Дискретные сингулярно возмущенные системы оптимального управления технологическими объектами с запаздываниями Текст научной статьи по специальности «Математика»

© А.Л. Рутковский, В.И. Алехин, 2009

УДК 591.91

А.Л. Рутковский, В.И. Алехин

ДИСКРЕТНЫЕ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫЕ СИСТЕМЫ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИМИ ОБЪЕКТАМИ С ЗАПАЗДЫВАНИЯМИ

~П статье рассматриваются дис--Я-М кретные сингулярно возмущенные системы оптимального управления с запаздываниями. Подобные дискретные системы в общем случае с запаздыванием на один шаг могут быть описаны следующим образом. Пусть имеем = (х1, X2, X*, ..,., - вектор

фазового состояния, а = ....,) - управ-

ляющий вектор. Известна предыстория процесса, т.е. состояния

-1Ш0), а дальнейшее пове-

дение объекта определяется соотношениями.

)€МР на фазовые координаты. Для

решения данной задачи путем сведения ее к задаче без запаздывания введем дополнительную фазовую переменную .-К-Н ] .,-11+*

кото-

- (Л , Л I ■ II | Л

рую подчиним условиям:

0 = зО - Ц. ■ ОД,..

(3)

В таком случае 0 = Х{^—1} , а

уравнение (1) перепишется следующим образом:

3 = ПШ - 1),у» -

■ 1,2,...Л'

0 = Л(*С* - !}.*{« - 2),кСе)), г ш 12...

^ Ограничения

ООДхв - 1)Х£ -

(1)

Проблема состоит в том, чтобы определить управление

1),«00,..,иСЛГ),

которое, в свою очередь задает траекторию -1),*С<0........х№ , что

дает возможность максимизировать функционал.

принимает следующий вид:

ЗевИ*е-1Хуе-1}}

(5)

Таким образом, мы приходим к следующей постановке задачи. Дано

фазовых координат

■ ЇГ=іЯ°(*{* - 2),н(с»..х'.х'*1....зс

-211

и управ-

(2)

При этом могут быть наложены ограничения типа

:>£/*(*(£ - 1),я* - 2)) на

управление и ограничение типа

ляющих параметров

. и Итак, соотношения (3)-(5)

задают дискретный управляемый объект. Для данного объекта определена

начальная точка

не-

обходимо максимизировать функцио-

нал.

другому объекту, имеющему запаздывание на _ 1 шагов. Итак, введя дос-

1 ^'г =-_ ' 7 _ 1 ■' ■ ' 7 — 1 іі' 7 таточное число дополнительных фазо

(6)

Итак, задача с запаздыванием (на один шаг) сведена к задаче с закрепленным левым концом. Если же в правую

часть соотношения входит ' — 1) введем еще одну фазовую переменную.

= 1 ....^1Г) . Будем требо-

вать, чтобы она удовлетворяла условиям

) = ЧО- Учитывая сказанное, соотношения типа (1) можно переписать

следующим образом.

3 - ЛОй - лля

■ ' " ' 1 ■ 1 1 кретной- ■ сингулярно

(7)

Что вполне согласуется с записью дискретного управляемого объекта.

Если же мы имеем дискретные управляемые объекты с запаздыванием на

шагов (здесь “ натуральное число,

меньшее ). Такие объекты описываются соотношениями типа.

вых координат можно свести объект (8) к объекту без запаздывания. Учитывая, сказанное выше, далее, определим дискретные сингулярно возмущенные системы оптимального управления технологическими объектами с запаздыванием. Будем говорить, что дискретная система является сингулярно возмущенной системой оптимального управления с запаздыванием на один шаг (1), если соответствующая непрерывная система сводится к сингулярно возмущенной.

регуляризации дис-возмущенной системы необходимо, чтобы можно было регуляризовать непрерывную сингулярно возмущенную систему. Пусть дана дискретная сингулярно возмущенная система с запаздыванием на один шаг.

(9)

Нетрудно видеть, что (9) соответствует непрерывная сингулярно возму-

с запаздыванием сле-

(8)

t = lr2f..N

Причем заданы

, и налагаются ограничения на управляемые параметры и фазовые координаты. Подобные объекты введением дополнительной фазовой переменной

= ■ '" " .V " ' ) , подчиненной

условию (2), уменьшает на единицу. Это сводит рассматриваемый объект к

дующего вида:

- = 7* + уя і ■ 2к) + г?(г}

(Ю)

Система (10) известными методами может быть регуляризована.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Рутковский А.Л., Салихов З.Г., Алехин В.И. Методы построения асимптотической теории оптимального управления кинетическими

процессами в технологических объектах // Известия высших учебных заведений Цветная металлургия, №6, 2007. ШИЗ

— Коротко об авторах ---------------------------------------------------------------

Рутковский А.Л. - доктор технических наук, профессор,

Алехин В.И. - кандидат технических наук, старший научный сотрудник, докторант. кафедра теории и автоматизации металлургических процессов и печей, Северо-Кавказский горно-металлургический институт (Государственный технологический университет).

------------------------------------ © А.Л. Рутковский, В.И. Алехин,

2009

УДК 591.9

А.Л. Рутковский, В.И. Алехин

ДИСКРЕТНЫЕ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫЕ СИСТЕМЫ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИМИ ОБЪЕКТАМИ

ногие задачи оптимального управления технологическими объектами в горном, металлургическом и т.п. производствах описываются дискретным системами оптимального управления. Изучение подобных задач приводит к получению информации о теоретических и практических основах их создания.

Далее, в общем случае будем считать, что в каждый момент состояние технологического объекта определяется п фазовыми координатами

Л'" , , Л' ' . Это означает, что

, , Л' ' ) есть точка пространства . Итак в каждый момент 1

фазовое состояние ") будет иметь п координат

Последовательность

(1)

Состояний объекта в моменты

'• V1 1 _ , , .будем называть

тра-екторией движения объекта. )) -

начальное состояние. Поведение технологического объекта, однозначно определяется, если выбрано некоторое

управление 0.11(2 ..........г

с помощью соотношений

:} - й(*(* - 1)^00). I- 1,2.. .лг

(2)

где

(х,и)=

10: иъ /г-2 (х> и}.......

некоторая вектор-функция со значениями в пространстве Соотношения (2) представляют собой закон движения дискретного управляемого объек-