CC BY
16
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2016, том 59, №9-10_
МАТЕМАТИКА
УДК 517.55
Н.Усманов, Сайхуна Шавкатзода СИНГУЛЯРНАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА РИМАНА ДЛЯ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ
ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА
Финансово-экономический институт Таджикистана
(Представлено академиком АН Республики Таджикистан Л.Г.Михайловым 02.06.2016 г.)
В работе исследуется сингулярная краевая задача Римана для системы уравнений эллиптического типа. Установлено, что число решений задачи в классе функций, ограниченных на контуре, не изменяется от наличия полюсов сопряжённо-аналитического характера у коэффициента задачи и уменьшается на суммарный порядок всех нулей сопряжённо-аналитического характера.
Ключевые слова: аналитическая функция, эллиптическая система, голоморфная функция, кусочно-голоморфная функция.
Задача Гильберта для эллиптической системы уравнений первого порядка была рассмотрена в работе И.Н.Векуа [1]. Л.Г.Михайлов [2], рассматривая граничную задачу типа Римана для системы уравнений эллиптического типа отмечал, что коэффициент задачи Римана нигде не обращался в нуль и удовлетворял условию Гёльдера, что исключало возможность обращения его в бесконечность. Здесь мы проведём исследование задачи, отказавшись от этих ограничений, то есть допуская здесь, что коэффициент задачи Римана в отдельных точках контура обращается в нуль или бесконечность сопряжённо-аналитического характера.
Рассматривается краевая задача Римана для функции
и(г) = и(х, у) + гу(х, у), где и(х, у), у(х, у) удовлетворяют системе:
ди ду , .
---= а ■ и + Ь ■ V + ]
дх ду
ди ду
--1--= —Ь ■ и + а ■ V +
ду дх
Эта система в комплексной форме записывается в виде
■Н = А(г) ■и(г) + В(г) . д г
Положим в (1) и(г) = и (г)еа(г), где а(г) = — - |Г А(С) с1С ,
я» С — г
ди ди. а ТТ ю да а (ди А тт —= ■ еа + и ■ еа ■—=■ = еа ■ I —^ + А ■ и дг дг дг ^ дг
(1)
Адрес для корреспонденции: Усманов Нурулло. 734067, Республика Таджикистан, г. Душанбе, ул. Нахимова, 64/14, Финансово-экономический институт Таджикистана. E-mail: [email protected]
ди
Подставляя выражения и(2) и —— в (1), получим
д 2
ди\ д 2
= В( 2)е
(( 2)
Решая это уравнение, находим
2) = -1 \\+ Ф(2) .
Ж ** С-2
Таким образом, мы получаем общее представление решений (1) в виде
и( 2) = е(( 2) [ Е (2) + Ф( 2)] ,
1 гг В(С)е~((С),Г , Л_ 1 гг А(С)&С
(2)
где Е (2) =--Ц-
-йС, ((2) = --Ц-
Ф(2) - произвольная аналитическая
С-2 Жо С-2
функция. Если В (С)е ~((С), А(С) существуют и непрерывны, то Е(2) и ((2) обладают свойствами:
дЕ
1 - Е(2) принадлежит О- (О + Ь) причём —=- = \у(2) ;
2 , д 2
2 - Е (2) непрерывна во всей плоскости;
3 - Е(2) аналитическая вне (О + Ь), то есть в О ;
4 - Е (да) = 0;
5 - \Е(21) - Е(22)\ < А|21 - 22\ ■ |1п|21
Если Ф( 2) в (2) кусочно голоморфна, то назовём и (2) квазикусочноголоморфной.
1 ((т)
+ 1 Г (
Если Ф+ ^) - Ф (^) = <р(1) удовлетворяет условию Н (Гёльдера), то Ф(2) =-I —
2Ж •} Г
(2) даёт интегральное представление квазикусочноголоморфной функции
dt
- 2
и( 2) =
1-1
(р(т)
2ж/ ' Г - 2
& + Е (2)
■ е
(( 2 )
(3)
((
Отсюда и+ (О - и- (О = (о) ■ ё
и + (Го) - и (Го) =
1 Л + 2 Е (Г0) ж1{ Г - и
■ е
((Го)
(4)
Из (2) следует и+ (Г) = е(( Г) ■[ Ф+ (0 + F ^)], и~ (Г) = е(( Г) ■[ Ф (0 + F (t)], и (да) = Ф(да) . Если и+ (Г) = и- (Г) на Ь и и (да) = 0, то Ф+ (да) = Ф- (да) и Ф(да) = 0.
и
Тогда по теореме Лиувилля Ф(да) = 0. Из (2) имеем и(г) = ¥(г) ■ е-г). Если [и(г)] = 0(г"), то [Ф(2)] = 0(2п ) и по обобщённой теореме Лиувилля Ф(2) = P(2) и значит
и ( г) = [ ¥ ( г) + Р( г)\е- г).
Найдём квазикусочноголоморфную функцию по скачку на Ь : и+ (г) - и- (г) = а(г). Из (4) (р(г) = а(г) ■ е~-(г) а из (3)
и ( г) =
1 с а(г) ■ е
71
—( г)
2жг^ г - г
-■ сСг + ¥ (г)
■е
-( г )
Это решение исчезает на бесконечности, а решения, имеющие конечный порядок на бесконечности, имеют следующий общий вид
и (г) =
!а('>е -')Сг + ¥(г) + Р(г) 2ж1} г - г
■ е
-( г )
Задача в такой постановке изучена в [1]. Задача Римана для системы (1) изучена в [2]. Здесь нами будут изучены сингулярные случаи задачи Римана, то есть допускается, что коэффициент Р^) в конечных точках контура обращается в нуль или бесконечность целого порядка.
Теперь сформулируем задачу Римана в сингулярном случае.
Задача. Найти квазикусочноголоморфную функцию и(г), имеющую конечный порядок на бесконечности, по условию на контуре:
П (г-ак)
и+ (г) = кУ Р1(г)и (г) + g(г) .
П (г)Ь
1=1
(5)
Здесь ак(к = 1,2,...,ц), (. = 1,2,...,у) - некоторые точки контура; тк, р. - целые положительные числа, Р (г) - функция, удовлетворяющая условию Гёльдера и на границе Ь не обращающаяся в нуль. Точки ак будут нулями функции Р(г) . Точки 3 будем называть её полюсами. Обозначим
/пйР^О = ж, ^ р. = р ; ^ Шк =
т.
1=1
к=1
Рассмотрим задачу (5) в случае g(г) = 0.
П (г-ак)
и+ (г) = к=1 Р1(г)и (г)
П (г-¡1)р
=1
м
м
Подставляя и+ (Г) , и (Г) из (2), в (6) получим
е(( 2
П (Г)4
■[Е(2) + Ф+ (2)]= к=' т ■ () [ F (2) + Ф-(2)] . (7)
П (Г-4)*
1=1
Очевидны следующие равенства:
м
т М..... -2г
П(Г-«кГ =П(Г-«кГ ■ е -
к=1 к=1
П(Г-4)* =П(Г-4)* ■ е =
2.' ¿Щ(2) р
1=1 1=1 где Щ(1) = ш^О - «) , щ(2) = ш^О - 4) .
м у
-2. ¿щ(1)т ^¿щ/Ч
Функции е к= и е 11 непрерывны на Ь и их индексы, соответственно равны -т
М V
и -р , где т = ^т , Р = ^Р; . Подставляя эти выражения в (7), получим
к=1 1=1
М
П (г-« ) тк Е(Г) + Ф+ (t) = -к--P2(t)[F^) + Ф (t)]
П ( г-4)р
1=1
или
г-
П ( Г ) тк
Е (Г) + Ф+ (t) = ^-— P2(t) ■ Ф:-(t) , (8)
П (Г-4)р
1=1
где Ф:- ^) = F(t) + Ф ^) .
-2.¿Щ(1)тк 2. ¿Щ(2)Р1 2\ ЕЩ<2)р-Е^к(1)тк
р (Г) = р (Г) ■ е к= ■ е 1=1 = р (Г) ■ е 11 4=1
Отсюда следует, что
/пе?Р2( 0 = /пс?Р1(0 + р — т = эе + р — т,эе = ¡пйР^Ь). Краевое условие (8) перепишем в следующем виде
м
П (t ) mk ф+ (t) = ^-— P2(t) • Ф; (t)+F (t),
П (t-P)
j=1
(9)
где P2(t) =
Х+ (t)
X~ (t)
Однородную задачу (9) преобразуем к виду
Ф+ (t)
Ф- (t)
Х+ (t)ПП (t-ак)щ Х~(t )ГП (t-Р3)
k=1
j=1
Точки ак , 3 не могут быть особыми точками единой аналитической функции, так как это противоречило бы предположению об ограниченности Ф+ (^) или Ф (^) . Следовательно, единственной возможной особенностью Ф (г) является бесконечно удалённая точка. На бесконечности она имеет следующий порядок эе + р — т — р = эе — т. При эе — т > 0 согласно обобщённой теореме Лиувилля имеем
Ф+ ( z )
Ф- ( z )
^г-т (Ж)*
Н V
х+(г)П (* - «k Г х~ (*)П (* - А )Р
k=1
j=1
откуда
Ф+ (z) = Х+ (г)П(z-«kГ ^ -m(z),
k=1
Ф-(z) = Х (z)n (z -Pj )^ ^ - m (z) - F (z) .
j=1
Так как F ( t) удовлетворяет условию Гёльдера, заменим её разностью краевых значений аналитических функций:
F(t)
Х+(0
где
4»(z)
= ip+(t)-4'-(0,
1 Г F(t) dr
--f
2ni J
X+{T) t-z
Построим многочлен Q (z) , удовлетворяющий следующим условиям:
qCO^.) = ^«(/J.) (i = ОД.....pj.^j = 1,2.....v),
Qm(ak) = 4>~w(ak) (I = 0Д.....mk_ltk = 1,2.....fi),
где Ч+(г) ¡), Ч - (г Ча/с) - значения производных I - го и I - го порядков в соответствующих точках. Известно, что такой многочлен определяется единственным образом и его степень равна р = т + р — 1.
Каноническая функция неоднородной задачи выражается через интерполяционный многочлен следующим образом:
= х+00 р , у-(2) = * -00 Р ■
V М
П(*-11 П(*-«кГ
1=1 к=1
Для построения общего решения неоднородной задачи воспользуемся тем, что общее решение складывается из некоторого частного решения неоднородной задачи и общего решения однородной задачи.
Поэтому
м
Ф+ (2) = 7 + (2) + (1)П (2 Г Р*-ш (2) ,
к=1
V
Ф (2) = 7 (2) + Х- (2)П (2-Р)Р Р^-ш (2) — (2) ■
1=1
Анализ решений, исчезающих на бесконечности, приводит к следующим выводам:
1. аг — р > 0 , решение содержит а — р произвольных постоянных.
2. а — р = 0 , решение единственно.
3. а — р < 0 , решение существует только при выполнении | а — р | дополнительных условий.
[Л^. = 0к = о , 1.....| а —р |
[ Х+ (0
Неоднородная задача исследуется аналогично.
Поступило 03.06.2016 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Векуа И.Н., Системы дифференциальных уравнений первого порядка эллиптического типа и граничные задачи с применением к теории оболочек. - Матем.сб., 1952, т.31(73), №2.
2. Михайлов Л.Г. - Учёные записки, т. ГУ, Труды физико-математического факультета ТГУ. - Стали-набад, 1958, с.19-28.
3. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. - М.: Наука, 1977, 640 с.
4. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. - Наука, 1968, 513 .
Н.Усманов, Сайхунаи Шавкатзода
МАСЪАЛАИ КАНОРИИ РИМАН БАРОИ СИСТЕМАИ МУОДИЛА^ОИ ЭЛЛИПТИКЙ ДАР ^ОЛАТИ СИНГУЛЯРЙ
Донишкадаи молия ва икщисоди Тоцикистон
Дар макола масъалаи канории Риман барои системаи муодиладои эллиптикй дар долати сингулярй тадкик карда шудааст. Муайян карда шудааст, ки кутбдои дамродшудаи коэффитсиент ба шумораи далдои масъала таъсир намерасонанд, аммо нулдои дамродшудаи коэффитсиент ба шумораи далдо таъсир мерасонад.
Калима^ои калиди: функсияи аналитики, системаи эллиптикй, функсияи голоморфы, функсияи цисм, цисм голоморфы.
N.Usmanov, Sayhuna Shavkatzoda
RIEMAN BOUNDARY VALUE PROBLEM FOR SYSTEMS OF ELLIPTIC TYPE
EQUATIONS IN THE SINGULAR CASE
Finance and Economic Institute of Tajikistan
In the paper Rieman boundary value problem for systems of elliptic type equations in singular case are investigated. It is established that the number of solutions for the problem in the class of unbounded on the contour functions does not change on presence of conjugate analytic character poles of coefficients of the problem and it is decreased with the sum of powers of all zeros of conjugate analytic character. Key words: analytic function, elliptic system, holomorphic function, sectionally holomorphic function.
