К нелокальнымкраевымзадачам для дифференциальныхуравнений в частных производных третьего порядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

MSC 35G15

К НЕЛОКАЛЬНЫМ КРАЕВЫМ ЗАДАЧАМ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА

М.Х. Бештоков

Кабардино-Балкарский государственный университет, ул. Чернышевского, 173, Нальчик, 360004, Россия, e-mail: beshtokov_murat@rambler.ru

Аннотация. В работе рассматриваются нелокальные краевые задачи для псевдопарабо-лических уравнений третьего порядка с переменными коэффициентами в одномерном и в многомерном случаях. C помощью метода функции Римана доказаны существование и единственность решения нелокальной краевой задачи в одномерном случае. Для решения нелокальных задач получены априорные оценки в дифференциальной и разностной трактовках. Из полученных оценок следуют единственность, устойчивость, а также сходимость решения разностной задачи к решению дифференциальной задачи.

Ключевые слова: краевые задачи, метод функции Римана, нелокальное условие, априорная оценка, разностная схема, устойчивость и сходимость разностных схем, уравнение в частных производных третьего порядка, псевдопараболическое уравнение.

Введение. Математическое моделирование многих процессов приводит к изучению нестандартных начально-краевых, прямых и обратных задач для уравнений в частных производных, не имеющих аналогов в классической математической физике. Хорошо известно, что вопросы фильтрации жидкости в пористых средах [1], [2], передачи тепла в гетерогенной среде [3], [4], влагопереноса в почво-грунтах [5], (см. [6, е. 137]) приводят к модифицированным уравнениям диффузии, которые являются псевдопараболи-ческими уравнениями в частных производных третьего порядка. Краевые задачи для псевдопараболических уравнений третьего порядка изучались в работах [7-16].

В настоящей работе рассматриваются нелокальные краевые задачи для псевдопараболических уравнений третьего порядка с переменными коэффициентами в одномерном и в многомерном случаях. С помощью метода функции Римана доказаны существование и единственность решения нелокальной краевой задачи в одномерном случае(см. [7], [8], [13 -16]). Для решения нелокальных задач получены априорные оценки в дифференциальной и разностной трактовках. Из полученных оценок следуют единственность, устойчивость, а также сходимость решения разностной задачи к решению дифференциальной задачи.

1. Постановка задачи. Существование и единственность решения. В замкнутом цилиндре = {(;г,£) : 0 < х < 1,0 < I < Т} рассмотрим следующую нелокальную краевую задачу

щ = (к(х, Ь)их)х + (п(х, Ь)ихЬ)х + г(х, Ь)их — д(х, Ь)и + f (х, Ь), 0 < х < I, 0 < Ь < Т, (1.1)

где

П(0,Ь) = в1(Ь) и(х,1)в1х + р(Ь,т)и(0,т)^т — ^1(Ь), 0 < Ь < Т, (1.2)

Л) ио

—П(1,Ь) = в2(£)и(1,Ь) — ^2(Ь), 0 < Ь < Т, (1.3)

и(х, 0) = и0(х), 0 < х < I, (1.4)

т(0,Ь) = г0 < 0, т(1,Ь) = ты > 0, 0 < с0 < п(х,£), к(х,Ь) < с1.

Ых,Ь)1, |т(х,Ь)1, |9(х,Ь)1, ^ |тх1, |в1(Ь)1, |в2(Ь)1, |Р(Ь,т)|< с2, (1‘5)

I

и Е С^(Ят), п Е С’\Ят), к Е С’2(Ят), т,q,f Е С2’2(От), &(*), ^2(Ь) € С[0,Т],

Ят = {(х,Ь):0 < х <1, 0 <Ь<Т}, П(х,Ь) = ких + пи^, 0 < т < Ь, и0(х) Е С2[0,/],

р(Ь,т) - функция, непрерывная на [0,Т], с0,с1,с2 - положительные числа.

Заметим, что нелокальное условие (1.2) можно заменить условием

га

П(0,Ь) = в1(Ь) и(х,Ь)йх + р(Ь,т )и(0,т )йт — ^1(Ь),

))

где а - глубина корнеобитаемого слоя (см. [17]) или активный слой почвы, который участвует в водоснабжении корневой системы, в процессах испарения и транспирации. Поставленные и исследованные в работе задачи характерны также тем, что содержат в краевых условиях нелокальность по времени, впервые изученную А.И. Кожановым [12].

По ходу изложения будем использовать положительные постоянные числа Ыг, г =

1, 2,..., зависящие только от входных данных задачи (1.1)-(1.4). Имеет место следующая

Теорема. Пусть коэффициенты уравнения (1.1) и граничных условий (1.2)-(1.4) удовлетворяют условиям гладкости (1.5). Тогда задача (1.1)-(1.4) имеет единственное регулярное в <5Т решение.

□ Следуя [14,18], введем аналог функции Римана V = и(х,Ь; £,т) для уравнения (1.1) в области П = {(х, Ь) : 0 < х < £, 0 < Ь < т} в следующей форме

Ыv(х,Ь; £,т) = —(n(x,t)vx)xt + (k(x,t)vx)x — (т(х,Ь^)х + VI — q(x,t)v = 0,

V (С,Ь; С,т ) = 0, (1-б)

v(x, т; £, т) = ш1(х, т), где ш1(х, т) - решение следующей задачи Коши

(п(х, т^х(х, т; £, т))х — V(х, т; £, т) = 0, V(£,т; £,т) = 0 ,

"г(£,т;£,т) = ] .

П(£,т)

Имеет место соотношение

иЬи - иМи = ^ , (1.7)

дх дх

где

Ьи = ('ЦПхь)х + (ких)х + тих — Щ — qu + f (х, Ь),

Я = nvuxt + u(пvx)t + ^их — kvxu + ruv,

Р = пvxux + uv.

Пусть производные Рх,Яь непрерывны в Ят, что влечет их ограниченность в этой области, а также непрерывность и ограниченность самих функций Р, Я. В этих условиях проинтегрируем соотношение (1.7) по области П = {(х,Ь) : 0 < х < £, 0 < Ь < т}, где £,т - произвольная точка области Ят

У (рЬи — иМр)с1хсИ = J У —-^-^сЬхсИ. (1.8)

Тогда из (1.8) получим представление

п(£, т) = п(0, т)п(0, т^(0, т; £, т) —J (р(0, ^(0, Ь; £, т)их^0, Ь)+к(0, t)v(0, Ь; £, т)их(0, Ь) + + и(0,Ь) [п(0,t)vx(0,t; £,т))— k(0,t)vx(0,t; £,т) + т(0,t)v(0,t; £,т) + (1.9)

+ J {п(х, 0)vx(x, 0; £,т)их(х, 0) + v(x, 0; £,т)и(х, 0)^<1х + J ^ V(х,Ь; £,т)f (х,Ь)<х<Ь,

где (£, т) — произвольная фиксированная точка области Ят. Существование и единственность аналога функции Римана доказаны в работе [14].

Проинтегрируем, далее, (1.9) по £ от 0 до I. Тогда с учетом (1.2), (1.4) получим

П(0,т)—п(0,т)в1(т)п(0,т) J Vx(0, т; £,т)<£+J (к^т, Ь)П(0, Ь)+К2(т, Ь)п(0, Ь) ^= 71 (т),

0 0 (1.10)

где I

К1(т,Ь) = р1(т)! v(0,t;£,т)d£,

0

И

K2(t,т) = в1(т)У ^(п(0,t)vx(0,Ь;^т^t—к(0,t)vx(0,Ь;^т)+т(0,^(0,Ь;^т^d£—p(т,т),

71 (т) = в1(т) J ! (п(х, 0^х(х, 0; £,т)п)(х) + V(х, 0; £,т)щ(х)^<х<£ +

г-1 [■(,

[п(х, 0)vx(x, 0; £, т)и0(х) + V(х, 0; £, т)и0(х)

00

Ше

V(х, Ь; £, т)f (х, Ь)<х<Ь<£ — ^1(т).

Из представления (1.9) при £ = I следует интегральное уравнение:

и(1,т) — п(0,т)п(0,т)^(0,т; 1,т) + J ^К3(т, Ь)П(0, Ь) + К4(т,Ь)и(0,Ь)^<Ь = 72(т), (1.11) где

К3(т, Ь) = V(0, Ь; I, т)<р,

К4(Ь, т) = (п(0, t)vx(0, Ь; I, т))t — к(0, Ь)^(0, Ь; 1,т) + т(0, t)v(0, Ь; I, т),

72(т) = J [п(х, 0)vx(x, 0; 1,т)их(х, 0)+v(x, 0; 1,т)и(х, 0)^<х+J ^ v(x,t; l,т)f (х,Ь)<х<Ь.

1 £

А у ч гг р\

(х, 0)vx(x, 0; I, т)их(х, 0)+v(x, 0; I, т)и(х,

/о 4 ' ио ,/0

Точно также как и в [14], введем аналог функции Римана и = и(х,Ь; а,т) для уравнения (1.1) в области П = {(х,Ь) : а < х < I, 0 <Ь < т} в следующей форме

Ыи(х, Ь; а, т) = —(п(х, Ь)их)х^; + (к(х, Ь)их)х — (т(х, Ь)и)х + и-ъ — q(x, Ь)и = 0,

и(а, Ь; а, т) = 0, (1-12)

1 \ [ к(а,Ь1)

и>х(а, Р, а,т) = —-----г ехр < ——— сИг

п(а,т) 1 ] п(а,Ь1)

и(х, т; а, т) = ш2(х, т),

где ш2(х, т) - решение следующей задачи Коши

(п(х, т)их(х, т; а, т))х — и(х, т; а, т) = 0, и (а, т; а, т) = 0,

и>х(а, т; а-, г)) = —*—— .

п(а, т)

Имеет место представление

п(а, т) = и(1, т)п(1, т)их(1, т; а,т) — J ^(п(1, Ь)пх*(1, Ь) + к(1,Ь)их(1,Ь))и(1,Ь; а, т) +

+ и(1,Ь) (уп(1,Ь)их(1,Ь; а,т))t — к(1,Ь)их(1,Ь; а,т) + т(1,Ь)и(1,Ь; а,т) — (1.13)

J (^ш(х, 0; а,т)и(х, 0) + п(х, 0)их(х, 0; а,т)их(х, 0)^<х — J ^ и(х,Ь; а,т)f (х,Ь)<х<Ь,

где (а,т) — произвольная фиксированная точка области Ят.

Из представления (1.13) при а = 0, с учетом условий (1.3), (1.4), получим интегральное уравнение:

и(0,т) — и(1,т)ц(1,т),шх(1,т;0,т) + J ^К7(т,Ь)и(1,Ь)^<Ь = 7з(т), (1-14)

где

К7(р т) = (п(1, і)'шх(1,Ц 0, т))і — к(1, Р)/шх(1, р 0, т) + т(1, Р)/ш(1,1; 0, т) — в2(т)/ш(1,Р, 0, т), 13(т) = — J (^(х, 0; 0, т)и0(х) + ц(х, 0)тх(х, 0; 0, т)и'0(х)^<1х —

ПТ рт

— / 1ш(х,Р;0,т)/(х,ї)<Іх<И — К7(ї,т )^2(ї)<і.

0 0 0

Систему интегральных уравнений (1.10), (1.11), (1.14) перепишем в операторном виде

А(т )щ(т) + / В(т,Ь)и(Ь)<Ь = 7 (т), (1.15)

0

где

ае1 |А(т )| = п(0,т) Vx (0, т; 1,т )п(1,т )их(1,т ;0,т) — 1.

Отличие определителя ёе1 |А(т)| от нуля при 0 < т < Т следует из доказываемой ниже леммы. Поэтому система уравнений (1.10), (1.11), (1.14) является системой интегральных уравнений Вольтерра второго рода, которая безусловно разрешима. Таким образом, находя из интегральных уравнений Вольтерра п(0, т) = f (т),и(1, т) = <^(т), где f (т), <^(т) Е С 1[0,Т] задачу (1.1)-(1.4) редуцируем к первой начально-краевой задаче, однозначная разрешимость которой установлена также в работе [14]. Отсюда следуют существование и единственность решения задачи (1.1)-(1.4). I

Имеет место следующая

Лемма. Функция V(х, Ь; £, т) и и(х, Ь; а, т) удовлетворяют неравенствам: v(x,т; 1,т) < 0, для любого х € [0,1), п(0,т)vx(0,т; 1,т) > 1 ,

и(х,т;0,т) > 0, для любого х € (0,1], п(1,т)их(1,т;0,т) > 1 ,

если только п(х, Ь) > со > 0 для любого (х, Ь) € Ят.

□ Следуя рассуждениям [14], рассмотрим задачу

(п(х, т^х(х, т; £, т))х — V(х, т; £, т) = 0,

V(£,т;£,т) = 0, (1.16)

П(£,т)

Т

С помощью принципа максимума и принципа Заремба-Жиро из (1.16) получаем v(x, т; 1,т) < 0 для любого (x, t) G [0, l). Тогда из равенства

п(0,т)vx(0,T; 1,т) = ц(1,т)vx(l,T; 1,т) — / v(x,T; 1,т)dx

Jo

имеем, что ц(0,т)vx(0,т; 1,т) > 1. Аналогично получаем, что ц(1,т),шх(1,т;0,т) > 1. ■

2. Априорная оценка в дифференциальной трактовке. В замкнутом цилиндре QT, получим априорную оценку для решения задачи (1.1) — (1.4). Для получения априорной оценки воспользуемся методом энергетических неравенств. Умножим уравнение (1.1) скалярно на и:

(щ,и) = {(kux)x,u) + ((Щхг)х,и) + (r(x,t)ux,u) — (q(x,t)u,u) + f (x,t),u), (2.1)

где (u,v) = uvdx, ||u||2 = (u,u).

Jo

Пользуясь неравенством Коши с е, из (2.1) получим

d и и2 d fl 2 fl 2

~r и n + “г mi-dx + 2 k(x,t)u„dx < dt o dt o x o x

— 2 ^П(1, t)u(l, t) — П(0, t)u(0, t) j + 3c2 ||ux || 0 + (3c2 + 1)||u||0 + ||f ||0- (2-2)

Имеет место оценка (см.[19, стр.124]):

u2(l,t) — е | ux |2 + с£Ы1 (2.3)

11

где е > 0, с.£ = - + - .

е l

Первое и второе слагаемые в правой части неравенства (2.2), пользуясь неравенством Коши с е и граничными условиями (1.3) и (1.4), оценим так:

n(l, t)u(l, t) — П(0, t)u(0, t) = — u(l, t) ^e2(t)u(l, t) — y2(t)^j —

— u(0,t)^^i(t) J u(x,t)dx + J р^,т)'и(0,т)dт — ^i(t)^ — M1

+ ^/?i(t) j" u(x,t)dx^j + ^ + ^|(t)j + M2 J ii2(0,r)dr. (2.4)

Из (2.4), пользуясь (2.3) и неравенством Буняковского, получим

n(l,t)u(l,t) — n(0,t)u(0,t) —

< M3(\\ux\\l + ||и||2) + М4 У (|Ы1о + INIo)dr + + t4(t)y (2.5)

u2(l,t) + u2(0, t) +

Учитывая (2.5), из (2.2) находим

±м\1 + ^ У ци^Лх + с01||| 1,с5£ < М5(\\их\\Ъ + ||и||о) +

+ 2М4 J (||иж||0 + 1Н1о) йТ + ^1(Ь) + ^2(Ь) + Н/Но- (2-6)

Проинтегрируем (2.6) по т от 0 до Ь, тогда получим

М0 + |КНЗ + КН^ — Мб^ (|КНЗ + 1ЫЮ)&т + М7^ J ^НмхНО + 1ЫЮ)^^т +

+М^!о (Н/Но + ^1(т)+ ^(т))йт + Нио(х)|0 + К(х)110) , (2-7)

где *

11ижН2,^4 = ||иж||о^Т-

о

Второе слагаемое в правой части (2.7) оценим следующим образом:

J ! (|КНЗ + 1Н10)^Т — Т J (|НЮ + 1Н10)йТ- (2.8)

В силу (2.8) из (2.7) находим

11иН0 + КПЗ — Мд [ (|К||0 + 1Ы1о)йт +

+ M8^j (Н/110 + ^1(т) + ^2(т^йт + 1М41Ю + К(Х)110)- (2-9)

Применяя к неравенству (2.9) лемму Гронуолла (см.[19, стр.152]), из (2.7) с учетом (2.8) получим

11и| Т-У21(0,1) + 11иж||2,д( — М (Ь) ^ ^ (\Н/Но + ^1(т) + ^2(т ^ йт + ||и0(х) Н \у1(о,1^ , (2-10)

где М(Ь) зависит только от входных данных задачи (1.1)—(1.4).

Из априорной оценки (2.10) следует единственность решения исходной задачи (1.1)-

(1.4), а также непрерывная зависимость решения задачи от входных данных на каждом временном слое в норме пространства Ж21(0,/).

3. Устойчивость и сходимость разностной схемы. Для решения задачи (1.1)-

(1.4) применим метод конечных разностей. Для этого в замкнутом цилиндре <5Т введем равномерную сетку [20]:

Ш^т = X Шт = {(Хг,1^, X Е а7/г, I Е шг},

= {хг = гк, г = 0,1,..., Ы, ЫН = /},

ыт = = ]т, ] = 0,1,..., т, тг = Т}.

На сетке шит дифференциальной задаче (1.1)—(1.4) поставим в соответствие разностную схему:

Уи = Щ)у{°] + 5у + </?*, (х, £) е шнт, (3.1)

N з н

«1X0Й + ЪУхЬ'О = р1 ^ У^)п + X! тр*,зУ{°0 - 1*1 + ^ (уг,о + ^0у^} - р0) , ^ ^ йт, (3.2)

_ 2

«=0 «=0

Н

— (о'МХнУ^н + 7ЛГ£/Н;,Л^ — 13‘2'Уы'> — 1-1'2 + ~ + <1нУн'> — , Ь Е шт (3.3)

у(#,0) = и0(^), # € Ш/г, (3.4)

где _

Л(%гИ = Хг(ау?}).тг + + Кйф?} ~

±

= Ь'Уш)хЛ, у{а) = оу + (1 - <т)у, У = у1 = у(хг, *,■)> г = г+ + г , Ь± = Г— + 0(Л2) |г| = г+ — г-, г+ = (г + |г|)/2 > 0, г- = (г — |г|)/2 < 0,

сц = А:(^_1/2Д), 7г = ?7(гг*_1/2, *), ^ = д(^Д), <# =/(ач,£),

£ = ^з+1/2 = + т/2, хг-1/2 = хг — Н/2 , Н, т — шаги сетки.

Н | г |

\ = (1 + Я)-1 , Я = —--разностное число Рейнольдса,

2К

11

\о =--г]—г > если го < 0, =-г]—, если гдг > 0,

х + %о| х %лг|

2^1/2 2kN-1/2

Т ( /;

- , если 5 = 0, 5 = ^', _ - , если 5 = 0, 5 = М,

т = < 2 Н = < 2

_ г , если 5 — 1, ] — 1. ^ Ь , если 5 = 1, N — 1.

Для получения априорной оценки воспользуемся методом энергетических неравенств. Тогда задачу (3.1)-(3.4) перепишем в другой форме

Уи = х*{ау^])хЛ + {УУш)хЛ + Ь1 о*+1 у[х} + Ъ~а^} - с1^] + ^ , (3.5)

N 3

"| \ - Ь4оУ{0а)/2 - рг Е - Е тр8лу{"<! + А'1

8=0 8=0 . /1уж/:,0 /0

»,0 = -----------------------------Щ------------------------------- + -щ- . (3.6)

—амХм'У^м ~ Ь'ймУк'72 — ^Ум’ + ^2 7иУт

,(а)

УіN

N

к/2

к/2

у(х, 0) = ио(х).

Полагая а = 1/2 и обозначая у + у = У, перепишем задачу (3.5)-(3.8)

Уі = А*(ї)¥/2 + 6У + Ф, у(х, 0) = ио(х),

где

= Хг(аУх}хЛ + Каі+1¥хЛ + ^

а

N

пі \"V,." — к40У0/2 — /Зі Е — Е трв^Ув'о Л*(і)У = Л-у =______________________________ 3=0 5=0

Л+У

к/2

"л \ л V,..л — кс1м¥м/2 — /32У/

N

к/2

(3.7)

(3.8)

(3.9) (3.10)

при х Є шъ,

при х = 0, при х = I,

5у

8у = (гУхда

5-у

1\Ухі,0

5+у = -

к/2

Іишии

к/2

при х Є Шъ при х = 0 .

при х = I;

Ф = < *

* = *і

*

+

Ці

к/2

Ц>2

к/2

при х Є шъ при х = 0 .

при х = I;

X

X = 1 +

к | г |

~2аГ

-1

X-

X

+

1 + ’М\ 2к\/2 )

Щтм |

1

1+

2км~

N-1/2

1

при х Є шъ. при х = 0, г0 < 0, , при х = I, > 0.

Введем скалярное произведение

N

к

и норму

г і \ - - - і 77) г = 0, г = И,

\и,у\ = 2_. иіУі к, к = < 2

і=0 I к, г = 1, N — 1,

N

[и] |2 = [и,и], 11 и] |2 = и2к =(и,и].

і=1

Умножим теперь разностное уравнение (3.9) скалярно на У = у + у :

[ш.у] = ^[л*(()УЛ''] + [*,,>'] + [ф,у].

Преобразуем суммы, входящие в (3.11):

Ьн.у] = [;(;/-у).(у + ;/)1=[1';/2].[1';/2] = [1.у2],,

т

[А*(*)У,У] = (А У,У) + ^ЩА-Уо + ^УМА+УМ =

= — (аХУт ] ~ (а^ > ХхУх) + (Ь+а+1Ух, 1 ) + (6 аУх, У )~

N 3

— У 2] — /ЗгУо У3И — Р2УN ~ У тРв^Уо* >

«=0 «=0 [£у, У] = (£у, У) + ^1оГ |/ + ^/гУу£+у = - (7уш, Ух] ,

[ Ф, 1 ] = (<р,У ) + —Ь<р Уо + —к(р+Ун = (</?, У) + цУ0 + •

Учитывая (3.12)-(3.15), из (3.11) находим

[1 > У2] г " (аХ) ^ ] — (7Уя, ^ г] — ^ (аХхУ, Ух) + ^(&+а+1Ут, У) + -(Ъ аУх, У) — -

/ЗУо Увк — -1З2У N — —Уо тр3^у о + (</?, У ) + ЦУо + ^Уи-

2 ^ 2 2

«=0 «=0

Оценим суммы, входящие в (3.16):

[1.у2]< = (|[у]|2),.

(ахЛ'Ц > Л/1(1Л'Д = Л/.РЯГ.

(7,!/кЛИ = (1,7(,!/|)1] = (1,(7.Й)1] - (1,71,!/1], -(аХхУ,Ух) + (Ь+а+1У,Ут) + (Ъ~аУ,Ух) < М2\Ш\ |[У]| < Мз(р'Ч|2 + 1№

— И,У2] < С1[1,У2]= С11[У]|2,

1

[<Р,У]< 2 (|[^]12 + 1М12)-

Справедлива следующая [21]

(3.11)

(3.12)

(3.13)

(3.14)

(3.15)

[с1, У2] —

(3.16)

(3.17)

(3.18)

(3.19)

(3.20)

(3.21)

(3.22)

Лемма. Для любой функции у(х), заданной на сетке ши, справедливо неравенство

1тшху2(х) <е||ух]|2+ (1 + т)\[у}\‘21

у£ /у

где £ - произвольная положительная постоянная, I - длина интервала, на котором введена сетка

С помощью этой леммы и неравенства Коши получаем оценку

N

/З^'о — 02^N — Го + Ц'2Гм <

в=0 «=0

< у + у + М<(РИ12 + 1Р112) + ^Е (|1ВД2 + 1Р1Г2)у (3.23)

«=0

Учитывая оценки (3.17)-(3.23), из (3.16) находим:

2\ + (1) (72/!)*] + ^1р'Ч|2 < С1||^+1]|2 + М6( \[¥]\2 + Р'У|2) +

+ М5 ^2 (| Р'112 + Р'У|2)т + М7 [(/?] |2 + ^. (3.24)

^ ^ 12 , 11112 \ — , Л/Г I 1Г,„1|2 , ,.2 , ,,2

«=0

Умножим обе части (3.24) на т и просуммируем по ]1 от 0 до ]

3 3

|[!/+1]|2 + Ий+1]12 + Е К'112^ 5 м« Е (|Р'''И2 + ИЧ']12)Т +

3 '=0 з'=0

+М) 11й+1](2 + Е Е (И1'1']!2 + Р¥']Г2)^ +

^ 3 '=0 «=0 '

+М10(^ ^ (|[</?]|2 + + I[у°]12 + ||у°]|2)- (3.25)

3 '=0

Обозначая Г(^) = М10 ( Е (| [</?] |2 + т + | [у0] |2 + ||у°] |2^ , из (3.25) получим

12 I ,,2 I ,,2\_ I 1Г„,0Ц2 I ||„,0Ц2

\ \№\

' 3 '=0

3 3

1[!/+1]|2 + ИЙ+1]|^ + Е 11Ч']|2т й Л/8 Е (|Р''']Г2 + Ц5?']|2)^+

3'=0 3'=0

+л*(нй+1]|2+Ё Ё (и1'1']!2 + ге'н2)^) + р&). (з.2б)

^ 3 '=0 «=0 '

Второе выражение в правой части (3.26) преобразуем следующим образом

3 3 3

Ё Ё (||уУ'и2+№'№)тт ^ т Ё (иу'']|2 +11^ ']|2)т- (а27>

3 '=0 «=0 3 '=0

В силу (3.27) из (3.26) находим

|[!/+1]|2+и.й+1]|2+£ гЛ|2т < лЦнй+чгчЁ (|р^']|2+ц5г']|2)П+^(^). <з.28>

3 / 3

^+11|2_и11,^+11|2_и’ЧГ^ ||\^'Ц2^ <- Л/Г.. ( |и.Я-1ц2_|_ ( \\\Г3'М‘2^\\\А'М‘2'

IX

3 =0 3 =0

Учитывая неравенство |[у3'+1 + у3']|2 < 21 [у3'+1]|2 + 21 [у3']|2, преобразуем сумму

3 / •' >

12 , ^ /|Г\Л?' 1|2 , II Л/3 112

Ы+1]\2+ Е (|[^']|2 + \\У£']\2)т. Тогда

3 =0

пй+1]|2 + Ё (||уУ']|2+ич'и2)^ = ||^+1]|2 + Ё (||^41+Л2 + Ий'+1+^}\2У <

3

< М12(|[^+1]|2 + ||й+1]|2)г + Л/13 5] (Ц/Ц2 + ИйЛ|2)т + М14(|[г/>]|2 + М|2)т. (3/29)

3 '=1

Подставляя (3.29) в (3.28), получим

|[:!/у+1112 + 11й+1]12 + Ёи(^'+1 + ^'),-]1^<

3 '=0

< М15(|[^+1]|2 + |1й+1||2)г + Л/16 Ё (\У']\2 + ИЙ1Г2)Т + Р(Ь)- (3330)

3 '=1

Выбирая т таким образом, что для всех т < т0, т0 = М—1 и обозначая через Я(£3-) =

М.т( Д (И^'112 + «Р+^г-НИР + 11Й12). -в (3.30) получим

1[!/+1]|2 + ИЙ+1]|2 < м„ Ё (^Т + Пй’]Г2)т + (3.31)

3'=1 ' '

Оценивая первое слагаемое в правой части (3.31) с помощью Леммы 4 [22, стр. 171]. из (3.28) с учетом (3.29), (3.30) получим априорную оценку

3

1[^+1]1и/'1(0,/) + ^2 II (У 41 + У3')ЖТ (|[^,]|2 + ^I 2 + »22)т + 1[У°]1и/'1(0,/)) >

3'=0 3'=0

где М - положительная постоянная, не зависящая от к и т. Из полученной априорной оценки следует следующая

Теорема 2. Пусть выполнены условия (1.5), тогда при а = 1/2 существует такое т0, что если т < то, для решения разностной задачи (3.9)-(3.10) справедлива априорная оценка

|[^+1]1и/'1(0,/) + 5] II (У41 + У3')х]?т < Л/(]С (|[^,]|2 + »12 + »22)т + 1[у0]1и/1(0,/))

3 '=0 3 '=0

где М - положительная постоянная, не зависящая от к и т.

Таким образом, доказана устойчивость решения разностной задачи (3.9)-(3.10) по начальным данным и правой части в сеточной норме |[у3+1]|^1(о I) на слое.

Пусть и(х,Ь) - решение задачи (3.1)-(3.4), у3 - решение разностной задачи (3.5) — (3.8), тогда обозначим через г = у — и погрешность. Подставляя у = г + и в (3.5)-(3.8) и считая и(х,Ь) заданной функцией, получим задачу для г:

4<7)).т+ Ь^)хЛ + &,+а*+1~й} + Ь7 аг(а) И

= Хг(а4а))хЛ + Ь-ш)хЛ + Кщ+^} + ^ а*4? - <к#] + 4^ (3-33)

N 3 к

«1X04,0 + 717т*,о = @1 4 ^- + ТР«,34,0 + 7^ (чо + ^4 ^ — (3.34)

8=0 8=0

-+ 7лг7й,лг) = 1%^ + |(^,дг + dNz(x)ЛJ - и2, (3.35)

г(х, 0) = 0, (3.36)

фг = О (к2 + т2), ^ = О (к2 + т2), ^2 = О (к2 + т2) - погрешности аппроксимации на

решении исходной задачи при каждом фиксированном Ь, в силу построения оператора Л при а = 1/2.

Применяя априорную оценку (3.32) к задаче для погрешности, при а = 1/2 получим оценку

|[^+1]12 + И4+11Г + Ё 11(^'+1 + ~')ЖТ й м Ё (иф,']12 + ‘-Г + 42)т.

з'=о 3'=о

где - положительная постоянная, не зависящая от к и т.

Из полученной априорной оценки следует сходимость схемы (3.33)-(3.36) при а =1/2 со скоростью О(к2 + т2) на слое.

4. Априорная оценка решения задачи в многомерной области. В замкнутом цилиндре = О х [0 < Ь < Т], основанием которого является р-мерный прямоугольный параллелепипед С = {х = (х1,...,хр) : 0 < ха < 1а, а = 1, 2, ...,р} с границей Г, С = С и Г рассматривается нелокальная краевая задача

0 и

— = Ьи + 1'(х,г), (х,г)е<Эт, (4.1)

Г'1а ^

Па(х,Ь) = в-а(х,£) и(х,Ь)йха + / р-а(Ь,т)и(х,т)йт — ^-а(х,Ь), при ха = 0, (4.2)

ио ио

—Па(х,г) = в+а(х,г)и(х,г) — ц+а(х,г), при ха = 1а, (4.3)

и(х, 0) = ио(х), х € С, (4.4)

р

где Ьи = Е Ьаи,

Ь«и = (ка(х,Ь)иХа) Ха + (Па(х,Ь)иХаг)Ха + та(х,Ь)иХа — да(х,г)и,

Ят = С х [0 < £ < Т], 0 < с0 < Па(х, £), ка(х, £) < с1;

|га|, |?а|, |в-а(х,£)|, |в+а(х, £) |, |р-а(£,т)|< С2, (4.5)

Па(х, £) = ка(х, Ь)иХа + Па(х, £)иХ^ — полный поток, 0 < т < £.

Со, С1, С2 — положительные постоянные, а = 1 ,р.

По ходу изложения будем использовать положительные постоянные числа Ыг, г =

1, 2,..., зависящие только от входных данных задачи (1)-(4).

Относительно коэффициентов задачи (4.1)-(4.4) предположим, что они обладают таким количеством непрерывных производных, которое необходимо для обеспечения нужной гладкости решения и(х,£) в цилиндре Ят■

Допуская существование решения дифференциальной задачи (4.1)-(4.4) в цилиндре Ят, получим априорную оценку для ее решения. Для получения априорной оценки воспользуемся методом энергетических неравенств.

В дальнейшем изложении будем пользоваться скалярным произведением и нормой

(и, у) = иуйх, (и,и) = ||и||0, ||и||0 = и2йх, и2Х = \^ и2Х ,

^ ^ а=1

г1а

11иН^2 (о,1а) = и2(х,г)йха ■

о

Умножим тогда уравнение (4.1) скалярно на и:

(^М,и^ = ^ ^ (ка(х,£)иХа )Ха ,и^ + ^ ^ (Па(х,£)иХаг)Ха ,и^ +

+ ( ^2Га(х,£)иХа ^ '^2/1а(х,1)и,^ + /(х,г),и^.

Преобразуем интегралы, входящие в (4.6):

(4.6)

]С(к

а=1

аиха ) Ха ,и

'О

Р Г. Р Г.

{каПха) х пйх = ^ / каППха |0“ йх' — ^ / ка(пха) <1х

а=1

а=1 Оа

а=1 О

(4.8)

а=1

иО а=1

^2 (ПаПх^)ха ,и) = 1_^2 Ыихаг)хп ийх

^ [ ЩаПх^О йх'-

а=1 Оа

йЬ ^ JО 2

а=1 О

(4.9)

Далее, для оценки слагаемых в правой части применим неравенство Коши с е

^2га(х,ь)иха ,и\ =1^2

а=1 О а=1

Ё^Ы2^+|Ё^-

а=1 О а=1 О

и2йх, (4.10)

а=1

да(х, Ь)и, и

РР

/ \да(х,Ь)и2йх < с2^> / и2йх.

]о а=1 а=1

(4.11)

f(x,t), U ) = У/(х,г)ис1х < ^||/||2 + ^||м||о,

где

^ а {х (х1. х2. ха-1. ха+1. •••. хр) • 0 < хк < 1к.

к = 1, 2, ...,а — 1, а + 1, йх' = йх1йх2 ■ ■ ■ йха-1йха+1 ■ ■ ■ йхр.

Подставляя (4.7)-(4.12) в (4.6), получаем неравенство

1о + Т+ X / Па^ХсУйх + ^2 [ ка(иХа)2(1х <

а=1 О

^ II

Л111,110

(4.12)

|

< 2^ / и(каиха + Па^а*) ^х' + 3С2 V] / (^а) ^ + (3рС2 + 1)||и||2 + ||/||0. (4.13)

а=1

а=1 О

Первое слагаемое в правой части (4.13), пользуясь теоремой 6.5 [19], краевыми условиями (4.2), (4.3) и неравенством Коши с е, оценим так:

Р г- Р г-

^ / и(каиха + Па^а*) |0“ йX' = ^ / (П (х, Ь)и(х, Ь) |х«=1« — Па (х, Ь)и(х, Ь) |ха=о) йх' =

^_1 ♦/ Оа ^_1 ♦/ Оа

а=1 Оа

и(х, ЬЦ в+а(х, Ь)и(х, Ь) — ц+а(х, Ь)

ха —

dx' К (4.14)

x =0

—u(x,t)ye-a(x,t) J u(x,t)dxa + J р-0^,т)u(x^)dт — -a(x,t)

C t 1 p c

< Ml (||U||g + 1Ы12) + M2 (||«||g + \[ux\\'^jdr + - ^ (уЦ2-а + p'+a'jdx1-

0 2 a=1 G

Тогда из (4.13), с учетом (4.14), находим

^ 11и 11 о + ^ XJ J '1а (Ux° Ydx + Ylf ка (и*°)2(іх - Мз (11и 11 о + 11Но) +

f't p f'

+ MJ (||UI|0 + |ux ||o) d'r + ^ / (rf—a + V+0) dx + НУ110. (4.15)

0 a=1 G

Проинтегрируем (4.15) по т от О до t, тогда получим

|u10 + |ux|0 + l|ux|2,Qt К M5 J (||U||0 + ||ux||0)dт + M6 J J (|u|0 + ||ux||0)dтldт+

+ Mj^l (|/12 + ^ 1 ^-a + tf+a) + llU0(x)llo + Ilu0(x)ll0) . (4.16)

Оценим второе слагаемое в правой части (4.16) следующим образом:

|u||° + ||ux||0)dтldт К T J (||u||0 + |ux|0)dт• (4.17)

С помощью (4.17) из (4.16) находим

1Ы1° +|Ux|0 К Ms[ (М0 + IKI^)*-+

+ Mj^l (|/|2 + ^ 1 ^-a + tf+a) dx'j^ + IMx)ll° + K(x)ll0) . (4.18)

На основании леммы Гронуолла из (4.18) получим неравенство

rt ( )

|u|0 + ||ux||0 )dт К

К M (t)^ j ^|/ 110 + t J (v—a + tf+a) ^ + ||u0(x)||0 + Ilu0(x)ll0^ . (4^19)

tp

^ ^ 0 + J [tf—a + tf+a) dx' )йт + ||Uo(x)||0 + Ilu0(x)ll0

Учитывая неравенство (4.17)-(4.19), из (4.16) получаем априорную оценку

IIUIIW21(G) + llUx |2,Qt К M (t)^ У (^\/110 + t JG [tf-a + tf+a) dx'^ ^ + llU0(x)llW2

где M(t) - зависит только от входных данных задачи (4.1)-(4.4).

Из априорной оценки (4.20) следует единственность решения исходной задачи (4.1)-

(4.4), а также непрерывная зависимость решения задачи от входных данных на каждом временном слое в норме пространства W21(G).

5. Устойчивость и сходимость разностной схемы. Для решения задачи (4.1)

— (4.4) применим метод конечных разностей. В замкнутом цилиндре QT введем равномерную сетку [20, 23]:

oJhr = ш/i X шг = {(xi,tj), х G oJh, t G шт},

p

Шh Шha i Шha i'cthcn ia 0, 1, ..., Na, Naha

a=1

шт = {tj = jr, j = 0,1, mr = T}.

На сетке uohr дифференциальной задаче (4.1)-(4.4) поставим в соответствие разностную схему, порядка аппроксимации O(\h\ + т):

yt = A(t)y + 5(t)y + f, (x,t) G инт, (5.1)

N j

a{_aa)yXa + Y[-aa)yxat = p-a ^ уФ + р_а^у^Т ~ )U_a, Xa = 0, (5.2)

s=0 s=0

~^а+аУха +'У+О'Ужс.*,^ Р+аУа ^ ~ Д+Qi Li (5-3)

y(x, 0) = щ(х), X G Cjft, (5.4)

A(t) = X A«(t), 6(t) = ^ 6a(t),

a=1 a=1

где

Aaif)y{a) {Р'оУха) Xa + Га yXa + Ta yXa day, 8a(t)y(a) (7«У.та*) .та

Уг ~ Уг-1 Уг+1 ~ Уг У3+1 “ У3 ,■ - j+1

Уха =-------г------, Уха =------------г------, Vt =-----------------, У = У ■> У = У3 ,

ha ha Т

г. = г+ + г-, Ы=г+-г-, Г+ = j(r„ + |г„|) > 0,

1

га = ~(га - \га\) < 0, tj = jr, t.j + т = (j + 1 )т, т, h - шаги сетки, га = 1,..., Na

aa = ka(x-a/2,tj), Ya = Va(x—a/2,tj), da = Qa(Xi,t), fi = f (Xi,tj), X^) = iaha,

x. = (X(il) X(i2) X(i“) X(iP)) x-a/2 = Xl x л x _h /2 Xl1 X X(0) = 0

i V 1 ? 2 ? * * * ? a ? * * * ? p / ‘i 1 ^ ^a—1 j ^a 1 ^a / ") t*-'a+1) • • •) ^p ? a ‘

ya0) = (X1,X2, ...,X<a0'), ...,Xp,T), y{aa) = (X1,X2, ...,хОЧа \...,Xp,T), X^) = Naha = la.

Для решения задачи (5.1)-(5.4) получим априорную оценку, для чего воспользуемся методом энергетических неравенств. В пространстве функции определим норму и введем ее в таком виде:

(и,и) = ||u||2, (u,и] = ||u]\2,

(«,!’] = £>,«]„, РЧІ2 = £Р'УІ2-

а=1 а=1

Умножим тогда разностное уравнение (5.1) скалярно на 2ту :

2т(Уи у) = 2т(ЛШ , у) + 2т(8&)у, у) + 2т(<р, у). (5.5)

Преобразуем суммы, входящие в (5.5), с учетом условий (5.2), (5.3) и формулы 2уу4 =

(у2)ь + т Ы2:

2т(у, у) = (1,у2) - (1,у2) + т2(1,у2), (5.6)

(A(t)y, y) + (£(%, y) = ( ^2Aa(t)y, yj + l^25a{t)y, yj = (ka{t)y,y)+'52 (da{t)y,y

' a=1 ' ' a=1 ' a=1 a=1

p

= ({(а«Уха)ха,у) + ({іс,ухаі)ха,у) + + (r~yxa,y) - (day,y)y (5.7)

а=1

Применяя первую разностную формулу Грина в (5.7) и подставляя преобразованные таким образом выражения в (5.5), с учетом (5.6), получаем

pp

(1,У2) - (1) У2) + Т2(1 ,Уі) +Г^2{1, (1аУІа)і]а + r2J2(Ya, (Ухаі)2],

a=1 a=1

p p p

2r J] (aa, y2 J Q - r J] (7to, y2a ]„ + 2rJ] (r+yXa, y) +2rJ] (rQ yXa, y) -

a=1 a=1 a=1 a=1

p p N p p

/2) ~2tY1 У«] P-arsyh - ‘2t Y P+a (y(aNa)Y + 2r ^ ^+«У^“} +

a=l a=l 8=0 a=l a=l

p p j

+ 2r X ~2rY^ У»] P-^jy{aNa)'S+lr + 2r fa’ y) • (5-8)

a=1 a=1 s=0

Оценим суммы, входящие в (5.8):

Z^(a«>^Ja^ClS](1’^<.]a = Cl(1'^] =Clll^]|2’ (5-9)

a=1 a=1

т'2 52 (>’ (у*с.і)2]а > т2с0\\уш}\\

а=1

52 {ГаУ*«,У) + X іГаУ*°,У) < 2с2і\Ух\ \ |ІУІ| < С2 (|| У112 + ||Уг]|2):

а=1

- Х(^а,у2) < с2 ^(1,у2) = C2\\у\\2,

а=1

а=1

N р

а=1

- Xу»0)і3~а52у*к ~ 52і3+а&»Ма}) - X о (у«}) ~~11

у—а

а=1 8=0

а=1

а=1

+

а=1

N

+ 9^ /3-«]>]уД

«=0

<м1(Ы|2 + ||-||2>

і р і р

{0) ^ -52 (/'■-« + (у«})2) ^ о (£Ы2+Ф)Цу||2 + '52»

'У '] Р-аУа 1 — Г, / у \Г -а

а=1 р

а=1

р

2

а

а=1

а=1

а=1

52»+аУ{”а) < ^ 52 + {У*Ма))2) ^ 1(£\Ш\2 + С(в)\\у\\2 + 52 А,

а=1

р

р

- Е V?' Е р—< і Е ((Е р^у^'г) + 0Г);

а=1 8=0

Из (5.16) получим

а=1 4 8=0

1 Р / 3 2

5Е((Е^«^М+1г) +ы,0,)2)<

а=1 ' 8=0

(»>.!/) <5М2 + 4і' ‘"2

(5.10)

(5.11)

(5.12)

(5.13)

(5.14)

(5.15)

(5.16)

< ^(-НЫ|2 + Ф)Цу||2) +М252 (єШ+1]\2 + с{є)\\у8+1\\2)т, (5.17)

2 8=0

(5.18)

Учитывая оценки (5.9) — (5.18), после несложных преобразований из (5.8) находим:

ІІУІІ2 - ІІУII2 + т(1, (ту!)*] + т2||у*]|2 + т2с0\\ухі}\2 + 2тс1\\уя]\2 <

<

Мз{\\у\\2+\\Ы\2)т + М^52 (11у'+1||2+ПУ^+1]|2)ГГ + М5(||^||2 + Х (»-а + Р2+а))Т- (5-19)

8=0 а=1

Просуммируем (5.19) по ]' от 0 до і :

/+1ІГ2 + іі!/і+1]|2з-

3

Е (\

їГ+і]і2г + іій;+1]і2г + ііуічі]і2іг<

3 '=0

2

< М* Ё (|1.!/'+1112 + ИЙЧ1]|2)т + м7 Ё Ё (|1»'’+11Г2 + Ий+1]|2)тг+

] '=0 j '=0 8=0

+М8( 52 (У II2 + X/ + ^+«))т + ЪГ + Ну°]|2)- (5.20)

^ j '=0 а=1 '

Второе слагаемое в правой части (5.20) оценим так j j ' j

££(||!/”+1112 + Ы+1]\2)гг<т^, (|1г/Ч11Г2 + ИйЧ1]12)^ (5.21)

j '=0 8=0 j '=0

В силу (5.21) из (5.20) имеем

11!/+1И2+Ий+1]|2+Ё (|1й1,+1]Г2г+11:!/я+1]Г2’'+ИйЧ1]|2)’' < м,Ё (||/+1112+11йЧ1]|2)^ +

j'=0 j'=0

^8( 52 И2 + X/ + ^+«))т + 11у°112 + Нуй121 = м9(\\у* +1||2 + ||у^+1]|2)г+

^ j '=0 а=1 '

+М,52 (\у ||2 + ||у^]|2)г + Мю( ^ (\№ II2 + 52^1'-2 + ^+«))т + ЪГ + НуЙ |2

j '=1 ^ j '=0 а=1

(5.22)

Выбирая т таким образом, что для всех т < т0, т0 = (2Мд)-1, из (5.22) получим

.,+1"2 + ||й+1]|2 < Мп £ (У Г + Ий']|2)г+

j '=1

+Мп( 52 (п^ II2 + X/ (^'-«2 + ^+«))т + ЪГ + 11?/г-]|2У (5.23)

^ j '=0 а=1 '

Оценивая первое слагаемое в правой части (5.23) с помощью леммы Гронуолла для сеточной функций [24], из (5.20) с учетом (5.21), (5.22) получим априорную оценку

и!/+1и2+У+1112+Ё (ы’+1]\2г+у;+1]|2г+ий'+1]|2)т < j '=0

- м( 52 (и^'и2 + X + »+а))Т+ 2 + и2) • (5-24)

^ j' =0 а= 1 '

Тогда справедлива следующая

Теорема 3. Пусть выполнены условия (4.5). Тогда существует такое т0, что если т — т0, для решения разностной задачи (5.1) — (5.4) справедлива априорная оценка

||»,+1Ии(0) + Ё ОЫ'ЧГ’-+\\^)?т+ийЧ1]|2)г <

з '=0

- м( X (IIи2+X а+^+«2))т+\\у°\\щ(с))•

^ 3 '=0 а=1

где - положительная постоянная, не зависящая от \к\ и т.

□ Пусть и(х,Ь) - решение задачи (4.1)-(4.4), у(х1,Ь^) = у3 - решение разностной задачи (5.1)-(5.4). Обозначим через = у3—и3 погрешность. Тогда, подставляя у = г+и в (5.1)-(5.4), получим задачу для г:

= Л(Ь)г + 8(Ь)г + Ф, (х,Ь) Е шьт , (5.25)

N з

а{_аа)2ха + 7-«1а)Тта* = /5-0 52^ + 52 Р-О'З'Р^Т - "-а, ПрИГ„ = 0, (5.26)

«=0 «=0

„N0,

- (^+о%а + /У+aZxatj = /З+о-о “ - и+а, При *„ = /„, (5.27)

с(;г, 0) = 0, хЕшь, (5.28)

где Ф = О (|Л,| + т), и_а = О (\Л,\ + т), и+а = О (|Л,| + т) - погрешности аппроксимации на решении задачи (4.1)-(4.4).

Применяя априорную оценку (5.24) к решению задачи (5.25)-(5.28), получим оценку

||^+1Ии,д0)+Ё (N ,+11 г2т+и -я+11 г2т+и 4’+1112) ^ < М Ё (||4"'и2+Ё №+4?)У

3 '=0 з '=0 а=1

где - положительная постоянная, не зависящая от |Л,| и т.

Из полученной априорной оценки следует сходимость схемы (5.25)-(5.28) со скоростью O(\h\ + т) в сеточной норме Жз(С).

Замечание. Полученные результаты имеют место и в случае, когда уравнение имеет вид:

щ = (к(х, Ь)их)х + (п(х, Ь)их)хг + г(х, Ь)их — д(х, Ь)и + f (х, Ь), 0 < х < I, 0 < Ь — Т,

если потребовать условие п Е С3,3 ((^т)•

Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования и науки Российской Федерации. Регистрационный номер НИР: 1.6197.2011.

Литература

1. Баренблат Г.И., Желтов Ю.П., Кочина И.Н. Об основных представлениях теории фильтрации однородных жидкостей в трещиноватых породах // Прикладная математика и механика. - 1960. - 25;5. - C.852-864.

2. Дзекцер Е.С. Уравнения движения подземных вод со свободной поверхностью в многослойных средах // ДАН СССР. - 1875. - 220;3. - C.540-543.

3. Рубинштейн Л.И. К вопросу о процессе распространения тепла в гетерогенных средах // Известия АН СССР, сер. геогр. - 1948. - 12;1. - C.27-45.

4. Ting T., Cooling A. Process According to Two Temperature theory of heat Conduction //

J. Math. Anal. Appl. - 1974. - 45;9.

5. Hallaire M. L’eau et la production vegetable // Institut National de la Recherche Agronomique. -1964. - №9.

6. Чудновский А.Ф. Теплофизика почв // М: Наука, 1976.

7. Colton D.L. Pseudoparabolic equations in one space variable // J. Different. equations. -1972. - 12;8. - P.559-565.

8. Colton D.L. Integral operators and the first initial-boundary value problems for pseudoparabolic equations with analytic coefficients // J. Different. equations. - 1973. - 13. - P.506-522.

9. Ахиев С.С., Гусейнов О.М. О фундаментальном решении одной краевой задачи для гиперболического уравнения третьего порядка // Баку: Азерб. унив-т, 1983. - 9 с.

10. Водахова В.А. Краевая задача с нелокальным условием А.М. Нахушева для одного псев-допараболического уравнения влагопереноса // Диффер урав. - 1982. - 18;2. - C.280-285.

11. Жегалов В.И. Миронов А.Н. Дифференциальные уравнения со старшими частными производными // Казань.: Изд. Казанское математическое общество, 2001. - 226 с.

12. Кожанов А.И. Об одной нелокальной краевой задаче с переменными коэффициентами для уравнений теплопроводности и Аллера // Диффер урав. - 2004. - 40;6. - C.763-774.

13. Шхануков М.Х. Исследование краевых задач для одного класса уравнений третьего порядка методом функции Римана // Сообщения АН ГССР. - 1983.

14. Шхануков М.Х. О некоторых краевых задачах для уравнения третьего порядка, возникающих при моделировании фильтрации жидкости в пористых средах // Дффер урав. -1982. - 18;4. - C.689-699.

15. Coleman B.D., Duffin R.J., Mizel V.J. Instability, uniqueness, and nonexistence theorems for the equation ut = uxx — uxxt on a strip // Arch. Rat. Mech. Anal.

16. Showalter R.E., Ting T. Pseudoparabolic partial differential equations // Siam. J. Math. Anal. - 1970. - 1. - P.1-26.

17. Чудновский А.Ф. Некоторые коррективы в постановке и решении задач тепло- и влагопереноса в почве // Сборник трудов по агрофизике. - 1969. - №23, Гидрометеоиздат.

18. Карсанова Ж.Т., Нахушева Ф.М. Об одной нелокальной краевой задаче для псевдопара-болического уравнения третьего порядка // Владикавказский математический журнал. -2002. - 4;2. - С.31-37.

19. Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики / М: Наука, 1973.

20. Самарский А.А. Теория разностных схем / М: Наука, 1983.

21. Андреев В.Б. О сходимости разностных схем, аппроксимирующих вторую и третью краевые задачи для эллиптических уравнений // ЖВМ и МФ. - 1968. - 8;6. - C.1218-1231.

22. Самарский А.А., Гулин А.В. Устойчивость разностных схем / М: Наука, 1973.

23. Бештоков М.Х. О сходимости разностных схем, аппроксимирующих третью краевую задачу для уравнения гиперболического типа в многомерной области с нелокальным краевым условием.Ч.1 // Известия КБНЦ РАН.-Нальчик. - 2007. - №3(19). - C.88-96.

24. Самарский А.А. Однородные разностные схемы на неравномерных сетках для уравнений параболического типа // ЖВМ и МФ. - 1963. - 3;2. - C.266-298.

ON NONLOCAL BOUNDARY VALUE PROBLEMS FOR PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS OF THE THIRD ORDER

M.Kh. Beshtokov

Kabardino-Balkarian State University,

Chernyshevskiy St., 173, Nalchik, 360004, Russia, e-mail: beshtokov_ murat@rambler.ru

Abstract. Nonlocal boundary value problems for pseudo-parabolic equations of third order with variable coefficients in one-dimensional and multidimensional cases are under consideration. Using the Riemann function method, existence and uniqueness of the solution of a nonlocal boundary value problem are proved in one-dimensional case. A priori estimates are obtained for nonlocal problems both in differential and difference interpretations. The estimates obtained imply uniqueness, stability and convergence of the difference problem solution to the correspondent differential problem solution.

Key words: boundary value problems, Riemann’s function method, nonlocal condition, a priori estimate, difference scheme, stability and convergence of difference schemes, partial differential

equation of third order, pseudo-parabolic equation.