Симплексные фазокодированные последовательности Текст научной статьи по специальности «Математика»

\—у Теория сигналов

\/ УДК 621.391

А. Н. Леухин, Д. А. Назаров

Марийский государственный технический университет

Симплексные фазокодированные последовательности1

Рассмотрен новый метод построения ансамбля циклических симплексных последовательностей, основанный на поиске решения системы уравнений для синтеза фазоко-дированных последовательностей с одноуровневой периодической автокорреляционной функцией при минимально возможном значении уровня боковых лепестков. Описан метод формирования одноуровневой периодической автокорреляционной функции ансамблей эквидистантных симплексных векторов из симплексных многофазных последовательностей с минимальным возможным уровнем боковых лепестков. Представлена реализация метода для фазокодированных последовательностей периодов 2...10, формирующих ансамбли циклических симплексных последовательностей в пространствах размерностей 1.9 соответственно.

Ансамбли циклических симплексных фазокодированных последовательностей, эквидистантные симплексные векторы, метод синтеза ансамблей симплексных последовательностей

Симплексные последовательности нашли широкое применение в системах передачи информации [1]-[2]. Большое количество результатов синтеза симплексных последовательностей рассмотрено в работе [1]. Наиболее полно изучен трехмерный случай (k = 3). В работе [3] предложены три конструкции регулярных симплексных кодов, две из которых приводят к построению ансамблей циклических последовательностей (каждая последовательность ансамбля представляет собой циклически сдвинутую копию относительно других последовательностей в составе ансамбля). Предложенные методы основаны на построении матриц Адамара, а также обобщений конструкций, связанных с матрицами Ада-мара, на абелевы разностные множества.

В настоящей статье предложен метод построения ансамблей циклических симплексных последовательностей в пространстве произвольной размерности k, основанный на теории синтеза фазокодированных последовательностей (ФКП) с одноуровневой периодической автокорреляционной функцией (ПАКФ). В рамках указанного подхода показано, что симплексные последовательности представляют собой ФКП с минимально возможным уровнем боковых лепестков.

Для любого конечного числа векторов (последовательностей) L сформулируем геометрическую задачу: любая ближайшая пара векторов (последовательностей) должна находиться на максимально возможном расстоянии i/mm = max . Кроме того, введем ограничение: все векторы (последовательности) имеют одинаковую длину, и, следовательно, лежат на сферической поверхности. В результате придем к задаче о сферической упаковке [1]: в пространстве заданной размерности k построить созвездие из L точек или векторов

1 Работа выполнена при финансовой поддержке гранта РФФИ 09-07-00072-а. © Леухин А. Н., Назаров Д. А., 2010

с гарантированным минимальным расстоянием //тт, обеспечив равную длину всех векторов (энергию Е всех последовательностей).

Задача оптимальной упаковки в пространствах большой размерности k > 2 чрезвычайно сложна и до сих пор не имеет общего решения. Однако определены теоретический предел минимума расстояний //тт в отсутствие предварительного ограничения на размерность пространства, а также минимальное значение размерности пространства k, которое обеспечит его достижение [1], [2].

Верхняя граница минимального расстояния определена выражением

<[ 2L/(L-1)] Е . (1)

Ансамбль из L векторов (последовательностей), расстояние между любой парой которых одинаково и достигает //тт, относится к эквидистантным ансамблям и называется

ансамблем симплексных векторов (последовательностей).

Необходимая и достаточная для построения ансамбля симплексных векторов размерность пространства k связана с их количеством соотношением: k = L -1.

Эквидистантность симплексных векторов означает равенство нормированных скалярных произведений для любой пары векторов V/ и V5 :

cos

(е„ ) = ^Й =—; /, ^ = о, 1, 1 18) Ы^^ 1 -' '

L -1, / * s.

(2)

где (•, •) - скалярное произведение векторов; ||-|| - модуль вектора.

Постановка задачи синтеза симплексных фазокодированных последовательностей. Многофазную последовательность Г = {уп }„ „ определим как

Г = {уп }о, N-1 ={еХР (/фп )}о N-1, п = 0

N-1.

где уп - п-й кодовый элемент, причем его модуль |уп| = 1; ' - мнимая единица;

фп е [0, 2л] - фаза на п-м кодовом интервале; N - период кодовой последовательности. Энергетический спектр периодической кодовой последовательности [4]

I |2 =

рт =

N-1

^ ехр {' [фп -(2л/N) тп]}

п=0

т = 0, 1, ..., N -1;

для ФКП Г = {уп }0 N-1 с одноуровневой ПАКФ

, ,2 Г(а +1) N - а, т = 0; 'Рт' = ^ - а, т = 1, 2, ..., N -1, где а - уровень боковых лепестков одноуровневой ПАКФ.

На рис. 1, а приведена одноуровневая ПАКФ гт (т = 0, 1, .

I |2

ПАКФ), а на рис. 1, б - ее энергетический спектр рт (т = 0, 1, та энергетического спектра). 4

(3)

N -1 - номер отсчета ., N -1 - номер отсче-

2

N

|рИ

N - а

(а +1) N-<

Т Ч ТМ

N -1

б

Рис. 1

Наименьшее возможное значение нулевой гармоники энергетического спектра со-

I |2

ставляет р0 = 0, при этом глобальный минимум уровня боковых лепестков а ПАКФ

удовлетворяет условию атт = N1 (1 - N) . Поскольку глобальный максимум боковых лепестков не может быть больше энергии фазокодированной последовательности, то атах = N.

Для идеальной ПАКФ уровень боковых лепестков а = 0, и тогда из (3) следует ра-

|2 | |2 | |2 ,Л

венство всех гармоник энергетического спектра: I = = ... = |рN= N I.

Для доказательства эквидистантности ансамбля циклически сдвинутых копий фазокодированной последовательности сформулируем теорему.

Теорема. Циклически сдвинутые копии фазокодированной последовательности периода N с минимально возможным уровнем боковых лепестков атт = N1 (1 - N) образуют ансамбль эквидистантных симплексных векторов с максимально возможным взаимным расстоянием, квадрат которого

4ах = 2 [N1(N -1)] N . (4)

Доказательство. Циклически сдвинутые копии исходной ФКП Г0 ^уИ0^ N-1 определятся на основании выражения

Г

х aut

= М 0)

1'и •'0, N-1

\

'0,N-1 | Чх+и)modN/0 N-Г

х = 0, 1, ..., N -1.

Отсчеты ПАКФ представляют собой скалярное произведение двух копий ФКП сдвинутой и исходной, т. е.

N-1,4,4 N-1

Гх = ( Гх а«. Г0 )= 2 =2 г(и+х) mod N ^ = а ■ х = 0, 1 .... N -1

п=0

п=0

где

знак комплексного сопряжения.

2

г.

х

%

0

1

2

а

т

а

Квадрат расстояния между последовательностями Гт аи1 и Г0 равен Я2 = г0||2 -

2

-2 (Гт аи1, Г0 ). Учтя, что ЦГ01| = N, а уровень боковых лепестков а = атт = N1 (1 - N),

получим Ятах = 2 [N1 (N -1)] N .

Аналогично можно получить расстояние для любых двух циклически сдвинутых последовательностей Гт аи1 и Г/, т, / = 1, 2, ..., N -1, т* /. Таким образом, доказана попарная эквидистантность ансамбля циклически сдвинутых копий фазокодированных последовательностей.

II ц2

Сравним выражения (1) и (4). С учетом обозначений //тт = Ятах, L = N, Е = | |Г|| = = N эти выражения эквивалентны. Следовательно, для решения задачи синтеза симплексных последовательностей необходимо синтезировать ФКП с минимально возможным уровнем боковых лепестков ПАКФ.

Примеры решения задачи синтеза симплексных ФКП. Основные аспекты решения задачи построения ФКП с заданным значением уровня боковых лепестков одноуровневой ПАКФ рассмотрены в [5]. Приведем в фазовом представлении результаты синтеза ФКП с минимально возможным уровнем боковых лепестков одноуровневой ПАКФ для периодов N = 2.10. Отметим, что полный ансамбль симплексных последовательностей объема V = N в пространстве размерности N -1 формируется всеми циклическими сдвигами приведенных далее исходных последовательностей.

Период N = 2, минимально возможный уровень боковых лепестков атт = -2, ¥ = {0; л} . Период N = 3 , минимально возможный уровень боковых лепестков атт = -1,

¥ = {0; 0; л}.

Период N = 4, минимально возможный уровень боковых лепестков атт = - 4/3 ,

¥ = {0; л; л-аг^(2>/2); -аг^(2>/2)}. Период N = 5, минимально возможный уровень боковых лепестков атт = - 5/4,

¥ = {0; л-аг^(>/15); аг^(>/15)-л; аг^(>/15)-л; л-аг^(>/15)} .

Период N = 6, минимально возможный уровень боковых лепестков атт = - 6/5 . В

этом случае существуют две неэквивалентные ФКП, на основе каждой из которых может быть сформирован ансамбль симплексных ФКП:

¥0 ={0; 3л/2; л-агС£(3/4); агС£(4/3); л- аг<% (3/4); 3л/2};

¥1 = \ 0; л; аг^

>/б/ш 3/5 ^ л; arctg (2>/б); arctg (2>/б )-л; arctg ^/10 + 35

-15 - 3>/б/10 J ' ' ' ^ 15 +3>/б/10

Период N = 7 , минимально возможный уровень боковых лепестков атт = -1,

¥ = {0; 0; 0; л; л; 0; л}.

Период N = 8, минимально возможный уровень боковых лепестков атт = - 8/7 . В

этом случае существуют три неэквивалентные ФКП, на основе каждой из которых может быть сформирован ансамбль симплексных ФКП:

(

^0 40; аг^

2>/б/7 + Уэ/7 - 2/7 + зТ2/7

- arctg (4>/э); arctg

агС£

43 ¡7 - 2>/б/7 - 2/7 - 3л/2/7

-л; -агС£(^л/э); агС£

У^/7 - 2>/б/7

- 2/7 -

2>/б/7 + >/3/7

-л; л-агС£();

- 2/7 + 3л/2/7

¥ = ] 0; л - arccos

+ 442

- arccos

+ 2^2

- arccos

V 7 ,

- arccos

+242

V 7 ,

л - arccos

+ 4>/2 ^ Г1 + 2УЦЛ

7 )

arccos

7 )

arccos

+ 242 Л Г1 + ^42Л

7 )

+ л; - arccos

7 )

^2 = | 0; л; - arccos

2^10 +4243 (1 + 242) + 7 - 7>/2

+ : 49

- arccos

1 - 242

- arccos

2^10 +7273 (1 + 242) + 7 - 742

+ : 49

; arccos I

1 +

+ л;

arccos

+ 242Л

7 )

; - arccos

2у1\0^/245 (1 + 242) + 7 - 742

+ : 49

- arccos

2^10+ л/2л/3 (1 + 242) + 7- 7>/2

+ : 49

- arccos

1 - 242

. 7 )

- л;

-лг.

Период N = 9, минимально возможный уровень боковых лепестков атт = - 9/8 :

Г 42t2 - 542лt - 23 ^

¥

0; - arccos

arccos

421 ( 42t -421)

427284-212+/21+16

; arccos I — |;

8

1Л

arccos I — 1 + arccos 8 )

42t2 - 542гt - 23

- arccos

4>Дш4 - 28л/2Ъ3 -84t2 + 17Л/2Т + 37 л/21 ( 42t -721)

7217+16

1Л

arccos I — 1 + arccos 8)

42t2 - 542lt - 23

- arccos

л/21 (42t -421)

42^¡28t4 -21t2->/2Т +16

; arccos I — |;

8

; Я;

7

7

7

7

1

arccos

л/2Г (42г -721)

- arccos

42^28Г4 - 21Г2 —ЛЙ +16 ( 42Г2 - 54211 - 23

где I = cos

(13) arccos (л/21/7)].

• Период N = 10, минимально возможный уровень боковых лепестков атт = -10/9. В

этом случае существует четыре неэквивалентные ФКП, на основе каждой из которых может быть сформирован ансамбль симплексных ФКП:

¥0 ={0;агс^(-2/3) +л; 0; л; агс^(1/9) +л; агс^(1/9);

arccos (-2/3); arccos (19); arccos (19 ) + л; л};

¥1 = {0°; 180°; 22.03°; 65.352°; 314.98°; 307.745°; 127.745°; 134.98°; 245.352°; 202.03°}

9

¥2 ={0°; 180°; 14.994°; 67.287°; 159.467°; 126.272°; 306.272°; 339.467°; 247.287°; 194.994°}

9

¥3 ={0°; 149.359°; 171.698°; 281.169°; 39.888°;

321.057°; 39.888°; 281.169°; 171.698°; 149.359°}.

С помощью децимаций из исходных неэквивалентных ФКП заданного периода N могут быть сформированы "изоморфные" последовательности, на базе каждой из которых циклическими сдвигами можно сформировать ансамбли циклических симплексных последовательностей.

Формирование ансамблей эквидистантных симплексных векторов. Рассмотрим формирование ансамбля эквидистантных симплексных векторов из симплексных многофазных последовательностей с минимальным возможным уровнем одноуровневой ПАКФ. Для длин N = 2 и N = 3 используем геометрическое представление.

Согласно результату, полученному на с. 6, ФКП длиной N = 2 с минимальным возможным уровнем боковых лепестков атт = -2 имеет вид Г = {1; -1} . Циклические сдвиги приводят к последовательностям Г0 = {1; -1} и Г = {-1; 1}. Отложим в ортогональной системе координат с координатными осями (е^; е2) (рис. 2, а) точки с координатами (1, -1) и (-1, 1). Соединив точку 0 (начало системы координат) с каждой из этих точек, получим два противоположно направленных вектора длиной Ц^Ц = ||гЦ = \р2 .

Разделив каждый вектор на

= >/2, получим ансамбль эквидистантных симплексных векторов:

У0 ={>/2/2; ->/2/2}; ух = {->/2/2; >/2/2} , ^Ц = ЦуЦ = 1. (5)

Так как эти векторы лежат на одной прямой, то размерность векторного пространства k = 2 -1 = 1. Поворачивая полученные векторы на один и тот же угол, можно получить 8

(-1; 1)

в (1, -1, 1)

Г (-1, 1, 1) /\ 1

е1

(1; -1)

А (1, 1, -1)

Рис. 2

остальные ансамбли эквидистантных симплексных векторов. Например при повороте на угол А ф = л/ 2, получим ансамбль вида У0 = {Л/2; Л/2}; У} = {-Л/2; -Л/2} ; при повороте на угол А ф = л/4 - ансамбль вида У0 = {1, 0}; У0 = {-1, 0} . Отметим, что только исходные векторы (5) образованы циклическими сдвигами своих кодовых элементов. Поскольку энергия Е = 1, так как ||у/|| = 1, / = 0, 1, ..., N -1, максимальное расстояние

Ягпах = 2 [N11 - N] Е = 4, что может быть проверено непосредственным расчетом для любого из полученных ансамблей. Угол между векторами 9 = л.

Перейдем к рассмотрению ансамблей для N = 3. ФКП указанной длины с минимальным возможным уровнем боковых лепестков атт = -1 имеет вид Г = {1; 1; -1}. Циклические сдвиги приводят к последовательностям вида Г0 = {1; 1; -1}, Г = {1; -1; 1} и Г2 = {-1; 1; 1} . В ортогональной системе координат с координатными осями (е^; е2; е3 )

(рис. 2, б) отложим точки А, В и Г с координатами (1, 1, -1), (1, -1, 1) и (-1, 1, 1). Соединив точку 0 (начало системы координат) с каждой вершиной, получим три эквидистантных вектора длиной Ц^Ц = ||гЦ = Цг^] = Л. Однако эти векторы не образуют искомый ансамбль симплексных векторов, поскольку их длина не равна 1, а угол между любой парой векторов равен 9 = л- arccos (13), хотя согласно (2) при L = 3 он должен составлять 9 = 2л/3. Для формирования ансамбля симплексных ФКП спроецируем точку 0 в плоскость равностороннего треугольника АВГ, получив точку 0'. Точка 0' является центром равностороннего треугольника АВГ со сторонами АВ = АГ = ВГ = 2 Л. Векторы 0' А, 0'В и 0'Г образуют ансамбль ненормированных эквидистантных симплексных векторов. Их длины с учетом длин исходных векторов и длины линии проекции ||00'|| = Л/3 равны И=| |0В||=1 ЮЛ=2^3. Построим в плоскости треугольник АВГ с тем же

0

б

а

Известия вузов России. Радиоэлектроника. 2010. Вып. 1======================================

центром, но с длинами векторов, равными единице, и получим ансамбль эквидистантных симплексных векторов:

v0 = {>/б/б; л/б/б; -л/б/з}; v1 = {>/б/б; -л/б/3; Vó/б} ; v2 = {-Vó/3; >/б/б; V^/б}, ||v0|| = ||vj| = ||v2|| = 1.

Отметим, что эти векторы образованы циклическими сдвигами своих кодовых элементов.

Поскольку энергия E = 1, максимальное расстояние между любыми двумя векторами R^ax = 3. Как и в предыдущем случае, это можно проверить прямым расчетом. Угол между векторами 9 = 2тс/ 3.

Поскольку данные векторы лежат в плоскости треугольника ABC, размерность пространства k = 3 -1 = 2 .

Поворачивая полученную конструкцию векторов вокруг координатных осей (ej; e2; ез ) , можно получить остальные ансамбли эквидистантных симплексных векторов для N = 3 .

Для кодовых последовательностей периода N > 3 геометрическое представление затруднено. Однако переход к построению ансамбля нормированных эквидистантных симплексных векторов осуществляется за счет рассмотренных процедур нормировки: для

ФКП с уровнем am¡n = N/(1 - N) каждый вектор получается делением на 4Ñ, а для ФКП

с уровнем am¡n = -1 нормировка векторов осуществляется аналогично тому, как было

рассмотрено в случае N = 3 .

С использованием предложенного метода могут быть сформированы ансамбли циклических симплексных последовательностей, образованных ФКП с единичным пик-фактором в пространстве произвольной размерности k = N -1. На их основе, используя рассмотренный подход, можно сформировать ансамбли эквидистантных симплексных векторов. Известные ансамбли эквидистантных симплексных векторов также получаются в рамках рассмотренного метода. Данный метод обладает свойством полноты в том смысле, что позволяет синтезировать все неэквивалентные ансамбли циклических симплексных последовательностей на базе ФКП в пространстве заданной размерности k. С помощью децимаций исходных ФКП можно синтезировать ансамбли циклических симплексных последовательностей для каждого неэквивалентного решения.

Список литературы

1. Конвей Дж., Слоэн Н. Упаковки шаров, решетки и группы: в 2 т. М.: Мир, 1990. Т. 1. 415 с; Т. 2. 376 с.

2. Ипатов В. П. Широкополосные системы и кодовое разделение сигналов. Принципы и приложения. М.: Техносфера, 2007. 488 с.

3. Song H. Y., Golomb S. W. Some new constructions for simplex code // IEEE Trans. on inf. th. 1994. Vol. IT-40, № 2. P. 504-507.

4. Введение в контурный анализ и его приложения к обработке изображений и сигналов / Я. А. Фурман, А. В. Кревецкий, А. К. Передреев и др.; под ред. Я. А. Фурмана. М.: Физматлит, 2003. 592 с.

5. Леухин А. Н., Парсаев Н. В. Общий подход к построению фазокодированных последовательностей с одноуровневой периодической автокорреляционной функцией // Изв. вузов России. Радиоэлектроника. 2009. Вып. 6. С. 5-12.

A. N. Leukhin, D. A. Nazarov Mari state technical university

Simplex phase-coded sequences

New method for constructing an ensemble of cyclic simplex sequences based on finding a solution of equations system for the synthesis ofphase-coded sequences with single-level periodic autocorrelation function at the lowest possible value of the sidelobes level is offered. Method of forming a single-level periodic autocorrelation function of the equidistant simplex vectors ensembles from polyphase simplex sequences with minimum possible level of side lobes is described. Realization of the method for phase coded sequences with periods N = 2... 10, forming ensembles of cyclic simplex sequences in spatial dimensions k = 1.9 respectively is presented.

Ensembles of cyclic simplex phase-coded sequences, equidistant simplex vectors, synthesis method of simplex sequences ensembles

Статья поступила в редакцию 31 октября 2009 г.

УДК 621.37

М. И. Богачев

Санкт-Петербургский государственный электротехнический

университет "ЛЭТИ"

Сравнительный анализ помехоустойчивости методов прогнозирования выбросов случайных сигналов с фрактальными свойствами при использовании информации о кратковременной и о долговременной зависимостях1

Приведен сравнительный анализ помехоустойчивости двух методов прогнозирования выбросов случайных сигналов с фрактальными свойствами, наблюдаемых на фоне аддитивного "белого" шума с нормальным и равномерным распределениями. Первый метод основан на анализе кратковременного предиктора выброса и использует информацию только о кратковременной зависимости случайного сигнала. Второй метод базируется на анализе предшествующих выбросов на основе математического аппарата интервальных статистик и использует информацию о долговременной зависимости. Показано, что использование информации о долговременной зависимости позволяет достичь лучших характеристик прогнозирования для случайных процессов с выраженной или нелинейной долговременной зависимостью при условии, что распределение отсчетов сигнала затухает значительно медленнее, чем распределение отсчетов шума, а отношение "сигнал/шум"лежит в диапазоне 3...10.

Случайный сигнал, прогнозирование, выброс, долговременная зависимость, помехоустойчивость

В задачах анализа случайных сигналов типичной является ситуация, когда информация об анализируемых сигналах искажена воздействием шумов различной природы. Это может быть связано с природой порождающей системы, когда случайный сигнал исходно формируется как многокомпонентный, причем не все компоненты являются информативными. Более распространенным является случай, когда сформированные порождающей системой случайные сигналы доступны наблюдателю лишь с искажениями, возникшими вследствие погрешностей используемой при регистрации измерительной аппаратуры, из-за

1 Работа выполнена при поддержке Федерального агентства по образованию Министерства образования и науки РФ в рамках ФЦП "Научные и научно-педагогические кадры инновационной России на 2009-2013 годы" (государственный контракт № П2342 от 17.11.2009).

© Богачев М. И., 2010 п