О синтезе фазокодированных последовательностей с ограничениями на периодическую автокорреляционную функцию и пик-фактор Текст научной статьи по специальности «Математика»

Теория сигналов

УДК 621.391

В. А. Едемский, И. С. Вагунин

Новгородский государственный университет им. Ярослава Мудрого

О синтезе фазокодированных последовательностей с ограничениями на периодическую автокорреляционную функцию и пик-фактор

Предложен метод синтеза фазокодированных последовательностей с заданными ограничениями на периодическую автокорреляционную функцию и пик-фактор. Последовательности формируются на основе классов степенных вычетов по простому модулю. Метод проиллюстрирован примерами синтеза последовательностей.

Последовательности, синтез, корреляция, пик-фактор, фазокодированные последованности

Дискретно-кодированные сигналы имеют необычайно широкий спектр применения. Закон изменения кодируемого параметра (амплитуды, фазы, частоты) в дискретных сигналах задается дискретно-кодированной последовательностью (ДКП), которая полностью определяет свойства дискретно-кодированного сигнала, поэтому дискретно-кодированные сигналы отождествляются с ДКП и наоборот [1]. Для многих приложений важными характеристиками ДКП X = {xi |, xi е С ( С - множество комплексных чисел) с периодом N

N

являются ее периодическая автокорреляционная функция (ПАКФ) Ху (т) = X XjXj+т

] =1

(черта сверху обозначает комплексное сопряжение) и пик-фактор pf - отношение периода последовательности к числу ненулевых символов на периоде.

В настоящее время известно достаточно много последовательностей с идеальной

ПАКф (Х у (т) = 0, т = 1, N -1) и близким к единице значением пик-фактора. Более того, в [2], [3] было предложено алгебраическое решение задачи синтеза фазокодированных последовательностей с pf = 1 и одноуровневой ПАКФ (Ху (т) = а, т = 1, N -1, а - заданное число). Методы же синтеза многофазных ДКП с pf > 2 и ограничениями на ПАКФ практически отсутствуют.

В то же время в [4], [5] была предложена методика синтеза двоичных, троичных и бинарных последовательностей с заданными ограничениями на их основные параметры, в частности, на ПАКФ и пик-фактор. Методика основана на комплексном применении спектров разностей классов вычетов и циклотомических чисел.

Настоящая статья посвящена разработке метода синтеза ДКП с алфавитом {о, е2гак/п,

к = 0, п -1} (п - натуральное число), обладающих близкой к идеальной (квазиидеальной) ПАКФ и пик-фактором, отличным от единицы, на основе результатов, представленных в

© Едемский В. А., Вагунин И. С., 2010 3

[4], [5]. Искомые ДКП будут формироваться с применением классов степенных вычетов по простому модулю.

Метод синтеза последовательностей. Пусть p = dR +1 - простое число, где d, Я -

натуральные числа, причем d кратно п. Положим I = d|n. Обозначим через Но = {б^,

г =

0, Я -1} класс вычетов степени d, (9 - первообразный корень по модулю р) [6], вве-

дем Н5 = 95Но, £ = 0, d -1 (все действия выполняются по модулю р).

Рассмотрим последовательность X периода р, сформированную на основе классов степенных вычетов по правилу кодирования (ПК):

их (7 ) = | ^, 7 е ; (1)

хш [о, 7 * ны,

где к = 0, п -1.

В силу (1) пик-фактор последовательности X будет равен р/ = р/( пЯ ) «1. В частном случае при п = d ПК (1) формирует последовательность Сидельникова простого периода (п-фазную последовательность степенных вычетов) [7], [8].

Для расчета и анализа ПАКФ Xх (т) последовательности X воспользуемся спектрами разностей классов вычетов (СРКВ) £ (к, 7, d), введенными в [1]. Обозначим через (7)п

наименьший неотрицательный вычет целого числа7 по модулю п. Согласно [9], справедливо взаимно однозначное соответствие

п-1 п-1

Хх (т)о I I (/I, к1, d), (2)

/=0 к=0

где символ о означает, что если (т)р е Hq, q = 0, d -1, то значение ПАКФ Хх (т) совпадает с q-м элементом вектора (50, ¿1, ..., -), соответствующего сумме СРКВ [1].

Обозначим через D оператор циклического сдвига Хаффмена и пусть L(D) = I + +Dl + D2l + ... + D( п-1)1, где I = D0 - тождественный оператор [1].

Теорема 1. Для ПАКФ последовательности X, сформированной по ПК (1), справед-

ливо взаимно однозначное соответствие

п-1

Xх (т)о I ^ (D) £ (т1, 0, d)]2т. (3)

т=0

Доказательство. Согласно условию ¿к = е2п'кп, поэтому 2¡¿к = /-к) . Тогда

формулу (2) можно представить в виде

п-1

Хх (т)о I

т т=0

I £ (т1, к1, d)

(/-к )п = т

(4)

Согласно свойствам СРКВ £ (А, к1, d) = ((f - к)п1, 0, d) [1]. Таким образо

, что и доказывает теорему 1.

п-1

из (4) получим Ху (т) о X 'т

т=0

т-1

X £ (т1, 0, d)

к=0

Теорема 1 естественным образом обобщается и для периодической взаимно корреляционной функции (ПВКФ) пары последовательностей.

Если последовательность X сформирована по ПК (1), а последовательность У - по ПК:

ТТ ( Л I'к, j е Нк1+8;

иУ ^ М0 у е Н (5)

\0, у е Нк1+8,

где 8 - натуральное число, то для ПВКФ Гуу (т) пары последовательностей X, У справедливо взаимно однозначное соответствие

п-1

ГХУ (т)о X [L (D) £ (т1, 8, d)] 'т. (6)

т=0

Таким образом, теорема 1 показывает, что математический аппарат СРКВ, разработанный для анализа корреляционных функций двоичных и троичных последовательностей [1], может быть применен и для расчета ПАКФ, ПВКФ фазокодированных последовательностей.

Для того чтобы упростить расчет ПАКФ (ПВКФ) с применением СРКВ, докажем вспомогательные утверждения.

Лемма 1. Для всех т = 0, п -1 справедливо:

\L (D) £ (т1, 0, d), nR - четное; L (D) £ [(п - т) I, 0, d ] = ' лл,

2nL (D) £ (т1, 0, d), nR - нечетное.

Доказательство. Так как Dnl = I, то действия операторов L (D) и DlL ( D ) на любой СРКВ £ (у, к, d) порядка d одинаковы [1]. Поэтому

L (D) £ [(п - т) I, 0, d] = DmlL (D) £ [(п - т) I, 0, d] = L (D) £ (0, т1, d). Если R четно, то £ (0, т1, d) = £ (т1, 0, d), если же R нечетно, тогда d четно и £ (0, т1, d) = Dd^2£ (т1, 0, d). Для четного значения п число d|2 кратно I, следовательно L (D) £ ( 0, т1, d) = L (D) £ (т1, 0, d). При нечетном же значении п: п = 2 f +1 d|2 = ^ + + d|2п, тогда L (D) £ (0, т1, d) = Dd^2nL ф) £ (т1, 0, d). Лемма 1 доказана.

Лемма 2. Для всех т = 0, п -1 справедливо:

(D)£(0, т1, d), nR - четное; [Ddl2nL (D) £ (0, т1, d), nR - нечетное.

Лемма 2 доказывается подобно лемме 1. Утверждение леммы 2 упрощает применение таблиц СРКВ для расчета ПАКФ (ПВКФ).

L(D)£(т1,0,d) = '' dj2п -

По предположению zm = e2ram/n = cos ( 2nim/n) + i sin ( 2nim/n), следовательно, при m ф 0 вещественные части zm и zn _m совпадают, а мнимые отличаются знаком. В связи с этим соотношение (3) по лемме 1 можно преобразовать следующим образом:

• n - четное число, тогда

П 2_1

Хх (т)о L (D) S (0, 0, d) + 2 X [L (D) S (m/, 0, d)] cos (2nm/n)_ L (D) S (d¡2, 0, d). (7)

m=1

В частности, при четном значении n мнимая часть ПАКФ Xх (т) всегда равна нулю.

• n - нечетное, R - четное, тогда

(n _1V 2

XX (т)о L (D) S (0, 0, d) + 2 X [L (D) S (m/, 0, d)] cos (2nm/n). (8)

m=1

• n - нечетное, R - нечетное, тогда

(n_1)/2r -,

XX(т)оL(D)S(0, 0, d)+ X [l(D)S(m/, 0, d) + Dd2nL(D)S(m/, 0, d)]cos(2nm/n) +

m=1

(n_1)/2r -,

+i X [L (D) S (m/, 0, d)_ Dd 2nL (D) S (m/, 0, d)] sin (2nm/n). (9)

m=1

Если n - нечетное и d = 2n, то L(D)S(m/, 0, d) + Dd¡2nL(D)S(m/, 0, d) = (R, ..., R) при каждом значении m = 1, n _ 1 [1].

Подводя итог раздела, отметим, что при синтезе последовательности с n фазами

= Inim/n

zm = е ......'", т = 0, п -1 с заданными ограничениями на пик-фактор: pfщп < d|n < р^тах

и квазиидеальной ПАКФ (ПВКФ) достаточно:

• определить допустимые значения d, удовлетворяющие неравенству pfщп < d|n < р/тах;

• рассчитать сумму СРКВ L (D) £ (т1, 0, d), т = 0, п -1 и, исходя из соотношений (3) или (7)-(9), рельеф ПАКФ или сумму L (D) £ (т1, g, d), а также рельеф ПВКФ;

• отобрать значения периодов р = dR +1, для которых выполняется неравенство тахо |Хх < Хтах, где Xтах - заданное пороговое число.

Проиллюстрируем предложенный метод двумя примерами синтеза последовательностей.

Пример 1. Синтезировать трех- и четырехфазные последовательности с пик-фактором pf « 2 и квазиидеальной ПАКФ.

1. Трехфазные последовательности. По условию п = 3, тогда zо = 1, Zl = е2%^3,

Z2 = 3. Так как pf « 2, п = 3, выберем допустимое значение d = 6.

Лемма 3. Если трехфазная последовательность X сформирована по ПК (1) при d = 6, р = А2 + 3В2, А = 1(mod3) (А, В - целые числа), то ее пик-фактор р/ « 2, а ПАКФ имеет два уровня боковых лепестков: Х^ 2 =(-1 ± А)/2, если R - четное, и

Хц 2 = (-1 +В)/2, если R - нечетное.

Доказательство. Согласно соотношениям (7), (8) в условиях леммы 3 для ПАКФ последовательности, сформированной по ПК (1) на основе классов шестеричных вычетов, справедливо взаимно-однозначное соответствие:

^(Б)£(0, 0, 6)-L(D)£(2, 0, 6), R - четное;

[L(Б)£(0, 0, с6)-0.5(Я, ..., R)+0.5л/й(D)[S(2,0, 6)-£(0, 2, 6)], R - нечетное.

X х (т)=<

Воспользовавшись таблицами СРКВ для d = 6 [5] и леммой 2, получим, что при четном R ПАКФ Хх (т) соответствует СРКВ

0.5(-1 - A, -1 + A, -1 -A, -1 + A, -1 - A, -1 + A), а при нечетном R - СРКВ

0.5(-1 -iJ$B, -1 + iV3B, -1 -i>!bB, -1 + i>!bB, -1 -iy/3B, -1 + i>IbB), что и доказывает лемму 3.

В условиях леммы 3 наименьшее возможное значение maxо \Хх (т)| = 1.

Следствие 3.1. Если p = 1 + 12u2 или p = (4 + 6u)2 + 3 (u - целое число), то Хх (т) е

е {-1,0}, т = 1, р -1.

Приведем несколько примеров периодов, удовлетворяющих условиям следствия 3.1:

р = 7, 13, 19, 67, 103, 109, 193, 433, 487, 769, 787, ... Лемма 3 задает достаточные условия существования трехфазных последовательностей с пик-фактором р/ « 2 и квазиидеальной ПАКФ. Последовательности, сформиро-

22

ванные по ПК (1) с периодами р = А + 3В , такими, что |-1 + А| < 2Хтах при четном значении R или V1 + 3В2 < 2Хтах при нечетном значении R, удовлетворяют условиям поставленной задачи. Таким образом, имеем регулярные ПК трехфазных последовательностей.

2. Четырехфазные последовательности. Пусть п = 4, тогда ¿0 = 1, ^ = I, '2 =-1,

¿3 = -/. Так как р/ « 2, п = 4, выберем допустимое значение d = 8.

Лемма 4. Если четырехфазная последовательность X сформирована по ПК (1) при d = 8, р = а2 + 2Ь2, а = 1( mod4) (а, Ь - целые числа), то ее пик-фактор р/ « 2, а ПАКФ имеет два уровня боковых лепестков: Х^ 2 = (-1 ±а)/2.

Доказательство. Согласно условию леммы 4 и формуле (7) имеем Хx (т) о о L (D) £ (0, 0, 8)- L (D) £ (4, 0, 8). Воспользовавшись таблицами СРКВ для d = 8 [5], после преобразований получим утверждение леммы.

В условиях леммы 4 наименьшее возможное значение также maxо (т)| = 1.

Следствие 4.1. Если p = 1 + 2b2 (b - целое число), то (т)£{-1, 0}, т = 1, p -1.

Таким образом, лемма 4 задает достаточные условия существования четырехфазных последовательностей с пик-фактором pf « 2 и квазиидеальной ПАКФ. Последовательности, сформированные по ПК (1) с периодами p такими, что |-1 ± а| ^ 2Xmax, удовлетворяют условиям поставленной задачи. Например, если Xmax = 2, то p = 17, 41, 73, 137, 401, 521, 809, ...

Если последовательность удовлетворяет условиям лемм 3 или 4, то двоичная последовательность, соответствующая ее нулевым символам, обладает квазиодноуровневой ПАКФ X(i)e{(p -1)/2, (p +1)/2}, т = 1, p -1 [1].

Пример 2. Синтезировать пары трехфазных последовательностей с пик-фактором pf « 2 и квазиидеальной ПВКФ.

Снова, для n = 3 возьмем допустимое значение d = 6 и рассмотрим последовательность X, сформированную по ПК (1). Для формирования второй последовательности Y воспользуемся ПК (5). В результате получим пару последовательностей X, Y с пик-фактором pf « 2. Если последовательность Y формируется по ПК (5) при g = 2, то Y = Z2X, а при g = 4 Y = zj X. Следовательно, интерес представляют только g = 1, 2, 3.

Лемма 5. Если трехфазные последовательности X, Y сформированы по ПК (1) и (5) соответственно при d = 6, p = A2 + 3B2, A = 1(mod3), g = 1, то их ПВКФ имеет два уровня боковых лепестков:

X12 =+(3/4 -/>/3/4) B, если R - четное; X12 =±(1/4 + / л/3/4) A, если R - нечетное.

Доказательство. Из соотношения (6) и условий леммы 5, следует, что

rXY (т)о L(D)£(0, 1, 6) + (-0.5 + 0.5>/37)L(D)£(2, 1, 6) + (-0.5 + 0.^л/3/)L(D)£(4, 1, 6).

Воспользовавшись таблицами СРКВ для d = 6 [5] и леммой 2, получим утверждение леммы 5.

В условиях леммы 5 наименьшее возможное значение max |rXY = 1 достигается

при p = 3 + 3B2, т. е. при p = 7, 31, 79, 151, 367, 541, 853, ...

Если последовательность Y формируется по ПК (5) для g = 3, 5, то уровни боковых лепестков ПВКФ пары последовательностей X, Y получаются посредством умножения значений X^ 2, вычисленных в лемме 5, на Z2 и z^ соответственно.

Таким образом, лемма 5 определяет достаточные условия существования трехфазных последовательностей с пик-фактором pf « 2 и квазиидеальной ПВКФ.

В статье предложен метод синтеза многофазных кодированных последовательностей с отличным от единицы пик-фактором и близкими к идеальной периодическими автокор-

реляционной или взаимно корреляционной функциями. Метод проиллюстрирован примерами синтеза последовательностей с тремя и четырьмя фазами.

Список литературы

1. Гантмахер В. Е., Быстров Н. Е., Чеботарев Д. В. Шумоподобные сигналы. Анализ, синтез, обработка. СПб.: Наука и техника, 2005. 400 с.

2. Леухин А. Н. Алгебраическое решение задачи синтеза кодовых последовательностей// Квант. электроника. 2005. Т. 35, № 8. С. 688-692.

3. Леухин А. Н., Парсаев Н. В. Общий подход к построению фазокодированных последовательностей с одноуровневой периодической автокорреляционной функцией // Изв. вузов России. Радиоэлектроника. 2009. Вып. 6. С. 5-12.

4. Гантмахер В. Е., Едемский В. А. Результаты синтеза двоичных последовательностей с квазиодноуровневой автокорреляционной функцией, формируемых на основе классов вычетов по простому модулю // Изв. вузов России. Радиоэлектроника. 2007. Вып. 4. С. 14-23.

5. Едемский В. А., Гантмахер В. Е. Синтез двоичных и троичных последовательностей с заданными ограничениями на их характеристики. Великий Новгород: НовГУ, 2009. 189 с.

6. Айерлэнд К., Роузем М. Классическое введение в современную теорию чисел. М.: Мир, 1987. 415 с.

7. Сидельников В. М. О некоторых k-значных псевдослучайных последовательностях и кодах, близких к эквидистантным // Проблемы передачи информации. 1969. Т. 5. Вып. 1. С. 16-22.

8. Green D. H., Green P. R. Polyphase power-residue sequences // Proc. R. Soc. Lond. A. 2003. № 459. P. 817-827.

9. Вагунин И. С., Едемский В. А. Определение параметров унимодулярных дельта-коррелированных последовательностей // Вестн. НовГУ. Сер. "Техн. науки". 2007. № 44. С. 20-23.

V. A. Edemskiy, I. S. Vagunin

Novgorod state university n. а. Yaroslav-the-Wise

About the synthesis of Polyphase sequences with limitations on periodic autocorrelation function and peak factor

There proposed method of polyphase sequences synthesis with given limitations on periodic autocorrelation function and peak factor. Sequences are formed on power residue classes by simple modulo. Method is illustrated by examples of sequence synthesis.

Sequences, synthesis, correlation, peak factor, polyphase

Статья поступила в редакцию 11 февраля 2010 г.

УДК 621.396.96

О. С. Миронов

Санкт-Петербургский государственный электротехнический

университет "ЛЭТИ"

I Метод определения фазорных поляризационных параметров импульсных сигналов

Рассмотрен способ вычисления фазорных поляризационных параметров импульсных сигналов в зависимости от времени через определение огибающей и фазы импульсного сигнала. Рассмотрены графические и аналитические примеры.

Поляризация, фазорные параметры, импульсные сигналы, преобразование Гильберта

В статье [1] авторы предлагают новое с их точки зрения определение поляризованных импульсных сигналов, являющееся в некоторой степени альтернативным по отношению к используемому в фундаментальной монографии по поляризации электромагнитных волн [2]. В [1] вид поляризации оценивается (только для сигналов, имеющих синусои-

© Миронов О. С., 2010