CC BY
25
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН
2006, том 49, №4
МАТЕМАТИКА
УДК 517.956
Б.Алиев, Х.Ш.Джураев
О РЕГУЛЯРИЗАЦИИ РЕШЕНИЯ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ
(Представлено академиком АН Республики Таджикистан М.И.Илоловым 16.06.2006 г.)
1.Для гиперболического уравнения вида
(1)
при X е [0,/], г е[0, ?0], в предположении достаточной гладкости коэффициентов
(А(1;)>а0>0, С(х)<со<0), рассмотрим задачу нахождения его решения, удовлетворяющего краевым условиям
[0, 1] функции (данные задачи).
Краевая задача (1)-(3) является некорректно поставленной. В простейшем случае, когда (1) является уравнением колебания струны и Д0 = Д1 = 0, как показано в [1], решение
может не существовать, быть неединственным или быть неустойчивым по отношению к изменению исходных данных. Для этого простейшего случая в [2,3] построены регуляризи-рующие алгоритмы решения задачи (1)-(3) (в [2] при х=0 и х=1 рассматриваются краевые условия 1-го рода, а в [3] краевые условия первого и второго рода). В [2] в качестве приближенного решения берется конечный отрезок ряда, который при точном задании данных является решением. При этом количество членов в отрезке ряда определяется погрешностью задания исходных данных. В [3] регуляризованным решением является функция, которая определяется в результате применения обобщенного метода суммирования типа Тихонова [4] к соответствующему ряду.
В настоящей заметке, которая примыкает к [3,5], дается один способ построения семейства регуляризирующих алгоритмов нахождения решения задачи (1)-(3), обладающих свойством устойчивости к малым изменениям исходных данных, основанных на идее регуляризации задачи суммирования рядов Фурье [6].
2. Уравнение (1) определяет класс гиперболических уравнений, для которых смешанная задача, в том числе и краевая, может быть решена методом Фурье. Если Xк (х) - к-ая собственная функция краевой задачи
и(х, 0) = <р(х), и(х,і0) = ц/(х), 0 <х<1; (2)
(2)
-~и \ ? У / и /-Ч 7 I \ 7 У /- I /-Ч 7 и’ V'
дх дх
где постоянные ОС1, Д таковы, что ОС2 + Д2 Ф 0, / = 0,1, а <р(^х) и у/{х) непрерывные на
/л ч г, &и{0,0 ^ чо ди(1,ґ) л л
а0и(0,ґ) + Д0------------= 0, ахи(1,і) + Д--------------= 0, 0<^</д, (3)
С{х)Х" + Е{х)Х' + (х)Х - АХ = 0, а0Х( 0) + Р0Х'(0) = 0, ахХ{1) + ДХ'(7) = О,
а Лк - соответствующее ей собственное значение и Т1к (/) (/=1 ;2) решение уранения
А(*)Т” + Щ)Г + ^ (0Г + лкт=о,
удовлетворяющее начальным условиям Т1к (0) = 1, Т[к — 0 и Т1к (0) = 0, Т2к (0) = 1 соответственно, то общее решение (1)-(3) имеет вид
и(х, 0 = £ [АкТ1к (0 + ВкТ2к У)]Хк(х). (4)
к=1
Чтобы оно удовлетворяло и условиям (2), надо положить
А =<Рк-> Вк = (Ч'к ~ Фк^хк (/о ))I Тгк (/о ) = Фк-> где (рк — ((р, Хк)ь^, ц/к — (у/, Хк)ь^ - коэффициенты Фурье функций <р(х), у/(х) . Из
вида (4) следует, что если существует такое к{), что 72/.(| (/()) = 0, то решение такого вида либо не существует, либо оно неединственное. Неустойчивость решения вида (4) (см. [6]) возможно из-за того, что при к —> со Т2к (/()) может быть сколь угодно близка к нулю (например, это имеет место для уравнения колебания струны, так как в этом случае . Ъг*о
2к (/о / = ^—)• Мы ограничимся рассмотрением случая, когда для точных данных ре-
шение вида (4) существует, но, возможно, оно неустойчиво относительно изменения исходных данных.
3. Пусть вместо <р(х) и Ц/(х) заданы их приближения ф(х) и у7(х) из Ь2(0,/) такие, что
I ф(х) - (р{х)\1г < 8, ||^(*) - у/(х) <8, 0 <8<80.
Следуя [3], в качестве приближенного решения (1)-(3) с приближенными исходными данными будем брать значение однопараметрического семейства операторов
Я(<р, у/,х^,а) = ^ г(к, а)[(ркт1к (0 + фкТ2к #)]Х к (х), (5)
к=1
где г(к, сс) - стабилизирующие множители, определенные для всех а>0 и к = 1, со . Кроме этого, предположим, что они удовлетворяют еще условиям: 1) 0 < г{к, сс) < 1 для любых а> 0 и А: = 1, со; 2) г(к, 0) = 1; 3) \/а АК ос) 3 /2; 4) равномерно для любого
и К —
ОС Е. (0, (Х\ ], где <21 - любое фиксированное положительное число, Нш Г (к, а) = 0; 5) для
к—>со
любого к Ни\г{к,а) = 1, не возрастая; 6) для любого к г(к,а) - монотонно убываю-
от—>0
щая по а функция и Нш г (к, а) = 0.
а^-со
Положим АЯ = К((р,ц/,х^,а) — и(х^), где Я{(р,у/,х^,а) определяется по фор-
муле (5) с заменой фк на фк=(ф,Хк)Ьг, щ на у/к = ([//,Хк)Ьг\ АгЯ = К(ф,ц7,х,1,а) — Щ(р,1//,х,1,а); А2Я = Я{ф,у/,х,1,а) — и{х,1). Так как для любого к \Хк (х)| < С1, то
<
^г(к,а)[(фк -<рк)Т1к{1) + {ц>к -у/к)Т2к(к)\Хк(х)
к=1
СО СО
^с1{(Х[к*,а)(?;»(ог;1-(г„)-7;1-(г„)7;,(о)/г;»((0)]2)’-(Е(й-«)2)’
+
к=1
к=1
СО СО
-(Е[г 1а^Т2к(0/Т2кОо)]2У ■(Е^к-Ч'кУУ)^ С^(сV*(а,0 + /*(«,0),
£=1
к=1
где обозначено
£=1
/ (а, 0 = X [г (0 / т2 к (!о )]2 •
Аг=1
Ввиду наложенных условий на (г(А:,с^)}, эти ряды определены и являются невозрастающими функциями по а для каждого фиксированного ? е (0, ), причем их суммы при
ОС —> оо стремятся к нулю.
Далее, имеем
00 П 00
М1 ^ Е1г(^«) -1| • |олсо+¥кт2к(1))хк (•*)!=Е* + Е*
*=1
А:=1 &=и+1
Используя свойства 1), будем иметь
Е*^ ЕК^А(0 + ^^(0№(^)|-
А:=и+1 к=п+\
Поскольку ПО предположению решение В виде (4) существует, Т.е. {(ркТ-ук(£)} и {у/!;1\к (/) ! принадлежат ^, то для любого £>0 найдется такое Ы(еД)>0, что для всех п>Ы(еД)
00 р
X I((РкТ1к(*) + ¥кТ2М)Хк{х)\<-.
к=п+1
Согласно свойству 5) последовательности {г(к,ос}}, найдется такое СС0 = О',, (б", I) > 0, что для всех ОС < С£0 (б", I) будет выполняться неравенство
Е * - С1Ё КМ) -1 ^ду1А (О+¥ктгк (0|
<
к=1
*=1
3
при любом ? е [0, ?0]. Итак,
, Л, „28 Сгд(а '
Если а — а(3) корень уравнения
\АЩ < |А17^| + |Л2Я| < Сх3{(х>2 (а, ?) + I2 (а, ?)) -
ТО \Ащ < Б.
Таким образом, доказана следующая
Теорема. Пусть вместо <р(х) и у/(х) известны их ё-приближения ф(х), у/(х) из Ь2(0,1) и ^ - заданное число из (0, и). Тогда для каждой последовательности (г(к,а)}, удовлетворяющей вышеприведенным условиям, оператор Щф,у,хХа) вида (5) является регуляризирую-щим для задачи (1)-(3), если а=а(ё) является корнем уравнения (6).
Заметим, что Нтсс(8) = О, ЧТО вытекает из свойств последовательности {г(к,0')).
Отметим, что к уравнению вида (1), наряду с уравнением колебания струны, приводятся и многие другие уравнения, важные с точки зрения практического приложения. Например, таковым является телеграфное уравнение для идеальной линии с переменными параметрами [7].
Приведем примеры стабилизирующих множителей 1\к, а) , удовлетворяющие вышеприведенным условиям:
2)г<Аа)=1^- *4
3) г(к,а) = ехр(-ак).
В заключение отметим, что предложенный подход применим для построения устойчивого приближения к решению краевых задач и для других типов уравнений, например для задачи Неймана уравнения Пуассона в прямоугольной области [8].
Таджикский государственный
национальный университет Поступило 16.07.2006 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Иванов В.К., Васин В.В., Танана В.П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. -М.: Наука, 1978, 206с.
2. Мельникова И.В., Фрейберг А.Ю. - Журнал вычисл. матем. и матем. физики, 1985, т.25, №5, с.783-788.
3. Джураев Х..Ш. Разработка методов решения некорректно поставленных задач прикладного значения. Автореферат дисс. на соиск. учен. степ. канд. физ.-мат. наук. Душанбе, ТГУ, 1989, 16 с.
4. Фурлетов Г.И. - Дифференц.уравнения, 1970, т.6, №1, с. 172-189.
5. Алиев Б., Джураев Х.Ш. - ДАН РТ, т.48, №3, 2004, с. 51-55.
6. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. - М.: Наука, 1986, 288 с.
7. Найденов А.И., Фомин Э.А. - Радиотехника, 1968, т.23, №1, с. 1-6.
8. Алиев Б. - Журнал вычисл. матем. и матем. физики, 1972, т.12, №3, с.142-149.
Б.Алиев, Х.Ш.Ч,ураев
РОЧ,ЕЪ БА ТАНЗИМИ ^АЛЛИ МАСЪАЛАИ КАНОРЙ БАРОИ МУОДИЛАИ ГИПЕРБОЛИКЙ
Дар макола тарзи танзимкунонии хдлли масъалаи канорй барои муодилаи гиперболикй, ки ба он методи Фурье татбикшаванда аст, пешних,од карда шудааст
B.Aliev, Kh.Sh.Juraev
ON THE REGULARIZATION OF THE SOLUTION OF BOUNDARY PROBLEM FOR THE HYPERBOLIC EQUATION
It is suggested the way of regularizing of solution of boundary problem for the hyperbolic equation for which the method of Fourier is applied.
