CC BY
5THE METHOD OF TEACHING SUMS ON THE TOPIC OF «MOVEMENT» IN TEACHING OF MATHEMATICS IN PRIMARY CLASSES
Burhanov K.T.
The main part of a course of mathematics in primary classes are arithmetic operations, algebraic materials, geometric materials, tasks, etc. Sum takes the main place in mathematics teaching in primary schools. While doing a sym, the students from the skills of generalizations, discussion and concussions. Generally, in mathematics teaching in primary schools, there are two types of sums: simple and complex.
Sum is an essential tool the development of mathematics outlook of the junior pupils of primary schools. One of the main methods of teaching mathematics is to solve the practical teaching methods.
Key words: arithmetic operations, algebraic materials, geometric materials, sums
Сведения об авторе: Бурханов Курбонбой Турсунраджбович - кандидат педагогических наук, доцент кафедры методики обучения начальных классов Худжандского государственного университета им. академика Б.Гафурова, Тел: (+992) 918 -90-92-71
Information about the author: Burhanov Kurbonboy Tursunrajabovich - PhD in pedagogical sciences, associate professor in Primary Education Chair of Khujand State University named by B. Gafurov, Mob. (+992) 918 -90-92-71
ЯК ТАРЗИ ЁФТАНИ ФОРМУЛА БАРОИ СУММА^ОИ АДАДДОИ НАТУРАЛИИ
АВВАЛИН БО ДАРАЧАДОИ ЯКХЕЛА
Чориев У., Норов К; Талбаков Ф.
Донишгоуи давлатии омузгории Тоцикистон ба номи Садриддин Айни
Суммаи ададх,ои натуралии аввалин бо нишондих,андах,ои баробар дар х,олати умуми чунини намуд дорад:
5к(п) = 1* + 2* + 3К + ■■■+ п', (1)
ки дар ин чо к ва п -адади бутуни мусбат мебошад. Барои суммаи (1) дар [1] формулах,ои гуногун ёфта шуда аст. Дар ин мак;ола барои суммаи (1) аз табдилдих,оих,ои махсус истифода бурда формула ёфта шуда аст. Аввал дар алох,идаги суммах,ои 51(п). 52(п). 53(я),. .. 5л(п) -ро дида мебароем.
Дар х,олати к = 1 будан суммаи (1) намуди зеринро мегирад:
Аз адабиётх,ои мавчуда маълум аст, ки барои суммаи (2) формулаи
ёфта шуда ва ин формула бо якчанд тарз исбот шудааст.
Дар ин чо барои ёфтани формулаи (3) аз табдилдих,их,ои зайл истифода мекунем:
Баробарии (4)-ро бо ёрии методи индуксияи математикй исбот мекунем.
8
Хан го ми п — 1 будан баробарии (4) дуруст аст. яъне 7(1+ 1) = 1. Акнун фарз мекунем. ки дар холати п=т будан формулаи (4) дуруст аст, яъне
Исбот мекунем, ки формулаи (4) дар холати п=т+1 будан хам дуруст мебошад: Дар хдкикат
Пас, формулаи (4) барои хамаи п — ^ хо дуруст мебошад.
Акнун суммаи (1) ро дар холати к — 2 будан дида мебароем. Аз суммаи (1) , суммаи
52(п) = I2 + 22 + 32 + --- + П2 (5)
-ро хосил мекунем.
Аз табдилдихихои зерин истифода бурда суммахои зеринро меёбем: 2 1\ 1 Г/. . , ^ з:
3
ЗД0-1» + 2«-2(1 + !-Н-Э-|[С2 + 1)» + С2+1)
з г 2J
2 1! 2!
1 + 2+3
I)2 (п+1) 2 1 + 2 + —+
52(п) = 12+ 22 + 32 + - + п2 = пГ ' ' ,
уЗ 3 п 2
= ■-)---:>■.- М ё
3 [ « 112! ]
. (6)
Баробарии (6) -ро бо ёрии индуксияи математикй исбот мекунем. Барои п= 1 баробарии (6) дуруст аст, яъне
(1+ 1)2 + (1+ 1)
з: У1У
1!2!
.
Акнун фарз мекунем, ки дар холати п=т будан фюрмулаи (6) дуруст аст, яъне
Исбот мекунем, ки формулаи (6) дар холати п=т+1 будан хам дуруст мебошад. Дар хаки кат
3
m + 1
, , 3! 5t(m + 1)
(m + 2) — (m + 2)----—--
1 1! 2!
f i f 31 + D (in -f 2_r + (m + 2------
4 - 4 J m+l 1!2!
m + 1
(m + 2)((m + 2)* - 1) - - ■
1 1! 2!
52(m + 1) = ——1 (m + 2)2 + (m + 2)
яъне э: 5L(m+iy
m + 1 1!2!
Пас, формулаи (6) барои хдмаи n хо дуруст будааст. Хан го ми к — 3 формулаи (1) суммаи зеринро мегирад, яъне
Дар^асоси табдилдихии боло хосил мекунем:
(3 + I)3 + +(3 + 1)' +(3 + l)-jt
/(«+ I)3 (п+1)2 ,(я+1) в
— п--------
I 4 4 4 п
4! -1 +Z 43*
1+2+3-,
2! -2!
I2 + 22 +
6 1 + 2 + п 6
+ П>
[(я + 1)э + (я + I)2 + (п + 1) - 2 (^f + У
= J[(Я + l)3 + (я + I)2 + (n + 1) - Z ф + ^f}] (7)
Баробарии (7) ро бо методи индуксияи математикй исбот мекунем: Бевосита санчидан мумкин аст, ки дар холати п = 1 будан формулаи (7) дуруст аст. Акнун фарз мекунем, ки формулаи (7) дар холати n=m будан дуруст аст, яъне 53(ш)=13 + 23 + ... + т3 = ^[(ш+1)3 + (ш+1)2 + (ш + 1)-^(^ + ^}\
Исбот мекунем, ки барои n=m+1 хам дуруст мебошад:
5Э(т + 1) = I3 + 2Э + ... + тп3 + (т + I)3 = S3(m) + (m + l)3 = j (m+ l)3 +
+(m + l)2 + (m + 1) - £ (^Г + ^Г)] + («+ l)3 = ;[«(« + О3 + ™<™ + l)2 +
+ш (ш + 1) - ^ + ^^ - ^^ - ^U 4(ш + 1)31 = Ц (ш + 1) ((ш + +1)3 -
V ' 1 \ 21-2! 1: з: 2!-2 1.1-3! J ' - 4 . V
1) + 4(ш + 1)3 + 6(m + 1)2 + 4(m + 1) - ^ +
l!-3!
(m+ 1)4 +
+4(ш + l)3 + 6(m + l)2 + 4(m + l) - (m + l) - *= + D +
+1)4 - 1 - (m + 1) - ^ + =i[(m+ 2)4 - (™ +' 2) - * (^ +
l!-3!
m + 1
(m + 2)3 + (m + 2)2 + (m + 2)--
4 J ■ J v ' m + 1 2!-2! 1J-3! J
Исбот шуд, ки формулаи (7) барои хдмаи п хо дуруст аст.
Барои ихтиёри ададхои бутуни мусбати к в а п формулаи (1) -ро дида мебароем.
Ба монанди формулахои (4), (6), (7) оид ба формулаи (1) табдилдихихои зеринро тартиб медихем.
2
2
Ь+1
(&+1) 0+1) (к + 1) 2 1-2-3 2 1-2-..-Л
к Сй-иа'-Чг"-55)
-)=
[(2 + 1)к + (2 + Г)*-1 -+-+(2 + 1)
(
■К А1'--
5Л(3)= 1*+2* + 3я = 3(7^Тт +¿7^4-
0-1)!2! 0-2)3! к-
Л 1' 2
+2 -+Э"
к (к-О^-Чг^+э*-")
3 1-2-3
3
к+1
(Ь + 1)
к 0-1)0-2}...2-1-(1+2 + 3) 3 1 -2-..-Л
1-2
М2)
1Цг!
1!к!
= 7^7 [(«+ 1)* +(«+ Ч^1 + ■■ + («+ 1)
п -(к-1)!2: 0-2):з:
(к + 1)| я) _____Ы
М1
(8)
ь+1|Л 1 ' ' и Чл-1):2! 0-2):з: ни
Баробарии (8) -ро бо ёрии методи индуксияи математикй исбот мекунем: Бевосита санчидан мумкин аст, к и п = 1 будан тасдикоти (8) дуруст мебошад. Акнун
фарз мекунем, ки тасдикот барои п=т будан дуруст аст, яъне
+
1! к!
= — (тп+1)Ч(т+ Г)*"1 + - + (т + 1) +
мебошад.
Исбот мекунем, ки тасдикоти (8) барои п = т + 1 будан хдм дуруст мебошад:
— \ш(т + 1)" + ш(ш + I)"-1 + - + ш(ш + 1) - + + + Ч
Ис + 1 I 1 4 У IV 0-1)!2! (Ь-2)!31
■■■-^) + (* + 1)(т + 1)*] =
1!Ы
(к-1)!2
(к-2)!3:
= ^[С™ + 1)((™ + 1)к- 1) + № + 1)(™ + 1)" +
к: IV (к:-1)!2: (к-2}!3: 1!Лг! /.
(к + 1)к(т + 1)" 1 (к+1Жк-1}(™ + 1)" 1
1
к+1
(Ь+1)Л...1(т+1} , . 0+1)
-----С771 ~~ Ч"
к:
I 1
5.
2!
(т+±)
1)::: (к-2)!з:
+ -■■ +
Ст+1К 1
-)
и А! /
)
, яъне
JL(m4i)
+ ■ +
lit:
Пас, тасдикоти (8) барои ¡дшн n - х, хо дуруст мебошад.
Тарафи рости формулам (8) ро дар намуди зерин хдм навиштан мумкин аст.
Адбиёт:
1. В. А. Кудрявцев, Суммирование степеней чисел натурального ряда и числа
Бернулли, Москва, Ленинград 1936 г.
2. Б. Я. Ягудаев, Числовые функции, Ташкент, 1978 г.
ОДИН ИЗ СПОСОБОВ НАХОЖДЕНИЯ ФОРМУЛЫ ДЛЯ СУММ ОДИНАКОВЫХ СТЕПЕНЕЙ ПЕРВЫХ ЧИСЕЛ НАТУРАЛЬНОГО РЯДА.
Чориев У., Норов К., Талбаков Ф.
В настоящей работе с помщью элементарных преобразований над дробными числами найдено формула для сумм одинаковых степеней первых чисел натурального ряда.
Ключевые слова:число, формула, сумма, способ, умножение, степень.
ONE OF THE WAY OF DECISION OF FORMULAS FOR SUM OF SAME DEGREES OF THE FIRST NUMBER OF NATURAL ROW
Choriev U., Norov Q., Talbakov F.
The article is dedicated to the formulas for sum of same degrees of the first number of natural row by the elementary transformation over fractional number.
Key words: number, formula, sum, way, multiplatinum, degree.
Сведения об авторах: Чориев Умедилло - кандидат физика - математических наук, доцент кафедры алгебры и теории чисел, Таджикский государственный педагогический университет имени Садриддина Айни, тел.: (992) 98-581-03-14;
Норов Курбан - кандидат физико - математических наук, доцент кафедры геометрии Таджикского государственного педагогического университета имени Садриддина Айни, тел.:(992) 918-96 -54 -33.
Талбаков Фарход Махмадшоевич - магистр 2-ого курса кафедры математического анализа Таджикского государственного педагогического университета имени Садриддина Айни, тел.:(992) 918- 44- 90- 66.
Information about authors: Choriev Umedullo - Ph. D. in physics and mathematics, docent of Chair of Algebra and Theory of Numbers, Tajik State Pedagogical University named after Sadriddin Aini, phone: (992)98-581- 03- 14.
Norov Qurbon - Ph. D. in physics and mathematics, docent of Chair of Geometry, Tajik State Pedagogical University named after Sadriddin Aini, phone: (992) 918 -96- 54- 33.
Таlbakov Farhod Mahmadshoevich- MA of the 2nd year of Chair of Mathematics Analysis, Tajik State Pedagogical University named after Sadriddin Aini, phone: (992) 91844- 90 -66.
СИНГУЛЯРНАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА СОПРЯЖЕНИЯ С НЕПРЕРЫВНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
Усманов Н., Холикова М.Б.
Московский энергетический институт в г. Душанбе Таджикский государственный педагогический университет имени Садриддина Айни)
Краевая задача Римана с непрерывным коэффициентом изучена в [1], а её сингулярные случаи, то есть случай, когда коэффициенты имеют нули и полюсы аналитического характера изучена в [2].
Мы проведем исследования этой задачи в случае, когда коэффициенты имеют нули или полюсы сопряжено аналитического характера.
Пусть Г - контур, состоящий из m + 1 простых замкнутых контуров типа
Ляпунова Г, Г ' Г , ограничивает конечную область D + . Через D обозначим
дополнение D+ + Г до полной плоскости. D состоит из конечных частей D, k = 1,2,..., m и бесконечной D0 . Класс функций, суммируемых со степенью p на
контуре Г будем как обычно обозначать Z (Г). Сформулируем задачу следующим образом:
Найти две функции: Ф + (z) - аналитический в области D+ и Ф (z) -
аналитический в области D , включая z = ю, удовлетворяющие на контуре Г линейному соотношению
+ (t ~а)" _
Ф + (t) = (-, Gi(t)Ф (t) + g(t), (1)
(t_ ß)v
где а, ß - некоторые точки контура, ju,v - целые положительные числа; g (t) е Lp (Г); G (t) - непрерывная функция и нигде не обращается в нуль. Индекс
m ^
задачи, как принято, назовем целое число ж = ^ ж k , где ж =-[arg G (t )]L .
k = о
Поскольку
, , -2i^e J
(t - а) = (t - a) e
(t- ß )v = (t- ß )v e~ 2 ive 2, где e = arg( t - a ), e2 = arg( t - ß), то краевое условие (1) перепишется в следующем виде:
J3
