CC BY
4Талбаков Фарход Махмадшоевич - магистр 2-ого курса кафедры математического анализа Таджикского государственного педагогического университета имени Садриддина Айни, тел.:(992) 918- 44- 90- 66.
Information about authors: Choriev Umedullo - Ph. D. in physics and mathematics, docent of Chair of Algebra and Theory of Numbers, Tajik State Pedagogical University named after Sadriddin Aini, phone: (992)98-581- 03- 14.
Norov Qurbon - Ph. D. in physics and mathematics, docent of Chair of Geometry, Tajik State Pedagogical University named after Sadriddin Aini, phone: (992) 918 -96- 54- 33.
Таlbakov Farhod Mahmadshoevich- MA of the 2nd year of Chair of Mathematics Analysis, Tajik State Pedagogical University named after Sadriddin Aini, phone: (992) 91844- 90 -66.
СИНГУЛЯРНАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА СОПРЯЖЕНИЯ С НЕПРЕРЫВНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
Усманов Н., Холикова М.Б.
Московский энергетический институт в г. Душанбе Таджикский государственный педагогический университет имени Садриддина Айни)
Краевая задача Римана с непрерывным коэффициентом изучена в [1], а её сингулярные случаи, то есть случай, когда коэффициенты имеют нули и полюсы аналитического характера изучена в [2].
Мы проведем исследования этой задачи в случае, когда коэффициенты имеют нули или полюсы сопряжено аналитического характера.
Пусть Г - контур, состоящий из m + 1 простых замкнутых контуров типа
Ляпунова Г, Г ' Г , ограничивает конечную область D + . Через D обозначим
дополнение D+ + Г до полной плоскости. D состоит из конечных частей D, k = 1,2,..., m и бесконечной D0 . Класс функций, суммируемых со степенью p на
контуре Г будем как обычно обозначать Z (Г). Сформулируем задачу следующим образом:
Найти две функции: Ф + (z) - аналитический в области D+ и Ф (z) -
аналитический в области D , включая z = ю, удовлетворяющие на контуре Г линейному соотношению
+ (t ~а)" _
Ф + (t) = (-, Gi(t)Ф (t) + g(t), (1)
(t_ ß)v
где а, ß - некоторые точки контура, ju,v - целые положительные числа; g (t) е Lp (Г); G (t) - непрерывная функция и нигде не обращается в нуль. Индекс
m ^
задачи, как принято, назовем целое число ж = ^ ж k , где ж =-[arg G (t )]L .
k = о
Поскольку
, , -2i^e J
(t - а) = (t - a) e
(t- ß )v = (t- ß )v e~ 2 ive 2, где e = arg( t - a ), e2 = arg( t - ß), то краевое условие (1) перепишется в следующем виде:
J3
Ф + (*) = ^^ * 2'(в2""1}С 1 (*)Ф" (*) + Е (*) ■ (2)
(* -РУ
Потребуем, чтобы функция е (*) в точке а была дифференцируема л - 1 раз. Построим Q (г) так, чтобы он удовлетворял следующим условиям:
о(1)(а) = Е(1) (а), 1 = 0,1,..., т,
(1) / \
где е (а) - значения производных 1 - го порядка.
Краевое условие (2) выражается через интерполяционный многочлен следующим образом:
ф + (*) - о (*) = ^^ * 21 (в2 1) с 1( *) Ф" (*) + Е (*) - о (*) ■ (3)
(* -РУ
Запишем краевое условие (3) в виде
ф + (*) - о(*) = ^^*21 (в2 1)с 1(*)ф" (*) + (* - а)л Е(*)
(* -Р у
или
ф + (*) - о(г) *21 (в21)
(* -а)л (* -Р)
С 1( *) Ф-(*) + е 1( *)
или
21 (в 2-лв 1)
ф + (*) =-— С1 (*) Ф - (*) + Е1 (*), (4)
(* -Р У
где Ф + (*) =
Ф + (*) - о (*)
(*-а)л
Положим Ф (г) = (г - Р)У • г УФ1 (г), тогда краевое условие (4) принимает вид
Ф + (*) = * 21 (в 2-лв 1) * - С 1( *) Ф-(*) + е 1( *)
или
Ф + (*) = С 2 (*) Ф-(*) + е 1( *),
где С2 (*) = *21 (в2 1)*~У С (*) ■ Далее рассуждение проводится по схеме [1].
Известно, что каждую суммируемую функцию можно представить в виде
Ф 1(*) = Ф + (*)-Ф - (*), (5)
где Ф]~ (*) почти всюду являются непрерывными угловыми значениями функций Ф^ (г), аналитических в Б ± . Представление (5) единственно, если предположить Ф^ (*) е Ьр (Г), р > 0 и Ф- (да) = 0 ■
Функции Ф ^ (*) даются формулами Сохоцкого
ф 1 =
ФГ =
1 1 .Ф ,(т)
-ф (t) +-f 1 dт,
2 2ni Jr т г t
1 1 Ф (т )
(t) +-f 1 d т.
2 2riJ т г t
1 (т )
Сингулярный оператор — I-d т в норме пространства L (Г), (p > 1) есть
ni т г t p
оператор ограниченный, то есть
1
v
ni т Г t
I p f ds ! < M
)
/|Ф 1(t)Р
ds
Vr
где M - постоянная, не зависящая от Ф (t) .
Отсюда следует, что
ф г
1 и I < 1ф .1
M
+
ф 1
M + 1
p
ф 1
где ф 1
= M „
lLp p
|ф 1(t)
ds
Vr
Сказанное позволяет сформулировать задачу сопряжения следующим образом: Найти функцию ф (t) , принадлежащую классу L (Г) и удовлетворяющую краевому
условию (1), где ф ^ (t) и ф х (t) означают операторы, заданные равенствами (6). Итак, нами доказана следующая теорема.
Теорема. Пусть Г - контур, состоящий из m + 1 простых замкнутых контуров Ляпунова Г0, Г,..., Г , ограничивает конечную область D + . Через D обозначим
дополнение D+ + Г до полной плоскости. D состоит из конечных частей D, k = 1,2,..., m и бесконечной D0; Gl (t) ^ 0 - непрерывная функция,
gx (t) е Lp (Г) и в точках а дифференцируема л г 1 раз; ж = IndG 2 (t). Тогда
а) в случае ж - v = 0 краевая задача сопряжения, безусловно, разрешима и имеет единственное решение;
б) в случае ж - v > 0 задача также, безусловно, разрешима и имеет ж - v линейно независимых составляющих общего решения;
в) в случае ж - v < 0 задача разрешима лишь при выполнении |ж г p| условий разрешимости.
Литература:
1. Рогожин В.С. Новое интегральное представление кусочно-аналитической функции и её приложение. ДАН СССР 135, №4, 1960, 791-793.
2. Холикова М.Б. Краевая задача сопряжения с непрерывными коэффициентами в сингулярном случае. Вестник педагогического университета №1(33) 2009 г.
)
L
L
L
L
2
2
p
p
p
p
СИНГУЛЯРНАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА СОПРЯЖЕНИЯ С НЕПРЕРЫВНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
Усманов Н., Холикова М.Б.
В статье доказана теорема, в которой показано число решение однородной задачи. Также показано влияние нулей и полюсов коэффициента на решение задачи.
Ключевые слова: аналитический, сингулярный, теорема, нули и полюсы.
SINGULAR BOUNDARY AS PROBLEM OF CONJUGATION WITH CONTINOUS COEFFICIENT
Usmanov N., Kholikova M.B.
The theorem is proved in the article which the number of decision of homogeneous problem is shown there as well. The influence of zero and poles of coefficient on the decision of problems is shown in the article as well.
Key words: Analytical, singular, theorem, zero and poles.
Сведения об авторах: Усманов Нурулло - доктор физико-математических наук, профессор кафедры высшей математики Московского энергетического института в г. Душанбе, тел. (+992)98-105-18-14, e-mail:Usmanov@mail.ru;
Холикова Мастона Бобоназаровна - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математического анализа Таджикского государственного педагогического университета имени Садриддина Айни, тел.(992)95-162-54-44, e-mail: MastonaKholikova@mail.ru;
Information about authors: Usmanov Nurullo - the doctor of physics and mathematics sciences, professor of High Mathematics Chair of Moscow Energetic Institute in Dushanbe City, phone: (992)98-105-18-14, Usmanov@mail.ru; ..
Kholikova Mastona Bobonazarovna - PhD in physics and mathematics sciences, docent of Mathematics Analysis Chair of Tajik State Pedagogical University named after Sadriddin Aini, phone:(992)95-162-54-44, MastonaKholikova@mail.ru.
ПРОБЛЕМА ИНФОРМАТИЗАЦИИ ВЫСШЕЙ ШКОЛЫ
Миралиев А. М., Шарипов Ф. Ф.
Таджикский национальный университет Российско-Таджикский (славянский)университет
Переживаемая в последние десятилетия технологическая и информационная революция самым непосредственным образом повлияла на мировой образовательный процесс. Развитие компьютерной техники, мировых коммуникационных сетей и совершенствование аудиовизуальных средств позволили образовательному процессу выйти на глобальный уровень. В настоящее время идет интенсивное взаимодействие стран мирового сообщества в сфере высшего профессионального образования (Болонский процесс), направленное на повышение качества выпускников вузов. Большое влияние на этот процесс оказывает информатизация сферы образования. За последнее десятилетие в Республике Таджикистан принят ряд правительственных документов, направленных на развитие образования и его информатизации [2].
Качество подготовки современного выпускника вуза в первую очередь определяется качеством образования, о котором, в свою очередь, нельзя говорить в наше время без опоры на информационно-коммуникационные технологии обучения (ИКТ) и их основной инструмент - компьютер.
