CC BY
60
УДК 621.391
О ВЫЧИСЛЕНИИ ПЕРИОДИЧЕСКИХ КОРРЕЛЯЦИОННЫХ ФУНКЦИЙ ДИСКРЕТНО-КОДИРОВАННЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ С ПЕРИОДОМ рц
В.А.Едемский, E.Г.Разуваева
Институт электронных и информационных систем НовГУ, Vladimir.Edemsky@novsu.ru
Предложен метод расчета периодических автокорреляционных и взаимно корреляционных функций троичных последовательностей с периодом pq, сформированных на основе классов степенных вычетов по простым модулям р^. Метод основан на теории спектров разностей классов вычетов для простого поля Галуа. Выполнен анализ взаимной корреляции двоичных последовательностей, соответствующих обобщенным циклотомическим классам Уитмена.
Ключевые слова: троичные последовательности, автокорреляция, взаимная корреляция
We propose a computation method for periodic autocorrelation and cross-correlation functions of ternary sequences with period pq constructed on the classes of power residues by prime modules p,q. The method uses the theory of difference spectrum of residue classes for a simple Galois field. We analyzed the cross-correlation of binary sequences corresponding to the generalized cyclotomic classes of Whiteman.
Keywords: ternary sequences, autocorrelation, cross-correlation
1. Введение
Дискретно-кодированные сигналы имеют необычайно широкий спектр применения. Закон изменения кодируемого параметра (амплитуды, фазы, частоты) в дискретных сигналах задается дискретно-кодированной последовательностью (ДКП), которая полностью определяет свойства дискретно-кодированного сигнала, поэтому дискретно-кодированные сигналы отождествляются с ДКП и наоборот [1]. В настоящее время наиболее востребованными являются двоичные и троичные ДКП.
В цикле работ В.Е.Гантмахером развита теория спектров разностей классов вычетов (СРКВ) для простого поля Г алуа [2]. Эффективность математического аппарата СРКВ для анализа и синтеза ДКП подтверждена многочисленными примерами синтеза последовательностей [2-6]. Более того, на его основе разработана комплексная методика синтеза ДКП с простым периодом и заданной совокупностью ограничений на их характеристики из достаточно обширного меню [7-9]. В настоящей статье будет показано, что математический аппарат СРКВ можно применять и для расчета периодических корреляционных функций ДКП с периодом pq, что позволяет получать как хорошо известные результаты, представленные в [1,10-16], так и новые. В частности, исследуем периодическую взаимно корреляционную функцию (ПВКФ) пар двоичных последовательностей, соответствующих обобщенным циклотомическим классам Уитмена [11].
2. Основные определения
Определим правила построения ДКП с периодом N = pq, где р, q — нечетные простые числа, расширим понятие СРКВ [2].
Пусть р = dR +1 — простое число, где d, R — натуральные числа. Обозначим через Н0 класс вычетов степени d по модулю р, т. е.
H0 = {idt(modp), t = 0,R - 1} здесь 9 — первообразный корень по модулю p [17], k = 0,d-1. Положим
Hs =9 H0 , где s = 0, d -1 (все действия выполняются по модулю p) и Hd ={0}.
Аналогично пусть q = eT +1 — простое число, где e,T — натуральные числа и
G{ = {pl+et(modq), t = 0,T-1} l=0,e-1, Ge ={0}. Здесь Ф — первообразный корень по модулю q .
По китайской теореме об остатках кольцо классов вычетов Zpq изоморфно прямому произведению Zq х Z относительно изоморфизма p(a) = (a (mod p), a(mod q)) [17]. Положим
Fkl =p-1(Hk хGl); k = 0,d; l = 0,e , тогда
d-1 e-1
d e
(1)
1 р.,=ии ^, г„=ии ^,
к=0 1=0 к=0 1=0
и ¥к1 п -тп = 0 , если к Ф т или IФ п, здесь 0 —
пустое множество. Согласно (1) множества ¥к1;
к = 0, d; I = 0, е образуют разбиение кольца классов вычетов 2 ,. Несложно убедиться в том, что
¥к1; к = 0, d -1; I = 0, е -1 будут обобщенными циклотомическими классами порядка de [17,18].
Заметим, что в частном случае, когда
d = е=НОД(р-1,,-1), g = ф-1(0хп) и х:х = g(modр), х = 1(modq), то для i = 0,1,..., d -1 имеем
Di = —,0 и^+1,1 Fd-\-i,d-\, i = 0,d-1, (2)
где Dt = jg х s = 0,(p -1)(q -1)/ d -1j — обобщенные циклотомические классы Уитмена [11]. Аналогично
сг = F0, ^ Fu Fd-1,i; г=0 d -1, (3)
/'■'» I dt+i і где Сі =\ £ х
t = 0,( р-1)(,-1)/^-1, j = 0, d-1
— обобщенные циклотомические классы Динга-Хэллисета [12].
Для последовательностей с периодом р,, как и для последовательностей с простым периодом, введем обобщенное правило кодирования (ПК) [1,2]
1, если i е ¥1к, (к, I) е I,
их (/) = < -1, если i е ¥1к, (к, I) е J, (4)
0 в остальных случаях.
Здесь I, J — подмножества из допустимого множества пар индексов к и I: I = 0,е, к = 0,d. Согласно соотношениям (2) и (3) ПК (4) позволяет формировать последовательности простых чисел-близнецов, Якоби, Уитмена, Динга и другие известные обобщенные циклотомические последовательности, периодическая автокорреляционная функция (ПАКФ) которых исследована в [12-16].
Напомним, что СРКВ Нк и Н1, к,1 = 0, d -1 называется матрица-строка из d чисел
5 {к Лd )=(їо, ¡¡1,...,^-і)
где гармоника
V’
/ = 0, d -1 — число элементов множества
і+л - Qk. t = о, к -принадлежащих классу степенных вычетов Ну [2]. Далее, СРКВ Нк и Нп будем обозначать через Бр (к, п, d), а СРКВ Оі и Gm будем обозначать через (і, т, е).
В связи с тем, что при формировании ДКП по ПК (4) с периодом рд применяются числа, кратные р или д, расширим понятие СРКВ для простого поля GF(q) следующим образом:
(і, т, е) = ((і, т, е), Т5іт ), і, т = 0, е -1;
(е,т,е) = (0,...,1,...,0),т = 0,е-1; (е,е,е) = (0,...,0,1);
т
1(і,т,е), если Т четное,
Sg (т,1, е) = <
[(Бе 2Sq (I,т,е),ТЪ1т), если Т нечетное, где Ъ1т — символ Кронекера; Б — оператор циклического сдвига. Другие свойства СРКВ также используются только для первых е членов.
В [2] было установлено взаимно однозначное соответствие между СРКВ и ПАКФ или ПВКФ двоичных последовательностей (ДП) с простым периодом р, сформированных по ПК
IX если i е Нк,
их (0 = \ к
к [0 в ост. случаях.
А именно, если Хх (т)(гх х (т)) ПАКФ последовательности Хк (ПВКФ пары последовательностей Хк и Х1), то
Ххк (т)» Бр (к, к, d) и гхкх1 (т)» Бр (к, 1, d)■
(знак » означает, что если т е Н/■, то Хх (т) равняется /-й гармонике СРКВ).
Если т = 0, то Х^ (0) = Я, а гх^х^ (0) = 0 при
к ФI. Поэтому установленное в [2] взаимно однозначное соответствие между СРКВ и корреляционными функциями распространяется и на расширенные СРКВ следующим образом: если т е Н^, то
ПАКФ (ПВКФ) равняется /-й гармонике СРКВ. Таким образом, по-прежнему
Х^ (т)»Бр(к,к,d), гХ^Х[ (т)» Sp(к,1,d). (5)
3. СРКВ и корреляционные функции последовательностей с периодом рц
Определение. СРКВ ¥'1к и ¥тп по составному модулю N = р, назовем матрицу порядка ^ +1) х (е + 1) равную Б(I,к,d;т,п,е) = Бр (I,т,d)*Б, (к,п,е), где
знак * обозначает транспонирование матрицы.
Рассмотрим ДП X периода N, сформированную по ПК с использованием классов вычетов ¥к 1:
их (і) =
Гі, если і є Flt
(6)
[0, если i £ ¥1к.
Следующая лемма обобщает соответствие (5) на последовательности с составным периодом р,.
Лемма 1. Если ДП X сформированы по ПК (6), то для ее ПАКФ справедливо взаимно однозначное соответствие
X х (т)» Б (I, к, d ;1, к, е), где знак » означает, что если т е ¥■ /, то Xх (т) совпадает с элементом я■ / матрицы Б (I, к, d ;1, к, е).
Доказательство. Если ДП X сформирована по ПК (6), то, согласно [1], ее ПАКФ Хх (т) = ХУ (т )Х 2 (т), где ДП У и 2 сформированы соответственно по ПК
1, если і є Н,
1, если і єG,
иУ (0 Н и2 о)=<
[0, если i £ Н1. [0, если i £ Gk.
Следовательно, если т е ¥■ /, то, согласно определению классов вычетов ¥■ / и (5), ХУ (т) совпадает су-й гармоникой СРКВ Бр (I, I, d), а ХУ (т) с /-й гармоникой Б, (к,к,е). В силу определения СРКВ ¥1к по составному модулю это и означает, что Х х (т) совпадает с элементом Яу/ матрицы Б(I,к,d;1,к,е). Лемма доказана.
Лемма 2. Если ДП X и У сформированы по ПК
(6) для ¥к1 и ¥тп соответственно, то для их ПВКФ
справедливо взаимно однозначное соответствие
^ У (т)» Б (к, I, d; т, п, е).
Лемма 2 доказывается аналогично лемме 1. Пусть ДП X периода N сформирована по ПК
11, если i е ¥,,, (к, I) е I,
Uх а) 1,к (7)
[0 в остальных случаях.
Исходя из свойств ПАКФ, ПВКФ, лемм 1 и 2 получим следующую теорему.
Теорема 1.
1. Для ПАКФ ДП X , сформированной по ПК
(7), справедливо взаимно однозначное соответствие
Хх (т)» X Б (I, к, d ; т, п, е).
(/,к );( т,п )е/
2. Для ПВКФ ДП X и У, сформированных по ПК (7) соответственно для I ,У, справедливо взаимно однозначное соответствие
rх У (т)» X Б (I, к, d ; т, п, е).
(/,к )е/;( т,п)еУ
3. Для ПАКФ троичной последовательности X, сформированной по ПК (4), справедливо взаимно однозначное соответствие
Xх(т)» XБ(I,к,d;да,п,е)+ XБ(I,к,d;т,п,е)-
(1,к'е; (I ,к)е;
(т,п )EІ (т,п )е7
- XБ(I,к,d;т,п,е)- X Б(I,к,d;т,п,е).
(7 ,k )е/; (т,п)є</
(.l ,k )eJ ; (т,п)є/
Теорема 1 показывает, как математический аппарат СРКВ для простого поля Галуа можно применять для расчета периодических корреляционных функций двоичных и троичных последовательностей с составным периодом рд. Таким образом, для синтеза ДКП с периодом рд можно использовать комплексную методику, предложенную в [9]. Теорема 1 также определяет эффективный численный метод расчета ПАКФ и ПВКВ ДКП, сформированных на основе классов степенных вычетов с периодом рд.
В заключение этого раздела заметим, что при
d = 2 5р (0,0,2) =( К-1, у, К ), 5р (0,1,2) = ( К £,0
если R четное, и Sp (0,0,2) =
R-1 R-1 2 , 2
R
Sp(0,1,2) = ^R+1,R^,0j, если R нечетное.
Пусть Q = {0,q,2q,...,(p-1)q}, тогда для ДП, сформированных по ПК
II, если i(modp) e F00 uFu u Q,
Ux (i) = 1 „
[0 в ост. случаях,
по теореме 1, посредством элементарных действий с матрицами, имеем:
1) если (p-1)(q-1)/4 — четное, то
pq-2q+2p+1 pq-2q+2p +1 pq-3q+3p+3 ^ XX(t) »-4 pq-2q+2p+1 pq-2q+2p +1 pq-3q+3p+3 pq-q + p-1 pq-q+p-1 2pq+2q-2p+2
2) если (p-1)(q-1)/4 — нечетное, то
^pq-2q+2p+3 pq-2q+2p-1 pq-3q+3p +3 ^ pq-2q+2p-1 pq-2q+2 p+3 pq-3q+3p +3 pq-q+p-1 pq-q+p-1 2pq+2q-2p+2
V У
Следовательно, разность между наибольшим и наименьшим боковыми лепестками ПАКФ Д = (q-p-2)/2 . Таким образом, получаем хорошо известные результаты о ПАКФ последовательностей простых чисел-близнецов, обобщенной последовательности Якоби [1,10,13,16]. Аналогично по теореме
1 можно рассчитать ПАКФ последовательностей Уитмена второго или четвертого порядков, а также последовательностей Динга [11,12,14,15]. При расчете ПАКФ последовательностей для d > 2лучше воспользоваться пакетом прикладных математических программ.
4. ПВКФ двоичных последовательностей, соответствующих обобщенным циклотомическим классам Уитмена
В [2,3,9] были определены параметры пар двоичных последовательностей, сформированных на классах степенных вычетов по простому модулю, обладающих одноуровневой или квазиодноуровневой ПВКФ. ПВКФ считаем квазиодноуровневой, если max Дх Y (t)/Rx < а, где Дгх Y (т) — разность между
наибольшим и наименьшим боковыми лепестками ПВКФ; RX — вес последовательности; а — заданное пороговое число.
Пусть d=e=НОД( p -1, q -1) и двоичные последовательности Хк, к = 0, d -1 сформированы по ПК
11, если г (mod pq) e Dk,
Uхl (0 Н„ ' " (8)
к [0 в остальных случаях.
Тогда по теореме 1 и формуле (2) имеем
d-1
хkл,(т)» XБ(к+■,■,d;1+/,/,d)=
у,/=0
^-1 _ _
= X Бр (к + у, I + /, d )* Б, (у, /, d) (9)
у,/=0
Пусть к ФI, обозначим сумму СРКВ
d -1
X S (k + j, j, d ;l + /, /, d ) чеРез S.
j,/=o
Лемма 3. Элементы матрицы sdm = snd =
= (p-1,q-1)/d , если m,n = 0,d-1.
Доказательство. По определению в спектре Sq (j,/,d) последний элемент равен нулю, когда j Ф /. Если же j = /, то он равен T, и, согласно соотношению (9), последний столбец матрицы S равен
d-1 _
произведению T на вектор XSp (к + j,l + j,d) , эле-
j, /=0
менты которого совпадают с суммой гармоник СРКВ Sp (k, l) [2]. Если к Ф l, то сумма гармоник СРКВ
Sp (к,l) равна R, следовательно s]d = RT, что и требовалось показать. Подобным же образом доказывается формула для sdm .
Лемма 4. В матрице S существует элемент suv
такой, что suv <((p-2)(q-2)-1)/d ; u Фd, v Фd.
Доказательство. Согласно свойствам СРКВ сумма элементов первых d строк и столбцов матрицы
Sp (k + j,l + /,d)* Sq (j,/,d) равна (R-1)T для j = /,
или (T-1)R для к + j = l + /(mod d) и равна RT в
остальных случаях. В силу формулы (9) первые два варианта имеют место d раз, таким образом,
d-1
Хя#- = -2d)RT+d(R-1)Т+d(T-1)Я = р,-2р -2,+3.
у,/=0
Отсюда и следует утверждение леммы 4.
Лемма 5. При любом значении d = НОД( р -1,, -1) пара последовательностей ^ и
X,, сформированных по ПК (8) при к ФI, не обладает одноуровневой ПВКФ, в частности, всегда
^,хl -(р + ,-2)/d .
Доказательство. Согласно определению Дт^ X не меньше разности любых двух элементов,
тогда из лемм 3 и 4 получаем, что
ДrхtX, -(р-!)(,-!)/d2 -((р-2)(,-2)-1)/d2 или
Дт^ X - (р + , -2)/d, что и требовалось доказать.
Таким образом, результаты для ПВКФ пар двоичных последовательностей, представленные в [3], не обобщаются на последовательности с периодом р,. Более того, из леммы 5 следует, что пара двоичных последовательностей, сформированных по ПК (8), может обладать квазиодноуровневой ПВКФ только при достаточно больших значениях суммы р и ,.
Исследуем более подробно несколько частных случаев и определим, когда указанная в лемме 5 оценка снизу для ДгX х¡ является точной.
Для d = 4,6,8 таблицы СРКВ приведены в [9]. Их применение дает возможность рассчитать ПВКФ пары ДП посредством разложения р и , на сумму квадратов целых чисел. Расчеты, выполненные по формуле (9), позволили показать справедливость приведенных ниже утверждений.
Если d = 4, то справедливо разложение:
2 , л 2 2.2
р = х1 + 4 >1 , , = х2 + 4 у2 , где х1, _у1, х2, у2 — целые числа, при этом х1 = х2 = 1(mod4) [17]. Знаки у1 и у2 выбираем согласно условию: у1 = -^^(^»14) и у2 = ф2(mod4) [10], где ind02 — дискретный
логарифм 2 в поле 0¥ (р) по основанию 9 [17].
Лемма 6. Если d = 4 и (р -1)(, -1)/4 — нечетное, то для ПВКФ пары двоичных Xk, X, последовательностей, сформированных по ПК (8) при
{(р, - 2р - 2, + 3 +
11 1 _+_х_ < 1(_х_ +_ 1
Я,
Следствие 6.2. Если х1х2 + 4у1 у2 = 1, то в условиях леммы 6 ПВКФ двоичной последовательности имеет два уровня боковых лепестков, т. е.
XX е{(р,-2р-2,+3)/16,(р,-р-,+1)/16}, т = 1, р,-1.
и Дт^ X достигает наименьшего возможного значения (р + , - 2)/16.
В частности, это так, если р = 5, , = 29(Д = 2); р = 13, , = 149(Д = 10); р = 53, , = 109( Д = 10);
р = 5, , = 157(Д = 10); р = 73, , = 137(Д = 13).
Отметим, что ПВКФ гу
также имеет два
уровня боковых лепестков при х1 + х2 = +2 и у1 = - у2, в этом варианте Дт^ х¡ достигает наибольшего возможного значения. Например, для р = 5, , = 13(Д = 2); р = 13, , = 29(Д = 5); р = 29, , = 53(Д = 10).
Если d = 6, то справедливы разложения:
2 2 2 2 р = А1 + 3В1 , , = А2 + 3В2 , где А^В1,А2,В2 — целые числа, при этом А1 = А2 = 1(mod3) [17], они и определяют формулы для вычисления гармоник СРКВ. При этом числа В1 (В2) определены указанным выше разложением с точностью до знака, поэтому для В1 (В2 )ф 0(mod3) знак В1 (В2) выбираем ис-
ходя из условия
В1 (В2 !)= -^0(ф) 2(mod 3), и
если
В = 0(mod3), то В = ind03(mod3).
Лемма 7. Если d = 6, (р + ,-2)/36 — нечетное и ^02 = ^ ф 2(mod3), то для ПВКФ пары двоичных Xk, X, последовательностей, сформированных по ПК (8) при |к - ,| = 3, справедливо:
(р, - 2 р - 2, + 1 + 2А1А2 + 6 В^2)/36,
Гг .г е- (р,-2р-2, + 7-4А1_А2-12В1В2)/36 (р, - р - , + 1)/36
т = 1, р,-1.
Заметим,
что
если
условие
ш^2 = indф 2(mod3) не выполняется, то достаточно
заменить 9 на 9-1 или ф на ф1.
Следствие 7.1. В условиях леммы 7 справедливы неравенства (р + ,-2)/36¿Д^ х <(р + ,-2)/12
Arv
Я,
1
|к - ,| = 2, справедливо:
+(-2+2х1х2 +8у1у2))/16,(р,-р - ,+1)/16}, т = 1, р,-1.
Следствие 6.1. В условиях леммы 6 справедливы неравенства (р + ,-2)/16<ДrX х <(р + ,-2)/8 и ния-
Следствие 7.2. Если А^2 + 3В1В2 =1, то в условиях леммы 7 ПВКФ двоичной последовательности имеет два уровня боковых лепестков, т. е. XX е{(р,-2р-2,+3)/16,(р,-р-,+1)/16}, т = 1, р,-1
и Дт
Xk
достигает наименьшего возможного значе-
Дополнительно отметим, что ПВКФ rх х также имеет два уровня боковых лепестков, если
р+,=6-4АА -12В1В2, здесь
Дт
Я
-X
1
41 р-1 ,-1
Например, р = 19, , = 79 (Д = 4); р = 61, , = 37 (Д = 4); р = 19, , = 199 (Д = 9); р = 37, , = 181 (Д = 9); р = 7,
0 2
q = 19 (Д = 1). А при A + A2 = 2 и Bx =-B2 (в этом случае Bj =B2 =0(mod3) и p+q=4-2АА-6BjB2) раз-
ность Дту
достигает наибольшего возможного зна-
чения и ПВКФ имеет три уровня боковых лепестков.
5. Заключение
В результате проведенного исследования расширена область применения теории спектров разностей классов вычетов для простого поля Г алуа. Предложен метод расчета периодических автокорреляционных и взаимно корреляционных функций дискретно-кодированных последовательностей с периодом р,, сформированных на основе классов степенных вычетов по простым модулям р,,. Метод использован для анализа взаимной корреляции двоичных последовательностей, соответствующих обобщенным циклотомическим классам Уитмена.
1. Свердлик М.Б. Оптимальные дискретные сигналы. М.: Сов. радио, 1975. 200 с.
2. Гантмахер В.Е., Быстров Н.Е., Чеботарёв Д.В. Шумоподобные сигналы. Анализ, синтез, обработка. СПб.: Наука и техника, 2005. 400 с.
3. Гантмахер В.Е., Едемский В.А. Результаты синтеза пар двоичных последовательностей простого периода с одноуровневой и двухуровневой взаимной корреляцией // Известия вузов. Радиоэлектроника. 2006. Вып.4. С.26-33.
4. Гантмахер В.Е., Едемский В.А. Результаты синтеза двоичных последовательностей с квазиодноуровневой автокорреляционной функцией, формируемых на основе классов вычетов по простому модулю // Известия вузов. Радиоэлектроника. 2007. Вып.4. С.14-23.
5. Гантмахер В.Е., Едемский В.А. О бинарных последовательностях простого периода с квазиидеальной автокорреляцией // Вестник Саратовского гос. техн. ун-та. 2007. №1(21). Вып.1. С.7-12.
6. Гантмахер В.Е., Едемский В.А. Корреляционные функции троичных последовательностей с простым периодом // Вестник КАИ им. А.Н.Туполева. 2007. №2. С.41-44.
7. Gantmakher V.E., Edemskiy V.A. The Synthesis Methodology of Periodic Discretely Coded Sequences Formed Basing on Cyclotomic Classes with Basic Parameters Constraints // Proceedings of 2007 International Workshop on Signal Design and Its Applications in Communications (IWSDA’07). China. 2007. Р.4-8.
8. Gantmakher V.E., Edemskiy V.A. Synthesis Results of the Periodic Discretely Coded Sequences with the Parameters Constraints Defined on the Basis of the Cyclotomic Classes // Ibid. Р.9-12.
9. Едемский В.А., Гантмахер В.Е. Синтез двоичных и троичных последовательностей с заданными ограничениями на их характеристики. В. Новгород: НовГУ, 2009. 189 с.
10. Холл М. Комбинаторика. М.: Мир, 1970. 423 с.
11. Whiteman A L. A family of difference sets // Illinois J. Math. 1962. №6. Р.107-121.
12. Ding C. Autocorrelation values of generalized cyclotomic sequences of order two // IEEE Transactions on Information Theory. 1998. №44(4). Р.1699-1702.
13. Green D.H. and Green P.R. Modified Jocobi sequences // IEE Proc. Comput. Digit. Tech. 2000. №147(4). Р.241-251.
14. Li S., Chen Z., Fu X., Xiao G. The autocorrelation values of new generalized cyclotomic sequences of order two and length pq // J. of Comput. Scie. and Tech. 2007. №22(6). Р.830-834.
15. Yan T., Sun R., Xiao G. Autocorrelation and linear complexity of the new generalized cyclotomic sequences // IEICE Trans. Fundamentals of Electronics, Communications and Computer Sciences. 2007. E90-A(4). Р.857-864.
16. Zhang Y. Lei J.G., Zhang S.P. A new family of almost differences sets and some necessary conditions // IEEE Trans. Info. Theory. 2006. V.52. Р.2052-2061.
17. Айерлэнд К., Роузен М. Классическое введение в современную теорию чисел. М.: Мир, 1987. 416 с.
18. Cusick T.W., Ding C., Renvall A. Stream Ciphers and Number Theory. Amsterdam: Elsevier, 1998. 474 p.
1.
2.
Bibliography (Translitirated)
Sverdlik M.B. Optimal'nye diskretnye signaly. M.: Sov. radio, 1975. 200 s.
Gantmakher V.E., Bystrov N.E., Chebotarjov D.V. Shu-mopodobnye signaly. Analiz, sintez, obrabotka. SPb.: Nauka i tekhnika, 2005. 400 s.
3. Gantmakher V.E., Edemskijj V.A. Rezul'taty sinteza par dvoichnykh posledovatel'nostejj prostogo perioda s od-nourovnevojj i dvukhurovnevojj vzaimnojj korreljaciejj // Iz-vestija vuzov. Radioehlektronika. 2006. Vyp.4. S.26-33.
4. Gantmakher V.E., Edemskijj V.A. Rezul'taty sinteza dvoich-nykh posledovatel'nostejj s kvaziodnourovnevojj avtokorrel-jacionnojj funkciejj, formiruemykh na osnove klassov vyche-tov po prostomu modulju // Izvestija vuzov. Radioehlek-tronika. 2007. Vyp.4. S.14-23.
5. Gantmakher V.E., Edemskijj V.A. O binarnykh posle-dovatel'nostjakh prostogo perioda s kvaziideal'nojj avtokor-reljaciejj // Vestnik Saratovskogo gos. tekhn. un-ta. 2007. №1(21). Vyp.1. S.7-12.
6. Gantmakher V.E., Edemskijj V.A. Korreljacionnye funkcii troichnykh posledovatel'nostejj s prostym periodom // Vest-nik KAI im. A.N.Tupoleva. 2007. №2. S.41-44.
7. Gantmakher V.E., Edemskiy V.A. The Synthesis Methodology of Periodic Discretely Coded Sequences Formed Basing on Cyclotomic Classes with Basic Parameters Constraints // Proceedings of 2007 International Workshop on Signal Design and Its Applications in Communications (IWSDA’07). China. 2007. R.4-8.
8. Gantmakher V.E., Edemskiy V.A. Synthesis Results of the Periodic Discretely Coded Sequences with the Parameters Constraints Defined on the Basis of the Cyclotomic Classes // Ibid. R.9-12.
9. Edemskijj V.A., Gantmakher V.E. Sintez dvoichnykh i tro-ichnykh posledovatel'nostejj s zadannymi ogranichenijami na ikh kharakteristiki. V. Novgorod: NovGU, 2009. 189 s.
10. Kholl M. Kombinatorika. M.: Mir, 1970. 423 s.
11. Whiteman A L. A family of difference sets // Illinois J. Math. 1962. №6. R.107-121.
12. Ding C. Autocorrelation values of generalized cyclotomic sequences of order two // IEEE Transactions on Information Theory. 1998. №44(4). R.1699-1702.
13. Green D.H. and Green P.R. Modified Jocobi sequences // IEE Proc. Comput. Digit. Tech. 2000. №147(4). P.241-251.
14. Li S., Chen Z., Fu X., Xiao G. The autocorrelation values of
new generalized cyclotomic sequences of order two and
length pq // J. of Comput. Scie. and Tech. 2007. №22(6).
R.830-834.
15. Yan T., Sun R., Xiao G. Autocorrelation and linear complexity of the new generalized cyclotomic sequences // IEICE Trans. Fundamentals of Electronics, Communications and Computer Sciences. 2007. E90-A(4). R.857-864.
16. Zhang Y. Lei J.G., Zhang S.P. A new family of almost differences sets and some necessary conditions // IEEE Trans. Info. Theory. 2006. V.52. R.2052-2061.
17. Ajjerlehnd K., Rouzen M. Klassicheskoe vvedenie v sovre-mennuju teoriju chisel. M.: Mir, 1987. 416 s.
18. Cusick T.W., Ding C., Renvall A. Stream Ciphers and Number Theory. Amsterdam: Elsevier, 1998. 474 p.
