CC BY
27
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН ______________________________________2010, том 53, №3___________________________________
МАТЕМАТИКА
УДК 517.5
*
Академик АН Республики Таджикистан М.Ш.Шабозов, З.А.Парвонаева
О НАИЛУЧШИХ ПО КОЭФФИЦИЕНТАМ ВЕСОВЫХ КВАДРАТУРНЫХ ФОРМУЛАХ ДЛЯ КЛАССОВ ФУНКЦИЙ, ЗАДАВАЕМЫХ МОДУЛЯМИ НЕПРЕРЫВНОСТИ
Институт математики АН Республики Таджикистан,
*Технологический университет Таджикистана
В работе получены наилучшие по коэффициентам весовые квадратурные формулы для классов функций, определяемых модулями непрерывности на отрезке [0; 1].
Ключевые слова: квадратурная формула - модуль непрерывности - интеграл по Риману - весовые коэффициенты - узлы.
Рассматривается квадратурная формула [1]
\q(?)f(t)dt = Y4Pkf(fk) + Rn(J\P,T), (1)
о
в которой весовая функция q(t)>0 на отрезке [0,1] и интегрируема (хотя бы в несобственном смысле) по Риману, Р — {рк }"=0 - вектор коэффициентов, Т = {tk : 0 < t0 < tx < ... < tn < 1} - вектор узлов, a Rn(f\P,T) - погрешность квадратурной формулы (1) на функции /(/ ).
Если Ш - некоторый класс функций ¡/(7) заданных и определенных на отрезке [0,1], то
через
£n(m-q,P,T) = sup{| Rn(f;q,P,T) |: / е Ш}
обозначим погрешность квадратурной формулы (1) на классе M при заданном векторе узлов и коэффициентов (Р,Т).
Задача состоит в отыскании величины
£п (ЯЛ; q, Т) = inf £п (ЯЛ; q, Р, Т) (2)
при фиксированном векторе узлов Т.
Квадратурная формула (1) называется оптимальной или наилучшей на классе M по коэффициентам Р - { рк } при фиксированных узлах, если существует вектор Р° — {р°к }, для которого
Адрес для корреспонденции: Шабозов Мирганд Шабозович. 734063, Республика Таджикистан, г.Душанбе, ул.Айни 299/1. Институт математики АНРТ. E-mail: [email protected]
¿:n(m-qj) = s(m-qj>\T).
Задача построения наилучшей квадратурной формулы по коэффициентам с фиксированными узлами впервые рассматривалась А.Сардом [2].
Всюду далее в качестве ЯЛ будем рассматривать Н" \=На)\0,1] - класс функций /(/ ), удовлетворяющих на отрезке [0,1] условию
\ t -t" I ,t ,t" e[0,1],
где co(t) - заданный модуль непрерывности.
В частности, если co(t) = Al" ( 0 < t < 1,0 < а < 1), то Ню есть класс функций /(/ ) е С[0,1], удовлетворяющих на отрезке [0,1] условию Гельдера степени ос с константой /С :
-Î г.
Этот класс обозначим /СНа. Очевидно, что АН1 есть класс Липшица с константой Ю и а = 1. При АО = 1 этот класс обозначим просто Н1.
В работе [3] Г.К.Лебедь доказал, что среди всех квадратурных формул вида (1) с весовой функцией q(t) > 0, фиксированным вектором узлов Т = \!к : 0 < /п < /, < ... < tn l <tn< 1} и произвольным вектором коэффициентов Р — {рк ¡"_0 наилучшей квадратурной формулой на классе Н°’ является формула с коэффициентами
тк+1 _____________
Рк= \q(t)dt, к = 0,п, (3)
тк
Ч=0^к=(*к-1+*к)/2, к = 1,п,тп+1=1, (4)
и наилучшей оценкой остатка, равной
П Тк+1
^n(Ha-,q,T) = Yj J ®(11 ~h I)q(t)dt. (5)
к=0 ч
Рассмотрим квадратурную формулу специального вида для вычисления интегралов от быст-роосциллирующих функций [6]
П
sin mntf(t)dt = ^Pkf{tk) + Rn{f\P,T,m), n>m>\ (6)
0
задаваемую векторами узлов Т = {tk : 0 < tx < t2 < ... < tn < 1} и коэффициентов Р — {рк}"к=х.
Задача приближенного вычисления интегралов от быстроосциллирующих функций ранее рассматривалась в монографиях [4,5], а также в работах [6],[7]. В [5] отмечено, что для нахождения точ-
1
J
ной оценки погрешности формулы (6) на той или иной класс функций достаточно рассмотреть случай т = 1, поэтому возникает задача о точном вычислении погрешности квадратурной формулы [8]
1 п
\sm7rtf (і)А = рк/(!к) + Кп(/;Р,Т). (7)
О
Включая концы отрезка /п = 0, = 1 в число узлов вектора Т = (/,.}. то есть полагая
Т ■=Тп ={Ч :0 = ?о <*і <-<К-і <К =!}»
наряду с квадратурной формулой (7), будем изучать оценки погрешности (5) для квадратурной формулы типа Маркова вида
1 П—1
Jsinntf (t)dt = р0/(0) + Z PkKh) +Pnf(l) +Rn(f,P’T)-
0
Прежде чем сформулировать основные утверждения, докажем следующую лемму. Лемма. Справедливы следующие тождества
• пк 71
Ъ sin— = ctS—,
ы\ п 2 п
(8)
(9)
. (2к-\)тг 1
> sin-------------=--------------.
f~í 2 п sin(;r / 2 rí)
(10)
■ігД . (2к - Х)я cosíjt / rí)
> sin------------— =----------------
¿2 2и sin(;r / 2rí)
(11)
^ „ І7ТІП Я Я т\ с л 7Г T , . Л-
Доказательство. Полагая /? = е = cos—h/sin —, /te{p}= eos-, lm{p) = sin—, на-
ходим
n n
n
n
П-1 _ /_ и-1
vn . 7ГК vn
> sin—= y Im-
k=1 n k=l
n_
n
\ n-1
■■Im \Y,Pk
\k=1
= /да
P-P
1 -p
■ = Im
n
І-
1-е«
sin
и
1 — eos
n
= ctg —. л_ 6 2 n
n
откуда и следует равенство (9).
Докажем равенство (10). Замечая, что
к
е
п-\ _1у п-1 I
eos— = Re ^ рк = Re
Z'
к=1
П
L *=1
. . Л
/sin—
п
1 71 1 - eos —
п
= 0
и воспользуясь тождеством (9), будем иметь
^ . (2к-\)л ^ .
> sin-----------= > sin
^ 2n ^
к=1
ґ лк Л ' ґ л '
+ sin л -
1 п 2 п, V 2 П ;
л £4 . лк . л £4 лк .л
= eos—> sin-------sin—> eos--------bsin—
2/1 n 2nf~t n 2 n
Л Л . Л 1
= eos—ctg— + sin— =----
2 n 2 n 2 n ■ л
sin-
2n
откуда и вытекает (10).
Используя тождество (10) докажем (11). Имеем
^4 . {2к-\)л . {2к-\)л . л
2^ sin --------— = 2^ sin ------------------2 sin — =
k=2 2 п к=1
2 n
2 n
Л Л . Л
= eos-------sin— =
2 n 2 n 2 n
2 Л . 2 Тї Л
eos----------sin — eos —
n
2 n 2 n
БІП
Л
2 n
ЯП
Л
2 n
чем и завершаем доказательство леммы.
Теорема 1. Среди всех квадратурных формул вида (8) наилучшей по коэффициентам квадратурная формула типа Маркова при фиксированных узлах I Т* = {/1: — к / п}”к=0 для класса Н°’ является формула
і
Jsin 7Ttf(t )dt
2_
л
Г • 2 71 Л sin
4 п
7Т Г \ ТГ h f 1f
[/(0) + /(l)] + sin—¿sin—/ - \\ + Rn{f-PTl 2иы n \n)\
(9)
погрешность которой на всем классе На равна
1/2«
£п(Н"-Х) =
. л J
sin--------- 0
2n
С08 Л
Ґ 1 Л
t------
v 2 nj
(10)
0
В частности, для класса Липшица из (10) следует
«я';Г) = 4в^.
7Т Ап
Доказательство. Для вектора коэффициентов Т* имеем:
2^с 1 _
то=°’тк=(*к-\ +Ч)/2 =---------’ к = \ж т_„ =1.
2 п
’ ’ п+1
(11)
(12)
Вычисляя вектор коэффициентов Р = {рк} по значениям (12), находим
Ро=Рп=-
7С
1 — СОБ
7С
2 п
2.2 71 = —эт —. 71 Ап
Рк = —
71
СОБ
(2к -1)71 (2к +1 )тг
2 п
- — СОБ -
2 п
2 . тс . ттк ------------------
= —бш — бш — ,к = 1, /7 — 1; 7С 2п п
откуда и вытекает явный вид формулы (9). Для доказательства формулы (10) воспользуемся тождеством (10). Вычисляя точную оценку погрешности формулы (9) согласно (5) будем иметь
П Тк+\
¿’п(Н‘я\Т) = ^ |зтя*-<э(|г-^|># =
^=1 Тт.
1/2 п \
п-1
Бт 7С1 + Бт тс{ 1 - 0 + У, 7С
к=1
(к л (к ^ 11
Yt + БШ Я ^ У
\п ) Уп 1_
1/2и
Ч
о
. . тск
БШ 7М + СОБ 7^2^ БШ------------------
ы\
п
со(1)Л -
1/2п / ^2
= 2 | эт тс! + соб тс! ■ — со(1:)& =------------- |
о V 2п) ап— о
2 п
С05 7С
V 2 П;
0)(1 )ё1.
Равенство (10) доказано. Полагая в (10) <59 (7) = / и вычисляя интеграл, получаем оценку (11). Отметим, что оценка (8) ранее другим путем была доказана в работе [8].
Теорема 2. Среди всех квадратурных формул вида (8) типа Маркова наилучшей по коэффициентам при фиксированных узлах
Т := С = К = °Л = к = 1>и; К+1 = 1}
2 п
является формула
1
0
1
|зіп лі/(і)сіі -
2 , . 2 тс г г/■ г\\ _сґл\~\ * ^тс . 5тг
— {вт — [/(0) + /(1)] + 81П —віп — Я 8/7 8/7 8/7
Г і ї / — +/ .2/1, У
'і-Г
V 2 П;
+
. ТС
■эт—> эт-
2п ¿2 2//
. (2к - \)я
ґ 2£-1л
(13)
погрешность которой на всем классе Нсо имеет вид
1/4«
Ґ і л
, Я С 1
£п(НС0;Т ) = 4зіп— [ собл- і----------------------а(ї)сІі
4п •* Д-п
_____1_
V 4//у
1/2«
' 1 л І +
V 2 П;
_ Л-
2 СОБ— і/2и
+2 [ віпл- ґн-------(о(і)(Мл----------— І* со%лі-(о{і)(М
1 ?и . і
(14)
Доказательство. Используя значения вектора Т*' находим
7о О’7! , 57к ■> к 2,п, тп+1 1 1-
4п п
4 п
По полученным значениям тк,к = 0,п + 2 вычислим значения коэффициентов Р — [рк \
2.2 л 2 . Зл . 5л
Ро =Р„+1 =—віп —, рг =рп =—ЯП — 8111 —, я ьп л ьп ьп
2 . л . (2к - ї)л , ------
р, = — віп — віп-------, к-2,п-\.
л 8 п 8 п
Вычислим точную оценку погрешности формулы (9) на класс функций Н" для заданного вектора узлов Т** :
И+1 Г*+1
¿’п(На;Т**) = '^ | віплі ■ б)(\ і — ік \)<іі
к=0
1/4«
| БІП ЛІ ■ С0(ї)(М + І БІП ЛІ-
1 Іп ґ
О)
1/4 п V
і--
2 п
СІІ +
п—1 к/п +£ І БІП ЛІ • ¿9
¿=2 ґіг-
(к-Г)/п
ґ 2Аг-1 \
0) ґ
V 2/7 /
'-¿Г /
& + І БІП • (О
1-і V
2/7 — 1
2п
сіі-
0
И-1
0
1 71 1/4” ( 1 ^
+ I sinnt■ со(\-t)dt = 4sin — I cosn t~— (o(t)dt +
t--------
v 4 nj
1/2 n
_ 71
2 cos — i/г n
Tl
+2 f sin л' t-i------------a>(t)dt-\---------------— I* cos 7rt ■ a>(t)dt
J 2 n . 7Г j
71
Sin------- 0
2 n
Теорема 2 доказана.
Из доказанной теоремы 2 вытекает
Следствие. В условиях теоремы 2 для класса Н1 справедлива точная оценка
sin
3 71
с і тт\ 'г**\ 2 4п ^ • Я 371
¿п(Н ;Г„ ) = —----------^—-sin—cos —.
7i _ ^ л- 8и 8и
cos
4и
(15)
Заметим, что из равенств (11) и (15) простым вычислением получаем предельное равенство
lim п£п (Я1; Т*) = lim п£п (Я1; Г**) = -Ї-.
«—»■оо «—»оо 27Г
ЛИТЕРАТУРА
1. Никольский С.М. Квадратурные формулы. - М.: Наука, 1979, 256 с.
2. Sard A. - American Journal of Mathem., 1949, LXXI, p.80-91.
3. Лебедь Г.К. - Матем. заметки, 1968, т.3, 5, с.577-586.
4. Крылов В.И. Приближенное вычисление интегралов. - М.: Наука, 1967.
5. Бахвалов Н.С. Численные методы. - М.: Наука, 1975, 631с.
6. Бусарова Т.Н. - Укр. матем.журнал, 1986, т.38, 1, с.89-93.
7. Жилейкин Я.М., Кукаркин А.Б. - ЖВМ и МФ, 1978, т.18, 2, с.294-301.
8. Шабозов М.Ш., Сабоиев Р.С. - ДАН РТ, т.47, 3, 2004, с.14-19.
М.Ш.Шабозов, З.А.Парвонаева*
ДАР БОРАИ ФОРМУЛАМИ КВАДРАТУРИИ ВАЗНДОРИ БЕХТАРИН АЗ РУИ КОЭФФИСИЕНТХО БАРОИ СИНФИ ФУНКСИЯХОЕ, КИ БО ЁРИИ МОДУЛИ БЕФОСИЛАГЙ ДОДА МЕШАВАНД
Институти математикаи Академияи илм^ои Цум^урии Тоцикистон,
*Донишго%и технологии Тоцикистон
Дар макола формулами квадратурии бехтарин аз руи коэффисиентхо барои синфи фупксияхос. ки ба воситаи модули бефосилагй дар порчаи [0,1] дода мешаванд, ёфта шудаанд.
Калимао^и калиди: формулаи квадратури - модули бефосилаги - интеграли Риман -коэффисиент^ои вазндор - гирео.
M.Sh.Shabozov, Z.A.Parvonaeva ON THE FORMULAS OF THE BEST WEIGHT QUADRATURE ACCORDING TO THE COEFFICIENTS FOR CLASSES FUNCTION WHICH ARE GIVEN BY THE MODULUS OF CONTINUITY
Institute of Mathematics, Academy of Sciences of the Republic of Tajikistan,
Technological University of Tajikistan In the article the best quadrature formulas according to the coefficients for classes function which are given by the modulus of continuity in the segment [0,1] are found.
Key words: quadrature formula - modulus of continuity - Remain’s integral - weight coefficient - node.
