СИНГУЛЯРДЫК КОЗГОЛГОН КАДИМКИ ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫК ТЕҢДЕМЕЛЕРДИН СИСТЕМАСЫНЫН ЧЕЧИМИН ИЗИЛДӨӨ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ОШ МАМЛЕКЕТТИК УНИВЕРСИТЕТИНИН ЖАРЧЫСЫ МАТЕМАТИКА. ФИЗИКА. ТЕХНИКА. 2024, № 1(4)

УДК 917.928

DOI: https://doi.org/10.52754/16948645 2024 1(4) 1

СИНГУЛЯРДЫК КОЗГОЛГОН КАДИМКИ ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫК ТЕЦДЕМЕЛЕРДИН СИСТЕМАСЫНЫН ЧЕЧИМИН ИЗИЛД00

Абдилазизова Акбермет Абдижалиловна, улук окутуучу

abdilazizovaa@mail. ru Ош Мамлекеттик Университети Ош, Кыргызстан

Аннотация. Бул жумушта сингулярдык козголгон дифференциалдык тецдемелер системасынын чечими изилденген. Туруктуулук шарты алмашкан учурда сингулярдык козголгон кадимки дифференциалдык тецдемелер системасы YЧYH Кошинин баштапкы маселеси каралган. Диагоналдык матрица комплекстик тYйYндвш вздYк маанилерге ээ, алар гиперболалык функциялар. Сингулярдык аймак аныкталган жана ал аймак YЧYH баалоо алынган. Козголгон жана козголбогон маселелердин чечимдеринин жакындыгы далилденген.

TYUYHdYY свздвр: матрица, аналитикалык фунция, ийри сызыктуу тврт бурчтук, сингулярдык козголуу, тецдемелер системасы, матрицанын вздYк маанилери, асимптотика, бир калыпта жакындашуу.

ИССЛЕДОВАНИЕ РЕШЕНИЯ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННОЙ СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Абдилазизова Акбермет Абдижалиловна старший преподаватель abdilazizovaa@mail. ru Ошский Государственный Университет

Ош, Кыргызстан

Аннотация: В данной работе исследовано решение сингулярно возмущенной системы дифференциальных уравнений. Рассматривается начальная задача Коши для сингулярно возмущенной систем обыкновенных дифференциальных уравнений в случае смены устойчивости. Диагональная матрица имеет комплексно сопряженные собственные значения, они гиперболические функции. Определена сингулярная область и на этой области получена оценка. Доказывается близости решений возмущенной и невозмущенной задачи.

Ключовые слова: матрица, аналитическая функция, криволинейный четырехугольник, сингулярное возмущение, система уравнении, собственные значения матрицы, асимптотика, равномерные приближения.

ТО INVESTIGATE OF THE SOLUTION OF A SINGULARLY PERTURBED SYSTEM OF ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATIONS

Abdilazizova Akbermet Abdijalilovna, Senior Lecturer

abdilazizovaa@mail. ru Osh State University Osh, Kyrgyzstan

Abstract: In this paper uniform approximations are investigated for solving singularly-perturbed system of differential equations. Initially problem of Cauchy for singular perturbed system of ordinary differential equations in the case of change of stability is considered. The diagonal matrix has complex conjugate eigenvalues, they are hyperbolic functions. A singular domain is determined and an estimate is obtained on this area. The proximity of the solution ofperturbed and undisturbed problem is proved.

Keywords: matrix, analytic function, curved quadrilateral, singularly perturbed, system of equations, eigenvalues of a matrix, asymptotic, uniform approximations.

Киришуу. Сингулярдык козголгон дифференциалдык тецдемелер колдонмо математиканын бардык бeлYГYндe кездешет. Бул макалада сингулярдык козголгон кадимки дифференциалдык тецдемелердин системасынын чечими жана А.Н. Тихоновдун пределдик eTYY жeнYндeгY теоремасынын орун алышы каралган.

Маселенин коюлушу. ТeмeнкY тецдемелердин системасы берилсин:

ex' (t, e) = D (t) x (t,e) + ef (t, x (t, e)) , (1)

x(t0,e) = x0(e), \\x0(e)\\ = O(e), (2)

Мында e> 0 — кичине параметр; D(t) = diag (Л( t) Л( t)) , \(t) = sht + icht, Л.(t) = sht - icht, f (t,x(t,e)) = colon(f (t,x(t,e)), f..(t,x(t,e))) , f (t,0) = 0; ТeмeндeгY шарттар аткарылсын:

U 1. [t0,T0] - чыныгы сан огундагы кесинди (^ < Г0) ; [t0,T0] с Sr —

r > 1 |T -t0| + d (d > 0) радиустуу, борбору ((T0 + t0) / 2,0) чекитинде жаткан ачык шар,

t£ S . Ф(Sr) — S де аналитикалык функциялардын мейкиндиги. U 2. fk (t, x (t,e))^<b(Sr )(k = 1,2);

x(t,e) = colon(x(t,e), x2 (t,e)) чечимин Ф(Sr) классынан t боюнча издейбиз. Теорема. U 1-U 2 шарттары аткарылсын, анда (1), (2) маселенин t0 <t< —10 — a(e) аралаганды жалгыз чечими жашайт жана ||x(t ,e)|| < cw(e), баалоосу орун алат, мында «(e) - монотондуу кемYYЧY функция жана a(0) = 0, 0 < c — const.

¡e, t0 <t <—t0 —a(e); ®(e) = 1 Г , 4

[yle, t = —t0 —a(e). Далилдee. Туруктуулук шарты алмашкан интервалдарын аныктайбыз. Туруктуулук шартынан ReЛ1) = Re\2yt) < 0, яЫ < 0 же —да < t < 0, мындан

t £ (—да, 0) -туруктуу интервал, t £ (0, +да) -туруксуз интервал, t=0 - туруктуулук алмашкан чекит,

t0 - туруктуу интервалга тиешелYY чекит болот, б.а. tо £ да,0)

—t0= — 1), t0 = —0.88137366. Бул жерде кармалуу убактысы 8:8 = |t0|. Бул

максималдуу кармалуу убактысы болуп эсептелет.

0здYк маанинин нeлдeрY мезгили 2 л болгон (0t2) огуна карата мезгилдYY экендигин кeрYYгe болот. Натыйжада, изилденген аймак да (0г2) огунда 2л мезгилдYY. Бирок, биз (Otj) огун кармаган аймагын алабыз.

Алгач (1), (2) маселени ага эквиваленттYY болгон интегралдык тендемелер системасы менен алмаштырып алабыз:

t

x(t ,e) = E (t, t0 ,e) x°(s) + J E (t,r,s) f (r, x (r,s))dr

t

0

мында

E (t, t0 ,s) = exp

-jD(s)ds , E(t,r,s) = exp(-jD(s))ds . Бул тецдемелер

s

V to

J

системасы удаалаш жакындашуулар методунун жардамында чыгарылат:

x

( n).

H 0 =

(t, s) = E(t, t0, s)x0 (s) + j E(t, r, s) f (r, x(n-i) (r, s))dr ; x(0) (t, s) = 0

t0

Жакындашуулар Y4YH интегралдоо жолдору

t

(ti, t2): Mt (ti, t2) = Re j ^ (s)ds < 0, к = 1,2

аимагынан алынат.

Туруктуулук шарты алмашкан аралыкта (cht -chr) - белгиси оц, терс же

нелге барабар болушу мYмкYн. Изилдееде чыныгы сандар талаасы жетишсиз болот. Ошондуктан, изилдеенY комплекстик езгермелер талаасында улантабыз.

t = ti + it2,T = T + ir2, мында ti,t2,Ti,T2 G R болсун. ТеменкYге ээ болобуз:

ti+it2

u(tx, t2) = Re J ^(s)ds =

t

42chtx

cos

f Я

L + — 2 4

Интегралдоо жолдору, жана (tj, t2) чекиттерин бириктирген L - интегралдоо

жолдору болот. L Y4 жолдон турат, б.а., L = L} U L2 U L3 удаалаш тYPде темен^ чекиттерди бириктирет:

(-to, 0 ),

с ( яЛ

~ t0 , V 4 J , tj, V 4 J

(tj, t2 ).

Интегралдоо жолдорунда жакындашуулар бааланып, (1), (2) маселенин чечими YЧYн теменде^ баа орун алат:

\x(t,s)| < ca(t,s).

s, tQ < t <-t0 -a(s);

<

4s, t=t0.

a(s) - монотондуу кемYYЧY функция жана a(0) = 0.

Мында c > 0 - туруктуу сан, (o(s) ■

1

Адабияттар

1. Алыбаев, К.С. Метод линия уровня исследования сингулярно возмущенных уравнении при нарушении условия устойчивости. [Текст] / К.С. Алыбаев // - Дисс. ... д-ра физ. - мат. наук: 01.01.02. -Бишкек. 2001. - 204 с.

2. Анарбаева Г.М. Исследование решение сингулярно возмущенной задачи в неограниченном областе. [Текст] / Анарбаева Г.М., А. Абдилазизова // Математические методы в технике и технологиях . 2020. - Т. 12-3. - С. 7-11.

3. Абдилазизова, А.А. Асимптотика решения сингулярно возмущенной задачи Коши в случае смены устойчивости. [Текст] / А.А. Абдилазизова // Евразийское Научное Объединение .- Москва. 2021. - № 7-1 (77). - С. 1-3.