Дискретные сингулярно возмущенные системы оптимального управления технологическими объектами Текст научной статьи по специальности «Математика»

— Коротко об авторах ------------------------------------------------------------

Рутковский А.Л. - доктор технических наук, профессор,

Алехин В.И. - кандидат технических наук, старший научный сотрудник, докторант. кафедра теории и автоматизации металлургических процессов и печей, Северо-Кавказский горно-металлургический институт (Государственный технологический университет).

------------------------------------ © А.Л. Рутковский, В.И. Алехин,

2009

УДК 591.9

А.Л. Рутковский, В.И. Алехин

ДИСКРЕТНЫЕ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫЕ СИСТЕМЫ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИМИ ОБЪЕКТАМИ

ногие задачи оптимального управления технологическими объектами в горном, металлургическом и т.п. производствах описываются дискретным системами оптимального управления. Изучение подобных задач приводит к получению информации о теоретических и практических основах их создания.

Далее, в общем случае будем считать, что в каждый момент состояние технологического объекта определяется п фазовыми координатами

Л'" , , Л' ' . Это означает, что

, , Л' ' ) есть точка пространства . Итак в каждый момент 1

фазовое состояние ") будет иметь п координат

Последовательность

(1)

Состояний объекта в моменты

'• V1 1 _ , , .будем называть

тра-екторией движения объекта. )) -

начальное состояние. Поведение технологического объекта, однозначно определяется, если выбрано некоторое

управление 0.11(2 .........г

с помощью соотношений

:}-£(*{*-1)^00). е-1Д.-АГ

(2)

где

(х,и)=

10: иЪ /г-2(X и)...... (х, и)]

некоторая вектор-функция со значениями в пространстве Соотноше-

ния (2) представляют собой закон движения дискретного управляемого объек-

7 ті

та. Для всякой точки 1 и каждого

1 1 її Л задано в пространстве

гї

переменных '£■■£ , некоторое

множество - область управления, которая в момент 1 соответствует фазовому СОСТОЯНИЮ X и

- 1)}

Далее, введем критерий эффективности

с**- ]).«»))

Задача оптимального управления состоит в том, чтобы, зная начальное состояние }) определить такое допустимое управление для управляемого объекта, которое придает функционалу максимальное значение. Данную задачу будем называть основной (задача оптимального управления с закрепленным левым концом и свободным правым концом). Подобные задачи оптимального управления называются регулярными.

Наряду с дискретным управляемым объектом будем называть дискретный управляемый объект сингулярно возмущенным, если ему соответствует непрерывный сингулярно возмущенный управляемый объект. Напомним, что непрерывный управляемый объект называется сингулярно возмущенным, если при главных частях соответствующего дифференциального оператора присутствует малый параметр.

Рассмотрим дискретный управляемый объект следующего вида:

X) = = гуШ'

;1 = №(и}=еМт} .

Не трудно видеть, в таком случае дискретный управляемый объект.

;=у*+*

(4)

Т.к. малый параметр стоит при

старших производных дифференциального уравнения, следовательно (4) будет сингулярно возмущенным. Для регуляризации (4) применим метод Уизема. М®/ъ*) = :»№<т) + ед.ср,г;и- -■ ■+*} + ■■ (.5]

( в(в, к) = ъ„(Йг) + г) + -■ ■ + + — (6>

Подставим асимптотические разложения фазовых координат г) и управлений :) в сингулярно возмущенное уравнение (4) и приравняем нулю коэффициенты при

*= ОДЯ-

В результате получим рекуррентную цепочку регуляризованных, непрерывных систем оптимального управления следующего вида.

¿¡3 2 I

- = » + Ч

),

.ъ .

— = ^у. у. " +

IV 4с

¿в

.'!& — /о-(у0-Г %

£¿1 &

=АС

= -^ + ?ЯЛ+“

),

и т.д.

7 ■ = ї.ї' 7 — 1 7 — 1 іі' 7 Рекуррентная система регуляризо-

ванных систем оптимального управле-

(3) ния решается, в отличие от сингулярно малый параметр. Для выяснения возмущенной системы (4) и соответст-вопроса, какой непрерывный управляе- венно системы (3) известными методами мый объект будет соответствовать объ- теории оптимального управления. екту (3) применим замену переменных

1. Доброхотов С.Ю., Маслов В.П. Конечнозонные почти периодические решения в ВКБ -

приближениях. // Итоги Науки и Техники ВИНИТИ, Современные проблемы математики, т.15, 1980, с.3-93. ЕШ

— Коротко об авторах ------------------------------------------------------------

Рутковский А.Л. - доктор технических наук, профессор,

Алехин В. И. - кандидат технических наук, старший научный сотрудник, докторант. кафедра теории и автоматизации металлургических процессов и печей, Северо-Кавказский горно-металлургический институт (Государственный технологический университет).

*© А.Л. Рутковский, В.И. Алехин, 2009

УДК 591.9

А.Л. Рутковский, В.И. Алехин

СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫЕ СИСТЕМЫ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИМИ ОБЪЕКТАМИ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ

П

ростейшая система с запаздыванием представляется урав-

нением

- скаляр, определяющий величину управления в момент времени постоянные ? матрицы,

РЧ г ■ - постоянные 1 л

- - : :■ " :■ - .-■и ■ г:■ предел яющие динамические свойства

объекта, - вектор, отражающий

( ^ свойства входного устройства; >0

некоторое число (запаздывание).

^ Функция и вектор определяют

(2) начальные условия.

вектор, описывающий положение изу- Явление запаздывания в системе (1)

выражается в том, что на скорость изме-

чаемой системы в момент времени

нения положения системы оказывает