CC BY
79
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН ____________________________________2011, том 54, №4________________________________
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА
УДК 519. 633. 6
Х.Ш.Джураев
О РЕШЕНИЯХ СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА
Таджикский национальный университет
(Представлено академиком АН Республики Таджикистан Л.Г.Михайловым 20.03.2011 г.)
Предложен метод построения алгоритма приближенных решений смешанной задачи для уравнения Лапласа, обладающей свойством устойчивости к малым изменениям исходных данных. Приведен способ согласования параметра регуляризации с погрешностью.
Ключевые слова: сглаживающая функция - некорректность - устойчивость - семейство регуляри-зирующих операторов - параметр регуляризации.
1. Рассмотрим следующую смешанную задачу для уравнения Лапласа
Аы(х, у) = 0,0 < х < I, у > 0, (1)
u(x,0) = p(xX duu
dy
= w( x), x є [0,11, (2)
y=0
M x y) +
Ox,
= ° {уu(x, y)+pdu
= 0, y > 0 (3)
Здесь постоянные у, Р таковы, что у2 + р2 ^ 0, а (р(х) и 1^(х) непрерывные на [0,1] функции (данные задачи).
Смешанная задача (1)-(3) является некорректно поставленной. Так как при у = 0 задается функция и её производная, то смешанная задача (1)-(3) структурно близка к задаче Коши для уравнения Лапласа и является неустойчивой по отношению к данным р и [1]. В этом нетрудно убедиться непосредственно, рассмотрев в качестве примера, аналогичного примеру Адамара [2], функцию вида
щ(х у) = Щ*. ЖЛу) 8т( Лх)
Л
7гк
при Р = 0, где \=^- (к = 1,2,3,...). Функция ик является решением задачи (1)-(3) при
ди
ик (х,0) = 0, —- =Щк 51п(^ х). Для точек (х, у), расположенных в области у < 0, решение
^ у=0
этой задачи стремится к нулю при к ^<х. В то же время в точках, для которых у > 0, очевидно, что
Адрес для корреспонденции: Джураев Хайрулло Шарофович. 734025, Республика Таджикистан, г.Душанбе, пр.Рудаки, 17, Таджикский национальный университет. E-mail: hayrullo_58@mail.ru
x=0
x
ик (х, у) не стремится в этой области к нулю - единственному решению задачи Коши с тривиальными данными. Таким образом, нарушается устойчивость, а в целом и корректность задачи (1)-(3).
В настоящей заметке, которая примыкает к [3,4], даётся один способ построения семейства регуляризирующих алгоритмов нахождения решения задачи (1)-(3), обладающих свойством устойчивости к малым изменениям исходных данных, основанных на идее регуляризации задачи суммирования рядов Фурье.
2. Если Ук (х, Лк ) - к-ая собственная функция краевой задачи
у" + Я2у = 0, уу(0) + рУ (0) = у(1) + р'(I) = 0,
а 1к - соответствующее ей собственное значение и ^к (у,Лк) решение уравнения м>" — = 0,
удовлетворяющее начальным условиям к (0, Л,к) = рк, ^'к (0, Л,к) = ^к, то решение (1)-(3) имеет
вид
С сип
и(X, у) = J (pkCh(\y) + щк vk (X, \ ).
к=1
Vk (ХЛ ). (4)
Здесь (рк = (р,vk)^, щк = (^, v)^ - коэффициенты Фурье функций р(х), \у(х) . Неустойчивость
задачи (1)-(3) в приведенном методе проявляется на этапе нахождения коэффициентов Фурье функций р(х), w(x) по системе {vk (х,Як )} .
Известно [5, стр.525], что если функции р(х), щ(х) имеют непрерывные производные в промежутке [0,1] и удовлетворяют предельным условиям (3), то функция и(х, у) вида (4) удовлетворяет условиям (2)-(3), а также уравнению (1). Следовательно, формула (4) дает точное решение задачи (1)-(3).
Пусть вместо р(х), 1^(х) заданы их приближения р(х), (~(х) из L2(0, l) такие, что
||р(х)-Р(х)||L ^ ||у~(х)-¥(х)||L ^^, 0<S<So = const. (5)
Тогда вместо нахождения и(х, у) можно ставить задачу о нахождении приближенного решения. Если р(х), (~(х) непрерывно дифференцируемые функции в [0,1], то формула (4) дает искомое реше-
ние задачи (1)-(3). Однако можно указать приближенные исходные значения функций р(х), Ц~(х), которые не обладают свойством непрерывной дифференцируемости. Например, графики исходных функций р(х), </~(х) задаются в виде ломаных линий. Поэтому в качестве приближенного решения
задачи (1)-(3) с приближенными исходными данными будем брать значение однопараметрического семейства операторов
С сиг о
R(р,W, x, у,а) = r(k,а) pkCh(\y) + щк Sh(^y) vk(х,Як),
к=1
v Л
(6)
где г (к ,а) - стабилизирующие множители, определенные для всех а > 0 и к = 1, да . Предположим, что они удовлетворяют условиям:
1) 0 < г(к, а) < 1 для любых а > 0 и к = 1, да ;
2) г(к ,0) = 1;
3) для всякого а > 0 (г (к ,а)} е /2;
4) Иш г (к,а) = 0 равномерно для любого а е (0, а0], где а0 -любое фиксированное полок ^0
жительное число;
5) для всякого к 1йп г (к,а) = 1 не убывая;
а^0
6) для любого к г(к,а) - монотонно убывающая по а функция и Нш г (к, а) = 0 ;
7) для каждого О >
0 {г (к,о)Ск(Лку)} и і г (к ,о)
г
принадлежат /2 при всяком
фиксированном у > 0.
Если положить, например, г(к,а) = (1 + а<^к)— , где (%к } последовательность положительных чисел, порядок роста которых при к ^ да не ниже, чем к£ , где £ > —, то условия 1)-7) выполняют-
ся.
Пусть Д1Я = Я(р, щ, х, у, о) — и(х, у) . Тогда из (4) и (6) имеем
М <Е
к=1
(г(к, о) —і/(РкСИ(Хку) + Щк ЇКгу
I г
Пользуясь равномерной ограниченностью {\’к (х, Хк)} (см. [6]) постоянной С, получаем
М < С ■Е
к=1
(г(к, о) —1) (РкСКАкУ) + Щк У)
V г )
Используя свойства 1), имеем
к=1
Ґ
(г(к, о) — 1) (ркСКХку) + Щк
ЇК\У)
г
к
ад ґ
1+ С Е —1
) к=п+1 V
г
Поскольку для любого фиксированного у > 0 {р,Ск(Х,у)} и
I ЯКЛку) I
Щк----—----? принадлежат 12, что
следует из предположения о существовании решения в виде (4), то для всякого є > 0 найдется такое целое число N (є, у), что при п > N (є, у) будет выполняться неравенство
Е
к=1
Ґ
(г(к,о) —1) (РкСКгу) + Щк
V к )
Зафиксировав одно из таких п, рассмотрим конечную сумму
<-
є
3С
V
Е
к=1
Г
(г(к, а)—1) (РкСИ(1ку) + у/к
SK^У) К
V 'ьк У
Из свойств 2)-6) следует, что для последовательности (г(к,а)} найдется такое а0 = а0 (8, у) > 0, что для всех а <а0 эта конечная сумма при любом фиксированном у > 0, не будет превосходить число 8
3С
Следовательно,
М <
28
3
(7)
Пусть Д2Я = Я((, /, х, у, а) — Я((, /, х, у, а) . Тогда
IД 2 Я < С • Е г (к, а)(( —( )СЛ(4у)| + С • Е
к=1
к=1
г (к ,а)(/~к —/к)
К
Применяя неравенство Коши-Буняковского, получим
|Д2Я <СШг(*,а)СА(К.у)| I (( —(к)2 У + С
Л=1
к=1
Е
к=1
К
Е (/к—/к)2
к=1
Введём обозначения
да да
Ыа у)=Е 1г(к,а)Ch(КkУ)2, у)=Е
г(к, а)
$К\у)
К
к=1 к=1
Ввиду наложенных условий на (г (к, а)} , эти ряды определены и являются невозрастающими функциями по а для каждого фиксированного у > 0, причем их суммы при а ^да стремятся к нулю. Теорема Рисса-Фишера [7, стр.153] устанавливает взаимнооднозначное, непрерывное и линейное соответствие между функциями из £2 и числовыми последовательностями из /2 со сходящейся суммой квадратов. Уклонения (~(х), /(х) от ((х), /(х) из пространств £2 (0,1)
равно
1 1 ||((х)—((х)\1 ={1Е((к—(к)2К |/(х)—/(х)1 ={1Е^ —/к)21 .
к=1
2 к=1
Из условий (5) далее имеем
С• • S•(^]юl(а,у) ^Л/®2(а^у)).
Отметим, что для получения условия согласования параметра регуляризации а с погрешностью 8 достаточно показать, что |Я((, /, х, у, а) — и(х, у) ^ 0 при 8 ^ 0. Если
да
да
2
2
да
да
>
2
*<*о =
■■4Ї
3 •42 • С • (д/01(а, у) +7^2 (а, у)) ’
то для всех а е (0, а0 ] будет
|Д 2 Я <8. (8)
Так как
Я((, /, х, у, а) — и( х, у) < \Я((, /, х, у, а) — Я((, /, х, у, а)| + \Я((, /, х, у, а) — и( х, у), то, используя неравенства (7) и (8), получаем, что
\Я((,/,х,у,а) — и(х,у) <8. (9)
Пусть а = а(8) есть корень уравнения
--------- I---------- 8 •
у) +лja2(а,у) = „ гг „ е . (10)
3•у/2 • С •о
Тогда |Я((, /~, х, у, а) — Я((, /, х, у, а)| = 8, поэтому
1ш\Я((,~, х, у,а) — Я((,/, х, у,а) = 0. (11)
Кроме того, из свойств последовательности (г(к ,а)} и (9) видно, что
1ш а(8) = 0. (12)
5^0
Тогда из неравенства (9) с учетом свойства модуля непрерывности и свойств последовательности (г (к ,а)} вытекает, что при выполнении соотношений (11) и (12) справедливо равенство
1ш \Я((, /~, х, у, а) — и( х, у) = 0.
Значит, выполняется соотношение
1ш Я((~, /~, х, у, а) = и(х, у) . (13)
8^0
Таким образом, справедливость согласования параметра регуляризации а с погрешностью 8 для задачи (1) - (3) установлена, тем самым доказана
Теорема. Пусть функция и(х, у) является точным решением задачи (1)-(3), а ((х), /~(х)
непрерывные 8 - приближения к ((х), /(х) из пространства Ь2 (0, /) и у -заданное положи-
тельное число. Тогда для каждой последовательности (г(к, а)}, удовлетворяющей условиям 1)-7), однопараметрическое семейство вида (6) является регуляризирующим алгоритмом задачи (1)-(3) и для любого у > 0 выполняется равенство (13), причем справедливо равенство (12).
Поступило 20.03.2011 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Лаврентьев М.М. О некоторых некорректных задачах математической физики. - Новосибирск: Изд-во СО АН СССР, 1962, 92 с.
2. Адамар Ж. Задача Коши для линейных уравнений с частными производными гиперболического типа. - М.: Наука, 1978, 352 с.
3. Джураев Х.Ш. - Математическое моделирование и краевые задачи: М33 Тр. VII Всероссийской научной конф. с международным участием, ч.3: Дифференциальные уравнения и краевые задачи. - Самара: СамГТУ, 2010, с.88-92.
4. Джураев Х.Ш. - ДАН РТ, 2010, т.53, №2, с.104-109.
5. Смирнов В.И. Курс высшей математики, изд.2, т.1У - М.: Гос. изд. технико-теоретической литературы, 1951, 804 с.
6. Левитан Б.М., Саргсян И.С. Операторы Штурма-Лиувилля и Дирака. - М.: Наука, 1988, 432 с.
7. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. - М.: Наука, 1981, 544 с.
Х.Ш.Ч,ураев
ДОИР БА ХДЛЛИ МАСЪАЛАИ ОМЕХТА БАРОИ МУОДИЛАИ ЛАПЛАС
Донишго^и миллии То чикистон
Усули сохтани алгоритми устувори барои ёфтани ^имати х,алли масъалаи омехта барои муодилаи Лаплас нисбат ба ошуби додашудах,ои ибтидой пешних,од карда мешавад. Тарзи мувофщкунонии параметри танзимкунанда бо сах,ех,ии так;рибих,ои додашуда оварда мешавад. Калимацои калиди: функсияи суфтакунанда - гайрикоррект - устувори - синфи операторной танзимкунанда - параметри танзимкунанда.
Kh.Sh.Dzhuraev
ON THE SOLUTION OF A MIXED BOUNDARY VALUE PROBLEM FOR LAPLACES EQUATION
Tajik National University
The method constructing on algorithm of approximate solving of mixed boundary value problem for Laplace equation is suggested. This method has the property of resistance to small deviations of initial data. The method of parameter coordination regularization with a margin error in discussed.
Key words: smoothing function - an incorrectness - stability - family regularization operator - parameter regularization.
