Чередующиеся троичные последовательности с периодом 4 р Текст научной статьи по специальности «Математика»

5.

УДК 621.391

ЧЕРЕДУЮЩИЕСЯ ТРОИЧНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ С ПЕРИОДОМ 4р

А.В.Иванов

INTERLEAVED TERNARY SEQUENCES OF PERIOD 4р A.V.Ivanov

Институт электронных и информационных систем НовГУ, [email protected]

Получены регулярные правила кодирования троичных последовательностей на основе классов степенных вычетов четвёртого и шестого порядков с квазиидеальной периодической автокорреляционной функцией и высокой линейной сложностью.

Ключевые слова: троичные последовательности, линейная сложность, автокорреляция, классы степенных вычетов

We found some regular coding rules for cyclotomic ternary sequences based on quartic and hexade power residue classes and having quasiperfect periodic autocorrelation with high linear complexity. Keywords: ternary sequences, linear complexity, autocorrelation, power residue classes

1. Введение

Троичные периодические последовательности X = {х0,...,хI,...,х^},х е{0,+1}, где N — период последовательности, наряду с бинарными последовательностями относятся к одному из наиболее часто применяемых видов последовательностей [1]. Для многих приложений важными характеристиками троичной последовательности (ТП) являются ее периодическая автокорреляционная функция (ПАКФ)

N-1

Xх(т) = ^ х1х1+т и эквивалентная линейная слож-

1=0

ность (ЭЛС). ЭЛС последовательности Х над конечным полем третьего порядка GF (3) определяется как наименьшее натуральное число L, для которого существуют константы сь...,cL из GF(3), такие, что выполняется рекуррентное соотношение

xg = -с2х&-2-...-с]х&-] для всех g>L [2].

Задача поиска ТП, обладающих хорошими автокорреляционными характеристиками вкупе с высокой линейной сложностью, представляет интерес в связи с возможность их применения для различных криптографических систем связи.

В [3,4] были определены параметры семейств

ТП с квазиидеальной ПАКФ (| Xх (т)|<5, т = 1, N -1, где 5 — заданное пороговое число) и высокой линейной сложностью, сформированных на основе классов степенных вычетов. Далее, в [5] был предложен метод синтеза чередующихся ТП с периодом 4^ квазиидеальной ПАКФ и высокой линейной сложностью. В настоящей статье исследуются характеристики ТП периода 4р, получаемых из ТП простого периода, сформированных над степенными вычетами четвертого и шестого порядков.

2. Основные определения

Пусть р=dR+1 — простое число, где й, r — натуральные числа и 6 — первообразный корень по модулю р [6]. Определим Нк ={6к+Л,/=0,R-1},к=0,й-1 — циклотомические классы порядка й.

Далее будем рассматривать троичные последовательности периода р, сформированные по правилу кодирования:

1, если i е Нк, -1, если i е Н1,

(1)

0, в ост. случаях. где к,1 — различные индексы от 0 до й -1.

Пусть чередующаяся троичная последовательность Y периода 4р сформирована по правилу [5]:

Y = I (Х0, X!, В^ах0,-В^ах1),

(2)

где I — оператор чередования, В — оператор циклического сдвига последовательности на единицу вправо и а = (р + 1)/2.

3. Троичные последовательности на основе классов степенных вычетов четвертого порядка

Рассмотрим сначала случай, когда й = 4. Тогда справедливо разложение: р = х2 + 4у2, где х,у — целые числа и х = 1(той4).

Теорема 1. Пусть й = 4, ТП Х0 сформирована по (1) для к = 0, I = 1, ТП Х1 сформирована по (1) для (к,1) = (0,3),(1,2) и ТП Y сформирована по (2). Тогда тахт#01 ^ (т) |= 2| у | при нечетном значении R.

Доказательство. Рассмотрим первый случай, когда ТП Х1 сформирована по (1) для (к, I) = (0,3). Для ПАКФ ТП Y справедливо равенство: тахт^ V (т)|= 2тахХх0(/) + Хх1(/)|. В [4] показано, что если ТП X сформирована по (1), то ее ПАКФ определяется соответствующим спектром разности классов вычетов (СРКВ), а именно X х (т)» £ (к, к, й ) + £ (1,1, й ) - £ (к ,1, й ) - £ (I, к, й ), где S(k,l,d) = (50,«!,..., 5й-1) — СРКВ.

Воспользовавшись известными формулами для СРКВ из [4], получаем, что Хх0(т) 16(50,5Ь50,^1),

Xх1 (т)» —6(51,50,51,50), где 50 = -8 + 8у , 5 =-8-8у.

Из последних соотношений следует утверждение теоремы 1 в первом случае, второй рассматривается подобным же образом.

Следствие 1.1. Если в условиях теоремы 1

р = х2 + 4, то XY (т) е {0,-2}, т = 1,...,4 р-1.

Теорема 1 остается справедливой при любом циклическом сдвиге номеров классов в правиле кодирования, а также при их перестановке.

Лемма 1. Если ТП Y удовлетворяет условиям теоремы 1, то ее линейная сложность

Г3( р -1), если х = 0(mod3),

[4( р -1), в ост. случаях. Лемма 1 следует из [6] и [7].

Lr =

4. Трочные последовательности на основе классов степенных вычетов шестого порядка

Рассмотрим теперь случай, когда й = 6. Тогда период р представим в виде суммы квадратов целых чисел р = А2 + 3Б2, где А, Б — целые числа и А = 1(mod3). Теорема 2 и лемма 2 получаются таким же способом, что и теорема 1 и лемма 1.

Теорема 2. Пусть й = 6, ТП х0 сформирована по (1) для к = 0,1 = 2, ТП х1 сформирована по (1) для (к, I) = (0,4), (1,3), (1,5), (2,4) и ТП Y сформирована по (2). Тогда тахт#0| Х7 (т)|= тах|4+2А, 4 - А |/3 при нечетном значении R и Б # 0(mod3).

Следствие 2.1. Если в условиях теоремы 2 р = 4 + 3В2, то Хг(т)е{0,-2}, т=1,...,4р-1.

Теорема 2 остается справедливой при любом циклическом сдвиге номеров классов в правиле кодирования, а также при их перестановке.

Лемма 2. Если ТП Y удовлетворяет условиям теоремы 2, то ее линейная сложность ЬТ = 4( р -1).

5. Заключение

В статье представлены новые регулярные правила построения троичных последовательностей с квазиидеальной периодической автокорреляционной функцией и высокой линейной сложностью.

1. Ипатов В.П. Периодические дискретные сигналы с оптимальными корреляционными свойствами. М.: Радио и связь, 1992. 162 с.

2. Лидл Р., Нидеррайтер Г. Конечные поля. М.: Мир, 1988. 808 с.

3. Гантмахер В.Е., Едемский В.А. Корреляционные функции троичных последовательностей с простым периодом // Вестник КАИ им. А.Н.Туполева. 2007. №2. С.41-44.

4. Едемский В.А., Гантмахер В.Е. Синтез двоичных и троичных последовательностей с заданными ограничениями на их характеристики. В.Новгород: НовГУ, 2009. 189 с.

5. Едемский В.А. Синтез чередующихся троичных последовательностей с хорошими автокорреляционными свойствами и высокой эквивалентной линейной сложностью //

х =

Журн. радиоэлектроники [Электронный ресурс]. 2014. №2. URL: http://jre.cplire.ru/jre/feb14/2/text.pdf

6. Едемский В.А. О линейной сложности троичных последовательностей на основе классов степенных вычетов // Проблемы передачи информации. 2008. Т.44. Вып.4. С.3-11.

7. Айерлэнд К., Роузен М. Классическое введение в современную теорию чисел. М.: Мир, 1987. 415 с.

References

1. Ipatov V.P. Periodicheskie diskretnye signaly s optimal'nymi korreliatsionnymi svoistvami [Periodic discrete signals with optimal correlation properties]. Moscow, "Radio i sviaz"' Publ., 1992. 162 p.

2. Lidl R., Niederreiter H, eds. Finite Fields. Cambridge, Cambridge University Press, 1985. (Russ. ed.: Lidl R., Niderraiter G. Konechnye polia. Moscow, "Mir" Publ., 1988. 808 p.).

3. Gantmakher V.E., Edemskii V.A. Korreliatsionnye funktsii troichnykh posledovatel'nostei s prostym periodom [Correlation functions of ternary simple-period sequences]. Vestnik KAI im. A.N. Tupoleva, 2007, no. 2, pp. 41-44.

4. Edemskii V.A., Gantmakher V.E. Sintez dvoichnykh i tro-ichnykh posledovatel'nostei s zadannymi ogranicheniiami na ikh kharakteristiki [Synthesis of binary and ternary sequences with given limitations for their characteristics], Veliky Novgorod, NovSU, 2009, p. 189.

5. Edemskii V.A. Sintez chereduiushchikhsia troichnykh posledovatel'nostei s khoroshimi avtokorreliatsionnymi svoistvami i vysokoi ekvivalentnoi lineinoi slozhnost'iu [Synthesis of interleaved ternary sequences with low autocorrelation and high linear complexity]. Zhurnal radioelek-troniki - Journal of Radio Electronics, 2014, no. 2. Available at: http://jre.cplire.ru/jre/feb14/2/text.pdf.

6. Edemskii V.A. O lineinoi slozhnosti troichnykh posledovatel'nostei na osnove klassov stepennykh vychetov [Linear complexity of ternary sequences formed on the basis of power residue classes]. Problemy peredachi informatsii -Problems of Information Transmission, 2008, vol. 44, no 4, pp. 287-294.

7. Ireland K., Rosen M. A. Classical Introduction to Modern Number Theory. Springer, Berlin, 1982. (Russ. ed.: Aierlend K., Rouzen M. Klassicheskoe vvedenie v sovremennuiu te-oriiu chisel. Moscow, Mir Publ., 1987. 415 p.).