Математическая модель кинематического расчета плоских рычажных механизмов Текст научной статьи по специальности «Математика»

Информационные технологии, моделирование и управление

Оригинальная статья/Original article

УДК 621.01

DOI: http://doi.org/10.20914/2310-1202-2017-2-73-79

Математическая модель кинематического расчета плоских _рычажных механизмов_

Максим А. Васечкин 1 vmax77@mail.ru

Екатерина В. Матвеева 1 katrin_vgta@mail.ru

Александр С. Сидоренко 2 sas1.vrn@mail.ru

Евгений Д. Чертов_1 ched@vsuet.ru

1 Воронежский государственный университет инженерных технологий, пр-т Революции, 19, г. Воронеж, 394036, Россия

2 Военный учебно-научный центр военно-воздушных сил «Военная воздушная академия им. проф. Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина», ул. Старых Большевиков, 54а, г. Воронеж, 394064, Россия

Реферат. На этапе проектирования плоских рычажных механизмов обязательно проводится кинематический расчет. Это операция очень трудоемка и содержит много вычислений. Поэтому является актуальным разработка математической модели в форме расчета кинематических характеристик любых плоских рычажных механизмов, имеющих в своем составе кроме начального звена хотя бы одну двухповодковую группу Ассура. В работе рассмотрены задачи построения математических процедур для групп Ассур пяти видов. В качестве исходных данных используются начальные координаты положения шарниров и кинематические характеристики ведущего звена. В ходе математического моделирования для исследуемой группы Ассура были записаны уравнения движения шарниров в проекциях на глобальные оси координат плоскости. Дважды продифференцировав уравнения движения были получены уравнения для определения скорости и ускорения шарниров в проекциях на глобальные оси координат. После ряда преобразований полученных уравнений в матричной форме записаны выражения для определения кинематических характеристик ведомых звеньев рассматриваемой группы Ассура. Получены математические процедуры для определения кинематических характеристик для каждой двухповодковой группы Ассура. При структурном анализе более сложного плоского механизма, состоящего из ведущего звена и нескольких двухповодковых групп Ассура, последовательно обращаясь к соответствующей процедуре можно определить кинематические характеристики всех звеньев исследуемого механизма. Для полученных математических процедур может быть легко разработано программное обеспечение в виде подключаемой библиотеки, что позволит ускорить выполнение расчетных работ при проектировании сложных плоских механизмов. ^лючевые^лова^математическая^одель^инематический^асчет^

Mathematical model of kinematic calculation of flat lever mechanisms

Maxim A. Vasechkin 1 vmax77@mail.ru

Ekaterina V. Matveyeva 1 katrin_vgta@mail.ru

Alexandr S. Sidorenko 2 sas1.vrn@mail.ru

Yevgeny D. Chertov 1 ched@vsuet.ru_

1 Voronezh state university of engineering technologies, Revolution Av., 19 Voronezh, 394036, Russia

2 Russian Air Force Military Educational and Scientific Center "Air Force Academy named after Professor N.E. Zhukovsky and Y.A.

Gagarin", Starykh Bolshevikov St., 54a, Voronezh, Russia

Summary. Kinematic calculation is a mandatory part of the design of the flat lever mechanisms. This operation is very time-consuming and always need many calculations. Therefore, it is important to develop mathematical models for calculating the kinematic characteristics of the flat lever mechanisms, containing at least one double-leash Assur group. The article is devoted to mathematical modeling of five types of the Assur groups. The initial pin joint position and the driving ring kinematic characteristics used as an input for the further calculations. For the selected Assur group created the equation of motion in plane coordinates axis for the pin joints. With double differentiating the equations of motion were derived equations for determining velocity and acceleration of the pin joints in the global axes projections. The result of several transformations in matrix forms is the equations for the kinematic characteristics of the slave units in the selected Assur group. Finally, mathematical procedures for the kinematic characteristics of each double-leash Assur group were calculated. In a structural analysis of the complex planar mechanisms with a leading link and several double-leash Assur groups it is possible to determine the kinematic characteristics of all parts by consistently addressing the appropriate procedure. All suggested algorithms implemented as a software library that will speed up the designing of the complex planar mechanisms. Keywords: mathematical model, kinematic calculation, Assur groups, analog of speed, analog of acceleration

Введение

На этапе проектирования плоских рычажных механизмов обязательно проводится кинематический расчет. Это операция очень трудоемка и содержит много вычислений. Поэтому является актуальным разработка математической модели

Для цитирования Васечкин М.А., Матвеева Е.В., Сидоренко А.С., Чертов Е.Д. Математическая модель кинематического расчета плоских рычажных механизмов // Вестник ВГУИТ. 2017. Т. 79. № 2. С. 7379. doi: 10.20914/2310-1202-2017-2-73-79

в форме процедур расчета кинематических характеристик любых плоских рычажных механизмов, имеющих в своем составе кроме начального звена хотя бы одну двух поводковую группу Ассура [1-3].

For citation

Vasechkin M.A., Matveeva E.V., Sidorenko A.S., Chertov Ye.D.

Mathematical model of kinematic calculation of flat lever mechanisms.

Vestnik VGUIT [Proceedings of VSUET]. 2017. vol. 79. no. 2. pp. 73-79.

(in Russian). doi:10.20914/2310-1202-2017-2-73-79

Разработка математической модели

Рассмотрим группу Ассура первого вида.

Положения звеньев данной группы Ассура определим с помощью рисунка 1, в котором представлена схема группы в соответствующей системе координат; обозначения звеньев и кинематических пар [4, 5]. Назовем конфигурацию групп сборкой № 1 когда координата точки В в локальной системе координат Х1о1у1 Ву1> 0, в противном случае мы имеем сборку № 2. Известны координаты точек А, С в абсолютной системе координат, длины звеньев /2 и /3 и необходимо определить абсолютные координаты точки В, углы р2 и р3. Расстояние АС определим по теореме Пифагора

АС = >/(- А )2 +(- Л )2 •

Угол а определим по формуле

а = arctan

(С - А \ Су Ау

С., - А,

а для определения локальных координат Вх1 и Ву1, воспользуемся теоремой косинусов и теоремой Пифагора. Учитывая, что ВХ1 = /2Cоs Z ВАС, получаем

B = ¡2 + AC2 - ¡1 x1 2 AC '

Byi =\l ¡2- Bh ■

Здесь необходимо отметить, что если конфигурация группы Ассура соответствует сборке № 2, то Ву1 = - Ву1. Теперь можно определить абсолютные координаты точки В, используя метод преобразования координат:

Вх = А + Вх1с^а- Ву^па;

Ву = Ау + Вх^та - Ву1ро8а.

Рисунок 1. Расчетная схема группы Ассура первого вида

Figure 1. Settlement schemes of two flood groups of Assur first look

Затем определяем углы наклона звеньев

¡2, ¡3 — (р2 И (p3

(р2 = arctan

р3 = arctan

( ^^ 1 I Bx - Ах J

( B,. - С ^

V Bx - Сх /

Для определения аналогов скоростей воспользуемся методом замкнутых векторных контуров и напишем проекции векторного уравнения на координатные оси

А + /2со8р2 = С + /3сор3;

(1)

Ау + /2 sinр2 = Су + /3 sinр3.

Продифференцируем полученные уравнения по обобщенной координате р1. Учитывая, что нам известны значения аналогов скоростей точек А и С (Уах, Уау, Усх, Усу), а также значения углов ф2, фз получим линейную систему двух уравнений

ct)2l2sina2 - a3l3sina3 = Vax - Vcx ; c2l2cosc2 - c3l3cosc3 = Vcy - Vay,

(2)

где неизвестными являются аналоги скоростей со2, 0)3. Решение данной системы линейных

уравнений проведем методом Крамера. В этом случае представляем уравнения в виде

а11®2 + а12®3 = Ь1 ; а21®2 + а22®3 = К (3)

где коэффициентами аи, а 12, а21, а22, ¿1, ¿2 представлены следующие постоянные, известные нам по значениям, выражения:

а11 = -/2 $тр2. а12 = ¡^тр3.

? ?

¿1 = Усх -Уах . а21 = 12соРг;

?

а22 = -/3СОРз ; Ь2 = УСу - УаГ

Тогда

С2 =

bi ai2

Ъ2 a22

a11 a12

a21 a22

со3 =

a11 b1

a21 b2

a11 a12

a21 a22

(4)

Для получения аналогов ускорений дважды продифференцируем уравнения (1) по ф1:

Аах -®212со8ф2 - 82/^тф2 = Асх

-ю2l3cosф3 - 83/^тф3.

?

Аау - ю2/2sinр2 - 82/2со8р2 = Асу -®3/3$тр3 - 83/3со$р3

Преобразуем полученные выражения к виду (3)

а11^2 + а12^3 = Ь1 ; + а22^3 = Ь2 ,

где коэффициенты all, al2, a2l, a22 сохраняют свои старые значения, а ¿1 и ¿2 определяются по следующим зависимостям:

Ь1 = Асх - Аах + а21®22 + а22®32;

Ь2 = Асу - Аау + аи®1 + а12®з2 •

В этом случае, аналоги ускорений е2 и £3 будут равны:

^2 =

bi ai2 aii bi

Ъ2 a22 С - a2i b2

; S3 -

aii ai2 aii ai2

a2i a22 a2i a22

(5)

Рассмотрим группу Ассура второго вида.

Схема данной группы Ассура, координатная система и обозначения кинематических пар и звеньев представлены на рисунке 2 [5]. Вычислим координаты точки А в локальной системе координат Х1 СYl

Сх + AxXcos^3 - AyXsin^3 = Ах; Сy + Axisin(3 - Ayicos(3 = Ay

(6)

Рисунок 2. Расчетная схема группы Ассура второго вида

Figure 2. Settlement schemes of two flood groups of Assur second look

В выражении (6) нам известны абсолютные координаты точек А и С, а также угол наклона направляющей для поступательной пары группы - (3. К числу неизвестных, подлежащих определению, относятся координаты точки А в локальной системе координат Xi CYi. Перенеся Сх, и Су в правую часть, получим линейную систему двух уравнений, решение которой представим в виде:

Axi =

bi -sin(3

b2 cos(3

cos(3 - sin(3

sin(3 cos(3

cos(3 bi

sin(3 b2

cos(3 -sin(3

sin(3 cos(3

(7)

Ayi =

Здесь ¿1 = Ах - Сх и ¿2 = Ау - Су. Так как определители знаменателей в (7) равны 1, то значения неизвестных равны значениям определителей, расположенных в числителях

Ах1 = ¿соя^ - Ь^тф3 ;

Ау1 = Ь2С08ф3 - Ь281Щ3.

Далее определяем Х2 - проекцию звена 2 на направляющую

Х2 =

(Ayi 4)"

а затем и длину направляющей СВ

14 = Ах1 + х2 •

Абсолютные координаты точки В и угол наклона звена 12 определяем по следующим выражениям:

Вх = Сх + 14сояр3 -¡^тф3; В = С + /45/И^3 - 13со8ф3;

(р2 = arctan

vBх - A j

(8)

Для определения аналогов скоростей напишем проекции замкнутых векторных контуров на координатные оси X и Y

12со$у2 - 14сояр2 = Сх - Ах + ;

l2sin(3 - l4sin(3 = С - A + l3cos(3.

(9)

Произведя дифференцирование данной системы уравнений по ф и простейшие преобразования, получим линейную систем уравнений, в которой неизвестными являются Ш1 и ¥4

-02l2Sin(2 - V4cOS( = Vcx

-Vx - ct>3 (l3cos(3 +14sin(3 ) a>2l2cos(2 - V4sin(3 = Vy -Vay - а3 (l3 sin(3 + l4cos(3) .

(10)

Решение данной системы уравнений получим в виде

®2 =

Ъ a12

Ъ2 a22

an a12

a21 a22

V4 =

a11

a21 Ъ2

a11 a12

a21 a22

(11)

где

a11 = -l2 sinp2;

a12 = l3sinp3;

(12)

Ъ1 = Усх - Гах + Юз (/4а22 + 13аи ); а21 = /2со$у2; а22 = -/3со$у3;

Ъ2 = УСу - Уау - Ю3 (/4а22 - 13а12 ) •

Дважды продифференцировав (9) и проведя небольшие преобразования, получим значения аналогов ускорений 82 и А4

^2 =

a12

Ъ2 a22

a11 a12

a21 a22

; A4

a11

a21 Ъ2

a11 a12

a21 a22

(13)

где ац, а12, а21, а22 определяются из (12), Ъ1 и Ъ2 вычислим следующим образом:

Ъ1 = Асх - Аах - ю32 (/4со8ф3 -l3sinф3)

+а\/2со$у2 - 2¥4ю3$тф3 -еъ (/4sinф3 + /3со$у3)

(14)

Ъ2 = Асу - Аау - (/4sinф3 - /3со8$3)

-еъ (/4со$у3 + /3$ту3)

Рассмотрим группу Ассура третьего вида.

Положения звеньев данной группы можно определить, воспользовавшись данными рисунка 3 [3, 5]. Длину активной части кулисы /3 определим из выражения

/3 =>/(Ах -Сх)2 +(Ау -Су) -(15)

где координаты точек А и С и длина второго звена ¡2 известны. Угол наклона кулисы фз определим из выражения

( л -г \

р3 = arctan

Ay - Cy

Ax - C:

- arctan

x У

_2 V l3 J

. (16)

Рисунок 3. Расчетная схема группы Ассура третьего вида Figure 3. Settlement schemes of two flood groups of Assur third look

Запишем проекции векторных уравнений замкнутых контуров на оси координат X, Y в следующем виде:

l3cosp3 -12sinp3 = Ax - Cx;

l3sinp3 - l2cosp3 = Ay - Cy .

Продифференцировав (17) по р 1, получим, после небольших преобразований, систему уравнений

a11V3 + a1203 = b ; a21V3 + a22a3 = Ъ2, (18)

(17)

где

au = cosp3;

Ъ = Va - Vc„

a12 = -(l3sinp3 + l2cosp3);

a21 = smp3;

b2 = Va - Vc

2 y y

(19)

a22 = l3cosp3 -12sinp3.

Следовательно, можно легко получить значения аналогов скоростей V и ©3. После проведенных промежуточных преобразований, приходим к следующим выражениям для нахождения аналогов скоростей V3 и ©3.

V3 =

a12

Ъ2 a22

a11 a12

a21 a22

(03 =

a11 ¿1

a21 Ъ2

a11 a12

a21 a22

(20)

Продифференцировав дважды (17) по ф1 и решив полученную систему уравнений, имеем:

A 3 =

¿1 a12 a11 ¿1

¿2 a22 • с — ; 3 a21 ¿2

a11 a12 a11 a12

a21 a22 a21 a22

(21)

где an, 012, 021, 022 определяются из (19), а Ъ\ и Ъ2 - по следующим выражениям:

BeemHunJBry^T/Proceedings of VSUET, Т. 79, № 2, 2017

bi = Aax - Acx + lV3a3a2i + a22®3;

b2 = Aay - Ac + 2V3a3au + au®¡.

(22)

Группа Ассура четвертого вида

Положения звеньев данной группы Ассура определим по рисунку 4, на котором приведены обозначения звеньев и кинематических пар [3, 5]. Запишем систему уравнений замкнутого контура в проекциях на координатные оси X, У

Ах + 1хео$у2 -12$1щ2 = Сх + 14ео>щ

Ay + lisin^2 + l2cosp2 = Cy +14 sinp3 -l3cosp3 .

(23)

Y

о x

Рисунок 4. Расчетная схема группы Ассура четвертого вида

Figure 4. Settlement schemes of two flood groups of Assur fourth look

Неизвестными в данных выражениях являются / и l4, а остальные данные передаются в процедуру и являются известными. Полученная система уравнений является линейной относительно неизвестных. Запишем решение этой системы в виде:

1i =

bi ai2

b2 a22

aii ai2

a2i a22

l4 =

aii bi

a2i b2

aii ai2

a2i a22

(24)

где коэффициенты an, ai2, a2i, a22, b\, b2 определяются по выражениям:

a11 = cosp2; a12 = -cosp3;

b1 = Cx Ax + l2a21 + l3a22 ;

a21 = smy2;

a22 = -sinp3;

(25)

Продифференцировав систему уравнений (23) по фх, получим после простых преобразований:

V i =

bi ai2

b2 a22

aii ai2

a2i a22

V4 =

aii bi

a2i b2

aii ai2

a2i a22

, (26)

где оц, 012, 021, 022 определяются из (25), а Ъ и Ь2 - по выражениям:

Ъ1 = ¥сх - ¥ах + ®2 (11а21 + 12 а11 ) + , +®3 (14а22 + 13а12 ) Ъ2 = УСу - Уау + ®2 (11а11 +12 а21 ) + +®3 (14а12 + 13а22 )

Дважды продифференцировав (23) по ф1, можно получить

(27)

Ai =

bi ai2 aii bi

b2 a22 - • A =- a2i b2

j Л4 _

aii ai2 aii ai2

a2i a22 a2i a22

, (28)

где ац, а12, а21, а22 определяются из (25), а Ъ1 и Ъ2 -по выражениям, которые после всех промежуточных преобразований имеют следующий вид:

Ъ1 = Асх - Аах + 2¥1®2а21 + +®22 (11а11 - 11а21 ) + £2 (11а21 + 12 а11 ) Ъ1 = Ъ1 + 2^ю3а22 +

+®3 (14а12 — 13а22 ) + ^3 (14а22 + 13а12 )

Ъ2 = Асу - Аау + 2¥хю2аи + +®1 (11а21 - 11а11 ) + 82 (11а11 + 12а21 )

(29)

b2 Cy Ay l2 aii + l3ai2.

b2 = b2 + 2V4rn3a12 +

(l4^22 — l3ai2 ) + S3 (l4ai2 + l3®22 )

Группа Ассура пятого вида

Положения звеньев определим с помощью рисунка 5, где приведена схема группы, обозначения звеньев и кинематических пар и система координат [3-10]. Напишем проекции замкнутого векторного контура на координатные оси X, Y

Ax = Cx + Bx3cos<3 + Ax2cos (<3 + a) --l2 sin (<3 +a)

' (30)

Ay = Cy + By3sin<3 + Ay2 sin (<3 +a)-

-l2cos (<3 +a)

Выражения (30) легко приводятся к линейной системе двух уравнений, решение которых мы проведем по правилу Крамера

Bx 3 =

Ь 012

b2 022

an a12

a21 a22

Лх2 =

011 b1

021 b2

011 a12

021 a22

(31)

где коэффициенты ац, ai2, 021, 022, bi и b2 определяются по следующим зависимостям:

а11 = cos@3; а21 = sinp3;

а

12

= cos(p3 + а); а22 = sin(p3 + а) ;

b1 = Лх - Cx + l2a22'; Ь2 = A - Cy + l2012-

(32)

Рисунок 5. Расчетная схема группы Ассура пятого вида

Figure 5. Settlement schemes of two flood groups of Assur fifth look

Продиффиринцировав выражения (30) по ф1, получим выражения для определения аналогов скоростей Vbx3 и VaX2

Vb х 3 =

Ь 012

b2 022

an 012

021 022

; Vax 2 =

011 b1

021 b2

011 012

021 022

(33)

где ац, ац, 021, 022 определяются из (30), а Ъ и Ъг - по выражениям:

ЛИТЕРАТУРА

1 Ковалёв М.Д. О структурных группах Ассура // Теория механизмов и машин. 2006. Т. 4. № 1. С. 18-26.

2 Александров В.В.. Александрова О.В., Буднин-ский М.А., Сидоренко Г.Ю. Об экстремалях кинематического управления движением // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. 2013. № 3. С. 38-46.

3 Кирсанов М.Н. Уравнения кинематики плоского механизма в координатной форме // Теория механизмов и машин. 2011. Т. 9. № 2. С. 85-89.

4 Верховод В.П. Изучение кинематической геометрии плоских механизмов в системе С!еоОеЬга // Теория механизмов и машин. 2012. Т. 10. № 2. С. 54-65.

h = Va - Vc„

+®3 (Bx3021 + Лх2а22 + l2012 ) ¿ b2 = Vay - VCy

+®3 (Bx3a11 + Лх2a12 + l2a22 ) •

(34)

Дважды продифференцировав выражения (30) по ф1 получаем выражения для определения аналогов ускорений АЪхз и Аах2

ль х 3 =

Ь 012

b2 022

an 012

021 022

Лах 3 =

011 b1

021 b2

011 012

021 022

(35)

где ац, 012, 021, 022 определяются из (32), a b1 и b2 - по выражениям:

b1 = Лах - Лсх +2®3 (Vbx3021 + V0x2022 ) +®32 (Bx3011 + Лх2012 - l2022 ) -S3 (Bx3021 + Лх2а22 + l2012 ) ;

Ь = Ла - Лс (36)

2 y y

-2®3 (Vbx3a11 + Vax2a12 ) +®32 (Bx3021 + Лх2а22 - l2012 ) -S3 (Bx3011 + Лх2012 - l2022 )

Получена математическая модель в форме математических процедур расчета кинематических характеристик любых групп Ассура второго класса. Осуществлена программная реализация математической модели кинематического расчета.

Заключение

Полученная математическая модель может быть использована при изучении дисциплин: «Теория машин и механизмов», «Теория механизмов и основы робототехники», «Вычислительная механика» для подготовки бакалавров по направлениям 15.03.02 «Технологические машины и оборудование» и 15.03.03 «Прикладная механика».

5 Сидоренко А.С., Дубец С.В., Дубец А.В., памяти Ю.А. Компьютерное моделирование и анализ кинематики механизмов второго класса // Молодежные чтения памяти Ю.А. Гагарина: мат. Межву-зовск. науч.-практ. конф.. 2014. С. 154-157.

6 Li S.. Dai J. S. Structure synthesis of single-driven metamorphic mechanisms based on the augmented assur groups // Journal of Mechanisms and Robotics. 2012. T. 4. №. 3. C. 031004.

7 Quintero H. и др. A novel graphical and analytical method for thekinematic analysis of fourth class Assur groups // Revista Facultad de Ingeniería Universidad de Antioquia. 2011. №. 60. С. 81-91.

n Rojas N., Thomas F. Distance-based position analysis of the three seven-link Assur kinematic chains // Mechanism and Machine Theory. 2011. T. 46. №. 2. C. 112-126.

9 Sun Y. и др. Solving the Kinematics of the Planar Mechanism Using Data Structures of Assur Groups // Journal of Mechanisms and Robotics. 2016. T. 8. №. 6. C. 061002.

10 Rojas N.. Thomas F. Formulating Assur kinematic chains as projective extensions of Baranov trusses // Mechanism and Machine Theory. 2012. T. 56. C. 16-27.

11 Пекарев В.И., Матвеев А.А. Математическая модель винтового маслозаполненного компрессора с впрыскиванием жидкого рабочего вещества // Вестник Международной академии холода. 2013. № 3. С. 11-13.

REFERENCES

1 Kovalev M.D. Structural Assur groups. Teoriya mekhanizmov i mashin [Theory of mechanisms and machines]. 2006. vol. 4. no. 1. pp. 18-26. (in Russian).

2 Aleksandrov V.V., Aleksandrova O.V., Budninskii M.A., Sidorenko G.Yu. On the extremals for the kinematic motion control. Vestn. Mosk. un-ta. Ser. 1. Matematika. Mek-hanika [Proceedings of Moscow University. Mathematical Mechanics]. 2013. no. 3. pp. 38-46. (in Russian).

3 Kirsanov M.N. Equations of kinematics of a planar mechanism in a coordinate form. Teoriya mekhanizmov i mashin [Theory of mechanisms and machines]. 2011. vol. 9. no. 2. pp. 85-89. (in Russian).

4 Verkhovod V.P. Studying the kinematic geometry of planar mechanisms in the system GeoGebra. Teoriya mekhanizmov i mashin [Theory of mechanisms and machines]. 2012. vol. 10. no. 2. pp. 54-65. (in Russian).

СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРАХ Максим А. Васечкин к.т.н., доцент, кафедра технической механики, Воронежский государственный университет инженерных технологий, пр-т Революции, 19, г. Воронеж, 394036, Россия, vmax77@mail.ru Екатерина В. Матвеева к.т.н., доцент, кафедра технической механики, Воронежский государственный университет инженерных технологий, пр-т Революции, 19, г. Воронеж, 394036, Россия, katrin_vgta@mail.ru Александр С. Сидоренко к.т.н., старший преподаватель, кафедра общепрофессиональных дисциплин, Военный учебно-научный центр военно-воздушных сил «Военная воздушная академия им. проф. Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина», ул. Старых Большевиков, 54а, г. Воронеж, 394064, Россия, sas1.vrn@mail.ru Евгений Д. Чертов д.т.н., профессор, кафедра технической механики, Воронежский государственный университет инженерных технологий, пр-т Революции, 19, г. Воронеж, 394036, Россия, ched@vsuet.ru

КРИТЕРИЙ АВТОРСТВА

Все авторы в равной степени принимали участие в написании рукописи и несут ответственность за плагиат

КОНФЛИКТ ИНТЕРЕСОВ

Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов.

ПОСТУПИЛА 07.04.2017 ПРИНЯТА В ПЕЧАТЬ 12.05.2017

5 Sidorenko A.S., Dubets S.V., Dubets A.V., pamyati Yu.A. Computer simulation and analysis of kinematic mechanisms of the second class. Molodezhnye chteniya pamyati Yu.A. Gagarina: mat. Mezhvuzovsk. nauch.-prakt. konf. [Youth readings in memory of Yuri Gagarin: Mat. Mezhvuzovski. scientific.-pract. Conf.]. 2014. pp. 154-157. (in Russian).

6 Li S., Dai J. S. Structure synthesis of single-driven metamorphic mechanisms based on the augmented assur groups. Journal of Mechanisms and Robotics. 2012. vol. 4. no. 3. pp. 031004.

7 Quintero H. et al. A novel graphical and analytical method for thekinematic analysis of fourth class Assur groups. Revista Facultad de Ingeniería Universidad de Antioquia. 2011. no. 60. pp. 81-91.

8 Rojas N., Thomas F. Distance-based position analysis of the three seven-link Assur kinematic chains. Mechanism and Machine Theory. 2011. vol. 46. no. 2. pp. 112-126.

9 Sun Y. et al. Solving the Kinematics of the Planar Mechanism Using Data Structures of Assur Groups. Journal ofMechanisms and Robotics. 2016. vol. 8. no. 6. pp. 061002.

10 Rojas N., Thomas F. Formulating Assur kinematic chains as projective extensions of Baranov trusses. Mechanism and Machine Theory. 2012. vol. 56. pp. 16-27

11 Pekarev V.I., Matveev A.A. Mathematical model of oil flooded screw compressor with injection of liquid working substance. VestnikMezhdunarodnoi akademii kho-loda [Bulletin of the International Academy of refrigeration]. 2013. no. 3. pp. 11-13. (in Russian)..

INFORMATION ABOUT AUTHORS Maxim A. Vasechkin candidate of technical sciences, assistant professor, technical mechanics department, Voronezh state university of engineering technologies, Revolution Av., 19 Voronezh, 394036, Russia, vmax77@mail.ru Ekaterina V. Matveyeva candidate of technical sciences, assistant professor, technical mechanics department, Voronezh state university of engineering technologies, Revolution Av., 19 Voronezh, 394036, Russia, katrin_vgta@mail.ru Alexandr S. Sidorenko candidate of technical sciences, senior lecturer, all-professional disciplines department, Russian Air Force Military Educational and Scientific Center "Air Force Academy named after Professor N.E. Zhukovsky and Y.A. Gagarin", Starykh Bolshevikov St., 54a, Voronezh, Russia, sas1.vrn@mail.ru Yevgeny D. Chertov doctor of technical sciences, professor, technical mechanics department, Voronezh state university of engineering technologies, Revolution Av., 19 Voronezh, 394036, Russia, ched@vsuet.ru

CONTRIBUTION

All authors equally took part in writing the manuscript and are responsible for plagiarism

CONFLICT OF INTEREST

The authors declare no conflict of interest.

RECEIVED 4.7.2017 ACCEPTED 5.12.2017