О регуляризации скорости сигналов в линии при одновременном управлении Текст научной статьи по специальности «Математика»

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _________________________________2009, том 52, №1_____________________________

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА

УДК 517.956

Х.Ш.Джураев

О РЕГУЛЯРИЗАЦИИ СКОРОСТИ СИГНАЛОВ В ЛИНИИ ПРИ ОДНОВРЕМЕННОМ УПРАВЛЕНИИ

(Представлено членом-корреспондентом АН Республики Таджикистан Х.Х.Муминовым 25.12.2008 г.)

1. Принципиальной возможностью преобразования частоты сигналов в длинных линиях с переменными параметрами является трансформация спектра с сохранением формы сигнала. Для линейного преобразования сигнала необходимо, чтобы задержка линии о изменялась во времени. Таким законом изменения может являться задержка линии во времени

о = о + at, где о0 - начальная задержка, a - коэффициент пропорциональности. Управление скоростью сигналов в линии можно осуществить последовательным и одновременным способами. В настоящей статье рассматривается регуляризация одновременного способа управления сигналов в линии.

Одновременный способ управления заключается в изменении параметров линии вдоль ее длины, на которой скорость распространения всех мгновенных значений сигнала в данный момент времени одинакова, но изменяется во времени.

Известно [1], что для линейного преобразования сигнала при одновременном управлении скоростью его распространения 3 вдоль линии сама скорость должна изменяться в соответствии с равенством

3 = 3 — 3 = 3 — bt3,

где 30 - начальная скорость сигнала в линии, 3t - приращение скорости сигнала во времени в данной точке линии, b - коэффициент пропорциональности. Отсюда

3 111

3 =

i+bt 4l0c0 i+bt 4lc ’

где Ь = Ь0 (1 + ЪХ), С = С0 (1 + Ы), а Ь0 и С0 начальные погонные индуктивность и ёмкость линии соответственно. При таком законе изменения скорости данное мгновенное значение

3

сигнала на вход линии (х = 0) имеет начальную скорость распространения 3 = —0—, где

1 + Ых

^ -момент поступления данного мгновенного значения в линию.

Скорость распространения мгновенных значений вдоль линии изменяется во времени, Эта скорость во всех точках линии одинакова в любой момент времени X. Временное преоб-

разование сигнала осуществляется за счёт различных скоростей распространения мгновенных значений сигнала в данной точке х.

Телеграфные уравнения для идеальной длинной линии с переменными параметрами имеют вид:

ды дг .дЬ

— + Ь — + г— = 0

дх дХ дХ

дг ды дС

— + С— + ы— = 0.

дх дХ дХ

После подстановки значений Ь и С и соответствующих преобразований получим уравнение, которое соответствует свободной амплитуде сигнала в линии, то есть

, ,^д и ^ тч ды т ? ^ \ /-i2 д ы

(1 + bt) —— + b(1 + Ьх)-----h b u(x, X) = 30 —2- (1)

(2)

Считая, что 1 + ЪХ > 0, 30 > 0, 0 < х < I и 0 < X > ^, будем искать решение уравнения (1) при предельных условиях:

ы(х,Х ^ Х=0 = ы(х,Х)1 х=х, = 0,

ы( х, Х ^ х=0 = Ф(Х ^ ы(х, Х ^ х=1 = V(Х).

Здесь ср(Х) и щ(Х) - заданные функции начала и конца линии.

2. Решение задачи (1)-(2) методом разделения переменных представимо в виде

1/1 7. ч • ,ж' к ■ 1п(1 + ЪХ).

1п(1 + ЪХ,) ■ 81п(--------------)

. . • —к п чч • —к ■ х^ 1п(1 + ЪХ)

ы(хХ) = 2 №к •81п(уг ■(1 - х)) + ¥к •81п(XI----------------------------------------------------у~,-, (3)

к= 30 30 к ■ Ъ ■ б1п( ——)

( 30 )

где Л, = ±Ь ■

(-----f-k---)2 _ 1, а (р , у - коэффициенты Фурье функций р(Х) и у(Х) в

ln(1 + b ■ Xj)

I . jf k ■ ln(1 + bX) I

L (0, X,) по системе i sin--------------J соответственно.

1 ln(1 + bXi) J

• Kl

Видно, что если существует k е N такая, что sin--------= 0, то решения в виде (3) не су-

• V

ществует. Если же такое решение существует, то оно неустойчиво, так как sin----------------- при

к ^ да может быть сколь угодно близким к нулю. Ограничимся случаем, когда для точных исходных данных решение в виде ряда (3) существует.

3. Пусть вместо р(Х) и /(X) заданы их приближения р(Х) и у(Х) из L2 (0, ^) такие, что

||р(х) _ P(X^^ - S ll/(X) _ /(XS

Исходя из задания p(X), /(X) и S, требуется построить приближение us (х, X) к u(x, X) -решению задачи (1)-(2), представимое в виде (3) такое, что при S ^ 0, us (х, X) сходится к u( х, X) для каждого фиксированного х равномерно по X.

Следуя [2,3], в качестве искомого приближения возьмем

us (х, X) = R(p, у, х, X, а) =

,, . . in(1+b~X1)~sin(f к'1n(1.+b X)) ,4.

= ]Тr(k,a)[pt-sin-.(I_х)) + у, ‘sin(-^-—)]---------------------------------n( +. '|) , ( }

к=1 0 0 f ■ k^b^ sin(—k—)

^0

где рк,ук - коэффициенты Фурье функций p(X) и /(X) по системе I sin f k 111(1 +b X) J

1 1n(1 + b^) J

соответственно, и r(k, а) - стабилизирующие множители, определенные для всех 0 и

любых целых к = 1, да, причем а = а(S) .

Покажем, что однопараметрическое семейство вида (4) будет регуляризирующим алгоритмом (РА) для решения задачи (1)-(2) при соответствующем выборе стабилизирующих множителей и определенной зависимости а = а(ё) ^ 0. Предположим, что {г(к,а)} удовлетворяет следующим условиям: 1) для всех а> 0 и любого к = 1, да определен; 2) 0 < r(к, а) < 1; 3) r(к,0) = 1; 4) Va {г(к, а)}е /2; 5) равномерно для любого ае (0, а ], где а - любое фиксированное положительное число, lim r(к,a) = 0 ;

к ^да

6) Vk е N lim r(к,а) = 1, не убывая; 7) для любого к, r(к,а) - монотонно убывающая по а

а^0

функция и lim r(к,а) = 0. Если положить, например, ^к,а) = (1 + а£к) s, где {%к} после-

а^да

довательность положительных чисел, порядок роста которых при к ^ да не ниже, чем к *,

где * > 1, то условия 1)-7) выполняются.

Согласно [4], надо доказать, что операторы Я(ср,ц/, х, ї,а) вида (4) определены для всех ) и \j~it) из Х2 (0, ^) таких, что \р(г) -ф())||^ < 5 \\і~^) -¥(х^^ < 5, и оценить

|Я(<~, ц~, х, t, а) - и(х, t )|.

Положим АЯ = Я(<~, (~, х, t, а) - Я(у>, у, х, t, а), Аг = Я(у>, у, х, t, а) - и( х, t).

, I . f k ■1n(1 + b^X) I

Так как для любого k i sin---------------------J ограниченная функция в [0,ti], то

I 1n(1 + b ■ X1) J

|ДЛ|

ln(1 + b ■ ^ ) • sin(

2г(k,aH( -()^т(-^-(l-x))-

3

ж- k- ln(1 + b-X) ln(1 + b ■ Xj)

k=1

ж-k-b ^sin( —-l)

3

+

)

0

+

0 УІ

2 г (k,a) • (^k - ^k) • sin(— •x) •

k=1 3

wi 7 .4 • жk-ln(1 + b •X\

'n(1 + 1-0+Vx,) ')

ж- k-b • sin(— • l)

3

Воспользуясь неравенством Коши-Буняковского, получим

да <

2

k=1

г (k ,a)-

ln(1 + b • Xl) • sin( — • (l - x))

3

ж- k-b- sin( —-l) 3

I 2 ((k -(k )2 f +

k=1

2

k=1

г (k ,a)

ln(1 + b-Xx) • sin(— • x)

3

ж• k-b• sin(— • l) 3

2(^k -wk )2

k=1

или

Здесь обозначено

|да| < 5 ■ (у/(ох (x, a) +y¡w2 (x, a)).

1(a,x) = 2

k=1

ln(1 + bX ) • sin( — • (l - x)) г (k, a)--------------------3

ж• k-b• sin( — •l)

3

;(a, x) = 2

k=1

г (k ,a)-

ln(1 + bXx) • sin( — • x)) 3

ж• k-b• sin( —-l)

(3 )

2

2

> •

•<

>

2

Ввиду наложенных условий на {г(к, а)}, эти ряды определены и являются невозрастающими функциями по а для каждого фиксированного х е (0,1), причем их суммы при

а стремятся к нулю. Далее имеем

м

да 3 3

2 (г(^ а) -1)- р •8Іп(Р ■ (/ - х)) + Ук •8Іп(^ ■х)] •

3 3

ж^ к^ 1п(1 + Ъ^) 1п(1 + Ъ^х)

к=1

ж^к^Ъ ^Іп( —■І)

З

<

)

<2 Г (к,а) -1|-

к=1

[Рк віп(4- ■ (І - х)) + щ • ™(Р ■■ х)]-1п(1 + Ь'У

3 3 ж ■ кЪ^ йпр^ І)

3

+

+ 2 Г (к ,а) -1|-

к=п+1

[р. віп(4-■ (І-х)) + щ ■ ипА■ х)]-1п(1+Ъ'\}

3 3 ж ■ кЪ^ БІпР^ І)

3

Используя свойства 1), будем иметь

21г (х,а) -1

к = п+1

[Рк •8Іп(р ■(І - х)) + Ук ■8Іп(р ■х)]------1п(1 + Ъ О—

0 0 ж ■ к^Ъ^ Бт(— ■ І)

3

<

да

<2

к = п+1

[Рк •8Іп(р ■(І - х)) + ¥к • БІп(Рг ■х)]-1п(1 + Ъ tl)

3

3 ж ■ к^Ъ^ Бт(— ■ І) 3

Поскольку по предположению решение в виде (3) существует, то есть

■ рк 1п(1 + Ъ-0

Рп БІп( ~р, (І - х))^

3

ж ■ к^Ъбіп( — ■І) 3

> и <

■ А ,Л 1п(1 + Ъ^1)

Уп хЬ

3

ж ■ к^Ъ біп( —■І) 3

то для любого е > 0 найдется такое N(е, х) > 0, что для всех п > N(е, х)

<

I

к =n+1

К

к

[Рк ■ sin(^T ■(l - x)) + Vk ■ sin(^T ■x)] ■

ln(1 + b^tx)

3

n к^Ь -sin( —■l) 3

є < —

Согласно свойства 5) последовательности {т(к, а)}, найдется такое а0 = а0 (е, х) > 0, что для всех а <а0 (е, х) будет выполняться неравенство

3

I\г(к,а) -1

к =1

Г • /А Лк ln(1 + Ь^)

[Рк ■ sin(^T ■ (l - x)) + Vk ■ sin(^T ■x)]

3 3 n к^Ь -sin( — ■l)

3

є < —

при любом X е [0, /].

Итак, имеем:

^^^

R(p, ц, х, t, а) - u(х, t)| < |AR| + |Ar| < <5(^cOj (х, а) ^ ^¿^2 (х, а)) ч— s.

Если а = а(5) корень уравнения

+л/®2(ах)=s, (5)

35

то R(p, ц, х, t, а - и(х, t)| < s.

Таким образом, доказана следующая теорема.

Теорема. Пусть решение задачи (1)-(2) представимо в виде (3), и вместо p(t) и y(t) известны их 5 -приближения p(t) и \~(t) из L2(0,t1) и x - заданное положительное число из [0,1]. Тогда для каждой последовательности {т(к, а)}, удовлетворяющей вышеприведенным условиям 1) - 7), однопараметрическое семейство (4) является РА для задачи (1)-(2), если а = а(5) корень уравнения (5).

Заметим, что lim а(5) = 0 вытекает из свойств последовательности {т(к, а)} и уравнения (5).

В заключение отметим, что предложенный подход [5] применим к данной задаче. Таджикский национальный университет Поступило 5.01.2009 г.

ЛИТЕРАТУРА

1. Найденов А.И., Фомин Э.А. - Радиотехника, 1968, т.23, №1, с. 1-6.

3

2. Алиев Б., Джураев Х.Ш. - ДАН РТ, 2006, т.49, №4, с. 301-305.

3. Джураев Х.Ш. - Тез. док. между. конф. по математ. физике и ее приложениям, Самара, Россия,

8-13 сентября 2008, с. 43.

4. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. - М.: Наука, 1986, 288 с.

5. Джураев Х.Ш. - Дифференциальные уравнения, 2007, т.43, №3, с. 1-4.

Х.Ш.Чураев РОЧ,ЕЪ БА ТАНЗИМИ СУРЪАТИ СИГНАЛ^О ДАР ШАБАКА ^АНГОМИ ИДОРАКУНИИ ЯКВАЦТА

Дар мак;ола танзими суръати сигналх,о дар шабака хднгоми идоракунии яквакта пешних,од карда мешавад, ки он хосияти устувориро дар мавриди кам тагйир ёфтани суръати сигналхо каноат менамояд.

Kh.Sh.Juraev ABOUT REGULARIZATION SPEEDS OF SIGNALS IN A LINE AT SIMULTANEOUS MANAGEMENT

The method of regularizing to speed of signals in a line at simultaneous control, which satisfies conditions of stability at small variations of initial data is suggested.