Об одной задаче для нагруженного псевдопараболического уравнения третьего порядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математические заметки СВФУ Апрель—июнь, 2016. Том 23, №2

УДК 517.956.3

ОБ ОДНОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ НАГРУЖЕННОГО ПСЕВДОПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА О. С. Зикиров, Д. К. Холиков

Аннотация. Исследуется разрешимость нелокальной задачи с интегральным условием для нагруженного псевдопараболического уравнения третьего порядка. С помощью метода Римана доказаны существование и единственность классического решения исследуемой задачи.

Ключевые слова: нагруженное уравнение, метод Римана, нелокальное условие, псевдопараболическое уравнение.

1. Постановка задачи и основные результаты

Нагруженным принято называть уравнение [1,2], содержащее некоторую операцию от следа искомой функции. В настоящее время в связи с развитием теории нелокальных задач для уравнений в частных производных нагруженными стали называть и уравнения, содержащие функционал от самого искомого решения [3].

В плоскости независимых переменных (х, £) рассмотрим нагруженное уравнение в частных производных третьего порядка

I

Ми . Ьи + /Ц^Л ¿х = -/(х.(). (1)

0

где Ьи = ихх< + а(х, ¿)ихх + Ь(х, £)их< + с(х, ¿)их + ¿(х, Ь)щ + е(х, £)и — псевдопараболический оператор, а к(х,£) — заданная функция.

Такого вида уравнения возникают в теории фильтрации жидкостей в пористых средах [4], неустановившегося движения грунтовых вод со свободной поверхностью [5], в теории влагопереноса в почве [6] и многих других дисциплинах, связанных с математическим моделированием.

Изучению краевых задач для псевдопараболических уравнений посвящено большое количество работ (см., например, [7-12]). Для уравнения (1) поставим следующую задачу.

Найти в области Б = {(х, £) :0 < х < I, 0 < I < Т} решение и(х, £) уравнения (1), удовлетворяющее начальному условию

и(х, 0) = ^(х), 0 < х < I, (2)

© 2016 Зикиров О. С., Холиков Д. К.

и следующим граничным условиям: i t

u(0, t) = в(t) J u(x,t) dx + J p(t,T)u(l,T) dr + (t), 0 < t < T, (3) 0 0

Ux(0,t)= Ф2(t), 0 < t < T, (4)

Здесь функции ^o(x), ф1 (t), ^2(t), e(t), p(t,T) заданы и непрерывны на [0, l], [0,T], 0 < т < t соответственно, и, кроме того, удовлетворяют условиям согласования

i

<Ao(0) = в(0) J V0(x)dx + V>i(0), ^0(0) = V>2(0).

0

Заметим, что нелокальное условие (3)можно заменить условием h t u(0, t) = e(t) J u(x,t) dx + J p(t,T)u(l, т) dT - ^i(t), 00

где h — глубина корнеобитаемого слоя [7] или активный слой почвы, который участвует в водоснабжении корневой системы, в процессах испарения и транс-пирации. Исследованное в данной работе уравнение характерно также тем, что содержит нагруженное слагаемое и в краевых условиях нелокальность по времени.

Введем некоторые необходимые для дальнейшего обозначения и определения.

Пусть Ck'1 (D) — класс функций u(x,t), непрерывных вместе со своими частными производными порядка dm+nu/dxmdtn для всех m = 0,1, 2,...,k, n = 0,1, 2,..., l, где Ck'0(D) = C0'k(D) = Ck(D) и C°'°(D) = C(D).

Определение 1. Под классическим решением задачи (1)—(4) будем понимать функцию и{х, t) из класса C2'1(D)nC1'0(D), удовлетворяющую уравнению (1) и условиям (2)—(4) в обычном смысле.

Задачу (1)—(4) исследуем в пространстве C2'1(D)nC1'°(D), и в этом случае будем требовать выполнения следующих условий.

Условие 1. Коэффициенты уравнения (1) для всех (x,t) £ D удовлетворяют условиям

a(x, t) £ C1,0(D) п C2'°(D), b(x,t) £C1(D)nC1'1(D), c(x, t) £ C(D) п C1,0{D), d(x,t)GC(D)nC°'1(D), e(x,t)&C(D). Кроме того, d(x, t) < 0 для любой (x, t) £ D.

Условие 2. Заданные функции V0(x), ^i(t), ^2(t), fi(t), f (x,t), k(x,t) и p(t,T) удовлетворяют условиям v0(x) £ C2[0,l], ^1(t),^2(t) £ C1[0,T], P(t),p(t,T) £ C[0,T], f{x,t),k{x,t) £ C(D) и P{t) < 0 для всех t£ [0,Т].

Имеет место

Теорема 1. Пусть выполнены условия 1 и 2. Тогда задача (1)—(4) имеет единственное классическое в области И решение.

Справедливость сформулированной выше теоремы докажем методом Ри-мана, разработанным в [8].

2. Функция Римана

Введем оператор Ь*, сопряженный с оператором Ь:

Ь*у = -уХ1Х + (а,у)хх + (Ьу)Х1 - (су)х - (в,у)г + еу = 0, (5)

Очевидно, что оператор Ь* определен на функциях у(х,Ь), имеющих следующую гладкость: у{х,Ь) € С1'0(5), у{х,Ь) € С°'°(Т>) и у{х,Ь) € С2,1{0).

Определение 2. Назовем функцией Римана уравнения (1) функцию, являющуюся решением следующей задачи Гурса:

Ь*у = 0, (х,Ь) е Б, (6)

у(С, Ъ С, т) = о, Ух(С, С, т) = ехр Ы а(С, т1) вт1, (7)

у(х,т;С,т )= и(х,т), (8)

где ш(х, т) — решение задачи Коши:

Ухх(х,т; С,т) + (Ьу)х(х,т; С,т) + (ву)(х,т; С,т) = 0,

у(С,т; С,т ) = 0, Ух (С,т; С,т) = 1, (9)

а (£, т) — произвольная фиксированная точка из области И.

Теорема 2. Пусть выполнено условие 1. Тогда функция Римана у(х, 4) = у(С, т; х, 4) уравнения (1) существует и единственна.

Доказательство. Пусть решение задачи (6)-(9) — функция у(х,Ь) — существует. Проинтегрировав уравнение (6) по х от С до х и воспользовавшись условиями (7), (8), получим уравнение

х х

д [ (

1(у) = уХ1—аух+Ьу1+(с—ах—Ь1)у = —— / ¿(ж1,£)у(ж1,£) С1ХХ+ / е(жх, 1)У{Х\, I) йх^.

í í

(10)

Легко проверить, что

д

д

и1(у) — уГ(и) = —— дх

— (иу4 — ущ) — аиу

— (иух — уих) — Ьиу

(11)

здесь I* (и) = Пхг - (ау)х - (ьу)t + (с - ах - Ь)и.

Пусть «(х, 4; а, в) — функция Римана для уравнения 1(у) = 0, т. е. представляет собой функцию, удовлетворяющую уравнению ¡*(Н) = 0 и условиям

(12)

Очевидно, что «(а, в; а, в) = 1, где (а, в) — фиксированная точка области Б.

В результате почленного интегрирования (11) по характеристическому прямоугольнику Б' = {(х,4) : а < х < С, в <4 < т}, применяя формулы Грина и учитывая (7), (8), (10) и (12), получим

у(а,/3) = -И(а, т; а, [3)ш(а, т) {

1

+ — / {П(х, т; а, [3)шх(х, т) — (Нх(х, т; а, ¡3) + 2Ь(х, т)Н(х, т; а, [3))ш(х, г)] ¿х

2

а

т {

+ [ [ й(ж, а,/3) < —т— [ Й(ж1,£)г>(ж1,£) йх^ + / е(ж1,£)г>(ж1,£) йх^ > йхсП.

в а { д { {(13)

Интегрируя в (13) по частям и меняя порядок интегрирования по формуле Дирихле, имеем

а а в

„(^ -/ад,*^м^)вх + / вх/кгМа,ПуШ)в = * (14)

здесь

ад. а а,я = «к« / ^^.т

а

X X

К^, * а, я = в(х, « / Щ*., * а, « ^ + е(х, 0 / Ж,.,«; а, Двх.,

аа а

11

Р = т! т) ~~ 2 / т> а> т) — (Кх(х, т; а, /3)

{

а а

+ 2Ь(х, т)Ж(х, т; а, в))^(х, т)] вх + / / в(х., т)Ж(х., т; а, в)^(х, т) вх.

{ XI

Известно [8], что обратимая замена

а I а л

„(а,в)= „о(а,в) —J „о(х1, в)К.(х,в; а, в) ехр< У К2(х2,в)вх2 > вх.

х

х

х

сводит уравнение (14) к интегральному уравнению Вольтерра второго рода относительно функции vo(a,e):

а в

v0(a, в) + ^ j K3(x,t; a, e)v0(x, t) dt = F, € т

где

а ^

K3(x, t; а,в)= Ki(x, t; a, в) У K2(xi;t; а,в)ехр<У K2(x2,e)dx2> dxi

x 1.x 1 J

+ K2(x,t; a, в),

которое безусловно и однозначно разрешимо.

3. Задача Гурса

Исследуем характеристическую задачу для уравнения (1). Требуется найти функцию u(x, t), являющуюся в области D решением уравнения (1) и удовлетворяющую начальному условию (2) и граничным условиям

u(0, t) = -0(t), ux(0, t) = ^2(t), 0 < t < T, (15)

где ^(t) — пока неизвестная функция такая, что

V>(0) = ^(0), ^2(0) = ^'(0).

Очевидно, что прямые x = const, y = const являются характеристиками уравнения (1), поэтому задачу (1), (2), (15) будем называть задачей Гурса.

Рассмотрим следующее тождество для функций u(x,t), v(x,t) £ C2,1(D) П

i

dp dQ Г

vLu — uL*v = —--1—-—h v / k(x,t)u(x,t) dx, (16)

dx dt 7 0

здесь

P = vuxt + uvxt + avux — (av)xu — (bv)tu + cvu, Q = —vxux + duv + bvux.

Предположим, что P, Q непрерывны в области D, а Px, Qt непрерывны и ограничены в D. Проинтегрируем тождество (16) по области Do = {(x1 ,t1) : xo < xi < x, to < ti < t}:

t x t x i l \

J j\vLu — uL*v) dxidti = J J < —--J f dxidti, (17)

to xo to xo I 0 J

С учетом определения функции Римана v = г>(ж,£; £,т) из (17) легко получить интегральное представление

и(ж, ¿) = vx(ж0, ж, ¿)и(жо, ¿) — (^)(жо, ж, ¿)и(жо, ¿) + (^)(жо, ¿о; ж, ¿)и(жо, ¿о)

X

+ У^х(жьго; ж, £)и(ж1, ¿о) + (^)х(жь ¿о; ж, ¿)и(ж1, ¿о) — (^)(ж1, ¿о; ж, ¿)и(ж1, ¿о)]

хо

— J ^(жо, ¿1; ж, ¿)их^(жо, ¿1) + (av)(жo,¿1; ж, ¿)их(жо, ¿1)] ¿¿1 *0

—У^(жо,^; ж, ¿) — (ад)х(жо,41; ж, ¿) — (^^(жо, ¿1; ж, ¿)+(ст)(жо, ¿1; ж, ¿)]и(жо, ¿1) ¿¿1

*0

х 4 Л I \

+ /ъ/v(жl'tl>М)]/«х,«1^1)— Л^,)Ль <18>

где (жо, ¿о) — произвольная фиксированная точка из £>о-

Используя интегральное представление (18) при жо = ¿о = 0 и учитывая условия (2) и (15), получим

и(ж, ¿) = vx(0, ж, 4)^(4) — (^)(жо, ж, 4)^(4) + (^)(жо, ¿о; ж, ¿)^(0)

х

+ У ьх(жь 0; ж, ¿)^'(ж1) + (^^(ж^ 0; ж, ¿)^(ж1) — (^)(жх, 0; ж, ¿)^(ж1)] ¿ж1 о

— УК0,^; ж,г)^2(¿1) + М^,^; ж, ^2^1)] ¿¿1 о

— У ^х4(0, ¿1; ж^) — (^)х(0,г1; ж^) — (Н4(0,г1; ж, ¿) + (ст)(0,г1; ж^)]^) ¿¿1 о

х 4 Л I \

оо

4. Сведение задачи (1)—(4) к системе интегральных уравнений

В этом разделе будет изучен вопрос о сведении задачи (1)—(4) к системе интегральных уравнений. Представление (19) после некоторых преобразований

перепишем в виде

u(x,t) = [vx(0, t; x,t) — (bv)(0, t; x,t)№(t) t

— j[vxt(0, т; x, t) — (av)x(0, т; x, t) — (bv)t(0, т; x, t) + (cv)(0, т; x, t)]^(r) dr 0

x t

+ / / v^; xit)^) dxi d£>dт + g(x, t), (20) 00

здесь

i i ^(t) = j k(x,t)u(x,t) dx, ^(0) = j k(x, 0)^(x) dx, (21)

00

g(x,t) = (bv)(0, 0; x,t)<p(0)

X

+ I [vx(C, 0; x, ty (0 + (bv)x(£, 0; x, %(£) — (dv)(£, 0; x, %(£)] d£

x 0

t x t

— J[v(0, т; x,t)^2(т) + (av)(0, т; x,t)^2 (т)] dт — J J v(£,т; x,t)f (£,т) d£d^ 0 0 0 Сначала проинтегрируем (20) по x от 0 до l и после несложных преобразований получим

J u(x,t) dx = ^vx(0,t; l,t) — b(0,t) J v(0,t; x,t) dx^^(t)

t ixt i

— J К0(т^)-ф(т) dт + J dx J J v(C, т; x,t)^(т) d£>dт + J g(x,t) dx, (22) 0 0 0 0 0

где

К0(т, t) = vt(0, т; l, t) — a(0, т)v(0, т; l, t)

i i + — J (bv)(0, r; x, t) dx + J c(0,t)v(0,t;x,t) dx. 00 В (20) положим x = l и умножим на р(т, t), полученное при этом выражение проинтегрируем по т в пределах от 0 до t и после ряда преобразований получим t t J р^^^^т) dт = J р(т, t)[vx(0, т; l,t) — (bv)(0, т; l,t)]^(т) dт

00 t t

—J ф(т) d^ j p(t,s)[vxt(0,s; l, т) — (av)x(0, s; l, т) — (bv)t(0, s; l, т) + (^)(0, s; 1,т)] ds

4 4/1 \ Т

+ У м(т) ¿т J р(М)|У v(£,s; 1, т) ^ I ¿в ^У р(т, ¿)д(1, т) ¿т, (23) о

Соберем все слагаемые, отвечающие условию (3) в точке ж = 0, и получим следующее соотношение между и

4 4

Л^Ж*) +1 К*^, тЖт) ¿т + 1 К^, т)М(т) ¿т = доСО, (24)

где

г

А1 (¿) = ей

^(0, г, г) — Ь(0,г)У v(0, ж^) ¿ж

о

к * (^ т) = Vxt(0, т; г, ¿) — (ov)x(0, т; 1, ¿) — (^ (0, т; 1, + (от) (0, т; 1, ¿)

г г

^(0,т;^)-а(0,т)г;(0,т;г,£) + -^У т; ж, йх + J(Ьь)(0, т; х, I) Ах

оо + р(т, ¿)^х(0, т; М) — (Н(0,т; М)]

— У р(^ в)^х4(0, в; г, £) — (ov)x(0, в; 1, ^ — (Н4(0, в; 1, £) + (cv)(0, в; 1, ¿в,

I х 4 1

Км(£,т)= в(т) J v(£,т; ж, ¿) ^ + 1 р^в) v(£, в; 1,т)

о о т о

г 4

до(¿) = д(0, ¿) — д(ж,£) ¿ж ^ р^т)д(1,т) ¿т — ^ч^).

оо

Умножим обе части (20) на функцию к(ж, ¿) и проинтегрируем по ж от 0 до

1. После преобразований получим второе соотношение между функциями и

4

¿2^) — М*) К**^, тЖт) ¿т — I К^, т)м(т) ¿т = д1 (¿), (25)

оо

здесь

¿2(*)=/ k(ж,í)[v(0,í; ж, ¿) — (bv)(0,í; ж^)] ¿ж, о

г

К **(^т) =У ¿(ж^^^т; ж^) —^)х(0,т; ж, ^ —(Н4(0, т; ж, «)+(cv)(0, т; ж, £)] ¿ж,

(ж, 1)^x4(0, т; ж, ¿) — ^)х(0, т; ж, — ^Ы0, т; ж,

о

4

I X I

К*^(Ь,т) = J к(х,Ь) <1х J ь(£,т; х,Ь) дг(г) = J к(х,Ь)д(х,Ь) <1х. 0 0 о

Таким образом, разрешимость задачи (1)-(4) сведена к разрешимости системы интегральных уравнений типа Вольтерра (24), (25). Введя обозначения

«✓(Л= (А^) 0 ^ 4^т)= ( К*Ы К^,т) N ('(г) N

систему интегральных уравнений (24)-(25) перепишем в операторном виде:

t

+У Щг,т)-ш(т) йт = д(Ь), (26)

0

здесь

I

к(г)1 = -в(г)у(0,г; 1,г) + в(г)Ъ(0,г)!у(0,г; х,г) йх.

0

Покажем, что det (г)| = 0. Следуя рассуждениям [8], можно выделить класс задач, для которых det (г)| нигде в [0,Т] не обращается в нуль. Действительно, функция г>(0,г; 1,г) на [0,Т] нигде не обращается в нуль, если нуль не является собственным значением задачи

ухх(х, г; I, г) + (Ъу)х(х, г; I, г) + (йу)(х, г; I, г) = 0,

(27)

у(0,г; 1,г) = 0, у(1,г; 1,г) = 0.

Так будет, например при й(х, г) < 0. В самом деле, если г>(0, г; I, г) = 0 при каком-либо г € [0, Т], то задача (27) имеет только тривиальное решение г>(х, г; I, г) = 0, а значит, ух(х, г; I, г) = 0, что противоречит условию ух(1,Ь; 1,г) = 1.

На основании леммы, доказанной в [7, 8], легко убедиться, что если в (г) < 0 для всех г € [0, Т], то det 1&/(г)| = 0. Поэтому система уравнений (24), (25) является системой интегральных уравнений Вольтерра второго рода, которая безусловно разрешима.

Таким образом, находя '(г) и ^(г) из интегральных уравнений Вольтерра, задачу (1)-(4) редуцируем к задаче Гурса для уравнения (1), однозначная разрешимость которой установлена, например, в [8].

ЛИТЕРАТУРА

1. Нахушев А. М. Задачи со смещением для уравнений в частных производных. М.: Наука, 2006.

2. Дженалиев М. Т. К теории линейных краевых задач для нагруженных дифференциальных уравнений. Алматы: Ин-т теорет. и прикл. математики, 1995.

3. Кожанов А. И., Пулькина Л. С. О разрешимости краевых задач с нелокальными и граничными условиями интегрального вида для многомерных гиперболических уравнений // Дифференц. уравнения. 2006. Т. 42, № 9. С. 1166-1179.

4. Баренблатт Г. Н., ЖЖелтов Ю. П., Кочина И. Н. Об основных представлениях теории фильтрации однородных жидкостей в трещиноватых породах // Прикл. математика и механика. 1960. Т. 24, № 5. С. 852-864.

5. Дзецкер Е. С. Уравнение движения подземных вод со свободной поверхностью в многослойных средах // Докл. АН СССР. 1975. Т. 220, № 3. С. 540-543.

6. Чудновский А. Ф. Теплофизика почв. М.: Наука, 1976.

7. Бештоков М. Х. Метод Римана для решения нелокальных краевых задач для псевдопараболических уравнений третьего порядка // Вестн. Самар. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2013. № 4. С. 15-24.

8. Шхануков М. Х. О некоторых краевых задачах для уравнения третьего порядка, возникающих при моделировании фильтрации жидкости в пористых средах // Дифференц. уравнения. 1982. Т. 18, № 4. С. 689-699.

9. Солдатов А. П., Шхануков М. Х. Краевые задачи с общим нелокальным условием А. А. Самарского для псевдопараболических уравнений высокого порядка // Докл. АН СССР. 1987. Т. 297, № 3. С. 547-552.

10. ЖЖегалов В. И., Миронов А. Н. Дифференциальные уравнения со старшими частными производными. Казань: Казан. мат. о-во, 2001.

11. Кожанов А. И. Об одной нелокальной краевой задаче с переменными коэффициентами для уравнения теплопроводности и Аллера // Дифференц. уравнения. 2004. Т. 40, № 6. С. 763-774.

12. Джохадзе О. М. Влияние младших членов на корректность постановки характеристических задач для гиперболических уравнений третьего порядка // Мат. заметки. 2003.

Т. 74, № 4. С. 517-528.

Статья поступила 10 марта 2016 г.

Зикиров Обиджан Салижанович, Холиков Дилшод Камолович Национальный университет Узбекистана им. Мирзо Улугбека, механико-математический факультет,

ул. Университетская, 4, Ташкент 100174, Республика Узбекистан zikirov@yandex.ги, хо11до¥23@ша11.ги

Математические заметки СВФУ Апрель—июнь, 2016. Том 23, №2

UDC 517.956.3

ON SOME PROBLEM FOR A LOADED PSEUDOPARABOLIC EQUATION OF THE THIRD ORDER O. S. Zikirov and D. K. Kholikov

Abstract: We study solvability of a non-local problem with integral condition for the loaded pseudoparabolic equation of the third order. The existence and uniqueness of the classical solution of the considered problem is proved by Riemann's method. Keywords: loaded equation, Riemann function, non-local condition, pseudoparabolic equation.

REFERENCES

1. Nakhushev A. M., Offset problems for partial differential equations [in Russian], Nauka, Moscow (2006).

2. Dzhenaliev M. T., To the theory of linear boundary value problems for loaded differential equations [in Russian], Inst. Theor. Appl. Math., Almaty (1995).

3. Kozhanov A. I. and Pul'kina L. S., "On solvability of boundary value problems with nonlocal and boundary conditions of integral type for multidimensional hyperbolic equations," Differ. Uravn., 42, No. 9, 1166-1179 (2006).

4. Barenblatt G. N., Zheltov Yu. P., and Kochina I. N., "About the main ideas of the theory of filtration of homogeneous liquids in fissured rocks," Prikl. Mat. Mekh., 24, No. 3, 540-543 (1960).

5. Dzetsker E. S., "The equation of motion of groundwater with a free surface in the multilayered media," Dokl. Akad. Nauk, 220, No. 3, 540-543 (1975).

6. Chudnovskiy A. F., Thermophysics of Soils [in Russian], Nauka, Moscow (1976).

7. Beshtokov M. Kh., "Riemann method for the solution of nonlocal boundary value problems for pseudoparabolic equations of the third order," Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ., Ser. Fiz.-Mat. Nauk, No. 4, 15-24 (2013).

8. Shkhanukov M. Kh., "On some boundary value problems for third order equations arising in the modeling of fluid filtration in porous media," Differ. Uravn., 18, No. 4, 689-699 (1982).

9. Soldatov A. P. and Shkhanukov M. Kh., "The boundary value problem with the general nonlocal A. A. Samarskii condition for the pseudoparabolic equations of higher order," Dokl. Acad. Nauk, 297, No. 3, 547-552 (1987).

10. Zhegalov V. I. and Mironov A. N., Differential equations with higher derivatives [in Russian], Kazan. Mat. Obshchestvo, Kazan' (2001).

11. Kozhanov A. I., "On one nonlocal boundary value problem with variable coefficients for the heat and Aller equations," Differ. Uravn., 40, No. 6, 517-774 (2004).

12. Dzhohadze O. M. "The influence of younger members on the correctness of the statement of characteristic problems for hyperbolic equations of the third order," Mat. Zametki, 74, No. 4,

© 2016 O. S. Zikirov and D. K. Kholikov

517-528 (2003). Submitted March 10, 2016

Obidzhan Salizhanovich Zikirov and Dilshod Komolovich Kholikov Mirzo Ulugbek Uzbekistan National University, Department of Mathematics and Mechanics, Universitetskaya st., 4, Tashkent 100174, Uzbekiston [email protected], [email protected]