Смешанная задача с интегральным условием для уравнений третьего порядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математические заметки СВФУ Апрель—июнь, 2014. Том 21, №2

УДК 517.956.32

СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА С ИНТЕГРАЛЬНЫМ УСЛОВИЕМ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА О. С. Зикиров, Д. К. Холиков

Аннотация. Исследуется нелокальная задача с интегральным условием для одного класса уравнений в частных производных третьего порядка с волновым оператором в главной части. Методом Римана доказано существование регулярного решения исследуемой задачи при определенных условиях гладкости на заданные функции.

Ключевые слова: псевдопараболическое уравнение, метод Римана, нелокальная задача, интегральное условие, регулярное решение.

1. Постановка задачи. В области Б = {(х,у) : 0 < х < I, 0 < у < К} рассмотрим уравнение

( д д \

Ми ^ Vа~дх / у + Ьи = ^

где а, в — заданные постоянные, причем а2 + в2 = 0, а Ь — линейное дифференциальное выражение вида

Ьп = а(х, у)пхх + 2Ь(х, у)пху + с(х, у)пуу + й(х, у)пх + е(х, у)иу + /(х, у)и,

которое относится к одному из канонических видов, указанных в [1].

Заметим, что гиперболические уравнения третьего и более высоких порядков с доминированными младшими членами, которые часто называют псевдопараболическими, встречаются при изучении вопросов фильтрации жидкости в пористых средах, влагопереноса в почвогрунтах, распространения волн в диспергирующих средах, а также при моделировании различных процессов и явлений (см., например, [2-4]).

Уравнение (1) представляет собой объединение в виде одной формулы двух вариантов обобщенного псевдопараболического уравнения Аллера, частные случаи которого исследовались, например, в [5, с. 254-256; 6, с. 132-138], а также в [7, 8] и др.

Без ограничения общности можно считать, что а > 0 и в > 0. Действительно, если а < 0, в > 0 или а > 0, в < 0, то при помощи замены независимого переменного х = 1 — £ или у = 1 — п рассматриваемые случаи редуцируются к случаю а > 0 и в > 0.

В работе изучается следующая задача: найти в области Б решение и(х, у) уравнения (1), удовлетворяющее начальным условиям

и(х, 0) = фх(х), пу (х, 0) = ф2(х), 0 < х < I, (2)

© 2014 Зикиров О. С., Холиков Д. К.

интегральным условиям

I

! и(х,у) ¿х = „1(у), 0 < у < к, (3)

J хи(х,у) ¿х = „2(у), 0 < у < к, (4)

о

где ф1(х), ф2(х), „1(у), „2(у) — заданные функции, и условиям согласования I I

1Мх) ¿х = „^ 1хМх) ¿х = Ы0)' оо

I I

¡Мх) ¿х = „1(0), ¡хф2{х) ¿х = „2(0). оо Смешанные задачи с интегральными условиями для уравнений в частных производных рассмотрены в [9-11], но при этом, в основном, рассматриваются уравнения второго порядка, как в одномерных [9], так и многомерных [10] областях. Следует отметить, что задачи с интегральными условиями для уравнений в частных производных высокого порядка исследованы в [11] и др. работах. Введем некоторые необходимые обозначения и определения. Через Ск'1 (О) обозначим класс функций и(х,у), непрерывных вместе со своими частными производными порядка дт+пи(х,у)/дхтдуп для всех т =

0Л п = Щ, Ск'0(Б) = Ск{0) и С0(Б) = С(Б).

Под классом Си) (О) понимаются определенные в области О функции, у которых все частные производные порядка к существуют и удовлетворяют условию Гельдера с показателем V, 0 < V < 1.

Определение 1. Регулярным в области О решением уравнения (1) называется действительная функция и(х,у) из класса С2,1(1?) П С1,2(1?) П С1'1 (И), удовлетворяющая ему в обычном смысле.

Сопряженным по Лагранжу оператором для дифференциального оператора Ми будет

где а, в — заданные постоянные, а Ь* — линейный оператор второго порядка

Ь*У = (а,у)хх + (2Ьу)Ху + (су)уу - (¿У)у - (еу)у + /V.

Определение 2. Функцией Римана для уравнения (1) называется решение у(х, у) = у(х, у; п) следующей задачи:

М *У = 0, (5)

у; V) = ^(¿о У;V), У;V) = ехР ( ~ ~ /^) > (6)

п

= ш2(х,г];^,г]), vy (ж, 77; tj) = ехр ^ - ^ j c(t, тц) dt j , (7)

где wi(£, y; п) и w2(x, п; п) — решения следующих задач Коши:

P^iyy y; £,п) - K^y^iyy; £,п) + d(^,y)ui(^,y; £,п) = О,

Ui(t,y; £,n)\y=v = 0, faiy (£,y; £,n)|y=n = 1, (8)

a^2xx(x, п; п) - b(x, n)^2x(x, п; п) + e(x, ц)^2(х, ц; п) = О,

U2(х,п; £,п)\х=с = 0, au2x(x,4; {„п^х^ = 1, (9)

а (£,п) — произвольная точка области D. Очевидно, что задачи (8) и (9) однозначно разрешимы.

Будем требовать выполнения следующих условий.

Условие 1. Коэффициенты уравнения (1) удовлетворяют условиям a(x, у) G C1,0(D) П C2'°(D), b{x,y)GClfi(D)C\C^1(D)C\C1^{D),

c(x, y) G C°>\D) П C°'2(D), d(x, y) G C°'°(D) П Clfi{D),

e(x, y) G C°'°(D) П C^iD), f(x, y) G C°'°(D),

кроме того, d(x, y) < 0, e(x, y) < 0 для любых (x, y) G D.

Условие 2. Заданные функции фi(x), (y), i = 1, 2, и g(x,y) удовлетворяют условиям

фг(х)£С2[0,1}, <Pi(y) G С2[0, h], 1 = 1,2, g(x,y)GC{1'X)(D),

кроме того, g(x, 0) = g(0, y) = 0.

Имеет место следующая теорема разрешимости нелокальной задачи (1)—(4).

Теорема 1. Пусть выполнены условия 1 и 2. Тогда нелокальная задача (1)—(4) разрешима и притом единственным образом.

2. Доказательство теоремы 1 основано на исследовании разрешимости вспомогательной характеристической задачи Гурса для уравнения (1): найти функцию u(x, y), являющуюся в области D решением уравнения (1) и такую, что для нее выполняются начальные условия (2) и граничные условия

u(0,y)= Mi(y), Ux(0,y)= M2(y), 0 < y < h, (10)

где ^i(y) и ^2 (y) — пока неизвестные функции, при этом будем предполагать, что

фх(0) = Mi(0), ф2(0) = M'i(0), ф'(0) = М2(0), Ф2(0) = м2(0).

Разрешимость устанавливается с помощью метода Римана. В [12] доказано, что если ф^) G C2[0, l], ^i(y) G C2[0, h], i = 1, 2, то решение характеристической задачи Гурса (1), (2), (5) существует, единственно и имеет

место интегральное представление

X

и(х,у) = аух(0,у; х,у)м1(у) + вуу(х,0; х,у)Ф1(х) - ^[ву(х0; ^уЖ(с)

о

+ с(С, 0)у(С, 0; х, у)^(С) + А(С; х, у)ф[ (С) + Б(С; х, у)^ (С)] ¿С у

- J [ау(0,п; х,у)м2(п) + а(0,п)у(0,п; х,у)№(п) + А1(п; х,у)м1 (п)

о

X у

+ Б1 (п; х,у)М1(п)] ¿п + J !у(С,п; х,у)д(С,п) ¿^¿п, (11)

оо

здесь (С,п) — произвольная точка области О,

А(С, х, у) = -аУх(^, 0; х, у) + Ь(С, 0)у(С, 0; х, у),

Б(С; х, у) = -вУху (С, 0; х, у) - Ь(С, 0)ух(С, 0; х, у)

- с(С, 0)уу(С, 0; х, у) - [Ьх(С, 0) + с(С, 0) - е(С, 0)]у(С, 0; х, у),

А1(п; х, у) = -вуу (0, п; х, у) + Ь(0, п)у(0, п; х, у),

Б1(п; х, у) = -аУху (0, п; х, у) - а(0, п)Ух(0, п; х, у)

- Ь(0, п)Уу (0, п; х, у) - [ах(0, п) + Ьу (0, п) - ¿(0, п)]у(0, п; х, у).

Таким образом, решение задачи Гурса для уравнения (1) представимо в явном виде (11), если известна функция Римана у(х,у; С,п).

3. В [12] методом редукции к нагруженным интегральным уравнениям Вольтерра доказана следующая теорема существования и единственности функции Римана у(х,у; С,п), определяемой по формулам (5)-(9).

Теорема 2. Если выполнено условие 1, то функция Римана у(х,у) = у(х,у; С,п) Для оператора М существует и единственна.

Доказательство. Проинтегрируем уравнение (5) по х в пределах от С до х, по у от п до у. Пользуясь условиями (6) и (7), а также (8) и (9), получим

х у

+ 1^а,т)с1тсИ = а + Р, (12)

€ п

где

Ь*у = (ау)хх + (2Ьу)ху + (су)уу - (¿у)х - (еу)у + ¡V.

Некоторые слагаемые в левой части (12) преобразуем интегрированием по частям и с помощью равенств

аУху + а(х, у)ух = 0, вУху + с(х, у)уу = 0,

которые вытекают из (6) и (7), после чего имеем

д д \ 1

здесь

Kov(x, y) = Щх, y)v(x, y) + J[cy (t, y) — e(t, y)\v(t, y) dt

€

x x y

+ J[ax(x, r) — d(x,T)]v(x,T) dr + j j f (t,T)v(t,T) drdt,

n € n

I 1 y \ l 1 x \

7(ж, у) = — (a + ¡3) + a exp--/ a(£, i) dt \ + ¡3 exp — — / c(t, rj) dt .

V al J V J

Опираясь на представление общего решения уравнения (13), приходим к интегральному уравнению для определения функции v(x,y)

ах+ву

v(x,y) = 2(0,2^2) J Kov(x(s),y(s))ds + "fl(x,y), (14)

вх-ау

где

= 2 1 а2^Х ~ + aS)' = 2 1 Д2 (~aPx + а2У +

a2 + p2 a2 + p 2

Yi(x, y) — известная функция.

Таким образом, задача (6)—(9) для уравнения (5) эквивалентна интегральному уравнению (14).

Интегральный оператор

ах+ву

Kv = 2(0,2^2) J K0v{x{s),y{s))ds + -y{x,y)

вх-ау

действует из C(D) в C(D).

Очевидно, что для v(x, y) = v1(x, y) — v2(x, y) имеет место оценка

\Kv\ < 2(q2 M • (ax + - С)2 + (у ~ ??)2]|H|,

где

||v|| = max |v(x,y)|, M = max{c5, cg, C7, c8},

(x,y)eD

c5 = max |cy(x, y) — e(x,y)|, cg = max |ax(x,y) — d(x, y)|,

(x,y)eD (x,y)eD

c7 = max |f (x,y)|, cg = max |2b(x, y)|.

(x,y)eD (x,y)eD

Тогда

1 M2

1^1 < 2*(а*+Р)*-2Г{аХ + РУ)2[(Х ~ + {y~ Vmvl

для n-й степени оператора K имеем

1 Mn

\Knv\ < 2n{a2+P2)n—^+m* -+ (V- vf]n\HI-

x

Видим, что можно подобрать п такое, что

1 Мп

2п(а2 + в2)п п!

(а1 + вМп[Г + < 1.

Для этого п отображение Кп сжимающее.

Из обобщенной теоремы о неподвижной точке следует, что интегральное уравнение (14) имеет единственное решение. Таким образом, теорема 2 доказана.

Покажем, что функция, определенная по формуле (11), удовлетворяет уравнению (1) и условиям (2), (3) и (5). Для этого достаточно установить существование решения уравнения (1) при однородных краевых условиях

Мг(у) = 0, фг(ж) = 0, г = 1, 2.

В самом деле, вместо и(ж, у) введем новую неизвестную функцию

2 (ж, у) = и(ж, у) - {М1(у) + х[М2 Ы - ф/1(0)]

+ ф1(ж) + у[ф2(ж) - ф2(0)] - Ф2(0)жу - ф1(0)},

которая удовлетворяет уравнению (1) с другой правой частью и однородными условиями

2(0, у) = 2х(0, у) = 0) = 2у(ж, 0) = 0. (15)

Пользуясь свойством функции Римана, непосредственной проверкой нетрудно убедиться в том, что функция, определенная равенством (11), удовлетворяет уравнению (1) и однородным условиям (15).

4. Сведение задачи (1)—(4) к интегральным уравнениям. Представление (11) после некоторых преобразований запишем в виде

и(ж,у) = [а«х(°,у;ж,у) - А1(у;ж,у)]м1(у) - ж,у)М2(у)

у

+ У[А1у(п; ж,у) - в1(п; ж,у)]М1(п) ¿п 0

у

+ J[аг>у (0, п; ж, у) - а(0, п)^(0, п; ж,у)]^2(п) ¿п + ^(ж, у), (16) 0

где

^(ж, у) = [в^у (ж, 0; ж, у) - А(ж; ж,у)]ф1(ж) - в^х(ж, 0; ж, у)ф2(ж)

+ в«(0, 0; ж, у)ф2(0) + аи(0, 0; ж, у)ф'(0) + [Л(0; ж, у) + А(0; ж, у)]ф1(0)

X X

+ 1 [Ах(С; ж, у) - В(£; ж, у)]ф1(0 ^ + / [в"х(£, 0; ж, у) - с(£, 0)^(С, 0; ж, у)^) ^ 00

X у

+ / / ж,у)д(с,п) ^¿п 00

Функции ^1(у), М2(у) неизвестны. Выясним, можно ли найти их так, чтобы решение задачи Гурса удовлетворяло интегральным условиям (3) и (4). Для

этого сначала проинтегрируем (16) по х от 0 до I. Тогда с учетом условия (3) получим

I I

х, у) - Ах(у; х, у)] ¿х - ои(0,у; х, у) ¿х

о о

у I

+ У[К1(П,У)М1(П) + К2(П,У)М2(П)] ¿П ^У ^(х,у) ¿х = ^1(у)1 (17)

где

I

к1(п,у) = J[А1у(п; х,у) - в1(п; х,у)] ¿х

о

I

К2(п, у) ^ У [аг>у (0, п; х, у) — а(0, п)^(0, п; х, у)] ¿х.

Теперь умножим (16) на х и проинтегрируем результат по х от 0 до I. Тогда в силу условия (4) из (16) получим

I

М1(у)У х[а«х(0, у; х,у) — А1(у; х, у)] ¿х — М2(у^ хо^(0,у; х,у) ¿х оо

у I

^У[кэ(П,у)М1(П) + к4(П,у)М2(П)] ¿п + 1(х,у) ¿х = ^2(у), (18)

где

кз(у,п) = У х[А1у (п; х,у) — в1(п; х,у)] ¿х

о

I

К4(у,п)^У х[аг>у (0, п; х,у) — а(0, п)^(0, п; х,у)] ¿х.

о

Таким образом, разрешимость нелокальной задачи (1)—(4) сведена к разрешимости системы интегральных уравнений (17), (18). Введя обозначения

к(у) = (к1(у) к2(у) 1, ^(у,п) = ГК1(у'п) К2(у'п)

^ укз(у) ^(у)/' ^ " ^з(у,п) К4(у,п)

систему интегральных уравнений (17), (18) перепишем в операторном виде у

Ч^О-/^»*^) * +Йу!) • 0 * у * <«>

где

^ |к(у)| = ^ЫМу) - кзЫМу) = а«(0,у; г,у)у жа«(0,у; ж, у) ¿ж

о

I I

— J жаг>(0,у; ж, у) ¿ж J[аг>(0,у; ж, у) + Ах(у; ж, у)] ¿ж оо

I

— а1г>(0,у; аг>(0,у; ж, у) ¿ж

о

I I

+ У аг>(0,у; ж, у) ¿ж J ж[аг>(0,у; ж,у)+ Ах(у; ж, у)] ¿ж. оо

Покажем, что det |к(у)| = 0. Уравнение (19) — система интегральных уравнений третьего рода. Следуя рассуждениям из [8], можно выделить класс задач, для которых det |к(у)| нигде в [0, Л] не обращается в нуль. Действительно, функция г>(0,у; I, у) на [0, Л] нигде не обращается в нуль, если нуль не является собственным значением задачи

о^хх(ж, у; г, у) — Ь(ж, у)«х(ж, у; I, у) + е(ж, у)и(ж, у; I, у) = 0,

^(0,у; г, у) = 0, аг>(1,у; г,у)=0. (20)

Так, например, е(ж, у) < 0. В самом деле, если г>(0,у; 1,у) = 0 при каком-либо у € [0,Л], то задача (20) имеет только тривиальное решение г>(ж,у; 1,у) = 0, значит, г>х(ж, у; I, у) = 0, что противоречит условию аг>ж(1, у; I, у) = 1.

Уравнение (19) является системой интегральных уравнений Вольтерра третьего рода [5,8], которая безусловно разрешима. Таким образом, находя из интегральных уравнений ^(у) и ^2(у), задачу (1)—(4) сводим к характеристической задаче Гурса для уравнения (1), однозначная разрешимость которой установлена в работе [12]. Отсюда следует существование и единственность решения нелокальной задачи (1)—(4).

ЛИТЕРАТУРА

1. Джураев Т. Д., Попелек Я. О классификации и приведении к каноническому виду уравнений с частными производными третьего порядка // Дифференц. уравнения. 1991. Т. 27, № 10. С. 1734-1745.

2. Баренблатт Г. Н., ЖЖелтов Ю. П., Кочина И. Н. Об основных представлениях теории фильтрации однородных жидкостей в трещиноватых породах // Прикл. математика и механика. 1960. Т. 24, № 5. С. 852-864.

3. Чудновский А. Ф. Теплофизика почв. М.: Наука, 1976.

4. Рахматулин Х. А., Демьянов Ю. А. Прочность при интенсивных кратковременных нагрузках. М.: Логос, 2009.

5. Нахушев А. М. Задачи со смещением для уравнений в частных производных. М.: Наука, 2006.

6. ЖЖегалов В. И., Миронов А. Н. Дифференциальные уравнения со старшими частными производными. Казань: Казан. мат. о-во, 2001.

7. Джохадзе О. М. Влияние младших членов на корректность постановки характеристических задач для гиперболических уравнений третьего порядка // Мат. заметки. 2003.

Т. 74, № 4. С. 517-528.

8. Шхануков М. Х. О некоторых краевых задачах для уравнений третьего порядка, возникающих при моделировании фильтрации жидкости в пористых средах // Дифференц. уравнения. 1982. Т. 18, № 4. С. 689-699.

9. Пулькина Л. С. Нелокальная задача с интегральными условиями для гиперболического уравнения // Дифференц. уравнения. 2004. Т. 40, № 7. С. 887-892.

10. Кожанов А. И., Пулькина Л. С. О разрешимости краевых задач с нелокальными граничными условиями интегрального вида для многомерных гиперболических уравнений // Дифференц. уравнения. 2006. Т. 42, № 9. С. 1166-1179.

11. Bouziani A. Initial-boundary value problem with a nonlocal condition for a vicscosity equation // Int. J. Math. Math. Sci. 2002. V. 30, N 6. P. 327-338.

12. Зикиров О. С. Локальные и нелокальные краевые задачи для гиперболических уравнений третьего порядка // Современная математика и ее прил. 2011. Т. 68. С. 101-120.

Статья поступила 27 июня 2014 г. Зикиров Обиджан Салижанович

Национальный университет Узбекистана им. Мирзо Улугбека, кафедра дифференциальных уравнений, ул. Университетская, 4, 100174. Ташкент, Узбекистан [email protected]

Холиков Дилшод Камолович

Ташкентский архитектурно-строительный институт, кафедра математики и естественных наук, ул. Навои, 13, 100000. Ташкент, Узбекистан [email protected]