CC BY
58
© А.Л. Рутковский, В.И. Алехин, 2009
УДК 519.9
А.Л. Рутковский, В.И. Алехин
СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫЕ СИСТЕМЫ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ СО МНОГИМИ ЗАПАЗДЫВАНИЯМИ И УПРАВЛЕНИЯМИ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИМИ ОБЪЕКТАМИ
Рассмотрены и проанализированы оптимальные системы управления с запаздываниями по времени и пространству. Даны описание, и анализ методов оптимального управления сингулярными системами с запаздываниями по времени и пространству.
Ключевые слова: системы управления с запаздываниями по времени и пространству, сингулярные системы.
~П горнодобывающей, металлургической и других отраслях М.М промышленности встречаются сингулярно возмущенные системы оптимального управления со многими запаздываниями и управлениями. Теоретические и практические методы исследования данных систем в настоящее время находятся на стадии разработки, а результаты, полученные в данном направлении, являются весьма полезными для совершенствования отмеченных выше технологий.
Рассмотрим систему со многими запаздываниями и управлениями следующего вида:
где ^ > 0,1 = 1,...т, - запаздывания, и(х) - (и1...иг) г - мерное управление. Для проверки системы (1) на относительную управляемость применим критерий следующего вида:
гапВДк(1)В, к = 0,....,п -1; X е[0,Т] = п,
здесь (2) определяющее уравнение.
В приложениях часто используются системы с запаздываниями по управлениями.
т
х = Ах + ^ А^(і - Ц) + Ви
(1)
, к > 0, t < 0;
Qo(0) = Е; Q0(t) > 0,1 ф 0; Qk(t) = 0, если І < 0;
(2)
X = Ах + £ В^(Х - Ц),Ц> 0; (3)
]=1
х(0) = х0, и(Х) = /, X е [-тахЬр0].
Сформулируем задачу относительной управляемости для системы (3). Данная задача состоит в том, чтобы определить условия на параметры А, В_^ Ь при которых для всяких функций у, векторов х0, х1 найдется момент времени 0<1: < да также управление и, 1>0, такие, что траектория х системы (3), определенная данными условиями, обладает свойствами х(0) = х0,х(д = х1.
Для нахождения определяющего уравнения к (3) применим
х^СО ^ хк+ЛХ). (4)
Таким образом, положим для управления
и<^)(Х) ^ ик+,(Х). (5)
Здесь ик+^ (Х) есть гхг матричная функция. Учитывая (4), (5), (3) получим
т
хк+щ) = АХк(Х) + ХВ^к(Х - ^),к = 0,1,...
]=1
Хк(Х) - 0, к < 0;Х < 0;и0 = Е,и0 - 0, ^(0) - 0,
X *0,к » 0 (6)
Можно показать, что для управляемости системы (3) необходимо и достаточно, чтобы
гапк(хк(Х), к = 1,....,п; X е[0,Т] = п, (7)
Далее, можно определить управляемость системы с запаздываниями по состоянию и управлению.
т
х = £[ А,х(Х - Ь,) + В,и(Х - Ь,) ],
1=1
х(Х) = ^Ч), и(Х) = /(X), X е [-тахЬ1,0]. (8)
Аналогично можно построить теорию относительной управляемости систем с распределенными запаздываниями.
Оос(р).1-(0 = 1™=1 [/о': я 1 «*(Г - г)йг + £ N. (т)и(г - г)йг] + Кр (р)и(О (9)
Рассмотрим результат, полученный для системы
Ь
х (t)=Ax(t)+1 R( т )х(1- т )d т +Bu(t) (10)
1 т; 1
1 1 sJ
ВД=ХХ ^тт^р^ s) (и)
1-1 1=0 1 !
R1j - постоянные пхп матрицы, хь I=1,.../постоянные числа.
Аналогично (5) и (4) можно построить определяющее уравнение для системы (10):
Х^О) = АХ^) + }R<s)exp<-ps)dsXt<t) + BUk<t) (12)
0
с начальными условиями.
Хк: 0 = ОД- < 0, или КО; Щ0)=Ег ик(1:)=0, к^О или
Согласно критерию управляемости, система (10), (11) относительно управляема, тогда и только тогда, когда Rank(xt(t)), к=1,2,...^ [0, тЬ]; т=1,2,....п-1)=п (13)
где Т=ТТ = Х(т1+1) +1.
1=1
Рассмотренную выше теорию можно применить в плане нестационарных систем. Пусть имеем обыкновенную систему.
х(1Н(0*С0 + 5(0м(0 , 1е[10д] (14)
с гладкими коэффициентами А(1) е Сп-2, В(1) е С(п-1).
Для данной системы достаточное условие имеет вид: гantQt<t), к = 1,2,...п) = п (15)
Если хотя бы при одном 1, ^ [ Г о, Т ] ,
Далее, рассмотрим развитие результатов по необходимым условиям управляемости с уточнением понятия управляемости. Введем понятие дифференциально-управляемой системы. Система (14) будем называть дифференциально-управляемой, если для всяких
т1<т2 данная система управляема с помощью кусочно-непрерывных управлений и(1), 1е[10, Т], которые обладают свойством и(1)=0, 1е[ть Т2]
Оказывается для дифференциальной управляемости системы (14) необходимо и достаточно, чтобы условие (15) выполнялось хотя бы при одном t для любого отрезка [ть ^2] е[ 10,Т] .
Далее, рассмотрим систему
Здесь х п мерный вектор выходных переменных, и - г мерный вектор входных переменных^>0 - постоянное запаздывание. Допустим |а,>, ^ - г0 > и элементы матрицы А(1:) имеют цп -2
непрерывных производных, элементы матрицы B(t) имеют цп -1 непрерывных производных.
Положим уэ, у = 5’у = (у —1)й • Рассмотрим следую-
щее определение. Систему (16) будем называть дифференциальноуправляемой на отрезке [ ], если для всяких моментов,
в,(г < ^, 0е[г - s^, г - ]е[ 10,11 ] и кусочно-непрерывных функций
состояния (х0(1), 9^«9 и вектора х1 существуют моменты ql, q2, ..^к, число в<0 и кусочно-непрерывная функция и(1), 1е[9, т], со свойством и(1)=0, 1е^-8, ql] 1= 1,_,к такие, что выход х(1), 1е[9, т], системы, соответствующий управлению и(1), удовлетворяет условиям х(1) = x0(t), 1е[9-^ 9], х(т)=х1 [4].
Определяющее уравнение, соответствующее системе (16) в данном случае будет иметь следующий вид:
(Р + А)Хк (1, э) = А(0Хк (1, э) + А1 (1) ехр(-( Д + р)ЬХк (1, э) + Б(Ои (1, S)
(17)
Уравнение (17) построено следующим образом:
а) векторные функции х(1), и(1) заменены на (пхг)(гхг) матричные функции Хк(1,э), ик (М):
х(1)^Хк(М), иф^ЩМ);
б) оператор дифференцирования р по 1 заменен на оператор: р^р+Д,
здесь Д оператор сдвига по аргументу к: ДХк(1,э) = Хк(1,э+^)
б) ехр(р,^Хк(М) = ХкО+^э), exp(Дh)Xk(t,s) = Xk(t,s+h),
Далее, будем говорить, что система (16) удовлетворяет условию максимума, если решения Хк(1,э), к>1, 1е(1о+эц, ^); эе[0, эц] уравнения (17) с начальными условиями
Хк(М) = 0, к<0, И0(1,0)=Ег, №(М)= 0, к^ 0 (18)
или э^0 имеет свойство.
Rank(Xk(t,s), к>1, эе[0, эц]=тахгапк(Хк(1,э), к>1, эе[0, эц],
(19)
хотя бы при одном 1 из любого отрезка [т1,т2],е [ 10+эц, ^]
В выражении (19) Хк(1,э) решение дифференциального уравнения системы (16) с параметрами А(1),А1(1),Б(1),И; максимум
определяется по параметрам А(1),А1(1),Б(1),И; всевозможных систем (16).
Таким образом, для дифференциальной управляемости системы (16) необходимо и достаточно, чтобы для нее имело место условие максимума (19).
Далее, рассмотрим вопросы, связанные с полной управляемостью обыкновенной динамической системы. Данные вопросы впервые были затронуты в работах Р. Калмана .
Система (16) называется полностью управляемой, если для всякого начального состояния х0(-)=(ф(1)е[-^0),х(0)] существует момент времени ид1<<х> и кусочно-непрерывное управление и(1), 1е[0Д1],такие, что траектория х(1), 1>0 траектория системы (16), соответствующая х0(0) и и(1) удовлетворяет условиюх(1)=0, 1е[11^Д1].
Учитывая распространение принципа максимума Понтрягина, на оптимальные системы с последействием с функциональными краевыми условиями в настоящее время много внимания уделяется свойству управляемости в смысле следующего определения. Система (16) называется полностью управляемой, если для всякой пары из начального состояния х0(-)=(ф(т), те [-^0] и конечного состояния х1(-)=(у(т),те [-^0] с достаточно гладкими функциями ф(т), у(т) найдутся момент времени ^<го и кусочно-непрерывное
управление и(1) tє[0,t1], такие, что траектория х(^), системы (16), соответствующие управлению и(^) удовлетворяет условиям.
Х^)= ф(t), tє [-h,0]; x(t)= у(^^4), tє [t1-h,t1], (20)
Далее, отметим, что свойство управляемости тесно связано со многими другими свойствами динамических систем, например, с такими как, стабилизируемость, реконструируемость, модальная управляемость.
Далее, рассмотрим сингулярно возмущенные системы оптимального управления. Как известно, система называется сингулярно возмущенной, если при главных членах дифференциального оператора находятся малые параметры. В таком случае уравнению (1) будет соответствовать сингулярно возмущенное уравнение вида:
Не трудно видеть, что обычные методы математического анализа не могут дать ответ, связанный с относительной управляемостью сингулярно возмущенного уравнения (21). Для того, чтобы решить данный вопрос применим метод асимптотической регуляризации, аналогичный тому, как мы поступали а работах [6], [7]. Запишем асимптотическое разложение х^, в, т) и и(^ в, т) х(ґ,£, г) = .ї0(г,г) + £*<)(£•, г) + ■•• + £пхп(Г,г) (22)
и(г, £, т) = и*(г, т) + (с,т) + - ■ + €'т) (23)
s( t)
Здесь т =^~. Подставим (22), (23) в уравнение (21) и прирав-
£
няем нулю, коэффициенты при £к,к = 0,1,2,..., в результате получим следующую рекуррентную систему, регуляризованных уравнений.
е°; І ^ =Ах- + Ви0,
є1: і ^ =Ах, + А< ЛГнС« - К) -г Ян, +
є‘: і ^ =Ах: + Л, Хз(£ — /ін) + Ви2 (24)
5": , =Ах„ + £*, А, .«.(Г - А() + *«,+
и г рГ
Отдельные уравнения, входящие в систему (24) уже не являются сингулярно возмущенными и к ним можно применить теорию относительной управляемости, (признак (2)). Таким образом, мы получаем, что (24) является регуляризованной системой по отношению к сингулярно возмущенной системе (1).
Рассмотрим далее, сингулярно возмущенную систему и определим управляемость данной системы с запаздыванием по состоянию и управлению.
Также, как и в случае системы (21) в данном случае имеем трудности, связанные с регуляризацией сингулярно возмущенной системы (25). Для регуляризации и в этом случае применим асимптотические разложения (22) , (23). В результате получим систему рекуррентных регуляризованных уравнений.
дхг
е2: зх2 (г) = 2«1(4 х2(с - /г,) + В,и2(г - /О) + (26)
е": ^п.(г) = ХТМ х„(г - /I.) + В.ип(Г - А,)) + ^
Таким образом, учитывая, что отдельные уравнения, входящие в систему (26) уже не являются сингулярно возмущенными для каждого из них можно составить определяющее уравнение и решить вопрос, связанный с управляемостью.
Аналогичные результаты можно получить и в случае систем с распределенными запаздываниями.
Выше нами была рассмотрена система (10), соответствующая сингулярно возмущенная система имеет следующий вид:
Так же, как и в случае (21), и (25) регуляризуем систему (27) при помощи асимптотических разложений (22), (23) в результате получим рекуррентную, уже не сингулярно возмущенную систему уравнений.
dr S Ах 1 + Jo 9)d6 + Bu^t) + ,
dx2 dr
n d4g = Ax; + Г d t " }0
Для системы (29) вопросы, связанные с управляемостью, решаются известными методами математической теории оптимального управления. Таким образом, асимптотические разложения (22), (23) приводят систему (27), (28) к регуляризованному виду.
------------------------------------- СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.Кириллова Ф.М., Чуракова С.В. Относительная управляемость линейных динамических систем с запаздыванием.- ДАН СССР, т. 174, 1967, №6.
2. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Крахотко В.В. Управляемость линейных стационарных систем.- ДАН СССР, т.203, 1972, №3.
3. Chag. A. an Algebraic Characterization of controllability IEEE Trans. Atom. Control, vol. 10, №1, 1965.
4. Забелло Л.Е. К вопросу управляемости линейных нестационарных систем.- 1,2 Изв. высш. учебн. завед., 1976, №12; 1977, №2.
5. Калман Р. Об общей теории систем управления. Труды 1 конгресса ИФАК, т.2, М., АНСССРД961.
6. Рутковский А.Л., Салихов З.Г., Алехин В.И. Методы построения асимптотической теории оптимального управления кинетическими процессами в технологических объектах // Изв. высш. учебн. завед., Цветная металлургия, 2007, №6,с.77-80.
7. Салихов З.Г., Ишметьев Е.Н., Рутковский А.Л., Алехин В.И., Салихов М.З. Асимптотические методы регуляризации сингулярно возмущенных стохастических задач оптимального управления // Изв. высш. учебн. завед.,Черная металлургия, 2008, №1, с.60-62. ЕШ
A.l. Rutkovskiy, V.I. Alehin
SINGULAR DISTURBED SYSTEMS OF THE OPTIMAL MANAGEMENT WITH MANY DELAYS AND TECHNOLOGICAL OBJECT MANAGING
In this article describes and analyzes optimal controls for systems with Time -Lag and Space - Lag. Describes and analyzes methods the optimal control of singular systems with Time-Lag and Space- Lag.
Key words: managing systems with the delay in time and space, singular systems.
— Коротко об авторах ------------------------------------------------
Рутковский А.Л. - профессор, доктор технических наук, кафедра теории и автоматизации металлургических процессов и печей, РСО-Алания, skgtu@ skgtu.ru,
Алехин В.И. - старший научный сотрудник, кандидат технических наук, кафедра теории и автоматизации металлургических процессов и печей, РСО-Алания, skgtu@ skgtu.ru
А
