Метод Римана для решения нелокальных краевых задач для псевдопараболических уравнений третьего порядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2013. № 4 (33). С. 15—24

Дифференциальные уравнения

УДК 517.954

МЕТОД РИМАНА ДЛЯ РЕШЕНИЯ НЕЛОКАЛЬНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ПСЕВДОПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА

M. Х. Бештоков

Кабардино-Балкарский государственный университет им. Х. М. Бербекова Россия, 360004, Нальчик, ул. Чернышевского, 173.

E-mail: [email protected]

С помощью метода функции Римана доказаны существование и единственность регулярных решений нелокальных краевых задач для псевдопараболических уравнений третьего порядка с переменными коэффициентами.

Ключевые слова: краевые задачи, метод функции Римана, нелокальное условие, уравнение в частных производных третьего порядка, псевдопараболическое уравнение.

Хорошо известно, что рассмотрение вопросов фильтрации жидкости в пористых средах [1,2], передачи тепла в гетерогенной среде [3,4], влагопереноса в почво-грунтах [5] (см. [6, c. 137]) приводит к модифицированным уравнениям диффузии, которые являются псевдопараболическими уравнениями в частных производных третьего порядка.

В данной работе рассматриваются нелокальные краевые задачи для псевдопараболических уравнений третьего порядка с переменными коэффициентами. Доказательство существования регулярных решений поставленных задач проводится методом функции Римана, причём функция Римана, которая вводится здесь, существенно отличается от рассмотренной в [7,8]. В работе [9] рассматриваются локальные и нелокальные краевые задачи для псевдопараболических уравнений третьего порядка с переменными коэффициентами. Доказательство основных утверждений в [9] проводится с помощью метода функции Римана, принцип построения которой используется в данной работе.

Задача А. Существование и единственность решения задачи А. В замкнутом прямоугольнике D = {(x,t) :0 ^ x ^ l, 0 ^ t ^ T} рассмотрим следующую нелокальную краевую задачу:

Lu = (n(x, t)uxt)x + (k(x, t)ux)x + r(x, t)ux + dut — q(x, t)u = —f (x, t),

0 < x < l, 0 < t < T, (1)

u(0,t) = e(t) f u(x,t)dx + / p(t,T)u(l,T)dr — p(t), 0 ^ t ^ T, (2) J 0 Jo

Мурат Хамидбиевич Бештоков (к.ф.-м.н., доц.), докторант, каф. вычислительной математики.

15

М. Х. Бештоков

ux(l,t) = 0, 0 ^ t ^ T, (3)

u(x, 0) = u0(x), 0 ^ x ^ l, (4)

где

n(x, t) ^ со > 0, со = const; nx,t, kx, rx, dt, q, f G C[D]; uo(x) G C2[0,l], (5)

^(t), p(t, t), ^(t) —функции, непрерывные на [0,T], 0 ^ т ^ t. Кроме этого, введём обозначение n(x, t) = kux + quxt, которое будет использоваться далее. Заметим, что нелокальное условие (2) можно заменить условием

u(0, t) = e(t)

fh

I u(x,t)dx + о

I p(t,T)u(l,T)dT о

где h — глубина корнеобитаемого слоя (см. [10]) или активный слой почвы, который участвует в водоснабжении корневой системы, в процессах испарения и транспирации. Поставленные и исследованные в данной работе задачи характерны также тем, что содержат в краевых условиях нелокальность по времени, впервые изученную А. И. Кожановым [11].

Теорема 1. Пусть коэффициенты уравнения (1) и граничных условий (2)-(4) удовлетворяют условиям гладкости (5), d(x,t) < 0 для любого (x,t) G D и в(t) < 0 для любого t G [0, T]. Тогда задача (1)-(4) имеет единственное регулярное в D решение.

Доказательство. Следуя [9] введём аналог функции Римана w = = w(x,t; а, т) для уравнения (1) в области Q = {(x,t) : а < x < l, 0 < t < т} в форме

Mw(x, t; а, т) =

= —(n(x, t)wx)xt + (k(x, t)wx)x - (r(x, t)w)x - (dw)t — q(x, t)w = 0,

k(a, ti) n(a,ti)

dti ,

w(a, t; а, т) = 0, wx(a, t; а, т) = n-i(a, т) exp^J w(x, т; а, т) = wi(x, т),

где wi(x,T) — решение следующей задачи Коши:

(n(x, т)wx(x, т; а, т))x + d(x, т)w(x, т; а, т) = 0, w^, т; а, т) = 0, w^а, т; а, т) = п-:Ча, т).

Здесь и далее (а, т) — произвольная фиксированная точка области D. Имеет место соотношение

r w dQ dP

wLu — uMw = —-----—,

dx dx

(6)

где

Lu = (nuxt)x + (kux )x + rux + dut — qu + f (x, t),

16

Метод Римана для решения нелокальных краевых задач для псевдопараболических уравнений ...

Q = vwuxt + u(nwx)t + kwux — kwxu + ruw, P = nwxux — duw.

Потребуем непрерывности P, Q в D, непрерывности и ограниченности Px, Qt в D.

Проинтегрируем соотношение (6) по области Q:

г1 гТ / dQ dP >

(wLu — uMw)dxdt = J J \~q-----~q~ }dxdt.

(7)

Тогда из (7) с учётом определения функции w = w(x,t; а,т) получим представление

u(a, т) = u(l, т)n(l, т)wx(l, т; а, т) —

— J ({nil, t)uxt(l, t) + k(l, t)ux(l, t))w(l, t; а, т)+

+ u(l, t) {n(l, t)wx(l, t; а, т))t — k(l, t)wx(l, t; а, т) + r(l, t)w(l, t; а, т) ^dtP P / (d(x, 0)w(x, 0; а,т)u(x, 0) — n(x, 0)wx(x, 0; а,т)ux(x, 0))dx—

J a ' '

w(x,t; а,т)f (x,t)dxdt. (8)

x

ГТ r l

/0 Ja

Существование и единственность аналога функции Римана w = w(x,t; а,т) доказаны в работе [9].

Из представления (8) простым преобразованием получим

Да, т) = u(l, т)n(l, т)wx(l, т; а, т) — ux(l, т)n(l, т)w(l, т; а, т) +

+ J (ux(l,t)[{n(l,t)w(l,t; а, т ))t — k(l,t)w(l,t; а,т )] —

— u(l, t) {n(l, t)wx(l, t; а, т))t — k(l, t)wx(l, t; а, т) P r(l, t)w(l, t; а, т) j dtp

+ (d(x, 0)w(x, 0; а,т)u(x, 0) — n(x, 0)wx(x, 0; а,т)ux(x, 0) J dx—

a

ГТ Г l

w(x, t; а, т)f (x, t)dxdt P ux(l, 0)n(l, 0)w(l, 0; а, т). (9)

0a

Проинтегрируем (9) по а от 0 до l. Тогда с учётом (4) из (9) получим

/ ь,(а,т)с!а = Д1,т)п(1,т) wД^т; а,т)dа—ux(l,т)п(1,т) w(l,т; а,т)с!а+

J 0 J 0 J 0

+ J (КгУ^)^^^) — dt P П\(т), (10)

где

К\(т,^ = [(n(l,t)w(l,t; а,т))t — k(l,t)w(l,t; а,т)] dа,

0t

w(l, t; а,

п

17

М. Х. Бештоков

А г

K-2(т, t) = / (n(1, t)wx(1, t; а, т)). - k(1, t)wx(l, t; a, т) + r(l, t)w(l, t; а, т)

J0 1

da,

71(т) = J j (d(x, 0)w(x, 0; а,т)и0(х) — n(x, 0)wx(x, 0; а,т)п'0(х)^dxda-

Ш1 A

w(x,t; а,т)f (x,t)dxdadt + ux(l, 0)n(l, 0)w(l, 0; а,т)da.

J 0

/0 J 0 J a

Учитывая (10), из (2) получим

l

и(0,т) — u(l, т)в(т)n(l, т) wx(l,т; а,т)da + Пх(1,т)в(т)п(1,т)х

0

xj w(1,т; a,r)da + J (^К^Хт^^хХХХ + К^т^^Х,^ dt = 72 (т), (11)

где

Кз (т,г) = —в(т )К^т,Х, КА(т,Х = в(т )K2^,t) — p(r,t),

12(т ) = Р(т )Ъ(т) — V(т).

Учитывая (4), из представления (9) при а = 0 получим интегральное уравнение

u(0, т) — u(l, т)n(l, т)wx(l, т; 0, т) + Ux(l, т)n(l, т)w(l, т; 0, т) +

+ У (К^т^ихХХ) + Кб(т, t)u(l, t)^ dt = Чз(т), (12)

где

Къ(Ь,т) = — (ц(1,^(1,Р;0,т )) t + кХ,^Х,к;0,т),

КеХ, т) = {n(l, t)wx(l, t; 0, т))t — k(l, t)wx(l, t; 0, т) + r(l, t)w(l, t; 0, т),

7з(т) = jf (d(x, 0)w(x, 0;0,т)uo(x) — n(x, 0)wx(x, 0;0,т)u’0(x)^dx—

— / w(x^^^)f (x,t)dxdt + n(l, 0)w(l, 0;0,т)u'0(l).

0 0 0

Учитывая (3), из (11) и (12) получим систему интегральных уравнений

u(0,т) — u(l,т )в (т )п(1,т ) j wх(1,т ; а,т )da + J (^К4 (т,t)u(l,t)j dt = y2 (т), u(0,т) — u(l^')п(1,т^wxX^;0,т) + J (^К^т^^ХХ)^dt = чз(т), (13)

18

Метод Римана для решения нелокальных краевых задач для псевдопараболических уравнений ...

которая в операторной форме принимает вид

А(т)lU(т)+ f B(r,t)lt(t)dt = Д(т), J о

где

det |А(т)| = в(т)ц(1,т) wTj (l, т; a,T)da - v(1,t)wx(1,t ;0,т).

о

Покажем, что определитель det |А(т)| = 0.

Лемма 1. Функция w(x,t; а,т) удовлетворяет неравенству

w(x,t;0,т) > 0 для любого x £ (0, l], n(l,T)wx(l,T;0,т) > 1,

если d(x, t) < 0, n(x, t) ^ c0 > 0 для любых (x, t) £ D.

Доказательство. Следуя рассуждениям [9], рассмотрим задачу

(q(x, т)wx(x, т; а, т))x + d(x, т)w(x, т; а, т) = 0, (14)

w(a, т; а, т) = 0, wx(a, т; а, т)) = г/-1(а, т).

С помощью принципа максимума и принципа Заремба—Жиро из (14) получаем wx(0,т;0,т) > 0 для любого (x,t) £ [0, l). Тогда из равенства

n(l,T )wx(l,T; 0, т ) = п(0,т )wx(0,t ;0,т) - / d(x,T )w(1,t ;0,t )dx

Jo

имеем, что если d(x, t) < 0, n(x, t) ^ c0 > 0 для любых (x, t) £ D, то

n(l,T)Wx(l,T;0,t) > 1. □

На основании доказанной леммы убеждаемся, что если в(т) < 0 для любого т £ [0, T], то det | А(т)| = 0. Поэтому система уравнений (13) является системой интегральных уравнений Вольтерра второго рода, которая безусловно разрешима. Таким образом, находя из интегральных уравнений Вольтерра и(0,т) = f (т), u(l,T) = д(т), где f (т), д(т) £ C^T], задачу (1)-(4) редуцируем к первой начально-краевой задаче, однозначная разрешимость которой установлена также в работе [9]. Отсюда следуют существование и единственность решения задачи (1)-(4). Теорема доказана. □

Заметим, что (3) можно заменить условием

-Ux(l,t) = [ pi(t, т)u(l,T)dT - /ai(t), 0 ^ t ^ T,

0

где р\{Ь,т), ^i(t) —функции, непрерывные на [0, T].

Задача B. Существование и единственность решения задачи B. Рассмотрим теперь нелокальную краевую задачу, когда условие (3) в задаче А заменяется условием вида

-Ux(l,t) = вг(t)u(l,t) - ^i(t), 0 ^ t ^ T, (3*)

19

М. Х. Бештоков

где Pi(t), ^i(t) —функции, непрерывные на [0, T].

Теорема 2. Пусть коэффициенты уравнения (1) и граничных условий (2), (3*), (4) удовлетворяют условиям гладкости (5), d(x,t) < 0 для любых (x,t) € D, e(t) < 0 и @i(t) > 0 для любого t € [0,T]. Тогда задача (1), (2), (3*), (4) имеет единственное регулярное в D решение.

Доказательство. С учётом (3*) уравнения (11) и (12) образуют следующую систему интегральных уравнений:

и(0,т) — u(l,T) в(т)п(1,т) wx(l,T; а,т)da+

° l

+в(т)@i(t)n(l,T) w(l,T; a,T)da +

J о T J

+ ^ (K7(T,t)u(l,t)j dt = 74 (t), и(0,т) — u(l,T) n(l,T)wx(l,T;0,t)+ /3i(t)n(l,T)w(l,T;0,t) +

+ ^ (Xg (t , t)u(l, t)j dt = Y5 (t),

(15)

где

Kj(T,t) = K4(T,t) — K3(T,t)fil(T), i

Ъ(т) = ъ(т) — в(т)n(l,T)^i(t) J w(l, т; a,r)da — J (K3(тА)^(т))dt, Kg (t, t) = Kg (t, t) — K5 (t, t)P 1 (t),

Y5(т) = 7з(т) — n(l,T)vi(T)w(l,T; a,T) — ^ (k5(t,%i(t))dt.

Систему интегральных уравнений (15) перепишем в операторной форме

A(t)lf (т)+ B(т, t)t(t)dt = ^(т),

о

(16)

где

det |A(t)| = — n(l,T)wx(l,T;0,т) — Pi(t)n(l,T)w(l,T;0,т) +

t i t i

+ в(т )n(l,T)

I wx(l,T; a,T)da + в(т)@i(t)n(l,T) w(l,T; a,T)da.

оо

На основании леммы 1 при условии, что если в(т) < 0, @i(t) > 0 для любого т € [0, T], убеждаемся, что определитель det |А(т)| = 0. Поэтому система уравнений (16) является системой интегральных уравнений Вольтер-ра второго рода, которая безусловно разрешима. Таким образом, находя из интегральных уравнений Вольтерра u(0,T) = f (т), u(l,T) = <т>(т), где f (т), <р(т) € Ci[0,T], задачу (1), (2), (3*), (4) редуцируем к первой начально-краевой задаче, однозначная разрешимость которой установлена в работе [9]. Отсюда следуют существование и единственность решения задачи (1), (2),

(3*), (4). □

20

Метод Римана для решения нелокальных краевых задач для псевдопараболических уравнений ...

Задача C. Существование и единственность решения задачи C. Рассмотрим теперь нелокальную краевую задачу, когда условие (3) в задаче А заменяется условием вида

—n(l,t) = fix(t)v,(l,t) — д (t), 0 ^ t ^ T. (3**)

Теорема 3. Пусть коэффициенты уравнения (1) и граничных условий (2), (3**), (4) удовлетворяют условиям гладкости (5), d(x,t) < 0 для любого (x,t) <Е D и e(t) < 0 для любых t <Е [0,T]. Тогда задача (1), (2), (3**), (4) имеет единственное регулярное в D решение.

Доказательство. Проинтегрируем (8) по а от 0 до l. Тогда с учётом (4) получим

/ и(а,т)da = и(1,т)ц(1,г) wx(l,r; а,т)da—

J 0 J 0

— У (уКд(т, t)n(l,t) + Kio(r,t)u(l,t)Sj dt + Y6 (т), (17)

где

К9(т, t) = I w(l,t; а,т)da,

Jo

Кю(т^) = J ((n(l,t)wx(l,t; а,т))t — k(l,t)wx(l,t; а,т) + r(l,t)w(l,t; а,т))da,

77(т) = J J {^d(x, 0)w(x, 0; а,т)и0(х) — n(x, 0)wx(x, 0; а,т)и'0(х)^dxda—

pT pi pi

— / w(x,t; а,т)f (x,t)dxdadt.

J0 J0 Ja

Учитывая (2), (3**), из (17) получим

i

u(0,t) — Д1,т)в(т)п(1,т) wз;(1,т; а,т)da+

J 0

+ ^ (К11(т,г)и(l,t)jdt = ъ(т), (18)

где

Кц(т, t) = в(т)Кю(т, t) — в(т)вх(т)К9(т, t) — р(т, t),

ъ(т) = в(т)ут(т) — Д(т) — [ в(т)Кд(т, t)^i(t)dt.

0

При а = 0 из (8) с учётом (3**) получаем

и(а,т) — v^^yyh^wx (1,т ; 0,т) + J (^КиДДДДД)^ dt = ъ(т), (19)

21

М. Х. Бештоков

где

Kn(r, t) = (n(l, t)wx(l, t; 0, т))t - k(l, t)wx(l, t; 0, т) +

+ r(l, t)w(l, t; 0, т) - ^i(t)w(l, t; 0, т),

79(т) = J [d(x, 0)w(x, 0; 0, т)uo(x) - n(x, 0)wx(x, 0;0,t)u'0(x)^dx-

ГТ rl ГТ

/ / w(x,t;0, т)f(x,t)dxdt - w(l,t;0,T)^\(t)dt.

!o J0 J0

Уравнения (18) и (19) образуют систему интегральных уравнений. Запишем систему в операторном виде

A(t )~uU (т)+ B (T,t)~uU (t)dt = ~Y (т),

0

(20)

где

det |A(t)| = в(т)n(l, т)

l

I wx(l, т; а, т)da - n(l, т)wx(l, т; 0, т). 0

На основании леммы 1 при условии в(т) < 0 для любых т £ [0, T] убеждаемся, что определитель det |А(т)| = 0. Поэтому система уравнений (20) является системой интегральных уравнений Вольтерра второго рода, которая безусловно разрешима. Таким образом, находя из интегральных уравнений Вольтерра и(0,т) = f (т), u(l,T) = р(т), где f (т), р(т) £ C^0,T], задачу (1),

(2), (3**), (4) редуцируем к первой начально-краевой задаче, однозначная разрешимость которой установлена в работе [9]. Отсюда следуют существование и единственность решения задачи (1), (2), (3**), (4). □

Заметим, что (3) также можно заменить условием

-n(l,t)

j pi(t, т)u(l,T)dT 0

pi (t),

0 ^ t ^ T.

Замечание. Если ввести аналог функции Римана v = v(x, t; £, т) для уравнения (1) в области Q в форме

Mv(x, t; £, т) = -(n(x, t)vx)xt + (k(x, t)vx)x - (r(x, t)v)x - (dv)t - q(x, t)v = 0, v(C,t;С,т) = 0, vx(£,t;С,т) = п-1(С,т)exp^ dti),

v (x, т; £,т) = Ш2 (x,T), где w2(x,T) — решение задачи Коши

22

(n(x, T)vx(x, т; С, т))x + d(x, т)v(x, т; £, т) = 0, v (С, т; С, т) = 0, vx(£, т; С, т) = п-1(С, т),

Метод Римана для решения нелокальных краевых задач для псевдопараболических уравнений ...

то имеет место следующее представление:

u(£, Т) = u(0, т)n(0, т)vx(0, т; £, т) — J (rj(0, t)v(0, t; £, т)uxt(0, t) +

+ k(0, t)v(0, t; £, т)ux(0, t) + u(0, t) (n(0, t)vx(0, t; £, т))t - k(0, t)vx(0, t; £, т) +

+ r(0,t)v(0, t; £,т) )dt + ^ (n(x, 0)vx(x, 0; £,т)ux(x, 0) —

— d(x, 0)v(x, 0; £,т)u(x, 0)j dx + J J v(x,t; £, т)f (x,t)dxdt. (21)

Существование и единственность аналога функции Римана доказаны в [9]. Лемма 2. Функция v(x,t; £,т) удовлетворяет неравенству

v(x, т; 1,т) < 0 для любого x £ [0,1), п(0, т)vx(0,т; 1,т) > 1,

если d(x, t) < 0, n(x, t) ^ c0 > 0 для любого (x, t) £ D.

На основании леммы 2 и представления (21) аналогично доказываются существование и единственность регулярных решений задач A, B, C, в которых условие (2) заменяется последовательно следующими условиями:

1) ux(0,t) = в(t) / u(x,t)dx + / р^,т)ь,(1,т)dт — p(t), 0 ^ t ^ T,

J 0 J 0

/0 ./0

при условии, что в(t) > 0;

rl г t

u(x,t)dx + / 00

2) n(0,t) = e(t) [ u(x,t)dx + / р(^т)ь,(1,т)dт — p(t), 0 ^ t ^ T.

00

Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования и науки Российской Федерации. Регистрационный номер НИР: № 1.6197.2011.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Г. И. Баренблат, Ю. П. Желтое, И. Н. Кочина, “Об основных представлениях теории фильтрации однородных жидкостей в трещиноватых породах” // ПММ, 1960. Т. 24, № 5. С. 852-864; англ. пер.: G. I. Barenblatt, Yu. P. Zheltov, I. N. Kochina, “Basic concepts in the theory of seepage of homogeneous liquids in fissured rocks [strata]” // J. Appl. Math. Mech., 1960. Vol.24, no. 5. Pp. 1286-1303.

2. Е. С. Дзекцер, “Уравнения движения подземных вод со свободной поверхностью в многослойных средах”// Докл. Акад. наук СССР, 1975. Т. 220, №3. С. 540-543; англ. пер.: E. S. Dzektser, “Equation of motion of underground water with a free surface in multilayer media” // Soviet Physics Doklady, 1975. Vol. 20, no. 3. Pp. 24.

3. Л. И. Рубинштейн, “К вопросу о процессе распространения тепла в гетерогенных средах”// Изв. Акад. наук СССР, Cер. Геогр., 1948. Т. 12, №1. С. 27-45. [L. I. Rubinstein, “On the problem of the process of propagation of heat in heterogeneous media” // Izv. Akad. Nauk SSSR, Ser. Geogr., 1948. Vol. 12, no. 1. Pp. 27-45].

4. T. W. Ting, “A cooling process according to two-temperature theory of heat conduction” // J. Math. Anal. Appl., 1974. Т.45, №1. С. 23-31.

23

М. Х. Бештоков

5. M. Hallaire, S. de Parcevaux, R. J. Bouchet, et. al., L’eau et la production vegetale. Paris: Institut National De La Recherche Agronomique, 1964. 455 pp.

6. А. Ф. Чудновский, Теплофизика почв. М.: Наука, 1976. 352 с. [A. F. Chudnovsky, Thermophysics of the soil. Moscow: Nauka, 1976. 352 pp.]

7. D. Colton, “Pseudoparabolic equation in one space variable” // J. Diff. Eq., 1972. Vol. 12, no. 3. Pp. 559-565.

8. D. Colton, “Integral operators and the first initial-boundary value problems for pseudoparabolic equations with analytic coefficients”// J. Diff. Eq., 1973. Vol. 13, no. 3. Pp. 506-522.

9. М. X. Шхануков, “О некоторых краевых задачах для уравнения третьего порядка, возникающих при моделировании фильтрации жидкости в пористых средах” // Диф-фер. уравн., 1982. Т. 18, №4. С. 689-699. [M. Kh. Shkhanukov, “On some boundary-value problems for a third-order equation arising when modelling fluid filtration in porous media” // Differ. Uravn., 1982. Vol. 18, no. 4. Pp. 689-699].

10. А. Ф. Чудновский, “Некоторые коррективы в постановке и решении задач тепло- и влагопереноса в почве”// Сб. трудов АФИ, 1969. №23. С. 41-54. [A. F. Chudnovsky, “Some adjustments in the formulation and solution of problems of heat and moisture transfer in the soil” // Sb. Trudov AFI, 1969. no. 23. Pp. 41-54].

11. А. И. Кожанов, “Об одной нелокальной краевой задаче с переменными коэффициентами для уравнений теплопроводности и Аллера” // Диффер. уравн., 2004. Т. 40, №6. С. 763-774; англ. пер.: A. I. Kozhanov, “On a nonlocal boundary value problem with variable coefficients for the heat equation and the Aller equation” // Differ. Equ., 2004. Vol. 40, no. 6. Pp. 815-826.

Поступила в редакцию 10/I/2013; в окончательном варианте — 27/III/2013.

MSC: 35K70; 35K35, 35C15, 35A20

RIEMANN METHOD FOR SOLVING NON-LOCAL BOUNDARY VALUE PROBLEMS FOR THE THIRD ORDER PSEUDOPARABOLIC EQUATIONS

M. H. Beshtokov

Kabardino-Balkarian State University,

173, Chernyshevskogo st., Nalchik, 360004, Russia.

E-mail: [email protected]

The existence and uniqueness of regular solutions of non-local boundary value problems for the third order pseudoparabolic equations with variable coefficients are proved using the Riemann function method.

Keywords: boundary value problems, the Riemann function method, non-local condition, partial differential equation of the third order, pseudoparabolic equation.

Original article submitted 10/I/2013; revision submitted 27/III/2013.

Murat H. Beshtokov (Ph. D. Phys. & Math.), Doctoral Candidate, Dept. of Computational Mathematics.

24