КИЧИНЕ КОЗГОЛУУНУН СИНГУЛЯРДЫК КОЗГОЛГОН ТЕҢДЕМЕНИН ЧЕЧИМИНИН ТУРУКТУУЛУГУНУН УЗАРТЫЛЫШЫНА ТИЙГИЗГЕН ТААСИРИ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ОШ МАМЛЕКЕТТИК УНИВЕРСИТЕТИНИН ЖАРЧЫСЫ МАТЕМАТИКА. ФИЗИКА. ТЕХНИКА. 2024, № 1(4)

УДК 517.928

DOI: https://doi.org/10.52754/16948645 2024 1(4) 4

КИЧИНЕ КОЗГОЛУУНУН СИНГУЛЯРДЫК КОЗГОЛГОН ТЕЦДЕМЕНИН

ЧЕЧИМИНИН ТУРУКТУУЛУГУНУН УЗАРТЫЛЫШЫНА ТИЙГИЗГЕН

ТААСИРИ

Акматов Абдилазиз Алиевич, улук окутуучу abdilaziz_akmatov@mail. ru Ош мамлекеттик университети Ош, Кыргызстан

Аннотация. Жумушта сингулярдык козголгон кадимки дифференциалдык тецдеменин чечиминин изилдвв жараяны каралган. Кичине козголуунун чечимдин узартылышына тийгизген таасири конкреттуу мисалдын жардамында ачылып кврсвтулгвн. Эгерде кичине козголуу тецдеш нвлгв барабар болсо, анда чыныгы сандар талаасында чечимдин туруктуулугунун узартылышын жетишээрлик чоц боло тургандай кылып баштапкы чекитти тандап алууга болот. Баштапкы чекит туруктуу аралыктан тандалып алынды. Ал эми кичине козголуу нвлдвн айырмалуу болсо, анда комплекстуу аймакка втуу зарылдыгы келип чыгат. Бул учурда комплекстуу аймактагы децгээл сызыктардын жайгашуусу чыныгы окту кармабай калат. Тактап айтканда маселенин чечими изилденуучу аймак жашабайт. Чечимди бул учурда баштапкы чекиттен тарта нвлгв дейре узартуу мумкунчулугу эле болот.

TYÜYHdYY свздвр: кичине козголуу, дифференциалдык тецдеме, туруктуулук, Коши маселеси, кичине параметр, чечим, асимптотика.

ВЛИЯНИЕ МАЛОГО ВОЗМУЩЕНИЯ ЗАТЯГИВАНИЮ ПОТЕРИ УСТОЙЧИВОСТИ РЕШЕНИЙ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫХ УРАВНЕНИЙ

Акматов Аблизазиз Алиевич, старший преподаватель

abdilaziz_akmatov@mail. ru Ошский государственный университет

Ош, Кыргызстан

Аннотация: В работе рассмотрено исследование решения сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений. С помощью конкретного примера показано влияние малого возмущения затягиванию потери устойчивости решений. Если малое возмущение тождественно равно к нулю, тогда в пространстве действитльных чисел можно выбрать начальную точку так, что затягивание потери устойчивости было досточно велико. Начальная точка выбрано в устойчивом интервале. Если малое возмущение отлично от нуля, то появится необходимость перехода к комплексной области. В этом случае расположение линии уровня в комплексной плоскости не захватывает действительную ось. Точнее не существует область, в которой исследуется решение задачи. Тогда остается возможность затягивания потери устойчивости от начальной точки до точки ноль.

Ключевые слова: малое возмущение, дифференциальные уравнения, устойчивость, задача Коши, малый параметр, решение, асимптотика.

INFLUENCE OF A SMALL PERTURBATION ON LOSS PULLING STABILITY OF SOLUTIONS TO SINGULARLY PERTURBATE EQUATIONS

Akmatov Abdilaziz Alievich, senior lecturer abdilaziz_akmatov@mail. ru Osh State University Osh, Kyrgyzstan

Abstract: The paper considers the study of the solution of singularly perturbed differential equations. With the help of a specific example, the influence of a small perturbation on the delay in the loss of stability of solutions is shown. If a small perturbation is identically equal to zero, then in the space of real numbers one can choose the starting point so that the delay in the loss of stability is sufficiently large. The starting point is chosen in a stable interval. If a small perturbation is different from zero, then it will be necessary to pass to the complex region. In this case, the location of the level line in the complex plane does not capture the real axis. More precisely, there is no area in which the solution of the problem is investigated. Then there remains the possibility of delaying the loss of stability from the initial point to the zero point.

Keywords: small perturbation, differential equations, stability, Cauchy problem, small parameter, solution, asymptotic.

Киришуу. Кичине козголуу sh(t) -нын чечимдин туруктуулугунун узартылышына болгон таасири мисалдын негизинде каралат. КомплекстYY тегиздиктеги децгээл сызыктарынын жайгашуу абалдары кээ бир учурларда чечимдин туруктуулугунун узартылышын чектеп коет [1]. Чечимдин туруктуулугун узартылышы a(t) функциясынан жана баштапкы чекитти тандап алуудан да кез каранды болору [2-4] жумуштарда кeрсeтYлгeн.

Маселенин коюлушу. Темен^

sx'(t ,s) = a(t) x(t,s) + s[h(t) + f (t, x(t ,£))], (1)

x(t0 ,s) = x0 (s) , |x0 (s)| = O(s), (2)

мында 0 <s<< 1 - кичине параметр, [t0,T] - чыныгы октогу кесинди, x(t,s) - белгисиз функция.

Аралык H0 = {(t, x)t e [t0, T],|x| <5j, мында 0 <5 - кандайдыр бир s - кез каранды

эмес турактуу сан.

Темен^ шарттар аткарылсын:

U 1. f (t,0) = 0 , v(t, x) e H0: f (t, x) e Ф(8Г), ф(Sr) - аналитикалык функциялардын

мейкиндиги, f (t,0) = 0 ; f (t,~) - f (t, ~) < M ~ - ~ x max{~~|, |~| j, мында 0 < M -

кандайдыр бир s - кез каранды эмес турактуу сан. Ажыралма экинчи даражадан кем эмес болуп башталат.

U 2. a(t), h(t) e 0(Sr) жана a(t) = 2t. Анда a(t) < 0 , t < 0 болсо, a(t) > 0 , t > 0 болсо, a(t) = 0 , t = 0 болсо.

Маселе. U 1-U 2 шартта (1)-(2) маселенин чечимин H0 аралыгындагы асимптотикалык жYPYMYн изилдее.

(1)-(2) маселенин чечимин C1 [t 0,T ] мейкиндигинде карайбыз. Формалдуу тYPдe s = 0 :

a(t)4(t) = 0 . (3)

(3) тецдеме

Ш) = 0 , (4)

чечимине ээ.

(1)-(2) маселесин интегралдык тецдеме менен алмаштырабыз:

t

x(t,s) = x0(s)E(t, t0 ,s) + JE(t,z,s)[h(z) + f (r, x(r,s)]dr , (5)

мында E (t, t0 , s) = exp

1 t

- J a(s)ds

s

V t0

> Л t

E(t, r, s) = exp

— Ja(s)ds I.

Vs r

(5) тевдемеге удаалаш жакындашуу усулун колдонобуз.

Удаалаш жакындашууларды темен^че аныктайлы: x0 (t, s) = 0,

t

xm (t, s) = x0 (s)E (t, to, s) + J E(t, r, s)[h(r) + / (r, xm_— (r, s))]dr:

мында m = 1,2,....

Аныктама 1. Vt e с C (lim x(t,s) = 0) ^ # аралыгында x(t,s) чечимди

козголбогон тевдеменин E,(t) = 0 чечимине карата туруктуу деп атайбыз.

Аныктама 2. sh(t) - кичине козголуу деп атайбыз. 1). h(t) = 0 болсун.

Теорема орун алат:

Теорема 1. U 1 шарты аткарылсын жана a(t) = 2t, h(t) = 0 болсун. Анда Vt e [t0, T] аралыгында (1)-(2) маселе жалгыз чечимге ээ болуп жана

|x(t,s)| < Cs , (7)

баалоосу орун алат. Мында C - const.

Далилдее. (6) удаалаш жакындашууларын баалайбыз: x0 (t, s) = 0,

xx (t ,s) = x 0(s)exp m = 2 YЧYн

rt2 -12Л t_t0

V s У

(t, s)| < x0(s)

exp

ft 2 -12^ I (0

V s

= Cs s exp

ft 2 -12^ I 10

V s У

ft 2 - 12 ^ - (<2 „.2\

x2 (t,s) = x 0(s)exp

+

J exp

t0 V

t2 -r

s

/ (r, (r, s))dr,

|x2 (t,s)| < Csexp

/^t2 - 12^ - ^

+ M J

У t0

exp

t2 -r2

V s У

x 2(r,s)|dr ,

мындан

|x2(t,s)| < Cjsexp

ft2 -t2^

V s У

1 + Ma2(s)(<C s)J exp

t f i-2 ,2 \

r2 -12

dr

V s У

же

|x2(t,s)| < Csexp

ft 2 -12^ I 10

V s У

1 + Mal (s)(Q s)2 ] = C sa2 (s) exp

2 -12^ I (0

V s У

бул жерде a (s) = (- + Mafs)(Cls)2), a—(s) = 1, (C—s)2 < 1, a2(s) > 1.

m = 3

YЧYн

x3 (t,s) = x 0(s)exp

it 2 - t 2\ К {<2 ^2 ^

s

+

J exp

t2 -r2

s

/ (r, x2 (r, s))dr

|x3(t,s)| < Csexp мындан

О2 -t,

s

^ f t2-r2^

+M J exp

У t0

V s У

|x2(r,s)|dr.

0

0

s

0

s

0

|x3 (t, s)| < Cs exp Жыйынтыгында

22 t — t,

(¿2 ,2\t Í2 .2\

V S У

2

+Ma¡(s)(C1 s)2 exp -|jexp

T — t 2

dT.

V У

x.

. (t, s)| < Csa (s) exp

02 — 12 ^

V s У

6ул жерде a3 (s) = 1 + Ma\ (s)(Cls)2. m = к YЧYн

Xm (t,s) = X0(s)eXP

2 2 t 2 2

t2 —t

+

j exP

t2 —T

f (T Xm-l(T,S))dT >

\Xm (t,S)\ < ClSeXP мындан

V У

2 2 t 2 2

s

V "У t0

+M jexp t-— Ix2m—l (t, s)|dT ,

V s У

X,

X-,S)\ < CSam (s)exP

f 12 — 12Л

t_1л

V S У

мында am (s) = 1 + Mal—1 (s)(Cls).

Баалоону m +1 туура экендигин далилдейли. Aнда (6) барабардыгынан

it 2 — 12^ I f<2

Xm+l(t,s) = X 0(s)eXP

s

l + j eXP

tV

t2 —т2

s

f (T Xm (T,s))dT ,

\Xm+l(t,S)\ < CSeXP

мындан

2 2 t 2 2 t —t

s

+Mj

exp

V " У t0

22

t2 —T2

V s У

x2(t,s)\dT>

|Xm+1 (t,s)| < Csexpl |[l + Mal (s)(C1s)2] = Clsam+l(s)exp

02 — t2^

V S У

мында

(8) баалоосу далилденди.

am+l(s) = 1 + M(Cxs)2a2m(s).

1

(8)

(9)

(9) барабардыктан s барбарсыздыгынан Vm e N, m > 3, am+l (s) < 2C = C .

Демек, (7) баалоо орун алат.

{xm (t,s)} удаалаштыгынын жыйналуучулугун далилдейли:

Xm (t,S) = X1 (t,S) + (x2 (t,S) - X1 (t, S)) + (x3 (t,S) - X2(t,s)) + ■■■ + (xm (t,s) - Xm—l (t, s)) + ■■■ .

Aнда (6)^ xm(t,s) — xm-l(t,s) = j

^ ft2 —t2 exp

tn V

s

[f (T Xm-l (T, S)) — f (T, Xm-2 (T, S)l№T .

\x„

^ 02 —T2^

(t,s) — Xm-l (t,s)\ = j eXP - • |f (т, Xm (T, s)) — f (т, Xm-l (т^s))| • |Xm (T,s) — Xm-AT,S)\dT <

V S У

< M j exp

^ 02 —т2^

t0 V

s

max{xm-l (T, St \Xm-2 (T, S)|} |Xm-l (т, s) — Xm-2 (т, s)|dT,

бул жерде (8) эске алуу менен

0

0

таХК-1 (t, \Хт-2 а)|} = С1£ат (а) еХР

О 2 -

V а У

х2 (г, а) - х1 (г, а) баалайлы. Анда

г- ^2 -г2^

х„

(Г, а) - х1(Г,а)| = [ ехр - • Схаат (а)ехр

4 о

т 10

г„ V

V а У

хг (г,а)| ёт

О2 -г2Л

I 'о

х2 (г, а) - х1 (г, а) < С1а ехр |х3 (г, а) - х2 (г, а)| баалайлы. Анда

|х3 (г, а) - х2 (г, а)| < С1а ехр |хт (г, а) - хт-1 (г, а)| баалайлы. Анда

1хт ,а) - хт-1(',а)| < С1аеХР

Р(а) , Р(а) = М(С1а)2ат(а) .

V а У

{-¡2 _ .2 Л , .

р2(а) , Р2(а) = М(С1а)2ат (а))2.

V а У

' 2 - ' 2 Л

0 Рт (а), Рт (а) = М(С1а)2ат (а))т .

V а У

Демек,

|хх (', а) + (х2 (г, а) - х (г, а)) + (хз (г, а) - х2 (г, а))... + (хт (', а) - хт-1 (', а))+... < < (г, а)| + |х2 (г, а) - х (г, а)| + |х3 (г, а) - х2 (', а)| +... + |хт (г, а) - хт_) (г, а +... <

< С а ехр

С г2 -'

V а У

1 + Р(а) +... + рт(а) +...) < Сааехр

( V 2

г - г л

1

V а У

(10)

1 -Р(а)

(10) оц жагы У г е [г0 ;Т ] аралыгында бир калыпта жыйналат. Анда У г е [г0 ;Т ] аралыгында {хт (г, а)} удаалаштыгы да бир калыпта (5) маселесинин чечими болгон х(г ,а) жыйналат.

(10|х(г,а)| < Са.

Демек, (1) маселесинин чечими г е [г0, Т] аралыгында жашап, жалгыз болуп, ал YЧYн

(7) баалоосу орун алат. Теорема далилденди.

(7) баалоо (3) маселенин чечими болгон (4) пределдик eтYY орун аларын керсетет. 2). Н(г) ф 0 болсун. Биринчи удаалаш жакындашууда

х (г, а)| < |х 0(а)| ехр

(г2 -гI (-¡2 „,2\

а

+1 ехр

г2 - г

и V

а

|^(г)|ёт .

[ 1 2 2 2 2 2 2

г0, Т ] аралыгында г -т = 0, г -т < 0, г -т > 0. Мына ошол себептYY комплекстYY тегиздикке кeчeбYз:

г

г = г1 + и2, т = Т1 + т, г1,г2 ,Т1,т2е Я, м('1, г2, г0) = Яе 1^ = (г2 - г22 )-(г01 - г02).

Баштапкы чекит г0 = г01 < 0 , (г02 = 0). КомплекстYY тегиздиктеги аймак, чыныгы окту кармабайт. Мында ак(г) кичине козголуусунун тийгизген таасири байкалат.

Бул жерде Н 4 = {(г1, Г2): и^^ Г2) < Н 2 = {(г1, г2): и(г1, г 2) < 0} - регулярдуу аймактар, ал эми Н1 ={(г1з г2): и(г1, г2) > 0}, Н3 ={(г15 г2): и(г1, г2) > 0} аймактар, г 2 = ±г1 чек аралык ийрилер.

сингулярдуу

КомплекстYY тегиздикте H0 аралыгына дал келYYчY комплекстYY аймак жашабайт, ошол себетуу изилдeeнY уланта албайбыз. Ал sh(t) кичине козголуусунун таасири жана комплекстYY тегиздиктеги децгээл сызыктарынын жайгашуу абалдарына жараша болот.

Эгерде кичине козголуу нелден айырмалуу болсо, чечимди туруктуу аралыкта гана изилдееге болот. Б.а. t е [t0 ,ü) аралыгында гана орун аларын кeрсeтYYгe болот.

Корутунду. Кичине козголуу деп аталуучу sh(t) мYчe нелге тецдеш барабар болгон учурда чечимдин туруктуулугун узартуу мYмкYнчYЛYГY мисалдын негизинде каралды. Удаалаш жакындашуу усулунун жардамында чечимдин асимптотикасы изилденди. Туруктуулуктун узартылышында мYмкYн болушунча чоц кармалуу убактысы боло тургандай туруктуу аралыктан баштапкы чекит тандалып алынды. Ал эми кичине козголуу нелден айырмалуу болсо, бул мисалда чечимди изилдее YЧYн комплекстYY аймакка eтYп алдык. Бирок 0tx огун кармаган аймак жашабагандыгы YЧYн маселени

изилдее мYмкYнчYЛYГY болбоду. КомплекстYY тегиздиктеги децгээл сызыктарынын жайгашуу абалдары кээ бир учурларда чечимдин туруктуулугунун узартылышын чектеп коет [1]. Ал бул жумушта даана кeрсeтYЛдY.

Адабияттар

1. Алыбаев, К.С. Метод линия уровня исследования сингулярно возмущенных уравнений при нарушении условия устойчивости. [Текст] / К.С. Алыбаев // Дисс. ... д-ра физ. - мат. наук: 01.01.02. -Бишкек, 2001. - 204 с.

2. Акматов А.А. Об устойчивости решений сингулярно возмущенных обыкновенных дифференциальных уравнений. [Текст] / А. А. Акматов // Журнал бюллетень науки и практики. Москва. №3. - 2023. - С. 39-46.

3. Акматов А.А. Сингулярдык козголгон маселенин чечимин изилдее. [Текст] / А. А. Акматов // Вестник ОшГУ. Ош. №2. - 2021. - С. 26-33.

4. Каримов С. Исследование решений системы сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений, когда собственные значения матрицы имеют мнимые части. [ Текст] / А. А. Акматов // Вестник ОшГУ. - Ош. 2021. №1. - С. 61-69.