Сингулярно возмущенные системы оптимального управления технологическими объектами с запаздыванием Текст научной статьи по специальности «Математика»

1. Доброхотов С.Ю., Маслов В.П. Конечнозонные почти периодические решения в ВКБ -

приближениях. // Итоги Науки и Техники ВИНИТИ, Современные проблемы математики, т.15, 1980, с.3-93. ЕШ

— Коротко об авторах ----------------------------------------------------------------

Рутковский А.Л. - доктор технических наук, профессор,

Алехин В. И. - кандидат технических наук, старший научный сотрудник, докторант. кафедра теории и автоматизации металлургических процессов и печей, Северо-Кавказский горно-металлургический институт (Государственный технологический университет).

*© А.Л. Рутковский, В.И. Алехин, 2009

УДК 591.9

А.Л. Рутковский, В.И. Алехин

СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫЕ СИСТЕМЫ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИМИ ОБЪЕКТАМИ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ

П

ростейшая система с запаздыванием представляется урав-

нением

- скаляр, определяющий величину управления в момент времени постоянные ? ?1 матрицы,

РЧ г ■ - постоянные 1 л

- - : :■ - :■ - .-■и ■ г:■ предел яющие динамические свойства

объекта, - вектор, отражающий

( ^ свойства входного устройства; >0

некоторое число (запаздывание).

^ Функция и вектор определяют

(2) начальные условия.

вектор, описывающий положение изу- Явление запаздывания в системе (1)

выражается в том, что на скорость изме-

чаемой системы в момент времени

нения положения системы оказывает

влияние не только положение ") , но

и положение г------- ^3 в котором

система прибывала единиц времени назад. Учитывая систему (1), (2) запишем соответствующую сингулярно возмущенную систему с запаздыванием.

6 . = ЛгМ + А,х(1 - Ні + ішШ, ^>0

«£■

Для преодоления данных трудностей применим асимптотический метод Уи-зема, который позволяет привести сингулярно возмущенную систему (3), (4) к рекуррентной последовательности регулярных систем управления, каждая из которых уже относительно управляема. За-£з|шшем асимптотические разложения

= Г О]

(4)

X т) = х0 (тд) (т, Г :) + і2 х2 (т, о + ' ■ ■ +

(7)

Таким образом, сингулярно возмущенная система отличается от регулярной системы (1), (2) наличием малого параметра при главных членах дифференциального оператора. Это отличие создает принципиальные трудности при рассмотрении системы (3) на относительную управляемость

, . Данные трудности связаны

с введением определяющего уравнения, которое в случае (1) выглядело бы следующим образом.

Qk+l СО = Щ - йг) + Ьщ — лг1Г

Е,) = Г) + £ 1£ХСТ, £} + (т* Г) + ■ ■

Подставим и в систему (3),

(4) и приравняем нулю коэффициенты

при степенях к = ОД,.., г!х

— ■ - к) + Ьщ,

(1з

— ■ х1Е = Ахх + - Л) + Ьщ - Хдр,

= 0,1,2,..; С > О

(5) Я (0) £

если ‘ 0 .

Здесь (I) 71- - матричная

функция. Через решения системы (5) выражается критерий относительной управляемости. Имеет мест следующий результат. Система (1) относительно управляема, тогда и только тогда, когда

гіг

— ■ Хщ = Ах„ + А^^ -к) + Ьиа -Таким образом, мы получаем систему I до , в которой каждая подсистема уже относительно управляема. Далее, рассмотрим сингулярно возмущенную систему со многими запаздываниями и управлениями.

(10)

где

- запаз-

0№* к = 0*1ц2*.. к — 1; £еп) = ■■■ «тЗ -

■ мерное управление. В данном слу-

(6) чае применим к (10) метод Уизема ана-

В случае же системы (3) проверка логично (7), (8) в результате получим.

критерия (6) вызывает значительные трудности.

Efh “ "I" 2i=] ^1

) +B , ^

) +B- xat ,

) +B- Л'іс , '

l)(nJ

) +B — %J_ ,

В данном случае определяющую систему

&«(£) = Адк (£) + - Л() + 5и(0,

£ О, £ ^ 0 " Фф-Ф? = 0, если

гаик( В,

к=0,...- 1;£б-[0,Г]) = п

можно построить для каждого уравнения системы I. и тем самым

доказать ее относительную управляемость. Таким образом, мы показали, как можно регуляризовать сингулярные системы с запаздыванием и определить их относительную управляемость.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Кириллова Ф.М., Чуракова С.В. Относительная управляемость линейных динамических систем с запаздыванием. - ДАН СССР, т. 1967, №6.

2. Габасов Р.Ф., Кириллова Ф.М. Качественная теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1971. ІЇ^Ш

— Коротко об авторах ------------------------------------------------------------

Рутковский А.Л. - доктор технических наук, профессор,

Алехин В.И. - кандидат технических наук, старший научный сотрудник, докторант. кафедра теории и автоматизации металлургических процессов и печей, Северо-Кавказский горно-металлургический институт (Государственный технологический университет).