CC BY
10
--© В.И. Алехин, А.Л. Рутковский,
С.Ш. Дзантиев, Б.Д. Билаонов, А.В. Бигулов, 2012
УДК 669.041:536.2.001.537
В.И. Алехин, А.Л. Рутковский, С.Ш. Дзантиев, Б.Д. Билаонов, А.В. Бигулов
НЕРЕГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫЕ ПРОЦЕССЫ ПРИ ГОРЕНИИ ТОПЛИВА В ФАКЕЛЕ
Рассмотрен процесс возмущенного выгорания факела газообразного топлива при пульсации: давления, температуры фронта горения, выгорания топлива. Показано, что данный процесс имеет неравномерный характер пульсаций данных величин. Это доказывает, что процесс горения в данном случае имеет более общий характер, нежели при вибрационном горении.
Ключевые слова: газообразное топливо, сингулярно возмущенное горение, параметры: давление, температура фронта горения, выгорание топлива.
Развитие тепловой техники приводит к необходимости изучения все более общего процесса горения. До этого таким процессом считался вибрационный процесс горения [1]. Результаты исследований в данной статье показывают, что существует его обобщение, а именно процесс сингулярно возмущенного горения. Если вибрационный процесс горения характеризуется наличием четкой периодичности пульсаций параметров, то при сингулярно возмущенном горении уже присутствуют их неравномерные пульсации.
Настоящая работа посвящена исследованию процесса выгорания факела газообразного топлива в сингулярно возмущенном диапазоне изменения параметров, это позволит обоснованно проводить тепловые расчеты современной тепловой техники.
Постановка задачи.
В случае, когда при горении пульсации давления, температуры могут происходить неравномерно, тогда такой вид горения будем называть сингулярно возмущенным горением. Данный вид горения в настоящее
время практически не изучен. Рассмотрим в качестве иллюстрации, каким образом происходят пульсации давления при вибрационном горении. Для этого обратимся к дифференциальному уравнению, которому подчиняется изменение давления в данном случае. В работе, показано, что это уравнение имеет вид:
Р к (к - Б))5р •
+
dt2 ' v" ' dt (ю0 - KS)5p = 0,
(1)
_ „ Ба 2 Р аР
Здесь Б =-, юп =--.
V 0 IV р
Данное уравнение описывает пульсации давления, происходящие при горении в так называемом резонаторе Гельмгольца. , стр.343. Решение данного уравнения, как известно, имеет следующий вид:
5р = С1е^ + С2е^ . (2)
Здесь А,1, Х2 — корни характеристического уравнения
Я2
(K - S)Я + (ш0 - KS) = 0
(3)
Исследуем свойства решения в зависимости от коэффициентов К,Б, ю0 Если дискриминант
( Б - К °
■ (со0 - KS) < 0, тогда кор-
ни Х2 — будут комплексными числами. Решение однородного уравнения (1) будет иметь следующую форму:
bp = C1e(v+ÍM)Í + C2 e(v - ÍM)Í
(4)
где
S - K
v = ■
2
с =
2
S + K
Ñ
комплексные S + K
2
< с
0 •
-8
„-bp + i8 (K - S)—bp dt2 1 K 'dt 1
(0 - ks )bp = o.
(7)
гда мы получим, что это уравнение имеет быстроосциллирующие коротковолновые решения, которые описывает сингулярно возмущенное горение.
Рассмотрим случай, когда в уравнении (7) имеется регулярное возмущение:
—2- Ьр +1 е( К - Б) — Ьр + dt2 —Ь:
+(ш2 - KS)bp = 0
(9)
Ñ2 -
коэффициенты. Учитывая, что
Не трудно видеть, что уравнение (9) может иметь решение либо, либо просто const . Таким образом уравнение (9) не имеет сингулярно возмущенного решения.
Пусть теперь уравнение (7) имеет дополнительно источники давления, а R(t)- их плотность.
-в2 —2- bp + is (K - S)—bp + dt2 v ' ^
eiy = cos( y) + i sin( y) получим.
bp = c1evt cos at + c2evt sin at, (5)
или для (1) bp = cevt cos(at + ф) + c (6)
Таким образом, вибрационное горение непосредственно аналитически определяется, учитывая формулу (6).
Рассмотрим, каким образом получается сингулярно возмущенное горение. Для этого в уравнение (1) внесем сингулярное возмущение is [2]. Тогда уравнение (1) примет следующий вид:
2 dz „ . „ч d
dt
+ (С0 - KS)bp = R(t).
(10)
Таким образом, мы получаем сингулярно возмущенное дифференциальное уравнение второго порядка которое описывает неравномерные пульсации давления. Данное уравнение описывает суть явления сингулярно возмущенного горения. Определим решение уравнения (10), применяя метод Фурье.
-в2 ^ Ьр +1 е(К - Б) 1 Ьр +
+(с0 - KS)bp = R(П),
(11)
Не трудно видеть, что решение данного уравнения имеет вид: (е^0)
Ьр = С1е~ + С2е~, (8)
Таким образом, если в уравнение внести сингулярное возмущение 1е, то-
[-rf + (K + S)n + (с0 - KS)~\bp = R, (12) R
bp(n) =
[-П2 + (K - S)n + (ш2 - KS)]'
(13)
bp = I 1 í expI — Í8
1
R (n)
[-n2 + (к - S)n + («2 - KS)]
d n. (14)
Быстро осциллирующий интеграл Фурье (14) в общем виде представляет сингулярно возмущенное решение уравнения (10). Данное решение опи-сывет сингулярно возмущенное горение (горение с неравномерными пульсациями давления). В отличие от них пульсации давления при вибрационном горении длинноволновые.
Положим в сингулярно возмущенном уравнении (10) (К - 5) = а, Ю - КБ = Ь и перепишем данное уравнение.
в2 5p + sa —5p + b5p = R(t), (15) dt2 dt
Неравномерные пульсации давления описываются быстро осциллирующими (асимптотическими при (в^0) решениями уравнения (15).
Для определения данных решений применим асимптотический метод, известный еще со времен Грина и Диувилля (1837 г.) и который тогда применялся в асимптотической теории обыкновенных дифференциальных уравнений.
Согласно этому методу локальное асимптотическое решение уравнения (15) определяется в следующем виде:
5р (/", в) = v0 +г2v2 +... +
т
+e f (u0 + su +s2u2 +...)
(16)
(16), т.е. асимптотическое быстро осциллирующее решение.
в0: bv0 = R(t), v0 = м
,
'1 1 ^v2 2
V0 a = R
b a b2'
V1 R 2
a = — a
1 = b b3
. и.т.д.
2
a +
= 0
R R 2 R
-+ в —7T + s2 —17
b b2 b3
s1: u1 [(S)2 + aS+bJ + 2u0S + aU0 +u0S = 0,
s2: u2 [(S)2 + aS + bJ + 2u/1S+auu1
(18)
(19)
+uxS + u2 = 0,
и.т.д
Отсюда получим:
s0 : (S)2 + aS + b = 0
s1:
s2:
(20)
и.т.д.
Jo / л uJ
где в^0.
Подставим (16) в уравнение (15) и приравняем нулю коэффициенты при
степенях £ , 1=1,2,...и т.д. в результате получим рекуррентную цепочку дифференциальных уравнений, из, которой можно определить коэффициенты асимптотического разложения
Учитывая, что S = [-S^ + (-a/2 ± (a2/4 - b)т х х(1/2)(t -tj), (21)
Так как S — величина постоянная, из второго уравнения получим, что u0 = u0 — постоянная. Аналогичным образом из третьего уравнения найдем u1 = u1 — const и.т.д.
Таким образом, u = (((-S+ (-a/2 ±(aT2/4 -b)r х
x(1/2)(t - tj))/ s) х
ХКо +еиИ + ^ 2и12
), (22) Ьр = V + и . (23)
Учитывая (18), (22) получим аналитическое выражение (23), которое определяет величину пульсаций давления.
Рассмотрим пульсации температуры и выгорания топлива при сингулярно возмущенном горении.
Пусть имеем уравнение описывающее температуру фронта горения пламени , стр.167.
X —2Т —Т „ V --Г-Уои«^ — + гТ + ^ = °, (24)
ср—х2
—X
(25)
2 ,- а--+ сТ + — = 0
—X —X
(26)
е2—2Т е—Т
а
сТ + — = 0.
(27)
Учитывая данный метод локальное асимптотическое решение уравнения (27) при е^0 имеет следующий вид: Т( X, е) = 90 + е91 + е292 +... +
5
+ее (Я0 +е^1 + е2 ^ +...), (28)
где е^0.
Подставляя (28) в уравнение (27), приравняем коэффициенты при степенях ек, к = 0, 1, 2,... получим цепочку дифференциальных уравнений, которая определяет коэффициенты асимптотического решения (28) [6]:
е0 : с90 =-— 90 =-— с
где X — коэффициент теплопроводности, Ср — теплоемкость при постоянном давлении, V — количество горючей смеси, некоторые постоянные. Перепишем данное уравнение следующим образом [5]
—2Т 10инормСр —Т + гсТ + —х2 X —х X
+VI=0
X
Положим , d =, тогда уравнение примет следующий вид:
—2Т —Т
е1 : а90 + с91 = 0 91 = а90 (29)
& .1
с2
.и т.д.
л — а •, 2 а ••
9 =--+ — -е2^т —
2 - - 3 - ..... (30)
с с2 с
е0 : д0 [(5)2 + а5 + с] = 0, е1 : [(5)2 + а5 + с ] + 25д0 + +а% + 5Я0 = 0,
е2 : д2 [(5)2 + а5 + с ] + 25ц1 +ацх + щх + 30 = 0,
(31)
.и т.д.
Далее, введем в данное уравнение сингулярное возмущение е. В результате получим сингулярно возмущенное уравнение.
е0 : (5)2 + а5 + с = 0,
е1 : 25д0 + 2ац0 + 5д0 = 0
е2 : 2щх + адг + 5дг + д0 = 0
(32)
—х2 —х
Так же, как мы делали в случае определения пульсаций давления, для определения пульсаций температуры фронта горения пламени применим упомянутый выше асимптотический метод.
.......................... и т.д.
Решая последовательно систему (32) найдем 5, д0, д1,.и.т.д.
а 2
- с
(х - х0 ),
(33)
Учитывая, что из второго уравнения q0(2s + a) = 0 отсюда получаем ,
что q0 = q0 _ const...и т.д. Таким образом
к-so+i кx-хо
q = e
х( д0 + в^ + в2д2
Принимая во внимание (29) и (34) получим асимптотическое разложение, которое определяет величину пульсаций температуры.
87=9+9. (35)
Выше мы определили локальное асимптотическое решение уравнения (27). Было показано, что данное решение имеет вид быстро осциллирующей экспоненты, в случае, если в
рассматриваемой области ^ ^ 0. Вообще говоря, можно показать, что существует глобальное решение, которое определяется при помощи канонического оператора, В.П.Маслов, М.В. Федорюк, стр.19, и является более общим решением. Далее, рассмотрим пульсации выгорания топлива при сингулярно возмущенном горении. В работе, стр.136 дано дифференциальное уравнение выгорания топлива в одномерном факеле.
(34)
dW dx
p [(A _ 1)W_ + W' W
" 1 A' W нач
_ L0T2 P_
(36)
Перепишем это уравнение в следующем виде:
dW
dx
[Q + WR]W = -Q_W _ ' M M
-PW2 = mW + nW2. M
M =
1 A
LT2 + P
, Q = p [(A _ 1)],
Q P
m =--, n = ——.
M M
Введем сингулярное возмущение в данное уравнение.
dW
dx
= mW + nW2.
(38)
Для определения асимптотического решения данного уравнения (38) применим метод Уизема. (Данный метод был использован Уиземом в случае определения асимптотических решений обыкновенных дифференциальных уравнений (4)
Ш (т, х, в) = Wo( т, х) + т, х )в + +^2(т, х )в2 +... + (т, х )в к, (39)
в —^ 0, т = 5(х) / в . Подставляя (39) в нелинейное сингулярно возмущенное уравнение (38) и приравнивая коэффициенты при вк нулю к = 0, 1, 2,...и т.д. в результате получим:
в0 : Ш0т5 - тШ0 - пШ02 = 0,
в0 : Ш1т5 - шШг - 2пШ1 Ш0 = 0,
0 - Ш2т5-шШ2 -п(2Ш0 + Ш12)-
в
_ xWix = 0,
(40)
................................и.т.д.
Пусть 5 величина постоянная тогда рассмотрим первое уравнение системы (40).
72 п (41)
W0ts _ mW0 _ nW02 = 0,
_ m .-> n Г7 T...
Положим — = M, — = N . И из
(41) получим:
w0ts _ mw0 _ NW02 = 0,
п М
где П = -=-. N
= N1 т
(43)
Проинтегрируем (43)
1п
_ 1
= N (Т-Т0) =
= N 5 50
(44)
^ -П = ехр[п^ - 50
(П + ^0 )
^0
^0( X, т) =■
п ехр п^5 50 s
п 1 п - — ехр п п^ s 50"
(45)
(46)
Второе уравнение системы (40) будет линейным и имеет вид:
И/1т-[- + 2^^ = 0; ^ =
— + 2Iст;
(47)
1п = ^
- + 2I(Т-Т0),
5 5
W1( х, т) = W1 ехр
(М + 2NW0)
.. .и.т.д. (48)
Таким образом, мы получаем, что пульсации выгорания топлива будут определяться из следующего выражения:
W( х, т) = W0 +sW1 + в2(0) + .... (49)
Обсуждение:
Таким образом, выше нами были определены решения сингулярных уравнений, описывающие пульсации давления, температуры, выгорания топлива. Результаты исследования решений показывают, что они описывают, коротковолновые, быстро осциллирующие колебания, которые обобщают колебания пульсаций возникающие при вибрационном горении. Оказывается при сингулярно возмущенном горении, вследствие его коротковолнового характера и быстрых осцилляций возникают лучшие условия для перемешивания и подготовки горючей смеси. Поэтому она получается более энергоемкой.
Если же рассматривать регулярно возмущенные уравнения, описывающие пульсации давления, температуры, выгорание топлива, то у них получаются решения с точностью до о^) совпадающие с решениями исходных уравнений, описывающих пульсации параметров горения.
Заключение
Рассуждения, приведенные выше, показывают, что существует обобщение вибрационного горения. Данное горение в дальнейшем мы будем называть сингулярно возмущенным горением. Такие процессы необходимо учитывать, например, при бесконтактном измерении температуры факела для оптимизации горения топлива.
Список условных обозначений р — среднее значение плотности газа, некоторый коэффициент, со — адиабата Пуассона; Р — давление, X — коэффициент теплопроводности, ср — теплоемкость при постоянном давлении, t - температура (шкала К);
А коэффициент избытка дутья; s — малый параметр; 8р — изменение возмущения давления; объемная доля кислорода в дутье; 81 — изменение
Б
возмущения температуры; скорость горения; р — коэффициент характеризующий линейную скорость выгорания топлива; д — теплота сгорания исходной горючей смеси, р — плотность; 1 — длина горловины резонатора Гельмгольца; F — площадь ее поперечного сечения, \ — доля
невыгоревшего газообразного топлива; П0 — теоретически необходимый обьем кислорода на 1 м3 газообразного топлива.
Индексы: нач — начальный, расх — израсходованный, тек — текущий, т — теоретический.
1. Кнорре Г.Ф., Арефьев K.M., Блох А.Г., Нахапетян Е.А., Палеев И.И., Штейн-берг В.Б. Теория топочных процессов, М., «Энергия», 1966г.
2. Маслов В.П., Федорюк М.В. Квазиклассическое приближение для уравнений квантовой механики, М., «Наука», 1976 г.
3. Рутковский А.Л., Мешков Е.И., Да-видсон А.М., Зурабов А.Т., Ковалева М.А. Исследование процесса факельного сжигания газообразного топлива, Инженерно-физический журнал, Национальная Академия Беларуси, Институт тепло массообмена им.А.В.Ёыкова т.82,№1, 2009г.
- СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
4. Уизем Дж.Б. Линейные и нелинейные волны. Перев. с англ., Мир,1977г.
5. Алехин В.И., Рутковский А.П. Математическое моделирование сингулярно возмущенного горения. Горный информационно-аналитический бюллетень (научно-технический журнал). — № 7. — 2011. — С. 343—345.
6. Алехин В.И., Рутковский А.Л. Математическое моделирование сингулярно возмущенного выгорания топлива. Горный информационно-аналитический бюллетень (научно-технический журнал), № 7, 2011, с. 345-347. ЕШ
КОРОТКО ОБ АВТОРАХ -
Алехин В.И. — кандидат технических наук, старший научный сотрудник, докторант кафедры «Теория и автоматизация металлургических процессов и печей», Рутковский А.П. — доктор технических наук, профессор, e-mail: rutkowski@mail.ru, Северо-Кавказский горно-металлургический институт государственный технологический университет,
Дзантиев С.Ш. — кандидат экономических наук, консультант, e-mail: Vratar1870@mail.ru, Билаонов Б.Д. — консультант, e-mail: Bilaonov@yandex.ru, Бигулов А.В. — генеральный директор, e-mail: Bigulov58@ mail.ru,
ООО Научно инновационное предприятие Северо-Кавказского горно-металлургического института «Стройкомплект инноваций».
