CC BY
26
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН ___________________________________2011, том 54, №12______________________________
МАТЕМАТИКА
УДК 517.55
Н.Усмонов, Б.Саидов
СИНГУЛЯРНЫЕ ТОЧКИ В ГРАНИЧНОМ УСЛОВИИ ЗАДАЧИ СОПРЯЖЕНИЯ ГАРМОНИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ ДЛЯ ПОЛУПЛОСКОСТЕЙ
Институт экономики Таджикистана
(Представлено академиком АН. Республики Таджикистан Л.Г.Михайловым 24.11.2011 г.)
В работе дано эффективное построение точного решения задачи линейного сопряжения гармонических функций для полуплоскости в сингулярном случае.
Ключевые слова: аналитическая функция - гармоническая функция - интерполяционный многочлен -разрыв первого рода.
Задача сопряжения гармонических функций в регулярном случае для простого замкнутого контура Ляпунова Ь была изучена в работах Л.Г.Михайлова [1,2].
В указанных работах требовалось, чтобы коэффициенты удовлетворяли условию непрерывности, что исключало возможность обращении их в бесконечность, и чтобы они нигде не обращались в нуль.
В предлагаемой работе мы расширим постановку задачи, допуская. что коэффициенты краевых условий в некоторых точках контура могут обращаться в нуль или бесконечность любого порядка.
Пусть Ь есть действительная ось; задача сопряжения гармонических функций заключается в том, чтобы найти две гармонические соответственно в верхней и нижней полуплоскостях функции
и+ (х, у), и (х, у), по граничным условиям
N N Sk о P о Pr
П\t-£к\ к •akU+x +П\t-£\ PkU+y =П\t-С\ YkUx +П\t-С\ VkUy +
к=1 к=1 r=1 r=1
N Sk
+ П\t -%k\ $k , k = 1,2
к=1
(1)
Здесь (к = 1.2. • • • .Ы) ; £г (г = 1.2. • • • а) - некоторые точки контура, 8кРг - произвольные
комплексные числа.
Заданные функции ак,Рк,укдк,8к удовлетворяют условию Гёльдера, как в конечных точках, так и в бесконечно удалённой точке контура.
Решение будем проводить по тому же плану, что и для конечного контура. Главное отличие от рассмотренного случая конечной кривой состоит в том, что здесь бесконечно удалённая точка и
Адрес для корреспонденции: Усманов Нурулло Усманович. 734013, Республика Таджикистан, г. Душанбе, ул. Дружбы народов, 94, Институт экономики Таджикистана. E-mail: [email protected]
начало координат лежат на самом контуре и потому не могут быть приняты в качестве исключительных точек, где для канонической функции допускается нулевой порядок. Вместо употреблявшейся вспомогательной функции t, имеющей по L индекс, равный единице, здесь будет введена обладающая тем же свойством на действительной оси дробно-линейная функция
t - -
t + і
9
t—i —-) о / *\ о
Аргумент этой функции аг§---------=аг§— ----=2аг§^—-) изменяется на 2ж , когда t пробегает
t+- t2 +1
действительную ось в положительном направлении.
Таким образом, Jnd —- = 1. Если JndG(t) = Ж, то функция G(t)| ^—- I имеет индекс, рав-
г+1 ^ t + -)
ный нулю. Пользуясь обозначениями 2д- = дх + -ду , 2д- = дх — -ду и полагая дги = р, мы получим Аи = 4д-д 2 и = 4д-р, то есть р( z) - аналитическая функция. Пользуясь обозначениями
и^ = р± + р± , иу = 1(р± — р±), умножая вторую часть (1) на - и складывая с первой, будем иметь:
N а Л к _____ а рг
пIі~^к\8ка(*)^+(і)+ПIі-а*і в(і)^+(і) = ПIі-с| °(і^ (і)+
к =1 к =1 г =1
а ________ N
+ П(‘ -Сг)Рг 1 (Г)ч>-(г) + Е(г)Пк -А\
г =1 к =1
(2)
где
а(г) = ^ + іа2 + ір-Р2; в(0 = &і+ іа2 + Щ + @2; с(г)=у у2 + іЛі-щ; 1(г) = -іуі +У2-+%; Щ) = 3 + ііі •
Комплексно сопрягая равенство (2), умножая первую строку на П (г -А У‘а(г) , вторую стро-
к=1
ку на П(г - А ) в (г) , вычитая из первой вторую строку, получим
к =1
П кА П к-с
-Ы---А(і )р (I) + -Ы----------------
Пк -А(к Пк -Ак,
к=1 к=1
<Р+ (і) = І=-А(і(і) + "Ы------В(і(і) + 8(і) , (3)
1^* ПЬ г Л
^ иг+л а( М (і ) а(к)Е (і) и2 и2^л
где А(і) = —-2—т~\2 , В(і) = —-2—, 8(і) = у-2—Га ’ \а\ - в * 0 •
а - в \а\ - в а - в
Л’
к
Л
N
к
СО
со
Так как
П к—сг\г = П (t—с к г= , в = aгg(t —С*).
г=1 г=1
N N —^в28к
П I — €г\8* = П (- — Й У* Я *= , в2 = aгg(t — Йк) . (4)
к=1 к=1
Подставляя (4) в (3), имеем
ю ю
П\1 — ^\г —21 П к- гг
^ = = )ф- (t) + ^=---------
ПИГ ПП-й
ю ю N N ю N
Обозначим 2 р =2(рг(1) — Ч(1)), 2 ^ = 2(рк(2) — Ч(2)), 2 р(1), 2 рк(2) - целые числа,
г=1 г=1 к=1 к=1 г=1 г=1
ю N
2 Рг(1) , 2 Ч(2) - их дробная часть, то есть 0 < Яе Рг(1) < 1,0 < Яе ч(2) < 1.
к=1 к=1
Краевое условие (5) перепишем в следующем виде:
т ю
ргт ГТГ./'ЬР)
п(——с)р т—с,)р,
р'(1) = -Пт----------А(1 р (—) + ---------------В(—р (—) + g (—), (б)
П (|—4 )рк” П (|—й Г"
к=1 к=1
где
N ,,, ю -I 2в25к —2^
4(-) = А(—)П(— — й.КШ — С/ - Л.............................
к=1 г=1
N ю
N (2) ю (1) -| 2в22в1р В, с-) = В(— )П(t—й)—?к П(-—с)* - '-1
к=\ г=1
Обе функции А (-), В (-) будут многозначными. Рассмотрим многозначную аналитическую функцию в соответствующим образом разрезанной плоскости как однозначную разрывную. Точками разветвления этих функций будут соответственно, ^ , ГО и Сг , йк , ж . Проведём в плоскости z разрез
из точки ^ через точки С г , йк до бесконечности. В разрезанной таким образом плоскости обе функции будут однозначными, причём разрез будет для них линией разрыва. Строим специальные функции, имеющие в точках Сг, й те же разрывы, что и А(-) , В(-) , и такие, чтобы, считая их коэффициентами задачи, можно было для них решить эту задачу.
Вводя новые функции
N
N ... а
¥(г)=П(г -Ак)?к П(г -Сг),г •<(г)
эк >
к=1 г=1
✓ N *(2) ✓ N ^(2)
N ( „ £ \Чк а ( „ Г \Чг
к=1
¥ (г) = П £“А П V- (г)
V г го у
г=1
г-Сг
V г г о у
приведём краевое условие (6) задачи к виду
\Р(1)
П(і-Сг)" N ,2, П(і -Сг) Р“ „ -„?
¥ (О = Ц1-—П (к - го )_2,■Г А1 (і¥ " (і) + ‘‘І---------------— П (к - го ) В1 (і¥" (і)
П('-АА “ П('-А)Р
к = 1
N - ,2
+П(і-А) П(і-Сг) • 8 (і).
к=1 г=1
а N
Обозначим ^ Рг(1) = Р(1) ; ^ Р/2) = Р(2) .
г=1 к=1
N (2) 2
Полагая V (г) = П (г - А )Рк • г Р(2) • V (г) к=1
N ----------------— ------------ ----------- N Ркї) ------------
\РР -Р(2) л 1^/ е \ -Р(1) .-2вгРІг)
¥ (г) = П(г -А* )Рі •г ~Р V- (г) = П(г -А* ) •г ~Р 1 2віР •¥- (г)
имеем
эк )
к=1 к=1
N
¥1+ с1 )=П(к - с* )Рг< * П(к - го )-2,‘ •г-р(2) а1 с1 )¥- с1 )+
к=1
ю Р(1) N —2Ч(2) ------ ^ _____ N (2) ю —
+П(| — Сг ) 'Г! (1 — z0 ) • ^2вгРр В1(—)р2(—) +П (— — й* ) ^ П(— — йг) ' ё(—).
г=1 к=1 к =1 г=1
Построим интерполяционный многочлен Т (—) так, чтобы он удовлетворял следующим условиям
— ч(1)
ю Чк ю
й,п(с)=рп(сг),и=1,2,..,ю),яд—)=П(——й*) -П(——сУ’ -^(-), (7)
П=1 г=1
где )(Сг ) и Т(1 )(С ) - значения производных j -го порядка в соответствующих точках.
В силу (7) имеем
N ... N
Ч(2) _р(2)
¥2+ (і) = П(к-г0 )-2,к г_Р А1(і¥-(і) + П(к-го )-2,к • Р Г^ В1(і)¥2(і) + 82 (і):
к=1 к=1
а
где р+ (I) = рр <-) — Т(—) или
П(| —Сг Г
г=1
р+(—) = Р(2)Л(—р (-) + В1(—р2 (-) + я(—).
(8)
1. Пусть в (8) Ж = JndAl (-), Ж> 0 .
Положим (z) =
z — -z + -
р + (z) — р
ж-11
z — I z + -
, где полином Р
z — -
z + -
- подобран так,
чтобы функция (z) не имела полюса в точке z = -.
Тогда (8) можно записать в таком виде:
и(2)
(—) =- — А2(—^ (—)+в 2(—^ (-) + яз(-) ,
(8)
где А2(—) =
I — -I + -
I — -I + -
Вх(1), я 3(—) =
I — -
I + -
Я 2 (—) — Р
Ж—1
I — -I + -
Так как JndгA2 (I) = 0, то А2 (I) - можно представить в виде А2 (I) =
Х+ (—) Ж (—)
где
X* (—) = Я" (z), х~ (I) =
z — I z + -
dt
Подставляя это выражение А2 (I) в (8), получим:
4+(г)-ч (I)=В2’—) Ж1С—2 ^ + М! 1 ’ ' А(-) X-(I) 1 ’ х+ (I)
(9)
где Ч* (.-) = ^), Ч- (!) = ^ .
X (z) X (z)
Решение задачи (9) будем искать в виде
4-1 (*)=^ Ш<Ц,
2т •’ I, — z
—ад 1
а & р - его главное значение.
Теперь вставляя формулы Сохоцкого в (9), получим сингулярное интегральное уравнение
. . В9 (I) х 1 ,----------------------о ч
р(—) = т“т;'~' о (— Р+&р) + (-) X 2
Я 2 (—) -р,
Ж-1 I
I - -I + -
I — -
1
-) х+ (I)
(10)
которое эквивалентно краевой задаче (8) .
Ж
Ж
Ж
Ж
Ж
оо
ад
Ж
Пусть Бир
-ад< І <ад
Я2(І )
< 1 , тогда по принципу сжатых отображений уравнение (10) имеет един-
)
ственное решение при каждом свободном члене.
Поэтому, полагая (г) и равным последовательно
1 . (г -7 ^ ( г -7 ^ (г -7 ^ (г - 7 ^
1 '• >'[ТГ7>-1т77) ’'1ТГ7) ■
получим серию задач (8’), эквивалентных интегральному уравнению (10), из которых находим линейно независимые решения однородной задачи для полуплоскости.
Полагая Рж1 = 0 , и g2 (г) ^ 0, получим частное решение неоднородной задачи.
( ^ - 7 'Г ( г - 7 ^
Пусть ®< 0 . В этом случае (р+ (г) = I------- I /+ (г) + Р^] -- I будет иметь полюс в точ-
[ г +7) [ г +7)
ке г = 7. Для его аннулирования достаточно выполнения дополнительных условий, чтобы / + (г) имела нуль порядка , при г = 7, что и приводит к условиям разрешимости
ад
| (г - 7) ~к Q[g2 (г )]Л = о, к = 0,1,2,-■■,-«+ р(2) , (11)
-ад
где Q - некоторый вполне определённый линейный оператор.
Итак, доказана следующая
Теорема. Пусть в задаче сопряжения гармонических функций (1) коэффициенты ^ А, ук,Зк, к = 1,2. удовлетворяют условию Гёльдера и в сингулярных точках были дифферен-
цируемы достаточное число раз и Бир
-ад< і <ад
В2(і)
< 1, где А2 (г), (г) выражаются через
Л2(г)
^А, укАк,Зк линейным образом, и £ - число линейно-независимых решений однородной задачи и р - числа условий, необходимых и достаточных для разрешимости неоднородной задачи. Решение ищется в классе интегрируемых на контуре функций.
Тогда: 1) при Ж-р(2) > 0, £ = 2(ж-р(2)) и р = 0; 2) при Ж-р(2) < 0, £ = 0, р = |ж-р(2)|. Необходимое и достаточное условие разрешимости неоднородной задачи (1) имеет следующий вид
ад
|(г -7)кQ[g(г№ = 0, к = 0,1,2,..,(*- р(2)).
-ад
Поступило 25.11.2011 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Михайлов Л.Г. - Докл.АН ТаджССР, 1980, т. 23, №4, с. 3-7.
2. Михайлов Л.Г. - Докл.АН ТаджССР, 1980, т. 23, №7, с. 3-8.
Н.Усмонов, Б.Саидов
НУЦТА^ОИ СИНГУЛЯРИИ МАСЪАЛАИ КАНОРИИ ХАТТИИ Х,АМРОХ,ШУДАИ ГАРМОНИКИ ДАР НИМ^АМВОРЙ
Донишкадаи ицтисодии Тоцикистон
Дар макола хдлли аники полати сингулярии масъалаи канории хаттии гармоникии хдмрохшуда дар нимхдмворй тартиб дода шудааст.
Калима^ои калиди: функсияи аналитики - функсияи гармоники - бисёраъзогии интерполятсиони -каниши навъи якум.
N.Usmonov, B.Saidov ON SINGULAR POINTS FOR BOUNDARY VALUE PROBLEM OF CONJUGATION FOR HARMONIC FUNCTIONS IN SEMI PLANES
Institute of Economic of Tajikistan
A constrictive formation of solutions of problem of linear conjugate problem of harmonic functions is received this paper.
Key words: analytic function - harmonic function - interpolar polynom - discontinuity offirst kind.
