на границе Г2 (п) занимает положение биссектрисы координатного угла.

При отходе от границы Г2 (п) в сторону х0 < х0 (Г2) величина т01 ^ 1 - 0 за счет того,

что левый участок графика ФП (5) (рис. 1), соответствующий оборотности п, отходит от биссектрисы вверх и влево, при этом от точки т0 = 1, "г = 0 отрождается правый участок графика ФП, соответствующий оборотности п+1.

Рассмотренные выше процессы изменения оборотности и кратности движения со сменой направления итераций отображения Т по фазе наглядно могут быть представлены для наиболее распространенного на практике случая линейной характеристики ПГ

g(х) = 1 + Бх (х >-(1/5)), (10)

поскольку в этом случае обратная функция

ё-1[ х]:

х ё -1) (11)

задается простым явным соотношением, и уравнения (9), (10) границ Г|(п) и Г2 (п) суть

Гі’(и):

хо _ Х0 (Г1 ) _ ^

а

п -Хл

-1

г2(и): х0 = х0(г2) = Я 1 -

_ г

(п = 1, 2,...). (9)

При попадании на границу Г2 (п) т = т0 и, следовательно, график ФП (5) совпадает с бис-

(п = 1, 2,...; 0 < т0 < 1), г2'(п): Хо = хо (Г2 ') = -1 [—-1

Б V п

(12)

т.е. допускают графическое представление на развертке цилиндра состояний так, как это представлено на рис. 2.

На рис. 2 показано, что с увеличением п границы Г1(п) и Г2 (п) опускаются вниз, сближаясь друг с другом на линии сгущения х0 = -(1 / Б), 0 < т0 < 1. Над линией сгущения х > -(1/ Б), и поэтому условие £-(х) > 0 невырожденности характеристики ПГ (10) выполнено.

~ = Х0 +-^а- (£(т„ ) - х0 ) .

течением времени входят в полосу тіп ^(х0 ) <

Т0

< х0 < тах ^(х0) цилиндра и при дальнейших

Т0

итерациях остаются в ней. При ^(х0), близкой

к пилообразной симметричной относительно нуля функции с пологим передним и крутым задним фронтом, при малой крутизне 5 характеристики ПГ для значений а > 1 (а ~ 1) график функции ^(х0) накладывается на границы Г (п) и Г2 (п) так, как это показано на рис. 3.

Качественное исследование динамики СЧ с пилообразной характеристикой ИФД

Необходимо отметить, что эффективное применение характеристики тракта ПГ-С достигается после конкретизации типа статической характеристики ИФД. Так, для ИФД типа «выборка - запоминание» [5] в интервале те [т0,’х1] используется информация только о

фазе первого импульса С, и поэтому ~ = ^(х0 ) .

В этом случае ФП (6) принимает вид

(13)

ё (хо )

Согласно (13)

- х0) = ®1§п(^(т0) - Х0 ) , (14)

и, следовательно, при х0 > тах ^(х0) справед-

Т0

ливо неравенство ~ < х0, а при х0 < шт ^(х0 )

Т0

имеем, соответственно, — ~ > х0. Это означает, что все траектории точечного отображения с

Рис. 3

Согласно (5) и (13), в точках пересечения границы Г2 (1) с графиком функции ^(х0) располагаются неподвижные точки (НТ) 01 и 02

отображения Т . Непосредственно из характера поля направлений, определяемого фазочастотными свойствами тракта ПГ-С и ФП (13), приведенного на рис. 3, следует, что НТ 0Х является фокусом, а 02 - седлом, причем входящие и выходящие сепаратрисы седловой точки относительно границы Г2 (1) и границы Г (2) располагаются вполне определенным образом, как это показано пунктирами на рис. 3.

Вывод о типе неподвижных точек 0Х и 02 , сделанный из качественных соображений, подтверждается анализом корней характеристического уравнения, получающегося на основе ФП (5) и (13) в НТ (т*, х*), где

х* = ^(х*), а = g (х*).

(15)

Коэффициенты p и q характеристического уравнения P2 (z) = z 2 + pz + q = 0 определяются соотношениями

p = ц- 2, q = 1 -ц-цК, (16)

где K = g'X^'T / a - обобщенный коэффициент усиления по кольцу регулирования СЧ, а g'X и суть производные по x и т от функций g(x) и ^(т) соответственно, взятые в НТ (т*, x*).

Согласно (16)

Р2 (+1) = 1 + цК, Р2 (-1) = 1 -ц + цК. (17)

Непосредственно из (17) следует, что при ц ^+0 Р2 (+1) и Р2 (—1) положительны, а величина q может быть как больше, так и меньше единицы. При K < 1 имеем q < 1, и, следовательно, фокус устойчив, а при K > 1 имеем q > 1, и фокус неустойчив.

Для седловой точки O2 при ц ^ +0 q < 1, dq/dp <—1, и при увеличении ц от нуля коэффициенты характеристического уравнения на плоскости ^,q [7] выходят из точки (-2,1) в область, лежащую под границей N+ и соответствующую корням z > (<) +1. Но это означает, что получающиеся при ц ^ +0 типы неподвижных точек O и O2 могут быть описаны эквивалентными динамическими системами второго порядка [10].

При ц ^ +0 вне малой окрестности точки

O2 сепаратриса седла, как и все траектории, лежащие на ней, занимает положение, близкое к горизонтальному. Этим можно воспользоваться для качественного анализа поведения траекторий отображения T при изменении а в пределах полосы удержания

g(min^(х0)) =а<а<а = g(max^(х0)). (18)

т0 т0

Так, при а ^ а — 0 и крутом заднем фронте ^(х0) пилообразного сигнала непосредственно из вида поля направлений траекторий движения (рис. 3) следует, что выходящая из седла O2 нижняя сепаратриса, попадая в область, лежащую правее границы Ц(2) (рис. 3), переходит в левую часть цилиндра состояний в область, лежащую ниже входящей в седло O2 нижней сепаратрисы. Но это означает, что контур, состав-

ленный указанными выше сепаратрисами, делает устойчивую НТ Ох недосягаемой для траекторий, начальные точки которых лежат между этими сепаратрисами. Из отмеченного следует, что граница а = а полосы удержания (18) лежит вне полосы захвата.

Аналогично приведенному качественному рассмотрению нетрудно убедиться, что при подходе к границе а = а полосы удержания роль преграды для проникновения траекторий движения сверху на цилиндре состояний к устойчивой НТ Ох играют входящая и выходящая над границей сепаратрисы седла 02 (рис. 3). Тем самым доказывается, что граница а = а полосы удержания также лежит вне полосы захвата.

Заключение

Необходимо отметить, что приведенные качественные исследования динамики СЧ с пилообразной формой характеристики ИФД достаточно полно согласуются с результатами численного анализа устойчивости и быстродействия СЧ с узкополосным пропорционально-интегрирующим фильтром [11].

При использовании импульсного частотнофазового детектора типа ИЧФД3 [5] с переключениями с одного участка кусочно-постоянной характеристики на другой участок при обнаружении повторного импульса ОГ, повторного импульса С или факта начала чередования импульсов ОГ и С, знание фазочастотных свойств тракта ПГ-С позволяет однозначно определить ФП (6) отображения Т, поскольку каждая из областей на развертке цилиндра состояний (рис. 2), образованных границами Г (п) при разных значениях п, соответствует вполне определенному относительному расположению во времени импульсов ОГ и С.

Действительно, для точек области Ох, лежащей под границей Г1 (1) (рис. 2), внутри интервала следования двух импульсов С нет импульсов ОГ, и поэтому после применения оператора отображения Т независимо от величины начального значения ~0 = ~(т = т0 + 0) устанавливается минимально возможное значение характеристики ИЧФД3.

Для точек области 02, заключенной между границами Г1 (1) и Г (2), в интервале следова-

ния двух импульсов С имеется только один импульс ОГ, и, следовательно, имеет место чередование импульсов ОГ и С, в результате которого после применения отображения Т к точкам области 02 устанавливается значение ~ = 0.

Для точек области 03, лежащих под границей Г (2), между двумя последовательными во времени импульсами С имеется не менее двух импульсов ОГ. Поэтому после применения оператора Т к точкам области 03 устанавливается

минимально возможное значение ~ характеристики ИЧФД3.

Необходимо отметить, что поскольку указанные свойства тракта ПГ-С присваивают каждой из областей (г = 1, 2, 3) вполне определенный вид последовательности импульсов, задания начального значения ~0 = ~(т = т0 + 0)

достаточно не только для фактического вычисления ФП (6) для любой начальной точки М0 (т0, х0) отображения Т, но и для установления соответствия результатов исследования динамики СЧ с помощью приближенного отображения с результатами точного исследования, проведенного на основе введения подпространств, соответствующих различным постоянным значениям характеристики ИЧФД3 [12].

Список литературы

1. Борисов Ю.П., Цветнов В.В. Математическое моделирование радиотехнических систем и устройств. М.: Радио и связь, 1985. 176 с.

2. Неймарк Ю.И. // Математическое моделирование и оптимальное управление. Вестник Нижегор. ун-та. Н. Новгород: изд-во ННГУ, 2004. С. 5-13.

3. Шахгильдян В.В., Ляховкин А.А. Фазовая автоподстройка частоты. М.: Связь, 1966. 334 с.

4. Шахгильдян В.В., Ляховкин А.А., Карякин В.Л. и др. Системы фазовой автоподстройки частоты с элементами дискретизации / Под ред. В.В. Шахги-льдяна. М.: Связь, 1979. 224 с.

5. Левин В.А., Малиновский В.Н., Романов С.К. Синтезаторы частот с системой импульсно-фазовой автоподстройки. М.: Радио и связь, 1989. 232 с.

6. Горюнов В.И. // Изв. Вузов. Приборостроение. 1974. № 10. С. 40-43.

7. Неймарк Ю.И. Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1972. 472 с.

8. Антоновская О.Г., Горюнов В.И. / Труды 58-й Научной сессии, посвященной Дню радио. Т. 2. Москва, 16-17 мая 2003 г. С. 89-93.

9. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. М.: Физматгиз, 1959. 915 с.

10. Косякин А.А., Шамриков Б.М. Колебания в цифровых автоматических системах. М.: Наука, 1983. 336 с.

11. Горюнов В.И., Ерусланов В.Н., Лобашов Н.И. // Техника средств связи. Сер. техника радиосвязи. М., 1990. Вып. 2. С. 88-92.

12. Антоновская О.Г., Горюнов В.И. / Труды IV Международной конференции «Проблемы управления». Москва, 26-30 января 2009 г. С. 91-95.

ON THE ACCOUNT OF PROCESS DISCRETIZATION IN FREQUENCY SYNTHESIZER QUASI-STATIC MODELS ON THE BASIS OF MOTION SEPARATION PRINCIPLE IN POINT

MAPPING TECHNIQUE

O.G. Antonovskaya, V.I. Goryunov

We show that mathematical simulation of frequency synthesizers on the basis of point mapping technique can be used for the development and study of synthesizer quasi-static models in arbitrary dimensions.

Keywords: mathematical simulation, quasi-static model, dynamics of systems, point mapping, stability.