CC BY
17
Владикавказский математический журнал Апрель июнь, 2002, Том 4, Выпуск 2
УДК 517.946
НЕЛОКАЛЬНАЯ ЗАДАЧА С ВНУТРЕННИМ УСЛОВИЕМ ДЛЯ НАГРУЖЕННОГО ПСЕВДОПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ
А. Ф. Напсо, В. 3. Канчукоев
Установлены существование и единственность одной нелокальной граничной задачи для нагруженного псевдопараболического уравнения третьей степени.
В конечной односвязной области D = {(ж, у) : 0 < х < I,0 < у < Т} евклидовой плоскости независимых переменных ж и у рассмотрим нагруженное [1] уравнение в частных производных третьего порядка
H(u) = L(u) +7 (x,y)u(xQ ,у) = —f(x,y), (1)
где L = о^гщ + a(x, + Ь{х, у)-§^ + с(х, у)-щ + d(x, у) — псевдопараболический [2]
оператор, х° — произвольно фиксированная точка интервала 0 < х < I.
В дальнейшем через J будем обозначать интервал (О, Т) прямой х = xq, где х° €Е (О, I) и xq ф х°, Dq = D\J. Ставится
Задача 1. Найти регулярное в D0 решение и(х,у) нагруженного уравнения (1) из класса u(x,y),ux(x,y),uxy(x,y) €Е C(D), удовлетворяющее начальному
u(x,0) = h(x) Va; G [0,1], (2)
нелокальному граничному
u(Q,y) = \u(!,y) Vye[0,T], (3)
и внутреннему
Фо,у) = <р(у) VyG[0,T] (4)
условиям, где h(y), <р(у) — заданные функции, А = const.
Здесь и ниже под регулярным в области Q решением уравнения подразумевается действительная функция и{х,у), обладающая в Q всеми непрерывными частными производным, входящими в уравнение, и обращающая его в тождество [3]. Пусть выполнены условия:
axx(x,y),bx(x,y),cy(x,y),d(x,y),y(x,y),f(x,y) €C(D), (5)
h(x) ec1[0,l]nc2(0,l), ip(y) € Cll[0,T], (6)
c(x,y) < 0 V(i,j/)efl. (7)
Имеет место следующая
2002 Напсо А. Ф, Канчукоев В. 3.
Теорема 1. Если выполнены условия (5)-(7) и X < 0, то задача 1 всегда разрешима и притом единственным образом.
< Доказательство теоремы приведем для случая 0 < х° < xq < I. Пусть Di = {(ж, у) : 0 < х < х°, 0 < у < Т}, a w(x, у; a, /?) — функция Римаиа характеристической (по терминологии [2]) задачи Гурса
Фо,у) = <р{у) Vye[0,T], (8)
их(хо,у) = ф(у) Vy€E[0,T], (9)
u(x,0) = h(x) Уже[0,ж0] (Ю)
для псевдопараболического уравнения с оператором L, где ф(у) — неизвестная пока функция из класса С1[0,Т].
Для общего псевдопараболического уравнения функция Римана w(x, у; а, /?) характеристической задачи Гурса (8)^(10) была впервые введена M. X. Шхануковым в
М-
Нетрудно проверить, что имеет место тождество
dP dQ
wH(u) — uH(w) = —--h -г—h 7(ж,y)u(xQ(11)
ох oy
где P(x,y) = (wxy — (aw)x)u + {uxy + aux + bu)w, Q(x,y) = —wxux + cma. Проинтегрируем тождество (11) по области Qi = {(х,у) : 0 < a < х < xq, 0 < у < /?} с учетом формулы Грина, где (а, ¡3) — произвольная точка Di. Пользуясь при этом свойствами функции Римана w(x,y;a, (3) и условиями (8)—(10) получим:
х0
u(a,0) =WxM-aMf3) + / [с(*,0М*,0;а,/?) - ds
a
{w(xQ,y; a, (З)ф'(у) + a(x0, y)w(x0, y; a, (З)ф(у) + [wxy(x0, y; a, ¡3) о
- ax(xo, y)w(x0,y; a, /3)a(x0, y)wx(x0, y; a, (3) + b(x0, y)w(x0, y; a, (3)] <p(y)} dy
x0 (3 x0 (3
+ J j 7(x,y)u(x°,y)w(x,y;a, (3)dxd,y + J j f(x,y)w(x,y;a, f3) dxdy.
a 0 a 0
(12)
Применяя к (12) формулу интегрирования по частям и переходя затем к пределу при a х°, имеем:
¡3 ¡3
Фо(Р) + (хо,у;х°,Р)Ф(Р) = [ ko(f3, у)фо(у) dy + [ ki(f3, у)ф(у) dy + fo(f3), (13)
где
Х0
Ы(3,у)= / j(x,y)w(xQ,y;x ,(3) dx
о
о
ЫРтУ) = щЫ,у;х°,(3) + а(хо,у)ги(хо,у;х°,(3), /о(/3) = ь)(х0,0; ж°, /?)/г'(ж0) + юх(х0, /?; х°,/3)(р(/3)
х0
+ / [с(ж,0)ги(ж,0;ж0,/?) — гих(х,0;ж0,/?)/г'(ж)] йх
X"
~ J [™хУ{ха,у;ха,р) — а(хо, у)юх(хо,у; ж0, ¡3) о
+ {Ь(х0, у) ~ ах(х0, у))т(х0, у; ж°,/3)<р(у)] с!у
хо 13
+ 11
х° о
и(х°,р) = фо(р) — неизвестная пока функция из класса С-1 [О, Т].
При этом, из построения функции Римана w(x, у; а, ¡3) характеристической задачи (8)—(10) для псевдопараболического уравнения с оператором Ь, непосредственно следует, аналогично [4], справедливость неравенств:
гих(х, (3; 0, (3) > 0 Уж€(0, жо], гих(хо, (3; 0, (3) > 1, (14)
если только с(х,у) < 0 для всех (ж, у) 6 В\.
С другой стороны, из представления решения (12) характеристической задачи Гурса (8)—(10) для псевдопараболического уравнения с оператором Ь при а ^ 0, получим:
¡3 ¡3
и( 0,/?) = 1ко(Р,УШу)(1у-ь>(хо,р-,0,РШР) + ¡ЫР,У)Ф(У)<1У-МР), (15) о о
где
Хо
ЫАу) = У 7(Ж,УМЖО,У;0,/?) йх
о
ЫА у) = гоу(х0,у; 0, /3) + а(ж0, у)ю(х0, у; 0, /?), 7а(Р) = ^(жо, 0; 0, ¡3)Н'{ж0) + 'шх{х0,/3; 0, /3)<р(р)
хо
о
- J [и,ху{хо, у; о, (3) - а(ж0, у)адж(ж0, у; 0, ¡3) + (Ь(ж0, у) о
хо Р
~ ах(жо,у))ад(ж0,у;0,/?)9р(у)] dy + J J f(x,y)w(x,y;a,fЗ)dxdy.
о о
Пусть 1)2 = {(ж, у) : хо < х < 1,0 < у < Т}, а $(ж, у; 77) — функция Римана характеристической задачи Гурса
и(хо,уЫу) Уу€[0,У], (16)
их(хо,у)=ф(у) У У £ [0; ; (17)
и(х, 0) = И(х) Уже[жо,/] (18)
для псевдопараболического уравнения с оператором Ь.
Заменив в (11) и;(ж, у; а, /?) на функцию $(ж, у; г;) и интегрируя полученное тождество аналогичным образом по области П2 = {(х, у) : хо < х < 0 < у < г]} с учетом формулы Грина, свойств функции Римана 1?(ж, у; 77) и условий (16)—(18), имеем:
«(С, ??) = т С, ??)¥>(??) - ^(жо, т ^Ж??)
Г) Г)
- / Уо(хо,у;(,г])(р(у)ёу + / У1(х0,у;(,г])ф(у) ёу
о о (19)
С V
+ 11Ч^'У^^У'^^Фо^) (1х(1у + д(^г/),
Хо 0
где (С,??) — произвольная фиксированная точка /Л..
^о(жо, у; С, ??) = у; С, V) ~ Фо-, у)^х(ж0, у; С, V)
+ (Мжо, у) ~ ах(х0, у))т?(ж0, у; С, ??),
^1(ж0,у;С,??) = ^(ж0,у;С,??) ^а(ж0,у)#(ж0, у; £,??), С
??) = 0; С, ??)/г'(ж0) - J [с(х, 0)т?(ж, 0; С, г])Цх) - §х(х, 0; С, ??)Л'(ж)] ¿ж
х0
£ V
+ 11 ¡^У^^У'^АяАу-
х0 0
Переходя в (19) к пределу при £ I, получим
и(1, Г]) - 19х(хо,1]; 1,1])ф(г]) = ^ ¥1(0, у; I, г])ф{у) йу
+ J к(г],у)фо(у)<],у + до(г]), о
где
I
k(r],y) = j j(x,y)ê(x,y;l,r])dx,
х0
V
9a{r]) = 19х(хо,1];!,г])<р(г]) - j VQ(xQ,y;!,r])<p(y) dy + g(!,r]).
о
Принимая во внимание (15), (20) воспользуемся при (3 = г] нелокальным условием (4), которое естественным образом возникает при решении многих прикладных задач сильно нестационарного тепломассообмена и является нелокальным условием типа условия Бицадзе — Самарского [5]. В результате имеем
[Цж0, m 0, v) ~ Ai?(x0, m h v)} 4>{v)
Г) Г)
[— [— _ (21)
= / Vi(v,y)^(y)dy+ / V2(r],y)ipQ(y) dy + gQ(r]),
о о
где Vi (rj,y) = ki(rj,у)-XVi(0,y;l,rj), V2(rj,y) = ko(rj,y)-Xk(rj,y), gQ(r/) =7o(rj) - g0(rj).
Функция Римана ê(x,y;Î>,r]) удовлетворяет неравенствам [5]:
&(x,ri;l,ri) < 0 Vie[%i), dx(x0,rr,l,rj) > 1, (22)
если только c(x, y) < 0 для всех (ж, у) €Е D2.
Таким образом, при 0 < х° < xq < I вопрос единственности и существования решения задачи 1 эквивалентно редуцируется к разрешимости системы (13), (21) интегральных уравнений типа Вольтерра.
Принимая во внимание (5)—(7), свойства (14) и (22) функций Римана $(х,у;£,т]) и w(x, у; а, ¡3) заключаем, что
w(xQ,г];х0,г]), Mv) Vaiv) € C^T],
ko(ri,y), h(r],y), Fifo, y), V2(rl,y)eC%T)x[0,T),
a единственное регулярное решение системы интегральных уравнений Вольтерра второго рода (13), (21) представимо [6] в классе (р0(г]),ф(г]) €Е Сг[0, Т).
После определения неизвестных функций <ро(у) = и(х°, у), ф{у) = их(хо,у), исследуемая задача 1 распадается на две характеристические задачи Гурса (8)—(10) и (16)—(18) для псевдопараболического уравнения с оператором Н, единственные регулярные решения которых в D\ и D2 даются, соответственно, формулами (12) и (19).
Справедливость теоремы 1 при 0 < xq < х° < I доказывается аналогичным образом. >
Литература
1. Нахушев А. М. Нагруженные уравнения и их приложения // Дифференц. уравнения.—1983.— Т. 19, № 1.—С. 86-94.
2. Colton D. L. Pseudoparabolic Equtions in One Space Variable // J. Differential Equtions.—1977.— V. 12,—P. 559-565.
3. Вицадзе А. В. Уравнения математической физики.—M.: Наука, 1972.
4. Шхануков M. X. О некоторых краевых задачах третьего порядка, возникающих при моделировании фильтрации жидкостей в пористых средах // Дифференц. уравнения.—1982.—Т. 18, № 4,—С. 689-700.
5. Вицадзе А. В., Самарский А. А. О некоторых простейших обобщениях линейных эллиптических краевых задач // Докл. АН СССР.—1969.—Т. 185, № 4,—С. 739-740.
6. Трикоми Ф. Интегральные уравнения.—М.: Наука, 1975.
Нальчик
Статья поступила ¡37 декабря 2001 г.
