Нагруженная смешанная краевая задача с дополнительными заданиями граничных моментов Текст научной статьи по специальности «Математика»

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _____________________________________2008, том 51, №11_______________________________

МАТЕМАТИКА

УДК 517.55

Р.Акбаров

НАГРУЖЕННАЯ СМЕШАННАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА С ДОПОЛНИТЕЛЬНЫМИ ЗАДАНИЯМИ ГРАНИЧНЫХ МОМЕНТОВ

(Представлено академиком АН Республики Таджикистан Л.Г.Михайловым 25.07.2008 г.)

В предлагаемой работе обобщаются предыдущие результаты автора [1-4], когда, кроме нагруженных свободных членов, на искомые функции налагаются дополнительные условия типа граничных моментов.

1. Пусть /) - единичный круг \г\ < 1, а у - окружность \г\ = 1, ориентированная в направлении против часовой стрелки. Пусть Ь - сложный кусочно-гладкий контур, лежащий внутри круга. Пусть А = - конечное множество точек контура Ь, содержащее все

концы, кратные точки, точки нарушения гладкости, а также конечное число других точек контура.

Зададим множество / = /|'1 ..1к порядка т = ог<и = + у2 + ... + уи, составленное из

точек множества А, взятых с произвольными целыми кратностями. Не ограничивая общности, будем считать, что 0 £ Ь . Зададим на окружности у, Н - непрерывные функции

Гг, (1)ф0, g1(t) и 0к(1), удовлетворяющие тождествам:

О, (0 = 1; g1 (0 + О, (0^ (0 + О, (0 £ аквк (0 + £ аквк (0 = 0, (1)

к=1 к=1

а на 1ЛА заданы Н-непрерывные функции g2 (/), С2 (7) Ф 0 и рассмотрим следующую краевую задачу.

Найти все функции Ф(г), определенные и аналитические на Б \ Ь, Н-непрерывно продолжимые на у и на Ь \ А по следующим краевым условиям:

____ п

®+(t) = G1(t)Ф+(t) + g1(t) + YJakвk(t\ t<EдD, (2)

к=1

Ф+(0 = с2(0Ф“(0 + ^2(0, (3)

где вк{1) - заданные линейно-независимые функции класса Н, а а1,а2,...,ап - некоторые

комплексные постоянные, подлежащие определению либо остающиеся произвольными. Дополнительно требуется из всего многообразия решений задач (2)-(3) коэффициенты

а1,а2,...,ап выбрать так, чтобы удовлетворялись дополнительные условия типа граничных моментов:

= ./' = 1-2................Р

(4)

где hj - заданные линейно-независимые функции, а qj - заданные комплексные постоян-

ные.

Дополнительные члены последней суммы равенства (2) и дополнительные условия (4) отличают рассматриваемую задачу от предыдущих работ автора [1-4].

Обобщения подобного типа возникают в различных ситуациях (см. [5,6]).

2. Дадим в сокращенном виде решение смешанной задачи (2)-(3). Желая применить метод симметрии [7,8], введем новую неизвестную кусочно-аналитическую функцию согласно равенствам

<р(г) =

Ф(г), при \г\<1,

, при и|>1,

Ф

(5)

\г)

удовлетворяющему тождеству (условию симметрии):

ф) = <р

(6)

Обозначим через Ь , Л , I соответственно образы контура Ь, множества Л и I при 1 *

отображении*: . Контуру Ь приписываем ориентацию, индуцированную ориентаци-

г

ей контура Ь при отображении симметрии. Очевидно, что при этом левые берега кривых контура Ь переходят в правые берега кривых контура Ь и наоборот. Заменяя в равенстве (3) 1 1

на = и переходя к комплексно сопряженным значениям, получим і

=а

гп

1

]

(7)

Из равенств (2)-(7) следует, что новая неизвестная функция является решением следующей задачи Римана:

(8)

где Г = , и

G(t ) =

G2 (t), при t є L \A,

Gj (t), при t є/,

1

, при t є L \ Л ,

s(0 =

G-

\t.

g2 (t), при t є L \ Л

£і(0 + Е«А(ґ)’ ієу

k=1

g 2 (1)

UJ

(9)

G

"1"

\t)

7"* \ Л *

при t є L \ A

При построении контур Г и множеств I, I переходят на себя при отображении симметрии и, кроме того, выполнены тождества:

G(t)-G

ґі> ri> rn

= 1, G g(f)+g

It; It) It J

= 0.

Задача Римана (8) вместе с условием симметрии (6) равносильна исходной задаче (2)-(3).

Обозначим через l' число линейно-независимых решений союзной однородной задачи для дифференциалов

di// (t) = G(t)di//+(t), t єГ . (10)

Задача (8) имеет следующую картину разрешимости (над полем комплексных чисел):

/ = max ^ж + 2да + 1 ,j Г = max Цж-2да-1,0 ,

откуда 1-І' = ж + 2т +1 - индекс коэффициента G(t), m - порядок множества I. Из равенства (9) следует, что ж = ж: +2ж2, где ж1 - индекс коэффициента G^t), ж2 - индекс коэффициента G (t) .

Имеет место

Теорема 1. Смешанная нагруженная задача (2)-(3) разрешима тогда и только тогда, когда выполнены условия

n

\g1(t )dV +(t НХ ak\ek (t )dyr + (t ) + 2Jm^g2 (t + (t) =

v k=1 v T

0

(11)

для любого решения с!ц/ (I) союзной однородной задачи (10) для дифференциалов, вычисляемых по формуле

dy/(z) - і

■ Q(z) dz

Z(z) z

(12)

где Q(z) = 0 при ж: + 2ж2 + 2m > 0 и

=/д,+IX -+- +І

а,

1 / /і=\

V

1

г------

2)

(13)

при + 2ж2 + 2т < -1, причем М =

ж

2

■ + ж2 +т

При выполнении условий разрешимости (11) общее решение исходной задачи имеет вид:

Ф(2) = Фа (г) + Ф1 (г) = Х(г)Р(2) + ^ ' “1 +

2л" [IX Т )

| %(г) Г^ОО т + г ёт | Х(*)уа Г^О) г + ^ <*т

Атй \х+ (т) т -г т 4яг *=1 + 00 7 -2 т ’

где %(г) - удовлетворяющая условию симметрии каноническая функция

(12")

Х(*) =

2 \ к

п

А=1

- \т ЗГ«

ехр]^|1«с(г)-г + г‘/г|

г-г г

Р(г) - правая часть равенства (13) при ж, + 2ж2 + 2т > 0 и тождественный нуль при ж: + 2ж2 + 2т < 0.

3. Вставляя Ф(7 ) в дополнительные условия (4), будем иметь:

а

М М п

оРо + JZaJvPv + Е + 2 РііРк = І =

(14)

У=1

У=1

к=1

«,0 = '(^)ж(^)^; аІУ = 2'7(^*0)соэV5 б/л; Ъ]У = 2" |/7; (^)^(^)эт ул йг,

Р,к =

+ ^0) , 1 Г^(г) г + ґ ^

-Ч-

4 777 •»

2^ (^) 4от * 2" (г) т-і

ds;

а, = Ч, - /йДОяО)

£іО).+ 1 Г&О) т + і ёт

-Л

2х+(я) 4лі'х+(т) т-і т

ds-

Теорема 2. Нагруженная смешанная задача (2)-(3) с дополнительными заданиями граничных моментов (4) сводится к линейной алгебраической системе (л. а. с.) (14), состоящей из р комплексных уравнений с 2М +1 + п неизвестными комплексными произвольными постоянными Д,, Д,, (V = 1,2,...,М) и сс1,а2,...,ап. Пусть ж, + 2ж2 + 2т > 0, тогда:

ь

ь

ь

ь

ь

1) если р < 2М +1 + п, то задача (2)-(4) разрешима и её общее решение, задаваемое формулой (12/), содержит 2М + \ + п-р произвольных комплексных постоянных;

2) если р = 2М + \ + п и определитель системы (13) отличен от нуля, то задача (2)-(4) имеет и притом единственное решение;

3) если р > 2М +1 + п, то для разрешимости задачи (2)-(4) необходимо и достаточно равенство рангов расширенной матрицы из (14) (обозначаемые через г) основной матрицы из (14). Тогда общее решение задачи содержит 2М + \ + п - г произвольных постоянных.

Рассмотрим случай ж: +2ж2 +2да<0. Тогда в (12) надо взять Р{г) = 0, и л. а. с. (14) принимает вид

п

] = \Ъ...,р (15)

ы 1

и, кроме того, для разрешимости задачи необходимо и достаточно выполнение условий

п

ЕСЛ=Л’ 7 = 1Д -^' = -2ж-да-1, (16)

к=1

где

с,к = |0*(О^+(О; Л =-|^(0^+(0-2ит\ |^2(0^+(о|-

у у Ц J

Теорема 3. Нагруженная смешанная задача (2) - (3) с дополнительными заданиями граничных моментов на искомой функции сводится к л. а. с. (15) - (16), состоящей из р - 2ж — т -1 комплексных уравнений с п неизвестными комплексными произвольными постоянными а1,а2,...,ап. Пусть ж, + 2ж2 + 2т < 0, тогда:

1) если р - 2ж - т -1 < п, то задача (2)-(4) разрешима и её общее решение, задаваемое

формулой (12), где Р(г) = 0 содержит п - р + 2ж + т +1 произвольных комплексных посто-

янных;

2) если р — 2ж — т — \ = п и определитель системы (15)-(16) отличен от нуля, то задача (2)-(4) имеет и притом единственное решение;

3) если р - 2ж - т -1 > п, то для разрешимости задачи (2)-(4) необходимо и достаточно равенство рангов расширенной матрицы из (15)-(16) (обозначаемые через г) и основной матрицы из (15)-(1б). Тогда общее решение задачи содержит п — г произвольных постоянных.

Кулябский государственный университет Поступило 25.07.2008 г.

ЛИТЕРАТУРА

1. Акбаров Р. - ДАН ТаджССР, 1981, т.24, №3, с.3-6.

2. Акбаров Р. - Сибирский математический журнал, 1984, т. XXV, №2, с.13-20.

3. Акбаров Р. - Сибирский математический журнал, 1987, т. XXVIII, с.3-6.

4. Акбаров Р. Краевые задачи теории аналитических функции с заданными главными частями и им соответствующие особые интегральные уравнения. Душанбе: Дониш, 2006, 245 с.

5. Михайлов Л.Г. - ДАН СССР, 1981, т.256, №2.

6. Михайлов Л.Г. - ДАН ТаджССР, 1980, xXIII, №7.

7. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. М.: Наука, 1977.

8. Мусхелишвили Р.И. Сингулярные интегральные уравнения. М.: Наука, 1968.

Р.Акбаров МАСЪАЛАИ КАНОРИИ ОМЕХТАИ САРБОРЙ ДОШТА БО ШАРТ^ОИ ИЛОВАГИИ НАМУДИ МОМЕНТ^О

Дар макола масъалаи омехтаи сарборй дошта дар он мавриде тадкик карда шу-дааст, ки ба функсияи матлуб шартх,ои иловагии намуди моментх,о гузошта мешавад.

R.Akbarov THE LAUDED MIXED BOUNDARY VALUE PROBLEMS WITH COMPLEMENTARY ASSIGNMENTS OF BOUNDARY MOMENTS

The mixed boundary value problems with lauded free members and with complementary consolations type of boundary moments are considerate in the paper.

SG2