Математическое моделирование сингулярно возмущенного выгорания топлива Текст научной статьи по специальности «Математика»

--------------------------------------------- © В.И. Алехин, А.Л. Рутковский,

2011

УДК 669.041: 536.2.001.537

В.И. Алехин, А.Л. Рутковский

МА ТЕМА ТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННОГО ВЫГОРАНИЯ ТОПЛИВА

Рассмотрены пульсации выгорания газообразного топлива при сингулярно возмущенном горении.

Ключевые слова: дифференциальное уравнение выгорания топлива, сингулярное возмущение, метод Уизема, осцилляции.

Далее рассмотрим пульсации выгорания газообразного топлива при сингулярно возмущенном горении.

В работе [1], стр. 136 дано дифференциальное уравнение выгорания топлива в одномерном факеле.

^ = _Р[(А _Щнт + W йх

1 А

—г-+-

4 Р

(1)

Перепишем это уравнение в следующем виде: dW [Q + WR]W О Р 2 2

------^-------*— = -*-W----------------------------------------W2 = mW + nW , (2)

йх М М М

1 А

М =

Т +-

4 Р

Q = Р Г А _ 1І, т = _ О-, п = _— 1 ^ М М

Введем сингулярное возмущение в данное уравнение.

є — = mW + nW2 (3)

йх

Для определения асимптотического решения данного уравнения (3) применим метод Уизема [2]. Данный метод был использован Уиземом в случае определения асимптотических решений обыкновенных дифференциальных уравнений. [ 2]

W (т, х,є) = W0(г, х) + ^(т, х)є + Ж,(г, х)є2 +.+ (т, х)єк (4)

є ^ 0,т = 5(х)/є Подставляя (4) в нелинейное сингулярно возмущенное уравнение

(3) и приравнивая коэффициенты при єк нулю к = 0,1,2,.... и т.д. в результате получим:

є0: W0гs'_ mW0 _ nW02 = 0,

e1: WlTs' - mW1 - 2nWxW0 = 0,

(5)

— m — n Положим M = —, N = — . И из (6) получим: s ' s '

W0zs' -Mw0 - Nw02 = 0,

dWn

W,(Q + W0)

£2: Ж2^' - тЖ, - n(2W2W0 + ^2) - пЖ1х = 0,

Пусть s'' величина постоянная, тогда рассмотрим первое уравнение системы (5)

Ж0т.9' -тЖ0 -пЖ02 = 0, (6)

— п

N = — . И из (6) получим: s '

(7)

(8)

(9)

(10)

(11) (12)

Проинтегрируем (7) в результате получим:

W Q+ W - - -v - s

tn(-W-------1)Q = N (т -т0) = N----0-,

W

(Q + W)

W0(T x) = 1=

Q = exp(QN

-S - SJL). Q=Q + W0

Wn

exp Q [oNs -s0 1 e

Q, Q 1 -=- exp Q |qns - s01 e

Второе уравнение системы (5) будет линейным и имеет вид:

dW m n

Wus' - mWx - 2nWW = 0 , —1 = (- + 2-W0)dT ,

W1 s s

W m n __ _ __ s — s

ln^ = (— + 2— W0(t-т0) , W1(t,x) = W1exp (M + 2NW0)-----------.и т.д.

W s' s' e

(13)

Таким образом, мы получаем, что пульсации выгорания топлива будут определяться из следующего выражения:

Ж (г, х) = Ж0 + ж,£ + Ж3е2 + .£3(0)..... (14)

Обсуждение:

Выше нами были определены решения сингулярных уравнений, описывающих температуру, а также выгорание топлива. Результаты исследования решений показывают, что они описывают коротковолновые, быстро осциллирующие колебания, которые обобщают колебания пульсаций возникающие при вибрационном горении.

Оказывается при сингулярно возмущенном горении, вследствие его коротковолнового характера и быстрых осцилляций возникают лучшие условия для перемешивания и подготовки горючей смеси. Поэтому она получается более энергоемкой.

Если же рассматривать регулярно возмущенные уравнения, описывающие пульсации давления, температуры, выгорания топлива, тогда у них получаются решения с точностью до о(е) совпадающие с решениями исходных уравнений, описывающих пульсации параметров горения.

Заключение: Рассуждения, приведенные выше, показывают, что существует обобщение вибрационного горения. Данное горение в дальнейшем мы будем назы-

вать сингулярно возмущенным горением.

1. А.Л. Рутковский, Е.И. Мешков, А.М. Давидсон, А.Т. Зурабов, М.А. Ковалева, Исследование процесса факельного сжигания газообразного топлива, Инженернофизический журнал, Национальная Академия

--------------- СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Беларуси, Институт тепло массообмена им. А.В. Лыкова т.82, 1, 2009.

2. Дж.Б. Уизем Линейные нелинейные волны. Перев., с англ., Мир, 1977 г.

КОРОТКО ОБ АВТОРАХ ------------------------------------------------------------------------

Алехин В.И. - кандидат технических наук, старший научный сотрудник, докторант. кафедра теории и автоматизации металлургических процессов и печей, Северо-Кавказский горнометаллургический институт (Г осударственный технологический университет).

Рутковский А.Л. - доктор технических наук, профессор кафедры теории и автоматизации металлургических процессов и печей, [email protected]

Северо-Кавказский горно-металлургический институт (государственный технологический университет).