СИНГУЛЯРДЫК КОЗГОЛГОН ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫК ТЕҢДЕМЕНИН ЧЕЧИМИНИН ТУРУКТУУЛУГУНУН УЗАРТЫЛЫШЫ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ОШ МАМЛЕКЕТТИК УНИВЕРСИТЕТИНИН ЖАРЧЫСЫ МАТЕМАТИКА. ФИЗИКА. ТЕХНИКА. 2024, № 1(4)

УДК 517.928.2

DOI: https://doi.org/10.52754/16948645 2024 1(4) 5

СИНГУЛЯРДЫК КОЗГОЛГОН ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫК ТЕЦДЕМЕНИН ЧЕЧИМИНИН ТУРУКТУУЛУГУНУН УЗАРТЫЛЫШЫ

Акматов Абдилазиз Алиевич, улук окутуучу abdilaziz_akmatov@mail. ru Замирбек кызы Наргиза, аспирант nargiza. z_9292@bk. ru Ош мамлекеттик университети Ош, Кыргызстан

Аннотация. Жумушта сингулярдык козголгон кадимки дифференциалдык тецдеменин чечиминин изилдвв жараяны каралган. Чечимди изилдввдв каралуучу аймакты MYMKYH болушунча жетишээрлик чоц кылып алуу максатка ылайыктуу болуп саналат. Баштапкы чекит туруктуу аралыктан тандалып алынган. Кичине козголууга ээ болгон MYчв тецдемеде кездешпейт. Туруктуулуктун узартылышынын чектелиши комплекстYY аймакка квчквндвн кийинки децгээл сызыктардын жайгашуу абалдарынан квз каранды болот. Мына ошол себептYY сызыктуу эмес дифференциалдык тецдеме каралып, чечим чыныгы сандар талаасында изилденген. Изилдвв конкреттYY тандалып алынган функцияга негизделип ЖYргYЗYЛYп, теорема далилденген. Чечим изилденYYЧY аралык туруктуулук шарты алмашкан учурду камтыйт.

TYUYHdYY свздвр: козголуу, дифференциалдык тецдеме, туруктуулук, Коши маселеси, кичине параметр, чечим.

ЗАТЯГИВАНИЕ ПОТЕРИ УСТОЙЧИВОСТИ РЕШЕНИЕ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Акматов Аблизазиз Алиевич, старший преподаватель

abdilaziz_akmatov@mail. ru Замирбек кызы Наргиза, аспирант nargiza. z_9292@bk. ru Ошский государственный университет

Ош, Кыргызстан

Аннотация: В работе рассмотрено исследование решения сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений. В ходе исследования приоритетом является выбор максимально большого интервала. Начальная точка выбрана в устойчивом интервале. В уравнении не встречается член, имеющий малое возмущение. При переходе к комплексной области появляется линия уровня. От расположения линии уровня зависит расширение учтойчивости решений. Поэтому рассматривается нелинейное дифференциальное уравнение и исследование проводится в пространстве действительных чисел. Исследования основано на конкретно выбранной функции и доказана теорема. Рассматриваемый интервал захватывает точки смены устойчивости.

Ключевые слова: возмущение, дифференциальные уравнения, устойчивость, задача Коши, малый параметр, решение.

DELAYING THE LOSS OF STABILITY SOLUTION OF SINGULARLY PERTURBED

DIFFERENTIAL EQUATIONS

Akmatov Abdilaziz Alievich, senior lecturer abdilaziz_akmatov@mail. ru Zamirbek kyzy Nargiza, aspirant

nargiza. z_9292@bk. ru Osh State University Osh, Kyrgyzstan

Abstract: The paper considers the study of the solution of singularly perturbed differential equations. In the course of the study, the priority is to choose the largest possible interval. The starting point is chosen in a stable interval. The equation does not contain a term that has a small perturbation. When moving to the complex area, a level line appears. The expansion of the responsiveness of solutions depends on the location of the level line. Therefore, a nonlinear differential equation is considered and the study is carried out in the space of real numbers. The research is based on a specifically chosen function and the theorem is proved. The considered interval captures the points of change of stability.

Keywords: perturbation, differential equations, stability, Cauchy problem, small parameter, solution.

Киришуу. КомплекстYY тегиздиктеги децгээл сызыктарынын жайгашуу абалдары кээ бир учурларда чечимдин туруктуулугунун узартылышын чектеп коет [1]. Мына ошол себешуу кичине козголуу деп аталуучу sh(t) my46 катышпаган сызыктуу эмес дифференциалдык тевдеме каралат. Кичине козголуу чечимдин туруктуулугуна тийгизген таасири кичине же болбогон учурлар [2-5] каралган. Маселенин коюлушу. Жумушта темен^

sx'(t,s) = a(t)x(tf) + f (t, x(t,s)) , (1)

x(t0,s) = x °f), |x 0f)| = O(f, (2)

маселе каралат. Мында 0 <f<< 1 - кичине параметр, \ o,_t о ] - чыныгы октогу кесинди, x(t, f) - белгисиз функция.

Аралыкты H0 = {(t,x)1 e \t0,—t0],10 < 0, |x| < 8}, мында 0 <8 - кандайдыр бир f - кез

каранды эмес турактуу сан.

Темен^ шарттар аткарылсын:

U 1. f (t,0) = 0, v(t, x )e H 0: f (t, x) e Ф(S ), Ф(S ) - аналитикалык функциялардын

мейкиндиги, f (t,0) = 0 ; f (t, ~) — f (t, ~) < M ~ — ~ x max{x|, j, мында 0 < M -

кандайдыр бир f - кез каранды эмес турактуу сан. U2. a(t) e Ф(£г) жана a(t) = tht + ictht. Анда a(t) < 0, t < 0 болсо, a(t) > 0, t > 0 болсо, a(t) = 0, t = 0 болсо.

Маселе. U 1-U 2 шартта (1) - (2) маселенин чечимин H 0 аралыктагы асимптотикалык жYPYMYн изилдее.

(1)-(2) маселенин чечимин C1 fc,—10 ] мейкиндигинде карайбыз. Формалдуу тYPде f = 0 :

a(tШ) = 0 . (3)

(3) тевдеме

4(t) = 0, (4)

чечимине ээ.

(1)-(2) маселесин интегралдык тевдеме менен алмаштырабыз:

t

x(t,ff) = x0 (ff)E(t,t0,£) + JE(t,T, ff) f (t, x(T,s))dz, (5)

мында E (t, 1o,s) = exp

1 '

— [ a(s)ds

с J

Л (л t

, E(t,T,s) = exp

V '0

t

— J a(s)ds

kst

(5) тевдемеге удаалаш жакындашуу усулун колдонобуз. Удаалаш жакындашууларды темен^че аныктайлы:

x0 (t,ff) = 0,

t

xm (t,s) = x0 (ff)E (t, to,e) + J E(t, t, s)f (t, xm_— (t, s))dT

(6)

мында m = 1,2,....

Теорема орун алат:

Теорема. U1 шарты аткарылсын жана a(t) = tht + ictht болсун. Анда Wt G [to,"to] аралыгында (1)-(2) маселе жалгыз чечимге ээ болуп жана

\x(t,s)\ <Ce,

баалоосу орун алат. Мында C - const.

Далилдее. (6) удаалаш жакындашууларын баалайбыз:

x0 (t,s) = 0,

(7)

Xj (t,s) = x 0(s)exp m =2 YЧYн

1 t I

— J (ths + icths)ds , x (t, e)\ < |x0 (s)|

f cht

V 'o

Vchto J

= Cs

f cht ^

Vchto J

x 2(t ,s) = x 0(e)exp

V 'o

1 t 1 t ( 1 t ^ — J (ths + icths )ds + J exp — J (ths + icths )ds f (t, x1 (t, s))dT.

J h Vs T

r cht л

. I cht ff , ^ c x (t,s)\ < Cs - + MI

r'hf J

v chto J

cht chT

x

— (t, ff)| dt,

же

r cht V*.

x2(t ,e)\ < Cs -— [— + M (t - t o)].

Vchto J

Wm

YЧYн

xm (t,ff) = x0(ff)exp

V 'o

it 1 t ( y * л

^ths + icths )ds + J exp — J (ths + icths )ds f (t, xm_ l (t, s))d t ,

_ J ff

J *o V T

Ixm (t,S)\ < Cs

f cht V „ 'f ( cht

Vchto J

+ M

JI lxm"—(T,ff)ldT ,

жана

k (t,ff)| < Cs

f cht л

V chto J

— + M(t -10) +... +

Mm" (t -10 ) m-— (m - —)!

(8)

t

o

o

Бaaлоонy m +1 тyyрa экендигин дaлилдейли. Aндa (6) бaрaбaрдыгынaн

xm+i(t,s) = x 0(s)exP

v 'o

1 t I t (y t ^

— [ (ths + icths~)ds + [ exp — [ (ths + icths)ds f (z, xm (z, s))dz,

p J s

у 'o v z

\Xm+i(',s)| < Cs

( cht ^

vchto у

+ M j

r f cht

chz

\Xm (z,s)| dz,

жaнa

,(',s)| < Cs

í cht л

v chto у

л л M ¿(t -10)2 Mm (t - o

i + M (t —10 ) + ----0 1 1 ---0

2!

m!

= Cs

cht

v cht0 у

0M('—to )

(8) бaaлоосy дaлилденди.

{Xm (',s)}

yдaaлaштыгынын жыйнaлyyчyлyгyн дaлилдейли. ТeмeнкY кeрYHYштe

жaзып aлaлы:

Xm (t, s) = Xi (t, s) + (x2 (t, s) — Xi (t, s)) + (X3 (t, s) — X2 ^ s)) + ••• + (xm (t, s) — Xm—i (t, s)) .

i

(6) ^ Xm (ts) — Xm—i i's) = j ( | 's f (Z, Xm—i (Z, s)) — f (z, Xm— 2 (Z, s))]dz .

chz

(t, s) — Xi (t, s)| бaaлaйлы. Aндa

X2 (t, s) — Xi (t, s)| = Jí I 's • |f (z, Xi (z, s)|dz < M J

chz

cht chz

s)jdz

• max{xj (z,s), x0 (z, max{xi (t, s )|, |xo (t, s )|} = |x— (t, s )|

s) ^

X2 (t, s ) — Xi (t, s )| = \\ch- Г • I f (z, Xi (z, s )| dz < M j

chz

cht chz

max

{xi (z, s )|, |xo (z, s ) I }dz = CM s ^\(t — t o ).

chz.

Xm (t ,s) — xm—i (t, s ) бaaлaйлы. Aндa

cht

chz

\Xm (t, s ) — Xm—i (t, s )| = ¡[^7- \ • I f (z, Xm—i (z, s )) — f (z, Xm—2 (z, s ))| dz < M j

cht chz

• max

i i ( ir f cht f cht ^s

{Xm—i s%\Xm—2 (z, s)| jí/z < M j I — I • |xm—i (z, s ^dz = Cs

vchto у

M (t — to) +

M 2(t — t o)2 2!

+ ••• +

Mm—i(t —10 )m (m — i)

Демек,

|Xi (t, s) + (x2 (t> s) — Xi (t> s)) + (X3 (t> s) — X2 (t> s)) •• + (xm (t, s) — Xm—i (t> s)) + <

< |x— (t, s)| + |x2 (t, s) — x— (t, s)| + |x3 (t, s) — x2 (t, s)| + ••• + |xm (t, s) — Xm—i (', s\ + ••• <

s

X

o

s

o

o

s

o

o

o

< Се

= С е

^]е(1 + м ($ - и)+ м2 +...+мт +...)

чсЫ0) V 0} 2! да!

1

Г ем('-0). (9)

^ СЧ )

(9) оц жагы е 0;-?0] аралыгында бир калыпта жыйналат. Анда ^ е 0] аралыгында {хт ' е)1 удаалаштыгы да бир калыпта (5) маселесинин чечими болгон х(?, е) жыйналат.

\х(г,е)| <Се.

Чечимдин жалгыздыгы [1] аналогиялуу далилденет. Демек, (1) маселесинин чечими I е[?0,-?0] аралыгында жашап, жалгыз болуп, ал YЧYн (7) баалоосу орун алат. Теорема далилденди.

Корутунду. Туруктуулуктун узартылышына е/г(?) кичине козголуусу таасирин тийгизет. Бул учурда бул козголуу каралган эмес. Мына ошол себептYY чечимдин туруктуулугун жетишээрлик чоц аралыкка узартуу мYмкYнчYЛYГY пайда болду. Баштапкы чекит туруктуу аралыктан чечимдин туруктуулугунун узартылышы жетишээрлик чоц боло тургандай болуп тандалды.

Адабияттар

1. Алыбаев, К.С. Метод линия уровня исследования сингулярно возмущенных уравнений при нарушении условия устойчивости. [Текст] / К.С. Алыбаев // Дисс. ... д-ра физ. - мат. наук: 01.01.02. -Бишкек, 2001. - 204 с.

2. Акматов А.А. Об устойчивости решений сингулярно возмущенных обыкновенных дифференциальных уравнений. [Текст] / А.А. Акматов // Журнал бюллетень науки и практики. Москва. №3. - 2023. - С. 39-46.

3. Акматов А.А. Сингулярдык козголгон маселенин чечимин изилдее. [Текст] / А.А. Акматов // Вестник ОшГУ. Ош. №2. - 2021. - С. 26-33.

4. Каримов С. Исследование решений системы сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений, когда собственные значения матрицы имеют мнимые части. [Текст] / А.А. Акматов // Вестник ОшГУ. - Ош. 2021. №1. - С. 61-69.

5. Турсунов, Д.А. Асимптотическое поведение решений сингулярно возмущенных задач в случае смены устойчивости, когда собственные значения имеют и-кратный полюс. [Текст] / Д.А. Турсунов // Дисс. ... канд. физ. - мат. наук: 01.01.02. - Бишкек,2005. - 106 с.