CC BY
27
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН __________________2010, том 53, №2_____________
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА
УДК 519.632
Х.Ш.Джураев
О РЕГУЛЯРИЗАЦИИ ЗАДАЧИ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ВОЛН В АНИЗОТРОПНОЙ НЕОДНОРОДНОЙ СРЕДЕ
Таджикский национальный университет
(Представлено членом-корреспондентом АН Республики Таджикистан Х.Х.Муминовым 12.12.2009 г.)
Рассматривается проблема устойчивости распространения волн в анизотропной неоднородной среде. Построен класс приближенного решения в виде регуляризирующих операторов, обладающих свойством устойчивости к малым отклонениям исходных данных. При этом важную роль играет выбор сглаживающей функции и условия согласования параметра регуляризации с погрешностью.
Ключевые слова: распространение волн - сглаживающая функция - параметр регуляризации - семейство регуляризирующих алгоритмов - устойчивость - некорректность.
которое соответствует свободным колебаниям материальных тел и электромагнитного поля, объяснившее многие физические явления. Считая, что а(х) > а0 > 0, Ь(х) > 0, с(х) > с0 > 0 непрерывно заданные на [0,1 ] функции и связаны определенными соотношениями с упругими характеристиками и плотностью неоднородной среды, будем искать решение уравнения (1) при предельных условиях
Здесь у, у2 - числа, а ф( х) и уу( х) - заданные непрерывные функции на [0, ^ ]. Если у = 0 , то имеем первую краевую задачу, если у2= 0 - вторую, а при ухФ 0 и у2 Ф 0 третью.
Уравнение (1) определяет класс гиперболических уравнений, для которых смешанная задача, в том числе и краевая, может быть решена методом Фурье. Если Хк(х,\) есть к -ая собственная функция краевой задачи
1. Рассмотрим уравнение с частными производными
(1)
, ди( х, t)
------
дп
0 при х = 0 и х = I, + у2и(х, t)) |г = < ф(х) при t = 0, щ(х) при t = tj.
(2)
X (х) + а(х)X (х) + (Ь(х) + Я2е(х))X(х) = 0.
Адрес для корреспонденции: E-mail: hayrullo_58@mail.ru
(У ^ + У2Х(х)) 1х=0 = (У1 + У2Х(х)) Ь = 0,
ах ах
а \ - соответствующее ей собственное значение и Т (г, Л ) - решение уравнения
т' (г)+Л Т (г) = 0,
удовлетворяющего предельным условиям
(У1 + У2Т(г)) \г=0 =фк, (У1 + У2Т(г)) \г=,0 = ¥к,
аг аг
то общее решение (1)-(2) имеет вид:
и(х, г) = £ [фт (1,Як) + Vтк (г, Лк)] Хк*х’^к), (3)
к=0 <Рк (г1,Лк )
Где Тк (t, Лк ) = У25к(Лк (г + г1)) - У1ЛкСН(Лк (г + г1 ^
Т2к (г, Лк ) = У28КЛкг) - У1ЛкСН(Лкг),
Рк & 1) = (У22 - У1 1к(1 >
а фк и V - коэффициенты Фурье функций ф(х) и Vх) по системе Хк (х, Лк) .
Из вида (3) следует, что если существует такое к0, что р (^ , Л) = 0 , то решения такого вида либо не существует, либо оно не единственное. Неустойчивость решения вида (3) возможно из-за того, что при к ^ ю рк (г, Л ) может быть сколь угодно близка к нулю (например, это имеет место
для уравнения колебания струны, так как в этом случае рк (^ ) = 5ш(-^кк)).
Известно [1, стр.525], что если функции ф(х) и 1у(х) имеют непрерывную производную в промежутке [0,1 ] и удовлетворяют предельным условиям (2), то функция и( х, г) вида (3) удовлетворяет предельным условиям (2), а также уравнению (1). Это означает, что имеет место почленное дифференцирование ряда (3) по г и х два раза и полученные ряды равномерно сходятся в промежутке [0,1] при всяком фиксированном г. Следовательно, формула (3) дает точное решение задачи (1), (2).
В практических задачах коэффициенты а(х) , Ь(х), с(х) и предельные условия ф(х) и <^(х) получаются в результате измерений, то есть вместо функций а(х) , Ь(х), с(х), ф(х) и <^(х) известно к и 8 - приближения этих функций соответственно по параметрам х :
11 а(х) -а(х) |< к, | Ь(х) - Ь(х) |< к, | С(х) -с(х) |< к, ||ф(х) -ф(х) \<8,\¥(х) -¥(х) \<8
Тогда вместо нахождения и( х, г) можно ставить лишь задачу о нахождении приближенного
решения. Если а(х) , Ь(х) , с(х), ф(х) и /(х) непрерывно дифференцируемые функции в [0,1], то формула (3) дает искомое решение задачи (1), (2). Однако можно указать приближенные исходные значения функций <5(х) , Ь(х) , С(х), ф(х) и ц(х), которые не обладают свойством непрерывной дифференцируемости. Например, графики исходных функций а(х) , Ь(х), с(х), ф(х) и /(х) задаются в виде ломаных линий. Поэтому в качестве приближенного решения задачи (1), (2) с приближенными исходными данными вида (4) нельзя брать точное решение и( х, г) этой задачи в виде (3). Такое решение может не существовать, а если существует, то оно не обладает свойством устойчивости к малым отклонениям а(х) , Ь(х), с(х), ф(х) и /(х) .
С другой стороны, численное суммирование ряда Фурье, когда коэффициенты известны приближенно в метрике /2, является неустойчивым (см. стр. 19 в работе [2]). Так как решение и(х, г) вида (3) есть ряд Фурье, то численное суммирование также не обладает свойством устойчивости при малом отклонении коэффициентов фк и /к . Отсюда следует, что краевая задача (1), (2) является некорректно поставленной. В простейшем случае, когда (1) является уравнением колебания струны и У = 0, как показано в [3, стр.17], решение может не существовать, быть неединственным или неустойчивым по отношению к изменению исходных данных. Для этого простейшего случая в [4, 5] построены регуляризирующие алгоритмы решения задачи (1)-(2) (в [4] при х=0 и х=1 рассматриваются краевые условия первого рода, а в [5] краевые условия первого и второго рода). В [4] в качестве приближенного решения берется конечный отрезок ряда, который при точном задании данных является решением. При этом количество членов в отрезке ряда определяется погрешностью задания исходных данных. В [5] регуляризованным решением является функция, которая определяется в результате применения обобщенного метода суммирования типа Тихонова [2] к соответствующему ряду.
Считая, что для точно заданных исходных данных решение в виде (3) существует, в заметке строится семейство регуляризирующих алгоритмов (РА) задачи (1)-(2), обладающих свойством устойчивости к малым изменениям исходных данных. При этом используются условия стабилизации и согласование параметра регуляризации для задачи (1)-(2). Эти понятия можно ввести следующим образом:
Определение 1. Я(ф,/,х,г,а) называется регуляризуемым решением для задачи (1)-(2), если существует функционал s(а,х,г) , удовлетворяющий условию | Я(ф,ц,х,г,а)-и(х,г) \< s(а,х,г) для любого а, принадлежащего (0, а0 ] и Я(ф, /, х, г, а) ^ и(х, г), s(а, х, г) ^ 0 при а ^ 0 для всякого х е [0,1] и 0 < г < .
Определение 2. Я(ф,ц/, х, г,а) называется вполне регуляризуемым решением для задачи (1)-(2), если существует функционал с(а,8, к, х, г), удовлетворяющий условию
| Я(ф,у/, х, г, а) - Я(ф,ц, х, г, а)\< с(а,8, к, х, г) для любого а, принадлежащего (0,а0] и
Я(ф,ц/,х,і,а) ^и(х,і), с(а,8,к,х,і) ^ 0, а(5,к) ^ 0 при 5^ 0 и к ^ 0 для всякого х є [0,/]
и 0 < і < і, .
2. Сначала предположив, что а(х) , Ь(х), с(х) точно, а ф(х) и /(х) приближенно заданные функции, строим приближенные решения. Следуя [6], в качестве приближенного решения (1)-(2) с приближенными исходными данными будем брать значение однопараметрического семейства операторов
где г(к,а) - стабилизирующие множители, определенные для всех а> 0 и к = 1,ю, причем а = а(8). Кроме этого, предположим, что они еще удовлетворяют условиям:
1) 0 < г (к, а) < 1 для любых а > 0 и к = 1,ю ;
3) для всякого а {г(к, а)} є /2;
4) г (к ,а) = 0 равномерно для любого а є (0,а0 ], где а0 - любое фиксированное положительное число;
5) для всякого к Нта^0 г (к ,а) = 1 не возрастая;
6) для любого к г (к ,а) - монотонно убывающая по а функция и Нт^^ г (к ,а) = 0;
7) для каждого а> 0 {г(к,а)■ т^{(к)} и {г(к,а)■ ^)} принадлежат /2 при всяком фиксированном і є [0, ^ ].
Если положить, например, г (к, а) = (1 + а^к ) *, где {%к } последовательность положительных чисел, порядок роста которых при к ^ <ю не ниже, чем к*, где * > 1, то условия 1)-7) выполняются.
На основе определения доказываются следующие теоремы:
Теорема 1. Если стабилизирующий множитель г (к ,а) удовлетворяет свойствам 1)-7), то для каждого фиксированного і > 0 оператор Я(ф,/, х, ї,а) вида (4) является регуляризирующим решением для задачи (1)-(2) и имеет место оценка
где и(х,і) - точное решение задачи (1)-(2) вида (3), *(а,х,і) = Сю(а), 0)(а) -функции корректности задачи.
Теорема 2. Пусть вместо ф(х) и /(х) известны их 5 - приближения ф(х) и /(х) из Ь2 (0, /) и і -заданное число из (0, ^ ) . Тогда имеет место оценка
2) г (к, 0) = 1;
| Я(ф, /, х, і, а) - и(х, і) |< *(а, х, і),
(5)
| Я(ф, /, х, і, а) -Я(ф, /, х, і, а) \< с(а, 5, х, і).
(6)
Здесь с(а,8, х,I) = С8(^о, (а,¿) + ^о2(а,I)).
Так как
| Я(ф,ц/,х,/,а)-и(х,{) |<| Я(ф,у/,х,/,а)-Я(ф,/,х,I,а) | + | Я(ф,/,х,t,а)-и(х,О |, то, используя неравенства (5) и (6), получаем, что
| Я( ф,ц/, х, t,а) - и(х, 0 |< с(а,8, х, t)+^(а, х, /). (7)
Пусть а = а(8) есть корень уравнения
(о (а) £
Здесь обозначения
Тогда
о, (а,t) = Е.[г(.,а) kk^,а,,) = ,[г(і,а)k.]2.
% (*0 ,4 ) % (t А )
| Д(ф, щ, x, t, а) - Д(ф, щ, x, t,a) |=
ю(а)
поэтому
lim | Я(ф,у/,x,t,а) - Я(ф, щ,x,t,а) |= 0. (9)
£^0
Кроме того, из свойств последовательности {г(к,а)} и (8) при а ^ 0 видно, что
lima(J) = 0. (10)
£^•0
Тогда из неравенства (7) с учетом свойства модуля непрерывности и свойств последовательности {г(к,а)} вытекает, что при выполнении соотношений (9) и (10) справедливо равенство
lim | R(ф, щ, x, t, а) - u(x, t) |= 0.
£^0
Значит, выполняется соотношение
lim R(<ß,iy, x, t,а) = u(x, t). (11)
£^0
Таким образом, справедливость согласования параметра регуляризации с погрешностью £ для задачи (1),(2) доказана, то есть имеет место
Теорема 3. Если а = а(£) есть корень уравнения (8), то выполняется равенство (11).
В заключение отметим, что полученные результаты совпадают с результатами работ [8] и [9] по управлению скоростью сигналов в линии одновременным и последовательным способами.
Поступило 29.10.2009 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Смирнов В.И. Курс высшей математики, изд.2, т. IV. - М.: Гос. изд. технико-теоретической литературы, 1951, 804 с.
2. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. - М.: Наука, 1986, 288 с.
3. Иванов В.К., Васин В.В., Танана В.П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. -М.: Наука, 1978, 206 с.
4. Мельникова И.В., Фрейберг А.Ю. - Журнал вычисли. матем. и матем. физики, 1985, т.25, №5, с.783-788.
5. Джураев Х.Ш. Разработка методов решения некорректно поставленных задач прикладного значения. Автореферат дисс... канд.физ.матем.наук. - Душанбе: ТГУ, 1989, 16 с.
6. Джураев Х.Ш. - Дифференциальные уравнения, 2007, т.43, №5, с.721-725.
7. Левитан Б.М., Саргсян И.С. Операторы Штурма-Лиувилля и Дирака. - М.: Наука, 1988, 432 с.
8. Джураев Х.Ш. - ДАН РТ, 2009, т.52, №1, с.23-29.
9. Джураев Х.Ш. - Тез. док. научно-теорет. конф. "Проблемы физики конденсированных сред" посвященной 80-летию академика А.А.Адхамова. - Душанбе: ТНУ,15 ноября 2008, с.59-62.
Х.Ш.Ч,ураев
ДОИР БА ТАНЗИМИ МАСЪАЛАИ ПА^НШАВИИ МАВ^ ДАР МУ^ИТИ ГУНОГУНТАРКИБИ АНИЗОТРОПЙ
Донишгохи миллии Тоцикистон
Масъалаи устувор пахдшави мавч дар мухдти гуногунтаркиби анизотропй муоина ме-шавад. Синфи хдлли тачрибй дар намуди оператори танзимй R(g>, x, t, а) сохта мешавад, ки дорои хосияти устувори барои каме тагйирёбии додашудах,ои ибтидои аст. Барои ин интихоби функсияи суфтакунанда ва шарти вобастагии параметри танзимкунанда аз хатои муким аст.
Калима^ои калиди: пауншавии мавц - функсияи суфтакунанда - параметры танзимкунанда - синфи алгоритмуои танзимкунанда - устувори - гйрикоррект.
Kh.Sh.Dzhuraev
ABOUT REGULARIZATION PROBLEMS DISTRIBUTION OF WAVES TO THE ANISOTROPIC NON-UNIFORM ENVIRONMENT
Tajikistan National University
Stability of distribution of waves in the anisotropic non-uniform environment is considered problems. The class of the approached decision in a kind regularization operator R( ф,у, x, t,a), is constructed by property of stability to small deviations of the initial data. This the important role is played by a choice smoothing function and conditions of the coordination of parameter regularization with a margin error.
Key words: distribution of the waves - smoothing function - parameter regularization - family regularization algorithms - stability - an incorrectness.
