CC BY
5УДК 517.946
ИССЛЕДОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛЕЙ ПЕРВОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
Джураев Х.Ш., Мелиев Н.Н.
Таджикский национальный университет Таджикский государственный педагогический университета им. С.Айни
1. Рассмотрим первую краевую задачу для уравнения волнового теплопереноса
д2па дыа d 2un а—- +—- = —-
dt2 dt дх2 и-(0,t) = u-(l,t) = 0, 0 < t <T, (2)
du
(x, t) e D = {(x,t) : 0 < x < l, 0 < t < T}, (1)
Ua( X,T) = Va (X),
dt
= ¥-( x), 0 < x < l, (3)
t=T
которая описывает процесс волновой характер распространения тепла [1]. Функции (а(х) и х) определяют начальное положение и начальное скоростей распространения тепла соответственно, а -время релаксации.
Рассмотрим следующую обратную задачу. Предположим, что начальное распределение (а (х) в момент t = Т известно, а функция ща (х), определяющая начальное скоростей распространение тепла, неизвестно.
Прежде всего, выясним, нельзя ли свести начальное положение к интегральное условие. Для этого предположим, что иа(х,€) достаточно гладкое решение задачи (1)-(3) и удовТлетворяет условию
| К а ^ К (х, t )Л = Еа (х), Еа (0) = Еа (I) = 0. (4) [множим ¿уравнение^О) на Ка (^¿йипроинтегрируем по t от 0 до Т : " '4 а—а + —а Л = [К^) —аЛ.
\K-(t)
Теперь
проинтегрируем о по частям, используя тот факт, что функции иа (х, t) удовлетворяет условию (4), имеем
d 2 £-(x) ==-K„ (T) du
dx
dt
--K- (0)
du„
dt
1 А» 1
-\-K- (t) ~u- dt + J K- (t)
dua dt
dt.
t=0 0 0 Последнее равенство наводит на мысль, что если
К (^ — аК ) = 0, то условие (4) может быть сведено к нелокальному условию вида
d 2 E-(x) =аКа (T) ^
dx
dt
--К- (0)-
dt
Если, кроме того, потребовать Ка (Т) = 0 или обычному начальному условию
dun
dt
= 0, то условие (3) сводится к
dun
dt
1 d2 E-( x)
t=0
-
dx2
t
Этого можно достичь, положив Ка ) = ехр I — I.
\а)
2. Теорема. Существует не более одного классического решения задачи (1)-(2)-(4). Доказательство. Для доказательства единственности решения поставленной задачи покажем, что соответствующая однородная задача имеет лишь тривиальное решение. Пусть
t ¿и
(а(х) = ¥а(х) = Еа(х) = 0. Умножим уравнение (1) на ехр(—)--- и проинтегрируем по
- dt
области D :
T l
Я1 t ] du,
-exp | —
Tl
- ) dt dt2
dt
Tl
-dxdt + J Jexp[--]•[ -u- ] dxdt = J Jexp] •—u- • dxdt.
-) dt dx
а
t=T
t=0
t=T
0 0
0 0
00
Преобразуем первой интеграл левой части равенства, проинтегрировав по частям:
T l
t Л ди„ d2и„
Tl
aexpj — I^;--—- dxdt = -JJ exp I—
a) dt dt2
(dUa) dt
l
dxdt+J
aexp I —
\a)
dun
dt
t=T
dun
dt
t=0
dx.
Теперь, учитывая однородное начальное условие
ди„
dt
= у а (x) = 0, получим
t=T
T l
я
aexp
t Л dU„ d2un
a
dt dt
Tl
dxdt + JJ1
exp
t
a
dUa dt
1 r
dxdt = -— I aexp
(t !• \dUa Л
ldt t=0 )
dx.
0 0 ^ 0 0 V У 0
Интеграл в правой части также проинтегрируем по частям и в силу начального условия, имеем:
ч 2 т I Л2
T l f
JJ exp
dUa d Ua
dt dx
l
dxdt = — J exp
(dUa л
la) dx t=0 )
Tl
dx + — Г f—
О J J ГУ
2Го a
exp
(-
i —
dUa
dx
dxdt.
Подставляя вычисленные интегралы в исходное выражение, получим следующее равенство:
Jexp i—
( dUn Л 2 ( dUn Л 2
a + a
ldt t=0 ) dx t=0 )
1 t i 1 ft Л f du I
dx + —f f—exp I — I-I —- I dxdt = 0.
2 J J a la) I dx )
для всякого а> 0 и t е[0,Г]. В силу произвольности t непосредственно вытекает, что ^ (х, t) = 0 во всей области Э . Единственность решения задачи (1)-(2)-(4) доказана.
3. Уравнение (1) определяет класс гиперболических уравнений, для которых смешанная задача, может быть решена методом Фурье. Проведя рассуждения, аналогичные [2], получаем решение задачи (1)-(2)-(4) в виде
ю X (х Я )
"а (х, t) = X УапА а а) + ¥стВп (t, а)] "( ; , (5)
1 - exp
T
a
коэффициенты Фурье функций (ра (x) и у/a(x) по системе {хп (х,Хп)}
где (Pan и ¥ an
соответственно. Здесь
( ( t Л Л (
An (t,a) = 1 - exp I--I - exp (- ßn (t - T)), Bn (t,a) =
la)
exp
exp
T
a
exp
(-ßnt)
ßn =■
2A;
n = 1,2,3.....
1 + yl 1 - 4a?in '
Функцию (x, t), определяемую формулой (5), можно рассматривать как приближенное решение задачи с обратным направлением времени для уравнении тепло- и массопереноса.
ЛИТЕРАТУРА
1. Джураев Х.Ш. О регуляризации задач для уравнений волнового теплопереноса. //Материалы третья международная конференции математическая физика и ее приложения. Самара, 27 августа-1 сентября, 2012 г., -с.114-115.
2. Джураев Х.Ш. О решениях краевых задач для волнового уравнения. //В мире научных открытий. Математика. Механика. Информатика. 2012, №1.1(25), -с.129-142.
4. Джураев Х.Ш. Некорректно поставленные задачи математической физики. Монография /Х.Ш. Джураев//Германия: LAP LAMBERT Academic Publishing. -2012.-156 c.
5.Джураев Х.Ш. Регуляризация граничных задач для гиперболического уравнения // Математические заметки. - 2013. -Вып.2. №1. -с.202-209.
2
2
t
+
00
0
2
2
l
0 0
0
n=1
ИССЛЕДОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛЕЙ ПЕРВОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
В работе исследована обратное задачи теплопроводности с помощью первую краевую задачу для волнового уравнения теплопереноса. В момент t = T известна начальной распределения теплового сигнала, и определена скоростей распространение тепла при t=0.
STUDY OF MATHEMATICAL MODELS OF THE FIRST BOUNDARY VALUE PROBLEM FOR THE WAVE EQUATION OF HEAT CONDUCTIVITY
The inverse of the heat conduction problem is studied using the first boundary-value problem for the wave heat transfer equation. At the moment, the initial distribution of the thermal signal is known, and the heat propagation rates are determined at t = 0.
Сведения об авторах:
Хайрулло Шарофович Джураев - Таджикский национальный университет, доктор физико-математических наук, доцент кафедры вычислительных машин, систем и сетей. Адрес:734025, Республика Таджикистан, г.Душанбе, проспект Рудаки 17. Телефон: (+992) 917-30-70-60. E-mail: hayrullo_58@mail. ru
Нурали Норбоевич Мелиев - Таджикский государственный педагогический университета имени Садриддин Айни, ассистент кафедры информационной и коммуникационной технологии математического факультета. Адрес:734003, Республика Таджикистан, г.Душанбе, проспект Рудаки 121. Телефон: (+992) 917-96-99-01._ E-mail: [email protected].
About the authors:
Khayrullo Sharofov Dzhuraev- Tajik National University, doctor of physics and mathematics. Associate professor of the Department of Computing Machines, System and Networks. Address: 734025, Republic Tajikistan, Dushanbe, Rudaki Avenue, 17. Phone: (+992) 917-30-70-60. E-mail: hayrullo_58@mail .ru
Meliev Nurali Norboevich - Tajik State Pedagogical University imr Sadriddin Aini, Assistant Professor of the Department of Information and Communication Technology Mathematics. Address: 734003, Republic of Tajikistan, Dushanbe, 12 Rudaki Ave. 121. Phone: (+992) 917-96-99-01 E-mail: [email protected]
УДК 536.34.65
ОРИЕНТИРОВОЧНЫЙ ТЕПЛОВОЙ РАСЧЕТ СОЛНЕЧНОГО КОЛЛЕКТОРА
НЕБОЛЬШИХ РАЗМЕРОВ Сафаров М.М., Абдужалилзода Ф, Абдуназаров С.С., Саидзода К., Махмадиев Б.М.
Филиал МГУ имени М.В. Ломоносова, г. Душанбе Таджикский государственный педагогический университет им.С.Айни, г. Душанбе Институт энергетики Таджикистана, г. Курган-Тюбе
Представленная статья посвящена оценке нынешнего состояния и требований, мотивирующих изобретателей и ученых к созданию различных вариаций аккумулирующих энергию устройств и приборов, рассматривая и комбинированные (гибридные) варианты, в которых нуждаются практически все инфраструктуры (транспортные, промышленные предприятия и т.д.). С появлением все возрастающего спросы в силу развития техники и различных технологий и науки в целом, предлагаемые разработчиками все более совершенные типы аккумулирующих энергию устройств, позволяют создавать совмещенные виды накопительных устройств, так называемые гибридные. Это в свою очередь способствует достичь максимальных возможностей накопления энергии вместе с тем и улучшить массогабаритные качественные, эксплуатационные характеристики, их технические, а также в силу перечисленного и экономические показатели. Идея применения совмещенных (гибридных) типов накопителей стала причиной применения в данной области возобновляемых источников энергии, что само по себе играет не мало важную роль с экономической точки зрения. Однако представленный обзор разработок свидетельствует о том, что на данный момент каких-либо универсальных, с технической точки зрения, решений не существует.
