Граничная задача сопряжения с коэффициентом, имеющим особенности неголоморфной структуры для системы уравнений эллиптического типа Текст научной статьи по специальности «Математика»

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _____________________________________2010, том 53, №11__________________________________

МАТЕМАТИКА

УДК 517.55

Н.Усмонов, А.Мансуров

ГРАНИЧНАЯ ЗАДАЧА СОПРЯЖЕНИЯ С КОЭФФИЦИЕНТОМ, ИМЕЮЩИМ ОСОБЕННОСТИ НЕГОЛОМОРФНОЙ СТРУКТУРЫ ДЛЯ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА

Институт экономики Таджикистана

(Представлено академиком АН Республики Таджикистана Л.Г.Михайловым 20.11.2010 г.)

В работе исследуется граничная задача сопряжения с коэффициентом, имеющим особенности неголоморфной структуры, для системы уравнений эллиптического типа. Найдено решение, имеющее конечный порядок на бесконечности, а также решение, исчезающее на бесконечности.

Ключевые слова: голоморфная функция - кусочноголоморфная функция - квазиголоморфная функция - квазикусочноголоморфная функция.

В монографии И.Н.Векуа [1] построена теория обобщённых аналитических функций, то есть функций W(z) = u(x, y) + iv(x, y), действительная и мнимая части которых удовлетворяют систему уравнений эллиптического типа

- |v = a(x y)u + b(x y)v + f (x y ^

dx dy

(1)

du + dv = -b(x y)u + a(x y)v + g (x y).

dx dy

При a = b = d = f = g = 0 система (1) переходит в систему уравнений Коши - Римана, определяющую аналитическую функцию 0(z) = u + iv.

С помощью оператора комплексного дифференцирования dг = —

dd ---Y i —

dx dy у

систему (1)

можно переписать в комплексной форме

д-W + AW + BW + F, (2)

где

A = 1 (a - d + ic + ib), B = I (a + d + ci - id), F = 1 (f + ig).

Адрес для корреспонденции: Усмонов Нурулло Усмонович. 734013, Республика Таджикистана, г. Душанбе, ул. Дружбы народов, 94, Институт экономики Таджикистана. E-mail: [email protected], сайт: www.Iet.tj

Используя известное представление (см. [1]) регулярного решения уравнения (2) через аналитическую функцию, Л.Г.Михайлов [2] свёл решение задачи сопряжения к решению такой же задачи в классе аналитических функций.

В настоящей работе рассматриваются уравнения (1) с краевыми условиями, которые имеют особенности неголоморфной структуры.

Положив в (1) и{г) = и1 {ггде

*(z) = __L ff ^ dr. —и = 6Ul • г + uГ ~ = £

ж^Т — z —z —z — z

—и

—=■ + A • и,

vdz ,

получим —=L = B(z)• £ *z). Тогда ([2]) щ(z) = —1 [f B(r)£------dT + 0(z).

6 z ж T — z

Таким образом, получаем общее представление решения уравнения (1)

u(z ) = £»( z) [F (z) + Ф^)]. (3)

Здесь F(z) = — - ff B(rT£ *(Т) dr, »(z) = — - ff A(T^dT , 0(z)

77- JJ T — 7 77" JJ T — V

{г) =------II ——-ат, оуг) =---------II ———, Ф{г) - произвольная аналитиче-

ж ^ т — г ж^ т — г

ская функция. F {г) и (д{2) обладают свойствами 1-5 из [2]. Если ф{г) в (3) кусочноголоморфна, то и{г) назовем квазикусочноголоморфной.

Если Ф^{?)—Ф {?)=^{?) удовлетворяет условию Н , то Ф{^) = ---------- I ^{ ) dt и (3) по-

2Ж ■’ t — г

зволяет получить интегральное представление квазикусочногоморфных функций

u(z ) =

Отсюда

L гМО dt+F (z)

2ж f t — z

• £»(z). (4)

u+(to)—u (t0) = ^)• *),

и+

(t0 ) — u (t0 ) =

— dt + 2F (t0)

ЖJ t — t„

• £»(t0). (5)

Из (3) следует, что

иT(t0) = r(i)[o+(t)+F(t)] и (t) = ГМ[ф—(t) + F(t)] и(с») = ф(сю), u(z) = F(z)• £

Если u+(t) = u (t) на L и u (да)= 0, то Ф+^) = Ф—(t) и Ф—(да) = 0 . По теореме Лиувиля Ф^ ) = 0.

Если [u(z)]z=oo = 0 (z” ) и по обобщенной теореме Лиувиля ф(z) = P(z) и, следовательно, i(z )S[F (z ) + P(z )]• £»(z)

Если квазикусочноголоморфная функция непрерывна во всей плоскости и имеет конечный порядок на бесконечности, то она имеет вид

і(г )=[Р ) + Р{г )]• і

Это решение исчезает на бесконечности, а общий вид решений, имеющих конечный порядок на бесконечности, будет

и(г ) =

• І

Теперь рассмотрим граничную задачу сопряжения с коэффициентом, имеющим особенности неголоморфной структуры

Однородная задача

Пусть

3

\іїг -м

ПI'

и*(')=---------------Р(‘У(Л (6)

ПI'-

произвольные комплексные числа с положительной вещественной частью.

5 _5 / ч N N / ч 5 N

обозначим ]г <1Г=]г —с(1)) ^ =^ (¿2)—сП2)) X ^ £ ¿2) - целые числа,

г—1 г=1 п=1 п=1 г=1 п=1

) - их дробная часть, то есть 0 < Ке^1 < 1, 0 < Ке^2^ < 1.

Г=1 п-1

Поскольку

3 3 / / Л N N I 3

П Iі-тГ =П(і-т)Жг • ехр|-/£й2)Жг1 IIIі-£пґп =П(і)5п • ехр|- ¿Е

у / = І І(і — т Тг

Г |

Г=1 Г=1

п Р X XI ~ п |

V Г=1 у п=1 п=1

}(2)5

пп

л

V Г=1 у

где

6 = - т), в[2) = - £,),

то краевое условие (6) принимает вид

3 ^

П( 1 -ТГ Г и+(і“П(*-тг)5 П(*-%гехр| ¿Е6)-іЕ6Г)аг І)и-)• П (і-О9

Г/ ^ Х1)^ _а(1) ' N

(2)Гі(І -ТГ )

\^Г Г=1 п=1 \ п=1 Г=1

Подставляя полученные значения и *(') и (') в (3), получим

п=1

\яР

Г 1 і і ( Т Г ) 3 , N , .. І N

Г"^ (')+Ф*(')]=---------- П('-т,>'"П('-і,ЇСІ ехр|,]т6"*п -

П('-і,У Г= п= п=' (7)

п=1

3

- І

,Е6{М[ р(> )ф-(')-р (' )

,=і У

где Ф-(' ) = Р (' )+Ф-(' )•

Полагая в (7) Ф- (z) = П (z - іп)"п • 2 Чп Ф-^), имеем

п=1

ф*(* )=П(* - тг )""• Аі )ф -(і)- р (,)

где

, ч-"(2)

N ( N ^ Л "п

„N„(2) < Ы 3 .. '

А(0 = ГО-ТгГ№-і.)"п ехрі ,Е6(!Ч, -¿Е6(‘Жг • Р(і). (8)

Г=1 У

Построим многочлен Т (') так, чтобы он удовлетворял следующим условиям:

Р°’(т,) = Т[‘)(тг) (і = 1,2,...,3,, = 0,1,2,...,41'-1). (9)

Воспользуясь (9), перепишем (8) в следующем виде

3 "(1)

Т (і) + Ф+ (і ) = П (і -Тг )"” • А(і )Ф 2 (і ) + Т (і ) - Р (і ^

Г >

Г=1

Ф+ (')+ Т (') = гП(' - Т )*■ • л(, )Ф- (') + П (' - Тп Г” Рі (' )Г(')+ Т ('} = Л(, )Ф- (') + Рі ('),

- п=1 П('-■т,Ґ

или

где

Ф+ = Л(')Ф-(')+ Рі('), (10)

Ф+ Ф+(і)+ Т (і)

1 3 в!'

Г=1

Функция А() в точках t = ТГ, t = <^п имеет разрыв первого рода. Решение задачи будем искать в классе функций, интегрируемых на контуре. Метод решения задачи (10) заключается в сведении её к задаче с непрерывным коэффициентом. Для этого строятся специальные функции, имеющие

3

3

г

3

Г=1

п=1

п=1

г=1

в точках I = тг, I = те же разрывы, что и А(), и такие, чтобы, считая их коэффициентами задачи,

можно было для них решить эту задачу. Вводя затем с их помощью новые неизвестные функции, мы придём к задаче уже с непрерывными коэффициентами.

Приступим к построению вспомогательных функций. Идея построения таких функций заключается в возможности рассматривать многозначную аналитическую функцию на соответствующим образом разрезанной плоскости как однозначную разрывную функцию.

Вводя новые подстановки

ф;(0=п(*-О ‘-’П (*-(.) ф ■

Г=1

п=1

Ф-(г)=П

г=1

П

V 2 20 У п=1

придем к задаче с непрерывным коэффициентом

3 N

П -г )(г П ('-?п )-'■ Ф*(< )=П

, ч((1) , ч-((2 )

3 г г 2Тг\' А ( Г-О ^

Г=1

п=1

П

А( )Ф -(г )+ Е1- X

или

ф;(2 )=П(* - 20 )2(',п ПП (2 2.-0 )(П ал(1 )Ф -(/ )+1П(/-г, Г“П ('-4 Г“ ¿1 (>)

г=1 п=1

Заменяя непрерывный коэффициент П(2 - 2 о Г(Г‘П - 20 ) отношением канони-

г=1

п=1

ческих функций, придадим краевому условию форму

ф,*(<) Ф

х*(0 х-(0

х*(0

Последняя задача есть задача определения аналитической функции по заданному скачку,

причём на бесконечности функция

Ф -(О

X Ю

имеет порядок - $.

ф. (2 )=П (< - ГгГг" п (< - 4 г-’ • X* (г) к* (г)* Рж (2 )]

Ф -И=П

, ч-((1) , \-с(2)

3 Г 2-г^ (г А (2-^ ^ ^

Г=1

П

п=1

V 2 - 20 У

3

Г =1

п=1

г

п

3

N

3

Ф*(г)=ГІ(г-г)*!’ГІ(г-Гг^'П(г-4„)(“х*{г)И*)*Р і<)-Т{/)]

\-({1) ґ

\(г N (

ф(г ) = П('-4 )(п‘'• г -2 П

Г -т.

V г Го У

П

V г г о У

<2) п

х (г )[г~(г ) + р (г )]- Р (г і

Х+{тХт- 2)

-йт.

В итоге, общее решение поставленной задачи представляется в виде

и *(* ) = {*■ (2 )+П(г-г, )*'("П(г-г, ГП к-4,)“(’ 'х*(г )И*)+Р. (')-Т (>)]

¿7 -{г ) = Г-)-

N

Р (< )*П (<-4,, )"'• г -'“’П

4«'

г -т

\ ({1) /-

Л(г N Ґ

П

г-4.

\ ((2) ^

V" N А

П

г-4

■(2)

•х {г) \^ {г) * Р {г)]}

Отметим, что если на решение наложить дополнительное условие Ф-(сю) = 0, то нужно заменить р на р л (z) .

Аналогично исследуется неоднородная задача.

Анализируя вышеприведенные рассуждения, можно сделать следующий общий вывод. Наличие нулей коэффициентов на контуре не влияет на число решений и условий разрешимости задачи. Далее, условия разрешимости, конечно, меняют свой вид. В частности, для их выполнимости недостаточно, чтобы коэффициенты просто удовлетворяли условию Гёльдера, нужно также потребовать существование производных коэффициентов соответствующего порядка в точках нулей.

Если коэффициент Р(^) имеет полюсы, то число линейно независимых решений однородной задачи уменьшается от числа полюсов на число, не большее, чем суммарный порядок полюсов Р(^) .

Поступило 20.09.2010 г.

ЛИТЕРАТУРА

1. Векуа И.Н. Обобщённые аналитические функции физматгиз. - М., 1959, 509 с.

2. Михайлов Л.Г- Труды физико-математического факультета, 1957, т. 10, Сталинабад, с. 23-31.

3. Михайлов Л.Г., Усмонов Н.У. ДАН России. 2002, т.387,№3, с.309-313.

4. Усмонов Н, Мансуров А. - Крайові задачі для дифференциальних рівнянь - г. Чернівци видавництво «Прут», 2009, с.304-3о9

1

1

г

Г

п

3

п=1

Г=1

п=1

1

Г

Г

п

3

п=1

Г=1

п=1

п=1

Н.Усмонов, А.Мансуров

МАСЪАЛАИ КАНОРИИ ^АМРО^ШУДА БО КОЭФФИСИЕНТИ МАХСУСИ ГАЙРИГОЛОМОРФЙ БАРОИ СИСТЕМАИ МУОДИЛА^ОИ ЭЛЛИПТИКЙ

Донишкадаи ицтисодии Тоцикистон

Дар макола масъалаи канории хамрохшуда бо коэффисиенти махсуси гайриголоморфй барои системаи муодилахои эллиптикй тадкик карда мешавад. Х,аллхои дар беохирй махдуд ва ба нол табдилёбандаи масъала ёфта шудаанд.

Калима^ои калиди: функсияи голоморфй - функсияи цисм-цисм голоморфй - функсияи квазиголоморфй - функсияи цисм-цисм квазиголоморфй.

N.Usmonov, A.Mansurov

CONJUGATE BOUNDARY VALUE PROBLEM WITH COEFFICIENTS OF NONHOLOMORPHIC SINGULARITY FOR A SYSTEM OF ELLIPTIC EQUATIONS

Tajik Economcs Institute Conjugate boundary value problem with coefficients of nonholomorphic singularity for a system of elliptic equations is investigated in the paper. Solutions with finite order in the infinity and solutions vanishing in the infinity are fined.

Key words: holomorphic function - partially holomorphyc function - quasiholomorphyc function - partially quasiholomorphyc function.