О линейной сложности последовательностей над конечным полем четвертого порядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.7

О ЛИНЕЙНОЙ СЛОЖНОСТИ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ НАД КОНЕЧНЫМ ПОЛЕМ

ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА

В.А.Едемский, А.В.Иванов

Институт электронных и информационных систем НовГУ, Vladimir.Edemsky@novsu.ru

Рассчитана линейная сложность последовательностей, сформированных на основе классов квадратичных и биквадратичных вычетов, над конечным полем из четырех элементов.

Ключевые слова: четырехфазные последовательности, линейная сложность, квадратичные вычеты,

биквадратичные вычеты

We computed the linear complexity of sequences based on the classes of quadratic and biquadratic residues, over a finite field of four elements.

Keywords: quaternary sequences, linear complexity, quadratic residues, biquadratic residues

Введение

Четырехфазные последовательности, наряду с бинарными и троичными, относятся к числу наиболее часто применяемых последовательностей. Периодическая автокорреляционная функция и линейная сложность являются важными характеристиками последовательностей, обуславливающими область их применения. В [1,2] найдены периодические четырехфазные последовательности с хорошими автокорреляционными свойствами. Отображение Грея позволяет преобразовать четырехфазные последовательности в последовательности с элементами, принадлежащими конечному полю четвертого порядка [3]. В этой статье иссле-

дуем линейную сложность вышеупомянутых последовательностей над конечным полем F4 . Применяемый

в работе подход основан на методе вычисления линейной сложности бинарных и троичных последовательностей, разработанном ранее в [4,5].

Основные определения

Пусть F4 = {0,1,д,д + 1} — конечное поле из четырех элементов и X = {х}, X. е F4 —

последовательность с периодом N. Хорошо известно (см., напр., [6]), что минимальный многочлен последовательности т(х) = 1 + с1х +... + сьх1 и ее линейную

сложность можно вычислить по следующим форму-

лам:

L = N - deg[нОд(xN -1, S(x))], m(x) = (xN - і)/[иОД^ -1, S(x))],

где S (x) — многочлен последовательности X.

Определим классы вычетов, которые будут использоваться при построении последовательностей. Пусть p, q — нечетные простые числа и d — натуральный делитель НОД (p-1, q-1). Если 0, g — первообразные корни по модулям p и q соответственно, то циклотомические классы порядка d определяются следующим образом: Hk ={0k+td (mod p),

t = 0,1,...,(p -1)/d -1}, Gk ={gk+td (mod q),

t = 0,1,...,(q-1)/d-1}, k = 0,1,..., d-1 [6].

Кольцо классов вычетов Zpq изоморфно прямому произведению Z х Zq относительно изоморфизма f (a) = (a(mod p), a(mod p)| a e Z} [7], положим Fkl = f -\Hk х G{), k, l = 0,1,...,d-1. Введем дополнительно множества Fk d = f-1 (Hk х {0}),

Fdl = f ~'({0}х Gj) и Fdd ={0}, тогда справедливо разбиение

Z = М F,

pq \J k,l

(2)

k, l=0

Аналогично, можно определить классы вычетов Н , , т = 0,1; k = 0,1,...,^-1, положив

Нтк = ф-1({т}хНк), где ф(х) — изоморфизм между

кольцом вычетов и прямым произведением х2_р.

Далее, будем рассматривать только последовательности, сформированные на множествах Fкl и

Н ,.

т,к

Линейная сложность последовательностей с периодом 2р на основе классов биквадратичных вычетов

В этом разделе покажем, что последовательности, получающиеся посредством отображения Грея четырехфазных последовательностей с хорошими автокорреляционными свойствами из [1], также обладают высокой линейной сложностью.

Пусть N = 2р , тогда формула (1) примет вид

L = 2p - degH^(xp -l)2, S(x))

(3)

Обозначим через а примитивный корень спепени р из единицы в расширении поля F4 . Тогда,

согласно формуле (3), для вычисления линейной сложности и минимального многочлена последовательности X достаточно определить, с учетом их кратности, число корней многочлена £(х)

в множестве {ау, V = 0,1,...,р”-1}.

Метод вычисления значений £ (ау) для

троичных последовательностей был предложен в [4]

(1) и развит в [5]. Пусть Sd(x)

= І Xі,

тогда, согласно

[8], для любого значения V Ф 0 имеем

^ av аv = 8с1 (а0І). (4)

VЄЯ0,І VЄH1,І

Рассчитаем линейную сложность и минимальный многочлен последовательностей из [1].

Пусть Н (х) = ^ (х - а1) и

г'єНо и Ні

0, если ] = 0, ] є Н00 и Нц,

1, если у є Нл иН12,

x. =

j

ц + 1, если j = p, j є H u H

(5)

ц, если j е Н0 3 иН10.

Лемма 1. Если d = 4 и последовательность X сформирована по правилу (5), то:

1. Ь = 2р и т(х) = х2р-1 при р = 1(mod8);

2. Ь = (3р + 1)/2 и т(х) = (х2р-1)/Н(х) при р = 5(mod8).

Доказательство. По определению последовательности ее многочлен

£(х) = ^ X + (ц+1) ^ X + ц ^ X + (ц+1)хр.

./еН0диН1,2 1/еНо,2иН1,з 1/еНо,зиН1,о

Прежде всего отметим, что число элементов в каждой из трех сумм четно, поэтому £(1) = ц + 1. Далее, согласно формуле (4) имеем

£ (аУ) = £4(0^)+£4(а02у) + (ц+^(а0^)+£4^))+

+ ц(£4(аВ v)+£4(аУ))+(ц+1)

или

^ = £4(а0у)+£4(а03у)+^

По условию леммы р = 1(шоё 4), рассмотрим два варианта.

1. Пусть р = 1(шod8), тогда, как показано в [5],

Ц если V е Н0 иН2,

S (av) = >S4(aev)+£4(а0 v)+ц^Да0 v)+£4(av))+ (ц+1). (6)

S4(a0v) + £4^) =

0, если v є Hj u H3.

Следовательно, £(^) е{1, ц}, т. е. £(^) Ф 0 при

V = 0,1,..., р -1, и утверждение леммы следует из формул (1) и (3).

2. Пусть р = 5(шod8), в этом случае [5], если

,, ~)к ^4-к

V е Нк , то £4(а ) = ^ или £4(а ) = с

мент,

удовлетворяющий

, где q — эле-соотношениям

q8 + q4 + q2 + q = 1 и q4 + q = ц в поле F4 . Тогда ц, если v є H0 u H2,

£4(а° v)+£4^) =

[ц + 1, если v є u H3.

Следовательно, если v є H0 u H2, то по формуле (6) £ (а'') = ц + 1, а если же v є Hj u H3, то £ (а'') = 0.

Для вычисления кратности корней вида av многочлена £(х) найдем его производную. Легко убедится, что

£(х) = ^ хЗ-1 + (ц + 1) ^ хЗ-1 + ц ^ хЗ-1 + (ц + 1)хр-1.

ЗєН1,2 ЗєН1,3 ЗєН1,0

Тогда

а2, А, ))

£,(av) = a-v £>0^)+(ц+1^^)+ц^а”)+(ц+1)) (7)

х. =

з

х. =

з

■^44“ / ' ; ^4\

Подставляя в формулу (7) значения £4(^), приведенные выше, получаем, что £ (^) Ф 0 для

V е Н1 и Н3. Таким образом, все корни многочлена

£(х) вида а? простые, и утверждение теоремы для этого варианта следует из формул (1) и (3). Лемма 1 доказана.

Аналогично показывается, что последовательности, сформированные в [1] по двум другим правилам, также обладают высокой линейной сложностью. В частности, имеет место следующее утверждение.

Лемма 2. Если d = 4 и последовательность X сформирована по правилу

0, если j = 0, j е Н00 и Н12,

1, если j е Н02 и Н10, ц + 1, если j = р, j е Н01 и Н13, ц, если у е Н)3 иНИ,

или

0, если у = 0, у е Н0 0 и н12,

1, если у е Н0 2 и Н10, ц + 1, если у = р, у е Н0 3 иНц, ц, если у е Н01 и Н13,

то ее линейная сложность Ь = 2 р и минимальный многочлен т(х) = х2р -1.

Этот же метод расчета линейной сложности можно использовать и для других обобщенных циклотомических последовательностей с элементами из конечного поля четвертого порядка и периодами р, 2р . В частности, можно получить результаты, представленные в [9].

Линейная сложность последовательностей с периодом pq на основе классов квадратичных вычетов

Пусть N = pq, а через а обозначим

примитивный корень спепени рд из единицы. Тогда

согласно формуле (1) имеем

Ь = N -1 {г|£(^) = 0, V = 0,1,..., N -1}|. (8)

Для вычисления линейной сложности воспользуемся методом, предложенным в [9]. Положим

в = аад и у = аЬр, где а, Ь: ад + Ьр = 1. Введем еще один вспомогательный многочлен Т2 (х) = ^хг, где

1е°0

подгруппа 00 определена для d = 2.

В [10] было показано, что если последовательность Y сформирована по правилу

иг (/) =

1 если 1(т^pq) є и ^,, и и и и ^,

к,/ З,е ^, у’

(к,1)є! уєК уєМ

х. =

З

0 в ост. случаях, то для у = 0,1,. . ., рд -1 справедливо соотношение

£(а; )= Е £* И к И КЕт (у КЕ £* И )(9)

(к,/)е/ уеК уеМ

Здесь I, К,М — допустимые, исходя из определения Fkl, подмножества индексов.

В [2] была исследована автокорреляционная функция последовательностей, которые после отображения Грея будут определяться следующим образом:

'0, если у е F0 0 иFl l,

1, если / е{0}и 0,

^ ^ (10)

ц + 1, если у е F0,1 и ^,0,

ц, если у е Р.

Здесь d = 2, Р={р,2 р,...,(д-1) р} и 2 ={д,2д,...,(р-1)д}.

Воспользовавшись формулами (9) и (10) получаем следующую формулу для вычисления значений многочлена последовательности:

£ (а”) = (ц+1)(£2С ) + £2(P0V )Ч?))+

+Е £2^) + ц£ Г^) + 1. (11)

у=0 у=0

Свойства многочленов £2(х) (Т2(х)) исследованы в [5], в частности, было показано, что если р = +1(шod8), то

'1, если vе Н0,

£2®”)=

0, если V є Н

|ц, если vє Н,

£2®”) Ч , ° (12)

1ц+1, если vє Н,,

для р = +3(шod8).

Вычислим значение многочлена последовательности для представителей различных элементов разбиения (2).

Лемма 3. Если последовательность X определяется правилом (10), то:

1. £(1) = 1;

[ц + 1, если р = l(шod4),

2. £ (а) = <! для V е Р ;

[0, если р = -1(шой4),

■з [ц+1, если д=-1(шod4), _

3. £ (а) = 1п м ллл для v е2.

[0, если д = 1(шod4),

Утверждения леммы 3 следуют непосредственно из формул (11) и (12).

Лемма 4. Если последовательность X определяется правилом (10) и V е Р и 2 и {0}, то £ (а?) = 0 только при V е ^0 и ^1 для р = +1(шой8) и д = +3(шоё8)

или р = +3(шod8) и д = +1(шod8).

Доказательство. Согласно формуле (12), если 11

V е Ри2 и{0}, то Е£2(Р^) + ц^Тг^) + 1 = ц, и

З=0

З =0

тогда

£ (а”) = (ц + 1)(£2(Р^ ^(у”) + £2(PV )Т2Опу))+ ц.

£ (av) =

1. Пусть vєF00 и Fn, тогда имеем

£ (а?) = (ц+1)(£2(Р)Т2(ул) + £2(р0)Т2(у))+ ц. Воспользовавшись формулами (12), из последнего соотношения получаем, что

ц, если р = +1(mod8)и q = +1(mod8)

или р = +3(mod8)и q = +3(mod8),

0, если р = +1(тогї8)и q = +3(mod8) или р = +3(тогї8)и q = +1(mod8).

2. Пусть V є ,?10 и F10, в этом случае

£ (av) = (ц+1)(£2(Р0)Т2(уп) + £2(РТ,(у))+ ц и

1, если р = +1(mod8)и q = +1(mod8) или р = +3(mod8) и q = +3(mod8) , ц + 1, если р = +1(mod8)и q = +3(mod8) или р = +3(mod8) и q = +1(mod8).

Лемма 4 доказана.

Леммы 3 и 4 позволяют определять число корней многочлена £(х) в множестве {/,V = 0,1,...,pq-1] и вычислять линейную сложность последовательности X по формуле (9). Рассмотрим иллюстрацию этого утверждения.

Пусть Q(х) = П(х - а1), Р(х) = П(х-а1) и

последовательностей, сформированных на основе классов квадратичных и биквадратичных вычетов, над конечным полем из четырех элементов.

£ (av) =

іє-Q

iєP

F (x) = П (x - ai).

Теорема 1. Пусть последовательность X определена правилом (7), тогда:

1) Ь = рд и т(х) = хрд -1, если р = 1(шod8) и д = -1(шod8) или р = -3(шой8) и д = 3(шod8);

2) Ь = рд - р +1 и т(х) = (хрд -1)/ 0(х), если р = 1(шod8) и д = 1(шоё8) или р = -3(шоё8) и д = -3(шоё8);

3) Ь = рд - р - д + 2, т(х) = (хрд -1)/(0(х)Р(х)), если р = -1(шой8) и д = 1(шоё8) или р = 3(шod8) и д = -1(шой8).

Доказательство. В силу лемм 3 и 4 в первом варианте £(а^ Ф0для V = 0,1,..., рд-1, во втором варианте £ (а?) = 0 только для V е0, а в третьем £(а?) = 0 при V е Р и 0, и утверждения теоремы

следуют из формулы (9).

Подобным же образом можно рассчитать линейную сложность и других обобщенных циклотомических последовательностей с периодом

рд .

Заключение

Метод вычисления линейной сложности троичных последовательностей распространен на последовательности с элементами из конечного поля четвертого порядка. Рассчитана линейная сложность

1. Едемский В.А., Вагунин И.С. О четырехфазных последовательностях с периодом 2р на основе классов биквадра-тичных вычетов // Вестник КГТУ им. А.Н.Туполева.

2010. № 2. С.58-62.

2. Yang Z., Ke P. Construction of quaternary sequences of length pq with low autocorrelation // Cryptography and Communications. 2011. V.3. Issue 2. Р.55-64.

3. Лидл Р., Нидеррайтер Г. Конечные поля. М.:Мир, 1988. 820 с.

4. Едемский В.А. О линейной сложности троичных последовательностей на основе классов степенных вычетов // Проблемы передачи информации. 2008. Т.44. Вып.4. С.3-11.

5. Едемский В.А. Гантмахер В.Е. Синтез двоичных и троичных последовательностей с заданными ограничениями на их характеристики. В.Новгород.: НовГУ, 2009. 189 с.

6. Cusick T.W, Ding C., Renvall A. Stream Ciphers and Number Theory. Amsterdam: Elsevier, 1998. 474 р.

7. Айерлэнд К., Роузен М. Классическое введение в современную теорию чисел. М.: Мир, 1987. 416 с.

8. Du X., Chen Z. Linear Complexity of Quaternary Sequences Generated Using Generalized Cyclotomic Classes Modulo 2p // IEICE TRANSACTIONS on Fundamentals of Electronics, Communications and Computer Sciences. V.E94-A. No.5 Р.1214-1217.

9. Едемский В.А., Антонова О.В. О линейной сложности последовательностей с периодом 2рп на основе классов квадратичных вычетов // Вестник НовГУ. Сер.: Техн. науки. 2012. № 67. С.16-19.

10. Edemskiy V., Antonova O. About Computation of the Linear Complexity of Generalized Cyclotomic Sequences with Period pq // Proc. of 2011 International Workshop on Signal Design and Its Applications in Communications (IWSDA’011). China, 2011. Р.9-12.

Bibliography (Transliterated)

1. Edemskijj V.A., Vagunin I.S. O chetyrekhfaznykh posledovatel'nostjakh s periodom 2р na osnove klassov bikvadratichnykh vychetov // Vestnik KGTU im. A.N.Tupoleva. 2010. № 2. S.58-62.

2. Yang Z., Ke P. Construction of quaternary sequences of length pq with low autocorrelation // Cryptography and Communications. 2011. V.3. Issue 2. R.55-64.

3. Lidl R., Niderrajjter G. Konechnye polja. M.:Mir, 1988. 820 s.

4. Edemskijj V.A. O linejjnojj slozhnosti troichnykh posle-dovatel'nostejj na osnove klassov stepennykh vychetov // Problemy peredachi informacii. 2008. T.44. Vyp.4. S.3-11.

5. Edemskijj V.A. Gantmakher V.E. Sintez dvoichnykh i tro-ichnykh posledovatel'nostejj s zadannymi ogranichenijami na ikh kharakteristiki. V.Novgorod.: NovGU, 2009. 189 s.

6. Cusick T.W, Ding C., Renvall A. Stream Ciphers and Number Theory. Amsterdam: Elsevier, 1998. 474 р.

7. Ajjerlehnd K., Rouzen M. Klassicheskoe vvedenie v sovre-mennuju teoriju chisel. M.: Mir, 1987. 416 s.

8. Du X., Chen Z. Linear Complexity of Quaternary Sequences Generated Using Generalized Cyclotomic Classes Modulo 2p // IEICE TRANSACTIONS on Fundamentals of Electronics, Communications and Computer Sciences. V.E94-A. No.5 Р.1214-1217.

9. Edemskijj V.A., Antonova O.V. O linejjnojj slozhnosti posledovatel'nostejj s periodom 2рп na osnove klassov kvad-ratichnykh vychetov // Vestnik NovGU. Ser.: Tekhn. nauki. 2012. № 67. S.16-19.

10. Edemskiy V., Antonova O. About Computation of the Linear Complexity of Generalized Cyclotomic Sequences with Period pq // Proc. of 2011 International Workshop on Signal Design and Its Applications in Communications (IWSDA’011). China,

2011. R.9-12.

^Fo,o uFl,l