Математическое моделирование сингулярно возмущенного горения Текст научной статьи по специальности «Математика»

2011

УДК 669.041: 536.2.001.537

В.И. Алехин, А.Л. Рутковский

МА ТЕМА ТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННОГО ГОРЕНИЯ

Рассмотрен процесс сингулярно возмущенного выгорания факела газообразного топлива. Показано, что данный процесс имеет неравномерный характер пульсаций данных величин. Это доказывает, что процесс горения в данном случае имеет более общий характер, нежели при вибрационном горении.

Ключевые слова: теплопроводность, сингулярно возмущенное горение, асимптотический метод, величина пульсаций температуры.

~П ведение. Развитие тепловой техники приводит к необходимости изучения все более общего процесса горения. До этого таким процессом считался вибрационный процесс горения. Результаты исследований в данной статье показывают, что существует его обобщение, а именно процесс сингулярно возмущенного горения. Если вибрационный процесс горения характеризуется наличием четкой периодичности пульсаций параметров, тогда при сингулярно возмущенном горении уже присутствуют их неравномерные пульсации.

Настоящая работа посвящена исследованию процесса выгорания факела газообразного топлива в сингулярно возмущенном диапазоне изменения параметров, это позволит обоснованно проводить тепловые расчеты современной тепловой техники.

Постановка задачи. В случае, когда при горении пульсации температуры могут происходить неравномерно, тогда такой вид горения, будем называть сингулярно возмущенным горением. Данный вид горения в настоящее время практически не изучен. Рассмотрим пульсации температуры при сингулярно возмущенном горении.

Пусть имеем уравнение описывающее температуру фронта горения пламени [1], стр.167.

Я d Т <Т ^

------ у„ и----------ъ гТ + V— = 0, (1)

с ск норм <х С

^ з ИЛ- ил ^ р

где Я — коэффициент теплопроводности, сз - теплоемкость при постоянном давлении, V — количество горючей смеси, у0 — удельный вес, инорм, г — некоторые постоянные. Перепишем данное уравнение следующим образом.

< Т сз <Т

~Г~2 Г 7оинорм—Т + гТ~Г + VT = ^ (2)

<х Я <х Я Я

сз сз А q

ЯЯ Уоинорм, с =г яя , а = V -Я

<2Т <Т

Положим а =—~з у0инорм, с = г, d = К—, тогда уравнение примет следующий вид:

- + а------+ сТ + d = 0, (3)

dx2 dx

Далее, введем в данное уравнение сингулярное возмущение є . В результате получим сингулярно возмущенное уравнение.

є2 ^ + єа — + сТ + d = 0. (4)

dx dx

Для определения пульсаций температуры фронта горения пламени применим асимптотический метод [2]. Учитывая данный метод локальное асимптотическое решение уравнения (2) при є ^ 0 будет иметь следующий вид:

Т(х,є) = в0 + єв1 + є2в2 +.... + еє ^0 + єq1 + є2q2 +.), (5)

где £ ^ 0

Подставляя (5) в уравнение (4), приравняем коэффициенты при степенях £, к = 0,1,2,.... получим

цепочку дифференциальных уравнений, которая определяет коэффициенты асимптотического решения (5):

Учитывая, что из второго уравнения q'0 (2s ' + a) = 0, отсюда получаем, что q0 = q0 - const и т.д. Таким образом

Таким образом, получаем асимптотическое разложение, которое определяет величину пульсаций температуры.

1. Кнорре Г.Ф., Арефьев КМ, Блох А.Г., Нахале- 2. Уизем Дж.Б. Линейные нелинейные волны.

тян ЕЛ, Пстеее II.IL, Штатберг В.Б., Тео-рия то- Перев. с англ., Мир, 1977. шгЛ

почных процессов, М., «Энергия», 1966.

КОРОТКО ОБ АВТОРАХ -------------------------------------------------------------------------

Алехин В.И. - кандидат технических наук, старший научный сотрудник, докторант. кафедра теории и автоматизации металлургических процессов и печей, Северо-Кавказский горно-металлургический институт (Г осударственный технологический университет).

Рутковский А.Л. - доктор технических наук, профессор кафедры теории и автоматизации металлургических процессов и печей, Rutkowski@mail.ru

Северо-Кавказский горно-металлургический институт (государственный технологический университет).

s0 : св0 = —d,в0 = — d, с

s1 : ав'0 + в = 0,в1 = ав'0 -у, с

s2 : ав[ + св2 = 0,в2 = а2в"

с

(б)

(7)

с с с

с

s0 : q0 [(s')2 + as' + с] = 0

(8)

2 Г/ '\2 . f , ~\ . л f f . f , ff . ff r\

s : q2 I (s ) + as + с I + 2s qi + aqi + s qi + q0= 0,

s° : [(s ')2 + as' + с| =0

і

s : 2s qo + aqo + s qo = 0,

2

s : 2s qi + aqi + s qi + q0 = 0

(9)

Решая последовательно систему (9) найдем S, q0, q1,

(10)

(ii)

sr = в + q

(i2)

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ