CC BY
24
»
КРАТКИЕ СООБЩЕНИЯ
УДК 519.7
О ЛИНЕЙНОЙ СЛОЖНОСТИ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ С ПЕРИОДОМ 2 p
О.В.Антонова
ON THE LINEAR COMPLEXITY OF SEQUENCES WITH PERIOD 2 p
O.V.Antonova
Институт электронных и информационных систем НовГУ, [email protected]
Предложен метод анализа линейной сложности троичных последовательностей с периодом 2р, сформированных на циклотомических классах. Исследована линейная сложность троичных последовательностей с хорошими автокорреляционными свойствами.
Ключевые слова: троичные последовательности, линейная сложность, циклотомические классы
The method for analyzing the linear complexity of ternary sequences with period 2р constructed on cyclotomic classes is proposed. We explore the linear complexity of ternary sequences with good autocorrelated properties. Keywords: ternary sequences, linear complexity, cyclotomic classes
Введение
Троичные последовательности относятся к одним из наиболее часто применяемых последовательностей. Периодическая автокорреляционная функция и линейная сложность являются важными характеристиками последовательностей, обуславливающими область их применения. В [1,2] найдены периодические троичные последовательности с хорошими автокорреляционными свойствами и периодом 2р. В статье предлагается метод анализа линейной сложности троичных последовательностей с периодом 2р, сформированных на циклотомических классах. Исследуется линейная сложность вышеупомянутых последовательностей над конечным полем третьего порядка. Применяемый в работе подход основан на методе вычисления линейной сложности бинарных и троичных последовательностей с простым периодом, разработанном ранее в [2,3].
1. Основные определения
Пусть р — нечетное простое число и ^ — натуральный делитель р -1, d > 2. Обозначим через 6 — первообразный корень по модулю р. Пусть g — нечетное из чисел 6 и 6 + р, тогда g является первообразным корнем по модулю 2р [4]. Введем
Gk = g+td(mod2p), t = 0,...,R -1} k = 0,1,...,d -1,
d-1
Z2 p = U G v 2Gk ^ p}.
k
гда
то-
Пусть D = UGk v U2Gk и E = UGk v U2Gk,
keI0 keJ0 keI1 keJ1
где I0 и I J0 и Jj — непересекающиеся подмножества индексов. Рассмотрим троичную последовательность X, определяемую следующим образом: 1, если /'(mod 2p) е D,
x. =
-1, если /(mod 2p) е E,
(1)
k=0
0, в ост. случаях.
Наша цель заключается в разработке метода вычисления линейной сложности и минимального многочлена последовательности X над полем Галуа третьего порядка.
Хорошо известно (см., например [5]), что если S (t) = x0 + Xjt +... + x2 jt2 p-1, то минимальный
многочлен m(t) и линейную сложность L последовательности X можно определить по следующим формулам
m(t) = (t2p -1)/[HOA(t2p -1,S(t))],
L = 2p -deg[HOA(t2p -1,S(t))].
Пусть a — примитивный корень степени 2p из единицы в расширении поля GF (3). Тогда
L = 2p - |£|S(a!) = 0, / = 0,1,...,2p - 1} . (3)
Таким образом, вычисление линейной сложности последовательности X сводится к вычислению корней многочлена S (t).
Введем вспомогательный многочлен Gd (t) = ^ t1 . Пусть l = /ndQ 2 mod d , где /ndQ 2 — jeG0
(2)
дискретный логарифм 2 по основанию 6 [4]. Следующее утверждение доказывается аналогично лемме
1 из [6].
Лемма 1.
1. Если V е G , 1 = 0,1,...,d - 1, то
1 ^
2 а = Gd (а^+1) и 2 а* = ^ (а8к+1+').
iеGt iе2Gt
2. Если V е 2G., 1 = 0,1,..., d - 1, то
г-'
2 а" =-Gd(а^+1+') и ^ а* = ^(а8к++").
iеGt iе2Gt
Таким образом, согласно лемме 1, формуле (1) и определению многочлена £((), получаем след ующие соотношения:
1) если V е G., 1 = 0,...,d - 1, то
£ (а*) = 2 Gd (а +1 )-2 Gd (а ^+1+')-
keI„
keJ„
-Z (</+j )+2 (</+j+'). (4)
2) если v e 2G., j = 0,...,d - 1, то
S (av) = -Z Gdd (agk+j+' )-Z Gd (agk+j+*)
keI„
keJ„
+ 2 Gd (а^ )+2 Gd И+"). (5)
ке11 ке31
Таким образом, для нахождения значений многочлена £ (а*) достаточно найти значения вспомогательного многочлена 01 (а8 ) к = 0,...,d - 1. Как и в
[3], несложно показать, что имеет место следующее утверждение.
Лемма 2. Если к = 0,..., d - 1, то
d-1
^ (а)^ (а8к) = -2 (к, /)й • ^ (а8') + ^
/=0
где (к, /)л — циклотомические числа порядка d и Г1, если ^ = 1(mod2) и к = d/2 , [0, в ост. случаях.
Лемма 2 определяет систему уравнений для
/
неизвестных Ой(а8 ), / = 0,...,d - 1, которая отличается от системы уравнений, рассмотренной в [2,3], только знаком «минус» перед суммой. Таким образом, значения вспомогательного многочлена
01 (а8 ) к = 0,...,d - 1 отличаются только знаком от
решений системы, найденных в [2]. Следовательно, леммы 1 и 2 позволяют исследовать значения
£(аг) = 0,1 = 0,1,...,2р - 1, таким образом, получаем метод вычисления линейной сложности и минимального многочлен последовательности X по формулам (3) и (2).
Для иллюстрации предложенного метода вычислим линейную сложность троичных последовательностей с хорошими автокорреляционными свой-
ствами, найденными в [3]. Значения S(av) постоянны, когда v e G., v e 2G., j = 0,1,2,3, поэтому введем обозначения: S(a) = (s(a), S(ag), S(ag ), S(ag )), S(a2) = (S(a2), S(a2g), S(a2g2), S(a2g3)) и
G d (a) = Gd (a), Gd (ag),..., Gd (ag )). Не нарушая
общности, можно считать, что S(a) Ф 0.
Пусть d = 4, I0 = {0}, J0 = {1}, Ii = {2} и
J1 = {3}, т. е. троичная последовательность X
сформирована на основе классов биквадратичных вычетов по правилу:
1, если /'(mod 2p) e G0 u 2G1,
x. =
- 1, если /(mod 2p) e G2 u 2G
(6)
0, в ост. случаях.
Теорема 1. Если последовательность X
определена формулой (6), то:
Гр - 1, если х = 0(mod 3), 1. L = \ если R —
[2р - 2, в ост. случаях,
четное;
2. L =
(р -1) / 2, если р = 1(mod3), х = +1(то^), [2р - 2, в ост.случаях, если R — нечетное.
Доказательство. Согласно (6) £(1) = £(р) = 0. Далее, если V е G , ] = 0,...,3, то по формуле (4)
имеем:
S(av) = G4(a) - G4(ag2)- G4(ag")+ G4(ag3+')
(7)
а если же V е 2G., 1 = 0,...,3, то по формуле (5) получаем, что
S(a2) = ^4(а8')+ G4(а82+')- G4(а8l+2')+ G4(а83+2').(8)
Согласно лемме 2 G4(а) отличаются от Б4(а)
из [4] только знаком; воспользовавшись соотношениями, полученными в [3], получаем из формул (7) и (8), что
|{/|£(аг) = 0,1 = 0,1,...,2р - 1}| = 'р + 1, если R = 0(mod 2), х = 0(mod 3) = < или R = 1(mod 2), у = 0(mod 3),
2, в ост. случаях. Таким образом, утверждение теоремы 1 следует из формулы (3).
Линейную сложность других троичных последовательностей из [3] с хорошими автокорреляционными свойствами можно рассчитать аналогично.
Заключение
В статье предложен метод анализа линейной сложности троичных последовательностей с периодом 2р, сформированных на циклотомических классах. Исследована линейная сложность последовательностей с хорошими автокорреляционными свойствами над конечным полем третьего порядка.
keI1 keJ1
1. Едемский В. А. Троичные последовательности периода 2р с квазиидеальной автокорреляцией // Радиотехника. 2009. №>9. С.21-24.
2. Едемский В.А., Гантмахер В.Е. Синтез двоичных и троичных последовательностей с заданными ограничениями на их характеристики. В.Новгород.: НовГУ, 2009. 189 с.
3. Едемский В.А. О линейной сложности троичных последовательностей на основе классов степенных вычетов // Проблемы передачи информации. 2008. Т.44. Вып.4. С.3-11.
4. Айерлэнд К., Роузен М. Классическое введение в современную теорию чисел. М.: Мир, 1987. 416 с.
5. Лидл Р., Нидеррайтер Г. Конечные поля. М.: Мир, 1988. 820 с.
6. Едемский В.А., Антонова О.В. О линейной сложности последовательностей с периодом 2рп на основе классов квадратичных вычетов // Вестник НовГУ. Сер.: Техн. науки. 2012. №> 67. С.16-19.
Bibliography (Transliterated)
1. Edemskii V. A. Troichnye posledovatel'nosti perioda 2р s kvaziideal'noi avtokorreliatsiei // Radiotekhnika. 2009. №9. S.21-24.
2. Edemskii V.A., Gantmakher V.E. Sintez dvoichnykh i tro-ichnykh posledovatel'nostei s zadannymi ogranicheniiami na ikh kharakteristiki. V.Novgorod.: NovGU, 2009. 189 s.
3. Edemskii V.A. O lineinoi slozhnosti troichnykh posledovatel'nostei na osnove klassov stepennykh vychetov // Problemy peredachi informatsii. 2008. T.44. Vyp.4. S.3-11.
4. Aierlend K., Rouzen M. Klassicheskoe vvedenie v sovre-mennuiu teoriiu chisel. M.: Mir, 1987. 416 s.
5. Lidl R., Niderraiter G. Konechnye polia. M.: Mir, 1988. 820 s.
6. Edemskii V.A., Antonova O.V. O lineinoi slozhnosti posledovatel'nostei s periodom 2р" na osnove klassov kvadratichnykh vychetov// Vestnik NovGU. Ser.: Tekhn. nauki. 2012. № 67. S.16-19.
