Сингулярная граничная задача сопряжения гармонических функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2015, том 58, №12_

МАТЕМАТИКА

УДК 517.55

Б.Б.Саидов, Н.Усманов

СИНГУЛЯРНАЯ ГРАНИЧНАЯ ЗАДАЧА СОПРЯЖЕНИЯ ГАРМОНИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

Финансово-экономический институт Таджикистана

(Представлено академиком АН Республики Таджикистан Л.Г.Михайловым 13.02.2015г.)

В статье решается задача: как меняется число линейно независимых решений и число условий разрешимости от наличия полюсов сопряженно-аналитического характера коэффициента задачи. Наличие полюсов сопряженно-аналитического характера не влияет на число линейно-независимых решений и число условий разрешимости задачи.

Ключевые слова: аналитическая функция, гармоническая функции, полюс, сопряженно-аналитическая функция.

В постановке граничной задачи сопряжения гармонических функций [1] требовалось, чтобы коэффициенты задачи были непрерывными, что исключает их обращение в бесконечность.

Здесь мы допускаем, что коэффициенты задачи в отдельных точках контура обращаются в бесконечность целых порядков.

Пусть дан простой замкнутый контур Г, разделяющий плоскость комплексного переменного

на две области Dy и D . Требуется найти функции u+ (x, y), u (x, y) , гармонические соответственно в D+ и D- , если на Г они сопряжены условиями:

Re-^-^ u;+ Re-^^- uy =

П ('-) )Sj П ( t-) )Sj

j=1 j=1

= Re ,„ M0 u- y Re „„ V u--+Vi(t),

П( t -c )Pr П( t-c )Pr

r=1 r=1 (i) Jm n Œ(t) — K+ Jm-^==— u+y =

П (t -)) '' П ('-)) "

j=i j=i

n(t ) - T v(t ) -

= Jm m -U- У Jm m -U-yV2(t),

П( t-c )Pr П( t-c )Pr

r=1 r=1

здесь (7 = 1,2,---jiV), Çr (r = 1,2, •••,<£>) - некоторые точки контура îeT, S■ , Pr - целые положительные числа.

Адрес для корреспонденции: Саидов Бахтиёр. 734067, Республика Таджикистан, г. Душанбе, ул. Нахимова, 64/14, Финансово-экономический институт Таджикистана. E-mail: sbb-1971 @rambler.ru

Заданные функции а^), 0((), ¡¡(О, КО, %%(О удовлетворяют условию Гёльдера.

Ставится определённое условие на бесконечности; для простоты мы ограничимся следующими условиями

(и- )ш = 0, (и- )ш = 0 Пусть локально справедлива формула полного дифференциала

(у)

и(х, у) = С0 + { и[йх + и^йу.

(хo, Уо)

Умножая второе уравнение (1) на 1 (мнимая единица) и складывая с первым уравнением (1), будем иметь:

Яе-

а(г)

- + иш -

а(г)

П ('-е)* П (>-е)

}=1

,=1

и., =

Яе-

3Ц)

- + иш -

0(1)

П(' -е) ' П('-е)

,=1 ,=1

и,, =

Яе-

¡л(г)

+ иш -

¡(1)

П( '-с )р- П('-с,)

,=1

,=1

и + +

Яе-

у(г)

- + иш -

у(г)

П(' -с, )р" П(' -С,)

Используя обозначения 2д- =дх + 1ду, 2д2 =дх - 1ду и вводя д2и = р, мы получим Аи = 4д-ди = 4д- • р = 0, то есть р(г) - аналитическая функция.

Пользуясь обозначениями ит.=р±+р± , и- = 1 (р± - р1) , будем иметь:

N -

ГГ ('-е)

,=1

П('-е)

,=1

(р-+УЛ+. т '(р--Рг)+%о,

П(' -с,)

П(' -с,)

где 0 = %(0 + щ(<) . Или

а(,)+10(,) р+(<) + а(') ->0(<) О=

N

П( <-е)

,=1

¡(<) + /у(<)

П( <-е)

,=1

П( <-с,)

,=1

ах(<)

р-(<)+ ¡¡(<) " м') с (<)+*<).

П( < -с, )р,

■р+(<)+ N Ь'(') р(<) =

П(<-е)" П(<-е)

,=1 ,=1

—с (<)+—р-(<)+%(<),

П( <-с,)

П( <-с,)

,=1

,=1

где а(<) = «(<)+'3(0, Ь(О = «(0 - '3(0, а(<) = ¡¡(0+'К0, Ь(<) = ¡¡(0 - 'КО-

Задача (2) эквивалентна задаче (1).

Решение задачи (2) будем искать в классе функций, ограниченных на контуре.

Очевидно, что а (<), Ь (<), а (0, Ь (0, %(<) е Н (Г) .

Так как имеют место равенства:

N

N

( N

Л

П(<-е) " = П(<-е)" ехр -2'Ш',

3=1 ,=1 V ,=1 У

ю__ю ( ю ^

П(<-с,)Р =П(<-с,)Р ехр(-2']Ге^Р,

,=1

,=1

V ,=1

где е(? = аг^-е,), е,(2) = аг^-с,) .

Так как функции ехр

^ N

-2' ]г е(1)',

V з=1

\

(

(2)

(3)

и ехр

-2' £ег(2)Рг имеют производные, то они отно-

V ,=1

сятся к классу Гёльдера и имеют индексы, соответственно равные -5 , -р ; 5 = ^ '. , р = ^ Рг .

3=1

,=1

Подставляя (3) в (2), имеем

( М Л ( М Л

а^)ехрI 2/Ъ^ехрI 2/_

-N ^ Г\ ^ Р+ С) +-N ^ ^ Р+ (*) =

П('П ('-*,)"

1=1 1=1

(4)

а (/) ехр(2/ £ £,(2)Р г 1 ¿2 а) ехр 12/ ^Р , ^_

2 ^ ^ _

г=1

=—^^-^ <р-«)+—^^-^ <р-«)+Й0-

П('-сг)" П('-С

Г=1 Г=1

Точки £., С не могут быть особыми точками аналитической функции р+ (¿), р~ (¿), так как это противоречило бы предположению об ограниченности р+ (¿) или р~ (¿) . Следовательно, они предста-вимы:

N

р+ ( г ) = П( *)'Р (^ ),

1 = 1 Ю

(5)

р~(г) = П(*-С)* • *-Р(*)•

г=1

Так как замена (5) линейная, поэтому класс решения не изменится. Комплексно сопрягая равенство (5), получим:

N

---ч^ -2г

р(г) = П(г (г) = П(г - ^) 1 е " • р(*),

г ) =

1=1 1=1

(6)

ю-ГТ - Л. - -2г

р-(г) = П(г-СгУгг-р •рр-(г) = П(г-Сг)Лг"'е ' •р(2).

г=1 г=1

Подставляя (5),(6) в (4), получим

А(0р+ () + В(0р+ (О = А(0 • р (Г) + В2(^)рг (г) + т?(0, (7)

где

А, (Г) = а а) ехр 12/1 0;(1)^ Л, В (Г) = ¿1 (О,

4(0 = Г-)ехр(2/), ) = Г-' • Ъ2«).

V ,=1

Итак, получили регулярную задачу (см. [3], стр.165), которая эквивалентна исходной, для неё справедливы следующие выражения:

¥(0 = А • А - в • в2,

\ = | а |2 - |в |2 = И+- И - 2,

А2 = К Г - IВ2 Г = \И + 2 -\и- 2 •

При ¥(<) Ф 0 задача (7) нормально разрешима и число ж = ¥(<) называется её индексом. Она имеет эллиптический, параболический или гиперболический тип, если А^А2> 0, А • А = 0 или А • А < 0 соответственно.

В нашем случае А • А = 0, поэтому задача имеет параболический тип. Для задачи (7) эквивалентна задача (1) и справедлива следующая: Теорема. Пусть а, 0, ¡, % е Н(Г), Б(1;) Ф 0 и ж = ¥(<) .

^л ^ ¡^ + \ ^ —

Если А • А = 0, у = JndT — = Зпй - <р и X = 2ж - у, I - число решений однородной

В2

задачи и р - число условий разрешимости неоднородной задачи, то картина разрешимости имеет вид:

1. X< 0, у < 2,1 = 0, р = 2|ж|;

2. X < 0, у> 2,1 = у - 1,р = XI -1;

3. X> 0, у > 2,1 = 2ж,р = 0;

4. X > 0, у < 2; если ж > 0, то, вообще говоря, I = 2ж, р = 0, но в специальных случаях I может быть любым из неравенства 2ж < I < X +1; если ж < 0, то в общем случае I = 0, р = -2ж, но в специальных случаях I и р могут быть из любых неравенств 0 < I < X + 1, -2ж < р < |у| -1.

Поступило 31.12.2015 г.

ЛИТЕРАТУРА

1. Михайлов Л.Г. О задачах сопряжения гармонических функций. - ДАН ТаджССР, 1980, т. 23, №4, с. 171-174.

2. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. - М.: Наука, 1977, 640 с.

3. Михайлов Л.Г. Новый класс особых интегральных уравнений и его применения к дифференциальным уравнениям с сингулярными коэффициентами. - Душанбе, 1963, 183 с.

Б.Б.Саидов, Н.Усмонов

МАСЪАЛАИ КАНОРИИ ^АМРО^ШУДАИ СИНГУЛЯРИИ ФУНКСИЯ^ОИ

ГАРМОНИКИ

Донишкадаи молия ва ицтисоди Тоцикистон

Дар макола масъалаи таъсири кугбх,ои хдмрохшудаи коэффисиентхо ба хдлли масъалаи як^инса ва ба шартх,ои хдлшавандагии гайрияк^инса тадкик карда шудааст. Калима^ои калиди: функсияи аналитики, функсияи гармоники, цутб, бисёраъзогии интерполятсиони.

B.B.Saidov, N.Usmanov SINGULAR CONJUGATION BOUNDARY VALUE PROBLEM OF HARMONIC FUNCTIONS

Finance and Economics Institute of Tajikistan The paper is devoted to a question on dependence of a number of linear independent solutions and a number of solvability conditions on presence of conjugate - analytic poles of problem coefficients. Key words: analytic function, harmonic function, pole, interpolation polynomial.